Chapter 10

이동도와 재결합 모델

3장의 드리프트-확산 방정식은 뼈대일 뿐이다. 전류 식에 들어가는 이동도 $\mu$와 연속 방정식에 들어가는 재결합률 $R$이 무엇인지 정하기 전에는 아무것도 계산할 수 없다. TCAD에서 이 둘은 방정식 바깥에서 골라 끼우는 물리 모델이다. 이 장은 그 모델들을 하나씩 만져 본다. 도핑이 높으면 왜 이동도가 떨어지는지, 게이트 전계가 반전층 전자를 어떻게 느리게 만드는지, 전계가 세지면 속도가 왜 더 늘지 않는지, 그리고 전자와 정공이 어디서 어떻게 사라지는지. 마지막에는 같은 TN-45를 모델만 바꿔 다시 풀어, 모델 선택 하나가 켜짐 전류를 몇십 배까지 바꾼다는 것을 직접 확인한다.

이동도와 재결합 모델이 드리프트-확산 방정식의 어디에 꽂히는지 말하고, 상용 TCAD에서 모델을 "켠다"는 것이 무엇인지 설명한다.
격자 산란과 이온화 불순물 산란, 마티센 규칙으로 저전계 이동도의 도핑·온도 의존을 설명하고 Caughey-Thomas와 Masetti 모델을 비교한다.
반전층 이동도가 수직 전계에 따라 음향 포논 산란과 표면 거칠기 산란으로 떨어지는 것(Lombardi)과 유효 전계, 보편 이동도 곡선을 설명한다.
속도 포화(Canali)와 구동력 선택을 이해하고, 상수 이동도가 짧은 채널에서 왜 터무니없는 전류를 내는지 보인다.
SRH·오제·복사 재결합의 식과 수명의 도핑 의존을 비교하고, 재결합 모델이 다이오드 I-V의 이상 계수를 어떻게 바꾸는지 드리프트-확산 풀이로 확인한다.
TN-45의 켜짐 전류가 이동도 모델에 따라 얼마나 달라지는지 2D로 풀고, 보정이 왜 필요한지 말한다.

모델은 방정식에 꽂는 부품이다

3장에서 세운 드리프트-확산 체계를 다시 적는다. 미지수는 전위 $\psi$, 전자 농도 $n$, 정공 농도 $p$ 세 개이고 방정식도 세 개다.

$$\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\psi) = -q\,(p - n + N_D^+ - N_A^-)$$ $$\nabla\cdot\mathbf{J}_n = q\,(R - G) + q\frac{\partial n}{\partial t}, \qquad \mathbf{J}_n = q\,\mu_n\,n\,\mathbf{E} + q\,D_n\nabla n$$ $$-\nabla\cdot\mathbf{J}_p = q\,(R - G) + q\frac{\partial p}{\partial t}, \qquad \mathbf{J}_p = q\,\mu_p\,p\,\mathbf{E} - q\,D_p\nabla p$$

$\mu_n, \mu_p$: 전자·정공 이동도(cm²/V·s), $D = \mu kT/q$: 확산 계수(아인슈타인 관계), $R - G$: 순 재결합률(cm⁻³s⁻¹). 이동도와 $R$이 이 장에서 골라 끼우는 모델이다.

방정식 자체는 어느 소자든 같다. 실리콘 MOSFET과 GaN HEMT, 태양 전지가 다른 결과를 내는 것은 대부분 $\mu$와 $R$(그리고 2장의 통계와 밴드 구조)이 다르기 때문이다. 상용 TCAD 입력 파일의 Physics 블록에서 Mobility(DopingDependence Enormal HighFieldSaturation)나 Recombination(SRH Auger)처럼 적는 것이 바로 이 부품을 고르는 일이다. 각 모델은 국소 변수(도핑, 온도, 전계, 캐리어 농도)를 받아 숫자 하나를 돌려주는 함수다.

모델이 꽂히는 자리. 이동도는 전류 식에, 재결합·생성은 연속 방정식의 우변에, 표면 재결합은 경계 조건에 들어간다. 이동도 모델은 위에서 아래로 차례로 곱해지듯 적용된다(도핑 → 표면 → 속도 포화).

모델이 국소 변수의 함수라는 것은 계산에도 영향을 준다. 이동도가 전계에 의존하면 $\mu$가 미지수 $\psi$의 함수가 되어 방정식이 한층 더 비선형이 되고, 5장의 뉴턴 야코비안에 $\partial\mu/\partial\psi$ 항이 들어가야 2차 수렴을 지킨다. 이 책의 2D 엔진은 이동도를 격자의 변마다(두 노드 사이 전류가 흐르는 길마다) 계산한다.

이 장은 TCAD 흐름의 어디인가 공정 모사 → 구조·격자 → 물리 모델 → 수치 해 → 소자 특성 → 보정·활용 가운데 물리 모델 단계다. 2장이 평형 통계(캐리어가 얼마나 있는가)를, 3장이 방정식의 형태를 정했다면, 이 장은 캐리어가 얼마나 잘 움직이고(이동도) 얼마나 빨리 사라지는가(재결합)를 정한다. 이 부품들이 정해져야 12장의 소자 특성이 의미를 갖는다.

저전계 이동도: 산란이 정한다

전계 $E$가 약할 때 캐리어의 평균 표류 속도는 전계에 비례한다: $v = \mu E$. 비례 상수 $\mu = q\tau_m/m^*$는 산란 사이의 평균 시간 $\tau_m$과 유효 질량 $m^*$로 정해진다. 실리콘에서 $\tau_m$을 정하는 산란은 크게 둘이다.

격자 산란(Lattice / phonon scattering): 원자의 열 진동(포논)과 부딪힌다. 온도가 오르면 진동이 커져 이동도가 떨어진다. 단순 이론은 $\mu_L \propto T^{-3/2}$이지만 실리콘에서 측정하면 $T^{-2.2}\sim T^{-2.5}$ 정도다(광학 포논과 밸리 간 산란이 더해진다).
이온화 불순물 산란(Ionized impurity scattering): 이온화된 도펀트의 쿨롱 전위가 캐리어를 휜다. 도펀트가 많을수록 강하고, 캐리어가 빠를수록(온도가 높을수록) 덜 휜다. 대략 $\mu_I \propto T^{3/2}/N_I$이다.

산란 기구들이 서로 독립이라면 산란률($1/\tau$)은 더해진다. 그래서 이동도의 역수가 더해진다. 이것이 마티센 규칙(Matthiessen's rule)이다.

$$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_L(T)} + \frac{1}{\mu_I(N, T)} + \cdots$$

가장 느린 기구(이동도가 가장 작은 쪽)가 합을 지배한다. 산란률이 에너지에 의존하면 엄밀히는 성립하지 않지만, TCAD 이동도 모델은 거의 모두 이 형태로 기구를 합친다.

실제 TCAD는 산란 이론을 직접 계산하지 않고, 측정한 $\mu(N)$에 맞춘 경험식을 쓴다. 가장 널리 쓰이는 것이 Caughey-Thomas(Caughey-Thomas / Arora) 형식이다.

$$\mu(N) = \mu_{\min} + \frac{\mu_{\max}(T/300)^{\gamma} - \mu_{\min}}{1 + (N/N_{\mathrm{ref}})^{\alpha}}$$

$N = N_A + N_D$: 총 도핑(보상된 도펀트도 산란시킨다). 전자: $\mu_{\max}$ 1414, $\mu_{\min}$ 68.5 cm²/V·s, $N_{\mathrm{ref}}$ 9.2×10¹⁶ cm⁻³, $\alpha$ 0.711, $\gamma$ −2.5. 정공: 470.5, 44.9, 2.23×10¹⁷, 0.719, −2.2. 엔진 TC.mobCT.

저농도에서는 격자 산란만 남아 $\mu_{\max}$에, 고농도에서는 $\mu_{\min}$으로 수렴한다. Masetti 모델은 비소·인으로 10²⁰ cm⁻³ 넘게 도핑한 영역에서 이동도가 한 번 더 떨어지는 것을 항 하나로 더 넣었다.

$$\mu = \mu_{\min 1}e^{-P_c/N} + \frac{\mu_{\max} - \mu_{\min 2}}{1 + (N/C_r)^{\alpha}} - \frac{\mu_1}{1 + (C_s/N)^{\beta}}$$

전자(비소·인): $\mu_{\min1} = \mu_{\min2}$ 52.2, $\mu_1$ 43.4 cm²/V·s, $C_r$ 9.68×10¹⁶, $C_s$ 3.43×10²⁰ cm⁻³, $\alpha$ 0.68, $\beta$ 2. 엔진 TC.mobMasetti.

아래 그래프에서 도핑 손잡이를 좌우로 끌어 본다. 아래쪽 삼각형은 TN-45의 각 영역 도핑이다. 그다음 온도를 바꿔 저농도 쪽과 고농도 쪽 중 어디가 더 크게 움직이는지 본다.

SIMULATOR

도핑에 따른 저전계 이동도: Caughey-Thomas 대 Masetti

전자 CT정공 CT전자 Masetti(점선)정공 Masetti(점선)

도핑 손잡이를 좌우로 끈다

온도 T

도핑 N—

μn (CT / Masetti)—

μp (CT / Masetti)—

Dn = μn·kT/q—

해볼 것: ① 손잡이를 채널(약 5×10¹⁸)에 놓는다. 전자 이동도가 저농도의 약 1/10이다. ② S/D(2×10²⁰)로 옮겨 CT와 Masetti의 차이(약 74 대 49)를 읽는다. 고농도 전극 영역의 저항이 모델에 따라 1.5배 달라진다. ③ 온도를 200 K와 500 K로 바꾼다. 저농도 쪽은 크게 움직이지만 고농도 쪽은 거의 그대로다. (CT·Masetti 모두 온도는 $\mu_{\max}$에만 들어간다. Arora 원형은 $\mu_{\min}$과 $N_{\mathrm{ref}}$도 온도에 따라 바꾼다.)

채널 도핑 5×10¹⁸ cm⁻³에서 전자 이동도는 약 143 cm²/V·s로, 순수 실리콘(1414)의 1/10이다. TN-45가 "빠른 트랜지스터"인데도 채널의 벌크 이동도는 이렇게 낮다. 고농도 S/D에서는 두 모델이 1.5배 갈라지는데, 이 차이는 직렬 저항으로 켜짐 전류에 몇 % 정도 들어간다. 반대로 채널 도핑 근처에서는 두 모델이 거의 같다. 모델을 고를 때 "어느 도핑 범위가 결과를 정하는가"를 먼저 묻는 이유다.

마티센 규칙을 직접 나눠 보기

CT 식은 두 산란 기구를 하나의 곡선에 녹여 놓았다. 아래 시뮬레이터는 300 K의 CT 곡선을 격자 성분 $\mu_L = 1414\,(T/300)^{-2.5}$과 불순물 성분 $\mu_I$로 나눈 뒤(300 K에서 $1/\mu_I = 1/\mu_{CT} - 1/\mu_L$), 불순물 성분에 $T^{3/2}$를 붙여 온도를 바꾼다. 온도 손잡이를 끌어 본다.

SIMULATOR

마티센 규칙: 격자 산란과 불순물 산란이 합쳐지는 방식

격자 μL불순물 μI마티센 합CT의 온도 의존(점선)

온도 손잡이를 좌우로 끈다

도핑 N

온도—

μL / μI—

μ (마티센)—

지배 기구—

해볼 것: ① N = 10¹⁵에서 온도를 끈다. 격자 산란이 전 구간을 지배해 μ가 T⁻²·⁵로 떨어진다. ② N = 10¹⁸로 올리면 저온에서 불순물 산란이 지배해 μ가 온도와 함께 오르다가 꺾인다. ③ 같은 N에서 점선(CT 자체의 온도 의존)과 비교한다. CT는 고농도에서도 μ가 단조 감소하는데, 마티센 분해는 저온 쪽을 다르게 예측한다. (불순물 성분의 $T^{3/2}$는 로그 인자를 무시한 근사다. 실제 저온에는 불완전 이온화와 차폐 변화가 겹친다.)

두 성분의 교차점이 지배 기구가 바뀌는 온도다. 도핑이 높을수록 교차점이 높은 온도로 밀려나, 상온 근처에서도 불순물 산란이 지배한다. 그래서 고농도 영역의 이동도는 온도에 둔감하고, 저농도 영역은 민감하다. 이것은 고온 동작(자기 발열, 13장)에서 채널과 S/D의 저항이 서로 다르게 변하는 이유이기도 하다. 경험식의 온도 의존을 어떻게 넣느냐(μmax만, 또는 μmin·Nref까지)가 고온·저온 시뮬레이션 결과를 바꾼다는 점을 기억해 둔다.

반전층 이동도: 수직 전계와 표면

MOSFET의 전류는 실리콘 표면 1~3 nm 안의 반전층으로 흐른다. 이 전자들은 게이트가 만든 강한 수직 전계 $E_\perp$(0.3~2 MV/cm)에 의해 계면에 눌려 있다. 그래서 벌크에 없는 산란이 두 가지 더해진다.

음향 포논 산란(Acoustic phonon): 전자가 얇은 층에 갇히면(양자 구속, 11장) 파동 함수가 좁아져 포논과의 결합이 세진다. 대략 $\mu_{ac} \propto E_\perp^{-1/3}$이다.
표면 거칠기 산란(Surface roughness): Si/SiO₂ 계면의 원자 단위 요철(rms 약 0.2~0.4 nm)에 부딪힌다. 전계가 셀수록 전자가 계면에 더 붙어 $\mu_{sr} \propto E_\perp^{-2}$로 급격히 떨어진다.

여기에 계면 전하에 의한 쿨롱 산란(저전계·저반전에서 중요)이 더해진다. 이 기구들을 벌크 이동도와 마티센 규칙으로 합친 것이 Lombardi 모델(Lombardi / CVT)이다.

$$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_b(N, T)} + \frac{D}{\mu_{ac}} + \frac{D}{\mu_{sr}}, \qquad \mu_{ac} = \frac{B}{E_\perp} + \frac{C\,N^{\lambda}}{T^{k}E_\perp^{1/3}}, \qquad \mu_{sr} = \frac{\delta}{E_\perp^{2}}, \qquad D = e^{-y/l_{\mathrm{crit}}}$$

$\mu_b$: 앞 절의 도핑 의존 이동도, $E_\perp$: 표면에 수직인 전계(V/cm), 전자: $B$ 4.75×10⁷ cm/s, $C$ 580, $\lambda$ 0.125, $\delta$ 5.82×10¹⁴ V/s. $D$는 표면에서 멀어질수록 표면 산란을 끄는 가중치로, 이 책의 엔진은 $l_{\mathrm{crit}}$ = 10 nm를 쓴다. 엔진 TC.mobSurface.

측정에서는 $E_\perp$ 대신 반전층 전자가 평균적으로 느끼는 유효 전계(Effective field)를 쓴다.

$$E_{\mathrm{eff}} = \frac{Q_{\mathrm{dep}} + \eta\,Q_{\mathrm{inv}}}{\varepsilon_{\mathrm{Si}}}, \qquad \eta = \tfrac{1}{2}\ (\text{전자}),\ \tfrac{1}{3}\ (\text{정공})$$

$Q_{\mathrm{dep}} = qN_AW_{\mathrm{dep}}$: 공핍 전하, $Q_{\mathrm{inv}} = qN_{\mathrm{inv}}$: 반전 전하(C/cm²). 반전층 전자의 절반은 자기 아래의 전하만 본다는 뜻이다.

Takagi 등은 기판 도핑이 달라도 $\mu_{\mathrm{eff}}$를 $E_{\mathrm{eff}}$에 대해 그리면 고전계 쪽에서 한 곡선으로 모인다는 것을 보였다. 이것이 보편 이동도 곡선(Universal mobility curve)이다. 저전계 쪽은 도핑마다 갈라진다(쿨롱 산란). 아래에서 도핑과 반전 전하를 바꾸고, 수직 전계 손잡이를 끌어 어느 산란이 지배하는지 본다.

SIMULATOR

Lombardi 표면 이동도: 성분별 분해와 유효 전계

벌크 μb음향 포논 μac표면 거칠기 μsr합

수직 전계 손잡이를 좌우로 끈다

채널 도핑 NA 반전 전하 Ninv

E⊥ (손잡이)—

μ (손잡이)—

지배 기구—

Eeff → μ—

해볼 것: ① NA를 10¹⁵로 내리고 손잡이를 10⁴ → 3×10⁶ V/cm로 끈다. 저전계는 벌크, 중간(약 2×10⁵~1 MV/cm)은 음향 포논, 그 위는 표면 거칠기가 지배한다. ② NA를 5×10¹⁸(TN-45 채널)로 올린다. 공핍 전하만으로 Eeff가 1 MV/cm를 넘고(Ninv 10¹³에서 약 2 MV/cm) 이동도가 약 70으로 떨어진다. ③ Ninv를 키우면 Eeff가 더 오른다. 게이트 전압을 올릴수록 이동도가 떨어지는 이유다. (Lombardi는 쿨롱 산란 항이 없는 판본이다. 저반전 영역의 이동도 하락은 나오지 않는다. Wdep은 ψs = 2φF 공핍 근사.)

성분 곡선의 기울기를 보면 기구를 알 수 있다. 포논은 $E_\perp^{-1/3}$로 완만하고 거칠기는 $E_\perp^{-2}$로 가파르다. TN-45처럼 채널 도핑이 높은 소자는 공핍 전하만으로 유효 전계가 1 MV/cm를 넘는다. 그래서 반전층 이동도는 벌크 값(약 140)보다 더 낮은 100 아래가 되고, 표면 거칠기 산란이 중요해진다. 고유전율 게이트, 변형 실리콘, (110) 채널 같은 기술이 모두 이 곡선을 위로 올리려는 시도다.

E⊥는 어디서 재는가 Lombardi 식은 국소 전계 $E_\perp$를 쓰지만, 측정한 보편 곡선은 반전층 평균 $E_{\mathrm{eff}}$에 대한 것이다. 고전 드리프트-확산에서 반전층은 0.5 nm 안에 몰려 있고(양자 보정이 없으면) 표면 전계는 $E_{\mathrm{eff}}$의 약 두 배다. 그래서 같은 매개변수라도 격자, 양자 보정, $E_\perp$를 노드에서 재느냐 변에서 재느냐에 따라 결과가 달라진다. 상용 도구가 "Enormal" 계산 방식을 여러 개 제공하는 이유이고, 결국 보정(16장)으로 맞춘다.

속도 포화: 전계가 세면 더 빨라지지 않는다

전계가 약할 때 캐리어는 전계에서 얻은 에너지를 격자에 금방 돌려준다. 전계가 약 10⁴ V/cm를 넘으면 에너지를 얻는 속도가 잃는 속도를 앞질러 캐리어가 "뜨거워지고", 광학 포논을 방출하기 시작한다. 광학 포논 방출은 매우 빠른 산란이라 속도가 $v_{\mathrm{sat}} \approx 10^7$ cm/s 근처에서 더 늘지 않는다. 드리프트-확산은 이것을 전계 의존 이동도로 흉내 낸다. Canali 모델(Caughey-Thomas high-field / Canali)은 다음과 같다.

$$\mu(F) = \frac{\mu_0}{\left[1 + \left(\mu_0 F/v_{\mathrm{sat}}\right)^{\beta}\right]^{1/\beta}}, \qquad v_{\mathrm{sat}} = 1.07\times10^7\left(\frac{300}{T}\right)^{0.87}\ \mathrm{cm/s}, \qquad \beta = 1.109\left(\frac{T}{300}\right)^{0.66}$$

$\mu_0$: 앞의 저전계 이동도(도핑·표면 포함), $F$: 구동력(아래), 전자 값. 정공은 $v_{\mathrm{sat}}$ 8.37×10⁶ cm/s, $\beta$ 1.213. $F \to \infty$에서 $v = \mu F \to v_{\mathrm{sat}}$. 엔진 TC.mobField, TC.vsat.

아래 그래프에서 전계 손잡이를 끌어 속도를 읽는다. 점선은 상수 이동도($v = \mu_0 E$)다. 세로 점선은 TN-45가 Vd = 1 V에서 드레인 끝 표면에 만드는 가로 전계(약 8.4×10⁵ V/cm, 13장)다.

SIMULATOR

속도-전계 곡선: Canali 속도 포화

전자정공상수 이동도 μ0E(전자, 점선)

전계 손잡이를 좌우로 끈다

온도 T 도핑 N

전계 E—

전자 v / vsat—

μ(E)/μ0—

상수 μ의 과대 배수—

해볼 것: ① 10³ V/cm 근처에서는 두 곡선이 겹친다(저전계). ② 손잡이를 TN-45 드레인 끝 전계로 옮긴다. 상수 이동도는 속도를 10배 넘게 과대 예측한다. ③ 도핑을 10¹⁹로 올리면 μ0가 작아져 포화가 더 높은 전계에서 시작하지만 vsat는 같다. 온도를 올리면 vsat가 내려간다. (드리프트-확산은 전계가 갑자기 바뀌는 곳에서 속도 과도를 놓친다. 짧은 채널에서는 실제 속도가 vsat를 넘을 수 있다, 14장.)

TN-45의 채널 길이(유효 약 22 nm)에 1 V가 걸리면 평균 가로 전계만 4×10⁵ V/cm다. 이 영역에서 상수 이동도 모델은 속도를 수십 배 과대 예측한다. 뒤에서 보겠지만 이것이 상수 이동도로 푼 TN-45가 30 mA/µm 가까운 터무니없는 전류를 내는 이유다.

구동력: 어떤 전계로 포화시키는가

식의 $F$를 무엇으로 잡느냐가 구동력(Driving force) 선택이다. 대표적인 것은 두 가지다.

$$F_{\mathrm{E}} = \left|\mathbf{E}\cdot\frac{\mathbf{J}_n}{|\mathbf{J}_n|}\right| \quad\text{(전류 방향 전계)}, \qquad F_{\nabla\phi} = |\nabla\phi_n| \quad\text{(준페르미 준위 기울기)}$$

$\phi_n$: 전자 준페르미 전위. $\mathbf{J}_n = -q\mu_n n\nabla\phi_n$이므로 $|\nabla\phi_n|$는 드리프트와 확산을 합친 실제 "미는 힘"이다.

평형에서 접합의 내부 전계는 크지만 전류는 흐르지 않는다. 전계 $|\mathbf{E}|$를 구동력으로 쓰면 전류가 없는 곳에서도 이동도가 떨어져 확산 전류까지 깎는 비물리적 결과가 나온다. $|\nabla\phi_n|$는 평형에서 0이므로 이 문제가 없지만, 캐리어가 거의 없는 곳에서는 수치적으로 시끄럽다. 이 책의 2D 엔진은 격자 변마다 $\Delta\phi_n$/변 길이를 구동력으로 쓰고, 농도가 매우 낮은 변은 포화를 적용하지 않는다.

TN-45 안의 이동도 지도

이제 세 모델을 TN-45 안에 함께 넣는다. 엔진은 격자의 가로 변마다 도핑(CT) → 표면(Lombardi, 표면에서 10 nm 감쇠) → 속도 포화(Canali)를 차례로 적용하고, 그 이동도로 Vg = Vd = 1 V의 드리프트-확산을 푼다(coarse 격자 29×26). 아래 지도는 각 노드에서 본 가로 방향 전자 이동도다. 모델 버튼을 바꿔 보고, 지도 위의 가로 절단선을 위아래로 끌어 깊이에 따른 변화를 본다.

SIMULATOR

TN-45 이동도 지도: 모델을 하나씩 켠다 (Vg = Vd = 1 V)

지도 위 절단선을 위아래로 끈다

절단 깊이 y—

채널 중앙 μ—

절단선 최소 μ (위치)—

Id (coarse)—

해볼 것: ① "도핑"에서 표면 채널 중앙 μ(약 180, 표면 도핑 1.8×10¹⁸)와 S/D(약 70)를 읽는다. 절단선을 10 nm로 내리면(도핑 7.9×10¹⁸) 약 120이 된다. ② "+표면"으로 바꾸고 절단선을 표면(y = 0)에서 15 nm까지 내린다. 표면에서 떨어지던 μ가 10 nm 아래에서는 벌크 값으로 돌아온다. ③ "+포화"와 "전체"에서 표면 절단선의 드레인 쪽 끝(x ≈ +10 nm)을 본다. 전계가 가장 센 그곳에서 μ가 20 아래로 떨어진다. (변 이동도를 노드로 평균한 지도다. 정공·양자 보정은 풀지 않는다.)

이동도는 소자 안에서 한 숫자가 아니다. 소스 쪽 채널은 표면 산란이, 드레인 쪽 끝은 속도 포화가 지배한다. 그래서 이동도 모델을 하나 더 켤 때마다 전류가 줄어드는 비율이 소자 구조와 바이어스에 따라 다르고, 서로 곱셈처럼 쌓이지도 않는다. 마지막 절에서 이것을 숫자로 확인한다.

재결합과 생성: 캐리어가 사라지는 길

평형에서 $np = n_i^2$이다. 이것이 깨지면(주입 $np > n_i^2$, 추출 $np < n_i^2$) 계는 재결합이나 생성으로 평형에 돌아가려 한다. 연속 방정식 우변의 $R$이 그 속도다. 실리콘은 간접 밴드갭이라 전자와 정공이 직접 만나 빛을 내는 경우가 드물고, 주로 갭 안의 결함 준위(트랩)를 거친다.

SRH: 트랩을 거치는 재결합

쇼클리-리드-홀 재결합(Shockley-Read-Hall, SRH)은 트랩 하나가 전자를 잡고, 이어서 정공을 잡는 두 단계다. 정상 상태에서 두 포획률이 같다는 조건으로 다음 식을 얻는다.

$$R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_i^2}{\tau_p\,(n + n_1) + \tau_n\,(p + p_1)}, \qquad n_1 = n_i\,e^{(E_t - E_i)/kT}, \quad p_1 = n_i\,e^{-(E_t - E_i)/kT}$$

$\tau_n = 1/(\sigma_n v_{th}N_t)$, $\tau_p = 1/(\sigma_p v_{th}N_t)$: 캐리어 수명(트랩 밀도 $N_t$, 포획 단면적 $\sigma$, 열속도 $v_{th} \approx 10^7$ cm/s), $E_t$: 트랩 준위. $R < 0$이면 생성이다. 엔진 TC.srh.

$n_1, p_1$은 "전자가 트랩 준위에 있을 때의 평형 농도"다. 트랩이 밴드 가장자리에 가까우면 $n_1$이나 $p_1$이 커져 분모가 커지고, 잡힌 캐리어가 반대쪽 캐리어를 만나기 전에 다시 튀어나간다. 그래서 갭 한가운데의 트랩이 가장 효율적인 재결합 중심이다. 금, 철 같은 금속 오염이 수명을 망치는 것은 이들이 갭 중앙 근처에 준위를 만들기 때문이다. 트랩 준위 손잡이를 끌어 본다.

SIMULATOR

SRH 재결합률과 트랩 준위

트랩 준위 손잡이를 좌우로 끈다

수명 비 τn/τp

Et − Ei—

n1 / p1—

|U| (재결합/생성)—

최대 대비—

해볼 것: ① "n형 저주입"(N 10¹⁶, Δp 10¹²)에서 트랩을 갭 중앙에서 Ec 쪽으로 옮긴다. 0.3 eV 근처까지는 U = Δp/τp로 평평하다가 n1이 n을 넘으면 급히 떨어진다. ② "공핍(생성)"으로 바꾼다(n, p ≪ ni). 생성률은 갭 중앙에서만 날카롭게 크다. ③ 공핍에서 τn/τp를 바꾸면 봉우리가 $\tfrac{kT}{2}\ln(\tau_p/\tau_n)$만큼 옮겨 간다. (τp = 1 µs 고정, 트랩 하나짜리 준위, 300 K.)

공핍 영역의 생성은 갭 중앙 트랩이 독점한다. 그래서 역방향 누설(9장)과 DRAM 보존 시간, 이미지 센서 암전류가 모두 갭 중앙 트랩 밀도로 정해진다. TCAD에서는 보통 $E_t = E_i$로 두고 수명만 맞춘다. 수명 자체는 도핑이 높을수록 짧아지는 경향이 있어 Scharfetter 관계(Doping-dependent lifetime)를 쓴다.

$$\tau(N) = \frac{\tau_{\max}}{1 + N/N_{\mathrm{ref}}}, \qquad N_{\mathrm{ref}} \approx 5\times10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$$

$\tau_{\max}$: 깨끗한 웨이퍼에서 수 µs~ms. 공정 오염과 결함에 따라 수십 배씩 달라지므로 소자마다 보정하는 대표적인 매개변수다. 엔진 TC.tauSRH.

오제와 복사 재결합

캐리어 농도가 아주 높으면 트랩 없이도 재결합한다. 오제 재결합(Auger)은 전자-정공이 재결합하며 내놓은 에너지를 제3의 캐리어가 받아 가는 과정이다. 세 입자가 필요하므로 농도의 세제곱에 비례한다. 복사 재결합(Radiative)은 빛을 내는 직접 재결합으로, 실리콘에서는 운동량 보존 때문에 매우 약하다.

$$R_{\mathrm{Auger}} = (C_n n + C_p p)(np - n_i^2), \qquad R_{\mathrm{rad}} = B\,(np - n_i^2)$$

실리콘: $C_n \approx 2.8\times10^{-31}$, $C_p \approx 9.9\times10^{-32}$ cm⁶/s, $B \approx 1.1\times10^{-14}$ cm³/s(GaAs는 약 10⁻¹⁰으로 만 배 크다). n형 저주입에서 소수 캐리어 수명은 $\tau_{\mathrm{Auger}} = 1/(C_nN_D^2)$, $\tau_{\mathrm{rad}} = 1/(BN_D)$. 엔진 TC.auger, TC.radiative.

재결합 경로들은 병렬이므로 수명은 역수로 더한다: $1/\tau_{\mathrm{eff}} = 1/\tau_{\mathrm{SRH}} + 1/\tau_{\mathrm{Auger}} + 1/\tau_{\mathrm{rad}}$. 아래 그래프는 n형 실리콘의 소수 캐리어(정공) 수명을 도핑에 따라 그린다. 수명은 엔진의 재결합률로 $\tau = \Delta p / R$를 직접 계산한 것이다.

SIMULATOR

SRH 대 오제 대 복사: 도핑과 주입에 따른 수명

SRH오제복사유효 τ

도핑 손잡이를 좌우로 끈다

τmax (SRH) 주입 Δp 도핑 의존 τSRH (Scharfetter)

도핑 ND—

τSRH / τAuger—

유효 τ (지배)—

확산 거리 Lp—

해볼 것: ① 기본값에서 손잡이를 끈다. 10¹⁹ 아래는 SRH, 그 위는 오제가 수명을 정한다(N²에 반비례해 급락). ② 도핑을 10¹⁵에 두고 Δp를 10¹⁷ 위로 올린다. 고주입이 되면 오제가 저농도에서도 수명을 깎는다(태양 전지·전력 소자의 고주입 영역). ③ τmax를 10⁻³ s로 올려도 고농도 쪽 유효 수명은 그대로다. 오제는 공정을 깨끗하게 해도 줄일 수 없는 고유 한계다. (복사 재결합은 실리콘에서 어디서도 지배하지 않는다. 밴드갭 좁아짐에 의한 ni 증가는 넣지 않았다.)

TN-45의 S/D(2×10²⁰)에서 오제 수명은 0.1 ns 아래다. 그곳에 주입된 소수 캐리어는 거의 즉시 사라진다. 반대로 웰(약 5×10¹⁷)에서는 SRH 수명이 지배한다. 모델 선택의 실용적 결론은 이렇다. 바이폴라·태양 전지·전력 소자처럼 소수 캐리어가 주인공인 소자는 재결합 모델과 수명 보정이 결과를 좌우하고, MOSFET의 켜짐 전류는 다수 캐리어 전류라 재결합 모델에 거의 무관하다. MOSFET에서 재결합이 중요한 것은 꺼짐 상태의 접합 누설(SRH 생성)과 GIDL(밴드 간 터널링)이다.

표면 재결합

계면에는 끊긴 결합이 만든 트랩(계면 준위 $D_{it}$)이 있다. 계면은 부피가 없으므로 재결합은 단위 면적당 비율로 경계 조건에 들어간다. 저주입이면 $U_s \approx S\,\Delta p$이고, $S = \sigma v_{th} N_{st}$는 표면 재결합 속도(Surface recombination velocity, cm/s)다. 잘 패시베이션된 Si/SiO₂ 계면은 $S$ ~ 1~100 cm/s, 노출된 실리콘이나 금속 접촉은 10⁶~10⁷ cm/s다(오믹 접촉을 "무한 재결합"으로 두는 것과 같다). 태양 전지 효율과 이미지 센서 암전류에서 표면 재결합은 부피 재결합만큼 중요하다.

재결합 모델이 바꾸는 I-V

재결합 모델이 실제 풀이를 어떻게 바꾸는지 9장의 다이오드(p 10¹⁷ / n 10¹⁷, 길이 2 µm)로 확인한다. 엔진이 드리프트-확산을 0~0.9 V로 스윕한다. SRH를 켜고 끄고, 수명을 바꿔 본다.

SIMULATOR

재결합 모델에 따른 다이오드 I-V와 이상 계수 (1D 드리프트-확산)

선택한 모델반대 설정(SRH 켬/끔)쇼클리 해석식(점선)

수명 τn = τp

J(0.2 V)—

J(0.6 V) / 쇼클리—

이상 계수 n(0.2 V)—

풀이—

해볼 것: ① SRH 켬, τ = 10⁻⁷ s에서 저전압(0.1~0.3 V)의 이상 계수를 읽는다. 약 1.6~1.8로, 공핍 영역의 SRH 재결합 전류($\propto e^{qV/2kT}$)다. ② SRH를 끈다. 저전압 전류가 수십 배 줄고 n이 1.0으로 내려간다. ③ τ를 10⁻⁹ s로 줄이면 확산 거리(약 1 µm)가 소자 길이보다 짧아져 0.5 V의 확산 전류도 늘어난다. 0.8 V 위의 n 증가는 고주입과 중성 영역 저항이다. (볼츠만 통계, 오제는 켜 둠, 오믹 접촉은 무한 재결합 경계.)

SRH를 끄면 저전압 전류가 사라지고 이상적인 n = 1 다이오드가 남는다. 측정한 다이오드의 저전압 이상 계수가 2에 가깝다면 그것은 공핍 영역 SRH의 흔적이고, TCAD에서 수명을 맞추는 단서가 된다. 고전압 쪽(0.5 V 위)은 2 µm 짧은 다이오드라 오믹 접촉이 소수 캐리어를 먹어 치워 τ = 10⁻⁷ s 위에서는 수명에 거의 무관하다. 같은 재결합 모델이라도 소자 기하에 따라 결과에 미치는 영향이 다르다.

모델 선택이 결과를 바꾼다: TN-45로 확인

이제 이 장의 핵심 질문이다. 같은 구조, 같은 도핑, 같은 격자에서 이동도 모델만 바꾸면 TN-45의 켜짐 전류는 얼마나 달라지는가. 엔진의 TC.mos2d는 mobility 옵션으로 다섯 단계를 고를 수 있다: 상수($\mu_{\max}$ 1414), 도핑(CT), 도핑 + 표면(Lombardi), 도핑 + 속도 포화(Canali), 전체(세 가지 모두). 아래 "풀기"를 누르면 coarse 격자에서 Vg = 1 V의 Id-Vd를 모델마다 한 점씩 차례로 푼다. 막대는 이 coarse 결과(채운 막대)와 normal 격자 검증값(빈 막대)이다.

SIMULATOR

종합: 이동도 모델을 바꿔 TN-45를 다시 푼다 (2D 드리프트-확산)

상수도핑도핑+표면도핑+포화전체

전류 로그 축

상수—

도핑—

도핑+표면—

도핑+포화—

전체—

해볼 것: ① 풀기를 누르고 Id-Vd가 모델마다 자라는 것을 본다. 상수 이동도는 포화도 없이 30 mA/µm 가까이 오른다. 무너진 모델이다. ② 도핑만 켜면 10배 넘게 줄고, 표면을 더하면 약 25% 더 준다. ③ 포화를 켜면 곡선이 비로소 MOSFET처럼 눕는다. 포화를 켠 뒤에는 표면 모델을 더해도 약 11%만 준다. 효과들은 곱해지지 않는다. 로그 축을 끄면 선형 축에서 비교한다. (coarse 격자 29×26, 전자만, 300 K. normal 격자보다 Ion이 약 10% 높다.)

숫자로 정리하면 다음과 같다(normal 격자, Vg = Vd = 1 V).

이동도 모델	Ion (mA/µm)	전체 대비	무엇을 빠뜨렸나
상수 (μ = 1414)	25.5	×36	모든 산란 기구와 속도 포화. 물리적으로 불가능한 값
도핑 (CT)	2.49	×3.5	표면 산란, 속도 포화
도핑 + 표면 (Lombardi)	1.76	×2.5	속도 포화
도핑 + 속도 포화 (Canali)	0.83	×1.16	표면 산란
전체	0.715	1	속도 과도, 양자 보정, 응력(14장)

두 가지를 읽어 낼 수 있다. 첫째, 45 nm 채널에서는 속도 포화가 가장 큰 단일 효과다. 포화 없이 계산한 전류는 표면 모델을 넣어도 2.5배 과대하다. 둘째, 효과는 곱셈으로 쌓이지 않는다. 표면 모델만 넣으면 전류가 29% 줄지만, 이미 속도 포화가 걸린 상태에서 넣으면 14%만 준다. 속도가 vsat로 묶인 드레인 쪽은 저전계 이동도에 둔감하기 때문이다. 이 비선형성이 "모델을 하나 바꿨을 때 결과가 얼마나 바뀌는가"를 소자마다 직접 풀어 봐야 하는 이유다.

보정 손잡이의 민감도

전체 모델로도 Ion 0.715 mA/µm는 실제 45 nm 소자(약 1 mA/µm 이상)보다 낮다. 드리프트-확산이 속도 과도와 응력 효과를 놓치기 때문이다(14장). 실무에서는 이동도 모델의 매개변수를 측정에 맞춰 보정한다. 엔진은 전자 저전계 이동도와 포화 속도에 곱하는 배수 muScale, vsatScale을 제공한다. 둘 중 어느 손잡이가 Ion을 더 잘 움직이는지 본다.

SIMULATOR

보정 손잡이: muScale·vsatScale에 대한 Ion 민감도

muScalevsatScalenormal 격자 검증값(빈 점)

배수

Ion (coarse)—

ΔIon—

민감도 ∂lnI/∂lnS—

뉴턴 반복—

해볼 것: ① 곡선 풀기를 누른다. 두 곡선 모두 기울기가 1보다 훨씬 작다. 이동도를 40% 올려도 Ion은 약 14%만 오른다. ② vsatScale 쪽 곡선이 더 가파르다. 짧은 채널의 전류는 저전계 이동도보다 포화 속도에 더 민감하다. ③ 배수를 0.6으로 내려 본다. 줄이는 쪽이 늘리는 쪽보다 민감도가 크다(직렬 저항과 포화의 비중이 바뀐다). (coarse 격자에서 바로 앞 해를 초기값으로 한 점씩 다시 푼다. 정공 이동도는 바꾸지 않는다.)

normal 격자에서 muScale 1.2/1.4는 Ion을 +8/+14%, vsatScale 1.2/1.4는 +11/+20% 바꾼다(coarse도 같은 경향이다). 어느 손잡이든 민감도가 0.4~0.6 정도라, Ion을 20% 맞추려면 매개변수를 40~50% 움직여야 한다. 이렇게 크게 움직인 매개변수는 더 이상 "물리 상수"가 아니라 이 모델이 놓친 물리(속도 과도, 응력, 양자 효과)를 흡수하는 보정 상수다. 그래서 보정은 한 측정(Ion)만이 아니라 여러 측정(선형 영역 Id, 게이트 길이 의존, 온도 의존)에 동시에 맞춰야 의미가 있다. 이것이 16장의 주제다.

기본값을 믿어도 되는가 상용 TCAD의 이동도·재결합 매개변수 기본값은 대개 수십 년 전 벌크 실리콘 측정에 맞춘 것이다. 변형 실리콘, 고유전율/금속 게이트, 극도로 얇은 채널, 새 재료에서는 맞지 않는다. 기본값으로 얻은 숫자는 "경향"으로 읽고, 절대값은 보정한 뒤에만 믿는다. 반대로 모델을 하나 끄거나 켤 때 결과가 크게 바뀐다면, 그 모델이 그 소자에서 결정적이라는 뜻이므로 매개변수를 가장 먼저 보정해야 할 곳이다.

TARGET TN-45타깃 파일 · 10장

이동도 모델이 켜짐 전류를 정한다

TN-45를 Vg = Vd = 1.0 V에서 이동도 모델만 바꿔 2D 드리프트-확산으로 풀었다. normal 격자(49×41)에서 Ion은 상수 25.5, 도핑 2.49, 도핑+표면 1.76, 도핑+포화 0.83, 전체 0.715 mA/µm다. 이 페이지에서 직접 푼 coarse 격자(29×26) 값은 풀기를 누르면 여기에 나온다. 상수 이동도는 물리적으로 불가능한 값(전체의 36배)을 내고, 속도 포화가 가장 큰 단일 효과(포화 없이 2.5배 과대)이며, 효과들은 곱해지지 않는다(표면 모델의 효과가 포화 전 −29%, 포화 후 −14%). 채널 중앙의 벌크 이동도는 약 140, 반전층 표면은 약 100 아래, 드레인 끝은 속도 포화로 20 아래다.

이 장에서 정한 것기본 이동도 모델은 "전체"(CT 도핑 + Lombardi 표면 + Canali 포화, 구동력 ∇φn). 재결합은 켜짐 전류에 거의 무관하므로 2D에서는 생략하고 접합 누설만 따로 본다.

아직 남은 문제Ion 0.715 mA/µm는 실제 45 nm급보다 낮다. muScale·vsatScale을 40% 올려도 +14~20%에 그친다. 게이트 스택의 전기적 두께도 아직 모른다.

다음 단계11장에서 게이트 스택의 C-V를 풀어 EOT 1.2 nm의 전기적 두께(CET)를 구한다.

핵심 정리

드리프트-확산 방정식은 어느 소자나 같고, 이동도 $\mu$와 재결합률 $R$은 국소 변수의 함수로 골라 끼우는 물리 모델이다. 모델이 미지수에 의존하면 뉴턴 야코비안에 그 미분이 들어가야 한다.
저전계 이동도는 격자 산란($T$에 따라 감소)과 이온화 불순물 산란($N$에 따라 감소)의 마티센 합이다. Caughey-Thomas는 $\mu_{\max}$~$\mu_{\min}$ 사이의 경험식이고, Masetti는 10²⁰ 이상에서 한 번 더 떨어뜨린다. TN-45 채널(5×10¹⁸)의 전자 벌크 이동도는 약 140 cm²/V·s다.
반전층 이동도는 수직 전계에 따라 음향 포논($E_\perp^{-1/3}$)과 표면 거칠기($E_\perp^{-2}$)로 떨어진다(Lombardi). 측정은 유효 전계 $E_{\mathrm{eff}} = (Q_{\mathrm{dep}} + \eta Q_{\mathrm{inv}})/\varepsilon_{\mathrm{Si}}$에 대한 보편 곡선으로 정리한다.
10⁴ V/cm를 넘으면 속도가 vsat ≈ 10⁷ cm/s로 포화한다(Canali). 구동력은 평형에서 0이 되는 $|\nabla\phi_n|$이 안전하다. 짧은 채널에서 상수 이동도는 속도를 수십 배 과대 예측한다.
SRH 재결합은 갭 중앙 트랩이 가장 효율적이고, 공핍 영역 생성(누설)과 저전압 이상 계수 약 2를 만든다. 오제는 $N^2$에 반비례하는 수명으로 고농도·고주입에서 지배하는 고유 한계이고, 실리콘의 복사 재결합은 무시할 만하다. 표면 재결합은 경계 조건 $S$로 들어간다.
TN-45의 Ion은 상수 25.5 → 도핑 2.49 → 표면 1.76 / 포화 0.83 → 전체 0.715 mA/µm로, 모델 선택만으로 36배 달라진다. 효과는 곱해지지 않으며, 보정 손잡이(muScale·vsatScale)의 민감도는 0.4~0.6이다.

확인 퀴즈

도핑 10¹⁸ cm⁻³인 실리콘에서 격자 산란만의 이동도가 1400, 이온화 불순물 산란만의 이동도가 350 cm²/V·s라면 마티센 규칙에 따른 이동도는?

$1/\mu = 1/1400 + 1/350 = 5/1400$이므로 $\mu = 280$. 산란률이 더해지므로 이동도는 역수로 더해지고, 결과는 가장 작은 성분보다도 작다. 작은 쪽(불순물 산란)이 합을 지배한다.

MOSFET의 게이트 전압을 올렸더니 반전 전하는 늘었는데 유효 이동도는 줄었다. 높은 게이트 전압에서 이동도 감소를 주로 일으키는 기구는?

게이트 전압이 오르면 $Q_{\mathrm{inv}}$가 커져 $E_{\mathrm{eff}}$가 오르고, 전자가 계면에 더 붙어 표면 거칠기 산란($\propto E_\perp^{-2}$)이 지배한다. 속도 포화는 수직이 아니라 가로(드레인 방향) 전계의 효과이고, 반전 전하가 늘면 쿨롱 산란은 오히려 차폐되어 약해진다.

역방향 바이어스된 접합의 공핍 영역 생성 전류를 키우는 트랩은 어디에 있는 것인가?

공핍 영역에서 $n, p \ll n_i$이면 $|U| \approx n_i^2/(\tau_p n_1 + \tau_n p_1)$이다. $n_1 + p_1$은 $E_t = E_i$ 근처에서 최소이므로 생성률은 갭 중앙 트랩에서 가장 크고, 밴드 쪽으로 $e^{-|E_t - E_i|/kT}$로 줄어든다.

TN-45를 2D로 풀 때 "도핑" 이동도 모델에 표면 모델을 더하면 Ion이 29% 줄고, "도핑 + 속도 포화" 모델에 표면 모델을 더하면 14%만 준다. 그 이유로 가장 알맞은 것은?

Canali 식에서 $\mu_0 F \gg v_{\mathrm{sat}}$이면 $v \to v_{\mathrm{sat}}$으로 $\mu_0$에 무관해진다. 드레인 쪽 채널이 포화되어 있으면 $\mu_0$을 깎는 표면 모델의 영향이 줄어든다. 모델의 효과는 곱셈으로 쌓이지 않으므로 소자마다 직접 풀어 봐야 한다.