Chapter 03

기본 방정식: 포아송과 연속 방정식

2장에서는 전위 $\psi$와 준 페르미 준위가 주어지면 한 점의 전자·정공 농도를 계산하는 법을 익혔다. 그런데 전위는 누가 정하는가. 전위는 전하가 정하고, 전하는 다시 전위가 정한다. 여기에 전류가 흐르면 캐리어가 옮겨 다니며 전하 분포가 바뀐다. 이 되먹임을 세 개의 편미분 방정식으로 적은 것이 드리프트-확산 모델이고, 상용 TCAD가 소자 하나를 풀 때 격자점마다 맞추는 식도 바로 이 세 개다. 이 장은 그 세 식과, 식이 끝나는 자리인 전극과 표면의 경계 조건을 하나씩 만져 본다.

포아송 방정식을 가우스 법칙으로 읽고, 전하 $\rho = q(p - n + N_D^+ - N_A^-)$가 전계와 전위를 어떻게 만드는지 적분으로 따라간다.
전자·정공 연속 방정식을 "상자에 들어오고 나가는 플럭스 + 생성 − 재결합"으로 설명한다.
드리프트와 확산 전류, 아인슈타인 관계, 준 페르미 준위의 기울기를 구동력으로 보는 관점을 연결한다. 평형에서 두 전류가 왜 거대하면서도 정확히 상쇄되는지 수치로 확인한다.
디바이 길이가 격자 간격의 기준이 되는 이유와, 방정식을 $V_t$·$n_i$·길이로 정규화하는 이유를 말한다.
오믹·쇼트키·게이트 접촉, 절연막 계면, 인공(노이만) 경계를 구분해 TN-45의 네 전극에 붙인다.

세 방정식, 세 미지수

반도체 소자 안의 정전기와 전하 수송을 고전적으로 기술하는 가장 단순한 완결된 모델이 드리프트-확산 모델(Drift-diffusion model)이다. 미지수는 세 개의 장(field)이다. 정전 전위 $\psi(\mathbf r)$, 전자 농도 $n(\mathbf r)$, 정공 농도 $p(\mathbf r)$. 이 셋을 묶는 식도 세 개다.

$$\begin{aligned} \nabla\cdot(\varepsilon\nabla\psi) &= -q\,(p - n + N_D^+ - N_A^-) && \text{(포아송)}\\ \frac{\partial n}{\partial t} &= \frac{1}{q}\nabla\cdot\mathbf J_n + G - R && \text{(전자 연속)}\\ \frac{\partial p}{\partial t} &= -\frac{1}{q}\nabla\cdot\mathbf J_p + G - R && \text{(정공 연속)} \end{aligned}$$

$\varepsilon$: 유전율(실리콘 11.7ε₀, SiO₂ 3.9ε₀), $N_D^+, N_A^-$: 이온화된 도너·억셉터, $\mathbf J_n, \mathbf J_p$: 전자·정공 전류 밀도(A/cm²), $G, R$: 생성·재결합률(cm⁻³s⁻¹)

전류 밀도는 드리프트와 확산의 합으로 닫힌다(이 장의 4절). 포아송 방정식은 $n, p$를 통해 연속 방정식과 엮이고, 연속 방정식은 전계 $\mathbf E = -\nabla\psi$를 통해 포아송 방정식과 엮인다. 그래서 셋을 따로따로 풀 수 없고, 한꺼번에 맞춰야 한다. 아래 그림이 이 결합의 지도다.

드리프트-확산 모델의 결합 구조. 전하가 전위를 정하고(포아송), 전위가 전류를 정하며(드리프트), 전류의 발산이 다시 전하를 바꾼다(연속). 경계 조건이 빠지면 해는 하나로 정해지지 않는다.

TCAD 흐름에서 이 장은 물리 모델 단계의 뼈대다. 공정 모사가 만든 도핑 $N_D - N_A$와 격자(4장)가 이 식의 입력이고, 이 식을 비선형 연립 방정식으로 바꿔 뉴턴 반복으로 푸는 것이 5장이다. 이동도 $\mu$와 재결합 $R$을 어떻게 고르느냐는 10장의 주제다.

포아송 방정식: 전하가 전위를 만든다

포아송 방정식은 가우스 법칙 $\nabla\cdot\mathbf D = \rho$에 $\mathbf D = \varepsilon\mathbf E$, $\mathbf E = -\nabla\psi$를 넣은 것이다. 1차원에서는 적분 두 번으로 풀린다. 전하를 한 번 적분하면 전계, 전계를 한 번 더 적분하면 전위다.

$$E(x) = E(x_0) + \frac{1}{\varepsilon}\int_{x_0}^{x}\rho(x')\,dx', \qquad \psi(x) = \psi(x_0) - \int_{x_0}^{x}E(x')\,dx'$$

적분 상수 $E(x_0)$, $\psi(x_0)$를 정하는 것이 경계 조건이다. 1차원 2계 방정식이므로 양 끝에서 두 개의 조건이 필요하다.

아래 시뮬레이터에서 전하 덩어리(두께 24 nm)를 좌우로 끌어 본다. 위가 전하 밀도, 가운데가 전계, 아래가 전위다. 경계 조건은 두 가지 중에서 고른다. "왼쪽 고정"은 왼쪽 끝에서 $E = 0$, $\psi = 0$으로 두고 오른쪽으로 적분한다. "양 끝 접지"는 두 끝을 모두 $\psi = 0$인 전극에 묶는다.

SIMULATOR

가우스 법칙: 전하 덩어리 → 전계 → 전위

덩어리를 끌어서 옮긴다

양전하 밀도 음전하 밀도

알짜 면전하—

오른쪽 끝 전계—

최대 |E|—

ψ(오른쪽) − ψ(왼쪽)—

해볼 것: ① 양전하와 음전하를 같게 두고 "왼쪽 고정"에서 오른쪽 끝 전계가 0이 되는지 본다. 전하 중성인 덩어리 바깥에는 전계가 없다. ② 음전하만 0으로 줄인다. 알짜 전하가 남으면 전계가 계속 남고 전위는 직선으로 끝없이 내려간다. ③ "양 끝 접지"로 바꾸면 같은 전하에도 전계 전체가 한 덩어리만큼 위아래로 밀린다. 적분 상수를 경계가 정한다는 뜻이다. (전하는 고정된 이온만, 캐리어 응답 없음)

두 가지를 기억해 두자. 첫째, 전하가 전체적으로 중성이면 덩어리 바깥의 전계는 0이다. 실제 소자의 중성 영역이 그렇다. 둘째, 균일한 $10^{18}$ cm⁻³ 전하가 24 nm 두께로 놓인 한쪽 경계 $E=0$ 슬랩은 면전하가 $2.4\times10^{12}$ cm⁻²이고, 내부 최대 전계는 약 0.37 MV/cm, 내부 전위 강하는 약 0.45 V다. 경계조건과 폭을 지정해야 슬랩의 내부 전계·전압을 정할 수 있다. 반도체 안에서 이온화된 도펀트가 그대로 드러나는 곳은 그래서 얇다. 캐리어가 그 전하를 가려 버리기 때문이다.

캐리어가 전하를 가린다: 비선형 포아송

위 시뮬레이터의 전하는 고정되어 있었다. 실제 반도체에서는 전하의 일부인 $n$과 $p$가 전위에 따라 지수적으로 변한다(2장의 볼츠만 관계).

$$n = n_i\,e^{(\psi - \phi_n)/V_t}, \qquad p = n_i\,e^{(\phi_p - \psi)/V_t}, \qquad V_t = \frac{kT}{q} \approx 25.85\ \text{mV (300 K)}$$

$\psi$: 진성 준위를 기준으로 한 정전 전위, $\phi_n, \phi_p$: 전자·정공 준 페르미 전위(평형에서 $\phi_n = \phi_p = 0$), $n_i$: 진성 농도(이 책의 엔진은 300 K에서 1.0×10¹⁰ cm⁻³)

이것을 포아송 방정식에 넣으면 $\psi$에 대한 비선형 방정식이 된다. 그래서 적분 두 번으로 끝나지 않고 반복해서 풀어야 한다. 아래는 엔진(TC.poisson1d)이 계단형 pn 접합의 평형 포아송 방정식을 뉴턴 반복으로 푼 결과다. 점선은 교과서의 공핍 근사(Depletion approximation)다.

SIMULATOR

평형 pn 접합: 비선형 포아송 대 공핍 근사

p쪽 Na n쪽 Nd

수치해(뉴턴)공핍 근사

내부 전위 Vbi 수치/해석—

최대 전계 수치/근사—

공핍 폭 W—

뉴턴 반복—

해볼 것: ① 10¹⁷/10¹⁷에서 수치 Vbi가 해석식 $V_t\ln(N_AN_D/n_i^2)$와 0.1 mV 안에서 같은 것을 확인한다. ② 공핍 영역 가장자리에서 실선 전하가 점선처럼 계단으로 끊기지 않고 몇 nm에 걸쳐 둥글게 바뀐다. 이 꼬리 때문에 최대 전계가 공핍 근사보다 몇 % 작다. ③ 한쪽을 10¹⁹ 이상으로 올리면 고농도 쪽 다수 캐리어 꼬리가 접합으로 스며들어 수치 전계가 근사보다 오히려 커진다. (볼츠만 통계, 완전 이온화, 300 K)

공핍 근사는 "공핍 영역 안에는 캐리어가 하나도 없고 바깥은 완전 중성"이라고 가정한다. 수치해는 그런 가정을 하지 않는다. 경계에서 캐리어 농도가 몇 $V_t$에 걸쳐 지수적으로 바뀌는 그 전이 폭이 다음 절에서 다룰 디바이 길이의 규모다.

연속 방정식: 상자의 회계

연속 방정식은 입자 수 보존이다. 작은 상자 하나를 생각하면, 상자 안의 전자 수가 변하는 속도는 (들어온 전자 − 나간 전자) + (생성) − (재결합)이다. 전자의 입자 플럭스는 $-\mathbf J_n/q$이므로(전자는 음전하) 다음과 같다.

$$\frac{\partial n}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(-\frac{\mathbf J_n}{q}\right) + G - R \;\;\xrightarrow{\text{상자 } \Delta x}\;\; \frac{dn_i}{dt} = \frac{F_{i-1/2} - F_{i+1/2}}{\Delta x} + G_i - R_i$$

$F$: 상자 면을 지나는 입자 플럭스(cm⁻²s⁻¹, +x 방향 양수). 이 "상자 단위 회계"가 그대로 TCAD의 유한 체적(박스) 이산화다(4장).

아래는 p형 실리콘 막대(Na 10¹⁶ cm⁻³, 길이 200 µm)에 빛을 쬐어 과잉 전자 $\Delta n$을 만드는 1D 확산-재결합 문제를 실제로 시간 적분한다. 왼쪽 끝은 접촉($\Delta n = 0$), 오른쪽 끝은 반사 경계다. 위쪽 막대의 칸 하나가 "상자"이고, 강조된 상자를 끌어서 옮길 수 있다. 빛(삼각형)도 끌어서 옮긴다.

SIMULATOR

연속 방정식 상자: 플럭스 + 생성 − 재결합 = dn/dt

상자·빛을 끈다

수명 τ 시간 간격 Δt

시간—

들어옴 − 나감—

G − R—

dn/dt—

확산 길이 L = √(Dτ)—

해볼 것: ① 빛 바로 밑의 상자를 고르면 생성이 크고 플럭스는 빠져나간다(들어옴 − 나감 < 0). 정상 상태에서는 세 항의 합이 0이 된다. ② 빛을 끄면 G가 사라지고 $\Delta n$이 τ 정도의 시간에 줄어든다. τ를 키우면 분포가 넓어진다($L=\sqrt{D\tau}$). ③ "양해법"을 고르면 Δt가 $h^2/2D \approx 1$ ns보다 클 때 해가 톱니처럼 진동하며 폭발한다. Δt를 1 ns 아래로 내리면 살아난다. (소수 캐리어 확산만, 전계 없음, 저준위 주입, Dn ≈ 31 cm²/s)

어느 상자를 골라도 $\text{들어옴} - \text{나감} + G - R = dn/dt$가 반올림 오차 안에서 맞는다. 유한 체적 이산화는 이 회계가 상자마다 정확히 맞도록 짜인 방법이다. 한 상자가 내보낸 플럭스는 옆 상자가 그대로 받으므로 전체 입자 수도 정확히 보존된다. 양해법의 폭발은 연속 방정식의 잘못이 아니라 시간 적분의 안정성 문제다. 이 이야기는 15장에서 다시 나온다.

드리프트-확산 전류와 아인슈타인 관계

연속 방정식은 전류가 무엇인지 알려 주지 않는다. 드리프트-확산 모델은 전류를 두 항으로 닫는다. 전계에 끌려가는 드리프트(Drift)와 농도 기울기를 따라 퍼지는 확산(Diffusion)이다.

$$\mathbf J_n = q\mu_n n\,\mathbf E + qD_n\nabla n, \qquad \mathbf J_p = q\mu_p p\,\mathbf E - qD_p\nabla p, \qquad D = \mu\,\frac{kT}{q}$$

$\mu_n, \mu_p$: 이동도(cm²/V·s, 10¹⁷ cm⁻³ 전자 약 800), $D_n, D_p$: 확산 계수(cm²/s). 마지막 식이 아인슈타인 관계(Einstein relation)다. 비축퇴 반도체의 열평형에서 성립한다.

아인슈타인 관계는 우연이 아니다. 평형에서는 어디서나 알짜 전류가 0이어야 하고, 볼츠만 분포 $n \propto e^{\psi/V_t}$에서 $\nabla n = (n/V_t)\nabla\psi = -(n/V_t)\mathbf E$이므로 드리프트와 확산이 상쇄되려면 $D/\mu = V_t$여야 한다. 그런데 "상쇄"되는 두 항 하나하나는 얼마나 클까. 아래에서 평형 pn 접합의 전자 전류 두 성분을 직접 계산해 본다.

SIMULATOR

평형 접합의 드리프트와 확산: 거대한 두 항의 상쇄

도핑 Na = Nd 격자점 수

드리프트 qμnE확산 qD dn/dx합(이산화한 전류)

최대 |드리프트|—

최대 |합|—

상쇄 정도 |합|/|드리프트|—

해볼 것: ① 10¹⁷에서 드리프트·확산 전류가 각각 10⁴ A/cm²를 넘는다. 순방향 0.6 V 다이오드 전류(약 0.5 A/cm², 아래 그래프의 점선)의 수만 배다. ② "단순 차분"으로 바꾸고 격자점을 줄인다. 평형인데도 수십~수천 A/cm²의 가짜 전류가 생긴다. ③ "샤페터-거멜"은 격자를 아무리 성기게 해도 평형 전류가 반올림 잡음 수준이다. (평형 포아송 해 위에서 전류만 계산, 상수 이동도 TC.mobCT(N))

평형 접합 안에서 드리프트와 확산은 각각 10⁴~10⁵ A/cm²이고, 둘의 차이는 0이다. 순방향 바이어스로 흐르는 전류는 이 거대한 두 항 사이의 아주 작은 불균형이다. 그러니 두 항을 따로 근사하면 근사 오차가 실제 전류보다 쉽게 커진다. 그래서 TCAD는 전류를 두 항으로 나눠 이산화하지 않고, 두 노드 사이에서 지수 함수 해를 정확히 쓰는 샤페터-거멜 이산화(Scharfetter–Gummel)를 쓴다.

$$J_{n,i+\frac12} = \frac{qD_n}{h}\Big[n_{i+1}B(\Delta_i) - n_iB(-\Delta_i)\Big], \qquad \Delta_i = \frac{\psi_{i+1} - \psi_i}{V_t}, \qquad B(x) = \frac{x}{e^x - 1}$$

$B$: 베르누이 함수. 볼츠만 평형 $n_{i+1}/n_i = e^{\Delta_i}$를 넣으면 괄호가 정확히 0이 된다. 유도와 뉴턴 야코비안은 5장에서 다룬다.

준 페르미 준위: 하나의 구동력

드리프트와 확산을 합쳐 쓰면 더 간단한 그림이 나온다. 볼츠만 관계 $n = n_ie^{(\psi-\phi_n)/V_t}$를 미분해 전류식에 넣으면 두 항이 하나로 합쳐진다.

$$\mathbf J_n = -q\mu_n n\,\nabla\phi_n = \mu_n n\,\nabla E_{Fn}, \qquad \mathbf J_p = -q\mu_p p\,\nabla\phi_p = \mu_p p\,\nabla E_{Fp}$$

$E_{Fn} = -q\phi_n$, $E_{Fp} = -q\phi_p$: 전자·정공 준 페르미 준위. 전류는 준 페르미 준위의 기울기에 비례하고, 그 비례 계수가 전도도 $q\mu n$이다.

평형은 "페르미 준위가 평평하다"는 말과 같다. 바이어스를 걸면 준 페르미 준위가 기울고, 그 기울기가 전류의 구동력이다. 같은 전류를 흘리려면 캐리어가 많은 곳에서는 기울기가 작고, 캐리어가 적은 곳(소수 캐리어 쪽)에서는 기울기가 크다. 아래는 엔진의 드리프트-확산 풀이기(TC.dd1d, 뉴턴, SRH + 오제 재결합)로 pn 다이오드를 푼 결과다.

SIMULATOR

pn 다이오드의 준 페르미 준위와 전류

바이어스 Va

Ec, EvE_Fn, |Jn|E_Fp, |Jp|μn·n·dE_Fn/dx (점)

단자 전류 J—

접합에서 E_Fn − E_Fp—

뉴턴 반복—

해볼 것: ① Va = 0으로 두면 두 준 페르미 준위가 하나의 평평한 선으로 합쳐지고 전류는 0이다. ② 순방향에서 E_Fn은 n쪽에서는 거의 평평하다가 p쪽(전자가 소수 캐리어인 곳)에서 기울어 E_Fp와 만난다. 주황 점(μn·n·∇E_Fn)이 엔진의 전자 전류와 겹친다. ③ τ를 1 ns로 줄이면 재결합이 빨라져 준 페르미 준위가 접합 가까이에서 합쳐지고 전류가 커진다. (pn 10¹⁷/10¹⁷, 길이 2 µm, 볼츠만, 오른쪽 접지)

Jn + Jp는 어디서나 같은 단자 전류다(정상 상태에서 $\nabla\cdot(\mathbf J_n + \mathbf J_p) = 0$). 전자 전류가 줄어드는 만큼 재결합이 정공 전류로 넘겨 준다. 접합에서 $E_{Fn} - E_{Fp}$가 거의 $qV_a$인 것은 공핍 영역에서 준 페르미 준위가 거의 평평하다는 교과서 가정(쇼클리)을 수치해가 확인해 주는 것이다.

디바이 길이와 정규화

세 방정식에는 자연스러운 길이 하나가 숨어 있다. 중성 영역에서 전위를 $\delta\psi$만큼 건드리면 캐리어가 $\delta n \approx N\delta\psi/V_t$만큼 응답해 그 교란을 가린다. 포아송 방정식은 $\delta\psi'' = \delta\psi/L_D^2$이 되고, 교란은 $e^{-x/L_D}$로 사라진다.

$$L_D = \sqrt{\frac{\varepsilon V_t}{qN}} \qquad\Rightarrow\qquad L_D \approx 41\ \text{nm}\ (10^{16}),\; 13\ \text{nm}\ (10^{17}),\; 4.1\ \text{nm}\ (10^{18}),\; 1.3\ \text{nm}\ (10^{19})$$

$L_D$: (외인성) 디바이 길이(Debye length). 도핑이 바뀌는 곳에서 캐리어 분포가 따라가지 못하고 뭉개지는 거리, 그리고 격자가 풀어내야 하는 가장 짧은 길이다.

도핑이 계단처럼 바뀌는 n⁺/n 고저 접합(10¹⁹ → N_low)을 엔진으로 풀어 본다. 도핑은 계단이지만 전자 농도는 저농도 쪽 $L_D$ 몇 개에 걸쳐 번진다. 두 번째 슬라이더로 균일 격자 간격을 $L_D$의 배수로 바꿔, 아주 촘촘한 기준해(점선)와 비교한다.

SIMULATOR

디바이 길이: 도핑 계단이 번지는 폭과 격자 간격

저농도 쪽 도핑 격자 간격 ÷ 디바이 길이

격자 해(점 = 격자점)기준해(촘촘한 격자)도핑

L_D(N_low)—

전자 번짐(n > 1.1 N_low)—

접합 경계의 n / 국소 L_D—

저농도 쪽 격자점 수—

최대 전위 오차—

해볼 것: ① N_low를 10¹⁴에서 10¹⁸로 올리면 번짐 폭이 $1/\sqrt N$로 줄어든다(늘 L_D의 약 3배). ② 균일 격자에서 h를 L_D의 0.2배로 잡아도 10¹⁵에서는 오차가 20 mV를 넘는다. 접합 바로 옆은 전자가 3×10¹⁸ cm⁻³까지 쌓여 있어서 그곳의 국소 디바이 길이(약 2 nm)가 진짜 기준이기 때문이다. ③ "접합 쪽 촘촘"으로 바꾸면 첫 간격을 국소 L_D/3로 두고 1.3배씩 키운다. 격자점 수십 개로 오차가 0.5 mV 아래로 떨어진다. (평형, 볼츠만, 고농도 쪽 10¹⁹ 고정, 고농도 쪽 격자는 고정)

이 실험이 격자 규칙 하나를 준다. 전위나 캐리어가 크게 바뀌는 곳(접합, 계면)의 격자 간격은 그곳의 국소 디바이 길이, 즉 그 자리의 실제 캐리어 농도로 계산한 $L_D$보다 작아야 한다. 멀리 떨어진 중성 영역은 성기게 둬도 되므로 기하급수로 키우는 격자가 효율적이다. TN-45의 채널은 5×10¹⁸ cm⁻³ 근처라 $L_D \approx 1.8$ nm이고, 반전층은 이보다도 얇다. 그래서 실리콘 표면의 첫 간격을 0.4 nm로 시작한다(4장).

왜 정규화하는가

cgs 단위로 쓴 드리프트-확산 방정식의 수들은 크기가 극단적으로 다르다. 전하 $q = 1.6\times10^{-19}$ C, 격자 간격 10⁻⁷ cm, 다수 캐리어 10²⁰ cm⁻³, 같은 소자 안의 소수 캐리어 1 cm⁻³. 한 행렬 안에 40자리에 걸친 수가 섞이면 배정밀도(유효 숫자 약 16자리)로도 정보가 사라진다. 그래서 대부분의 풀이기는 방정식을 정규화한다(드 마리 스케일링(De Mari scaling)).

$$\psi' = \frac{\psi}{V_t},\quad n' = \frac{n}{n_i},\quad x' = \frac{x}{L},\qquad \lambda^2\,\nabla'^2\psi' = n' - p' - C',\quad \lambda^2 = \frac{\varepsilon V_t}{q n_i L^2} = \Big(\frac{L_{Di}}{L}\Big)^2$$

$L_{Di}$: 진성 디바이 길이(n_i = 10¹⁰에서 약 41 µm), $C' = (N_D - N_A)/n_i$. 정규화하면 상수들이 사라지고 전위는 0~40 정도의 수가 된다. 그래도 $n'$은 10⁻¹⁰~10¹⁰에 걸친다. 그래서 $n, p$ 대신 지수 꼴의 변수(준 페르미 전위, 슬롯붐 변수)를 쓰기도 한다.

SIMULATOR

40자리의 수: 원 단위와 정규화 단위

다수 캐리어 도핑 N

값의 범위—

소수 캐리어 p = n_i²/N—

배정밀도 (N + p) − N—

해볼 것: ① 원 단위에서 값의 범위가 약 40자리임을 본다. 정규화하면 20자리 남짓으로 줄지만 캐리어 비율은 그대로 남는다. ② N을 10¹⁸ 이상으로 올리면 배정밀도로 계산한 $(N + p) - N$이 참값 p와 달라지고, 10²⁰ 근처에서는 0이 된다. 전하 $p - n + N$을 한 줄로 더하면 소수 캐리어가 반올림에 묻힌다. ③ 그래서 엔진은 전하를 노드마다 $\rho = q(p - n + N)$으로 계산하되 미지수는 $\psi$와 로그 꼴 캐리어로 다룬다. (300 K, n_i = 10¹⁰ cm⁻³)

정규화는 물리를 바꾸지 않는다. 같은 방정식을 컴퓨터가 다루기 좋은 크기로 옮겨 적을 뿐이다. 그러나 정규화만으로는 캐리어 농도의 거대한 동적 범위가 사라지지 않는다는 점, 그리고 그 범위가 공핍 영역의 소수 캐리어처럼 중요한 정보를 품고 있다는 점이 수치 해법(5장)의 설계를 좌우한다.

경계 조건: 방정식이 끝나는 곳

계산 영역의 둘레는 세 종류다. 전압을 거는 전극, 실리콘과 절연막이 만나는 계면, 그리고 계산을 위해 잘라 낸 인공 경계다. 미분 방정식은 같아도 경계 조건이 달라지면 해가 완전히 달라진다. 아래 표가 드리프트-확산 모델의 표준 경계 조건이다.

경계	전위 ψ	캐리어	쓰는 곳
오믹 접촉	$V_a + V_t\,\mathrm{asinh}\frac{N_D - N_A}{2n_i}$	전하 중성 + 평형: $np = n_i^2$, $\phi_n = \phi_p = V_a$	소스·드레인·기판, 다결정 게이트 위
쇼트키 접촉	$V_a + V_t\ln\frac{N_c}{n_i} - \Phi_B$	열전자 방출: $J_n = q v_n (n - n_0)$, $n_0 = N_c e^{-\Phi_B/V_t}$	금속-반도체 접합, 실리사이드 접촉 모형
게이트 접촉	$V_g - \big(\Phi_M - \chi - \frac{E_c - E_i}{q}\big)$	없음(절연막 위)	금속 게이트
절연막 계면	$\psi$ 연속, $\varepsilon_{Si}E_{Si} - \varepsilon_{ox}E_{ox} = qQ_f$	법선 전류 0(+ 표면 재결합)	Si/SiO₂, 스페이서 밑
인공 경계	$\partial\psi/\partial n = 0$	$\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf J_n = \hat{\mathbf n}\cdot\mathbf J_p = 0$	계산 영역의 옆면, 대칭면

오믹 접촉은 "금속과 맞닿은 반도체는 언제나 전하 중성이고 평형에 있다"는 이상화다. 캐리어 재결합 속도가 무한대라서 과잉 캐리어가 즉시 사라진다고 본다. 쇼트키 접촉은 금속-반도체 장벽 $\Phi_B$가 접촉에서 전도대 위치를 고정한다. 바이어스를 걸면 열전자 방출 재결합 속도 $v_n = A^*T^2/(qN_c)$로 과잉 전자를 받아들인다(실리콘에서 약 10⁶~10⁷ cm/s). 인공 경계는 물리적인 벽이 아니라 계산을 멈춘 자리다. 법선 방향 전계와 전류를 0으로 두는 것은 "이 너머도 똑같이 계속된다(대칭)"는 가정이다. 그래서 인공 경계는 소자의 활동 영역에서 충분히 멀어야 한다.

SIMULATOR

경계 조건 탐색기: n형 막대의 왼쪽 끝

도핑 Nd 장벽 높이 ΦB

Ec, EvEiEf / np

경계의 ψ—

경계의 n—

공핍 폭 수치/해석—

열전자 재결합 속도 v_n—

해볼 것: ① 오믹과 노이만은 평형에서 같은 해(평평한 띠)를 준다. 차이는 전류가 흐를 때 드러난다. 오믹은 캐리어를 주고받고 노이만은 막는다. ② 쇼트키에서 Φ_B를 올리면 공핍 폭이 $\sqrt{\Phi_B}$ 꼴로 늘고, 도핑을 올리면 $1/\sqrt{N_d}$로 준다. ③ Φ_B를 $E_c - E_f$(10¹⁸에서 약 0.09 eV)보다 낮게 내리면 축적이 되어 사실상 오믹이 된다. 도핑을 10¹⁸ 이상으로 올리면 공핍 폭이 수 nm라서 터널링으로 전류가 흐른다. 실리사이드 오믹 접촉의 원리다(이 모델에는 터널링이 없다). (평형, 오른쪽 끝 오믹, 상상 경계: 이미지력 장벽 낮춤 없음)

오믹 경계는 전위를 "접촉의 도핑으로 정해지는 중성 전위"에 고정하고, 쇼트키 경계는 "금속의 장벽으로 정해지는 전위"에 고정한다. 둘 다 수학적으로는 디리클레 조건이다. 노이만 조건은 전위를 고정하지 않고 기울기만 고정한다. 평형에서 n형 막대가 평평한 것은 경계가 아니라 오른쪽 오믹 접촉이 전위를 붙잡고 있기 때문이다. 영역의 둘레가 모두 노이만이면 포아송 방정식의 해는 상수만큼 정해지지 않는다. 그래서 모든 소자 시뮬레이션에는 전위를 붙잡는 접촉이 적어도 하나 있어야 한다.

게이트와 절연막 계면

게이트는 반도체에 직접 닿지 않는다. 산화막이 사이에 있으므로 게이트 접촉의 경계 조건은 산화막 바깥에 붙고, 반도체 표면의 전위는 산화막을 지나는 포아송 방정식이 정한다. 금속 게이트에서는 일함수 차이 $\Phi_{MS}$가 바이어스 0에서도 전위 차를 만든다. 다결정 실리콘 게이트는 반도체이므로 그 안에서도 포아송 방정식을 풀고 위쪽에 오믹 접촉을 둔다. 그러면 게이트 공핍이 저절로 나온다(11장).

산화막 안에는 캐리어가 없으므로 $\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\psi) = 0$만 푼다. 계면에서 전위는 연속이고, 전속 밀도 $D = \varepsilon E$는 계면 전하만큼 뛴다. 유전율이 3배 차이 나므로 계면 전하가 없어도 전계는 3배 뛴다.

$$\psi(0^-) = \psi(0^+), \qquad \varepsilon_{Si}E_{Si}(0^+) - \varepsilon_{ox}E_{ox}(0^-) = qQ_f$$

$E$: 실리콘 쪽(+x)을 향하는 전계, $Q_f$: 계면의 고정 전하 면밀도(cm⁻²). 계면 트랩 $D_{it}$이 있으면 $Q_f$가 전위에 따라 바뀐다.

SIMULATOR

게이트 경계: 일함수, 산화막, 계면 전하

게이트 전압 Vg 계면 고정 전하 Qf

Ec, Ev게이트·실리콘 Ef전속 밀도 D = εE

평탄대 전압 Vfb—

표면 띠 휨 ψs − ψbulk—

E_ox / E_Si(0⁺)—

D 도약 / qQ_f—

해볼 것: ① Vg = 0, n⁺ poly에서도 띠가 휘어 있다. 일함수 차이 Φ_MS가 약 −1 V라서다. p⁺ poly로 바꾸면 Vfb가 약 1.1 V 올라간다. ② Q_f를 바꾸면 계면에서 D가 qQ_f만큼 뛰고 Vfb가 $-qQ_f/C_{ox}$만큼 움직인다. ③ Q_f = 0에서도 E_ox/E_Si ≈ 11.7/3.9 = 3이다. (p형 3×10¹⁷ cm⁻³, tox 3 nm, 이상 게이트(다결정 공핍 없음), 저주파 평형, 엔진 TC.moscap)

게이트 경계 조건이 표면 전위를 직접 고정하지 않는다는 점이 MOS 구조의 핵심이다. 게이트 전압은 산화막 용량과 실리콘 공핍·반전 전하가 나눠 갖는다. 그 분배를 푸는 것이 바로 포아송 방정식이고, 계면 전하는 그 분배에 일정한 몫을 더한다.

TN-45의 수직 단면과 네 전극

이제 이 장의 도구를 TN-45에 붙인다. TN-45에는 전극이 네 개다. 게이트(n⁺ 다결정 위 오믹), 소스·드레인(실리사이드 오믹), 기판(바닥 오믹). 나머지 둘레, 계산 영역의 왼쪽·오른쪽 옆면은 노이만 인공 경계다. 게이트 산화막과 스페이서 밑은 절연막 계면이다.

먼저 게이트 중앙(x = 0)을 지나는 수직 단면을 1D로 푼다. 위에서부터 n⁺ 다결정(2×10²⁰ cm⁻³) 40 nm, SiO₂ 1.2 nm, 그리고 채널 도핑 프로파일(TC.tn45Doping(0, y): 표면 1.8×10¹⁸, 깊이 10 nm에서 정점 7.9×10¹⁸)을 지나 깊이 150 nm의 기판 접촉까지다. 다결정 위 접촉에는 Vg를, 기판에는 0 V를 건다. 실리콘의 전자 준 페르미 전위는 0(소스가 전자를 공급한다고 본다)으로 둔다. "2D 평형 풀기"를 누르면 같은 Vg에서 2D 포아송(TC.poisson2d, normal 격자 49×41)을 풀어 x = 0 단면을 겹친다.

SIMULATOR

TN-45: 전극 경계 조건과 게이트 중앙 단면의 포아송 해

게이트 전압 Vg 2D 격자 겹쳐 보기

Ec, Ev (1D)Ef / npEc (2D 단면)

—

표면 전위 ψs 1D / 2D—

산화막 전계 E_ox—

공핍 깊이 / 다결정 공핍 강하—

표면 n—

뉴턴 반복 1D / 2D—

해볼 것: ① 전극 버튼을 하나씩 눌러 각 경계가 무엇을 고정하는지 읽는다. ② Vg를 0에서 1 V로 올린다. 표면 전자가 10¹⁸ cm⁻³을 넘어 반전되고, 다결정 쪽에도 공핍(강하 수십 mV)이 생긴다. ③ "2D 평형 풀기"로 2D 단면(점선)을 겹치면 Vg = 0에서 표면 전위가 1D보다 약 30 mV 높다. 소스·드레인이 45 nm 거리에서 채널 전위를 끌어올리는 2차원 효과이고, 짧은 채널 효과의 씨앗이다. (볼츠만, 양자 보정 없음, 2D는 전자 φn = 0, 정공 φp = 0)

TARGET TN-45타깃 파일 · 3장

게이트 중앙 단면의 평형 포아송 해와 네 전극의 경계 조건

게이트 중앙의 수직 단면(n⁺ poly 2×10²⁰ / SiO₂ 1.2 nm / 해석식 TN-45 채널 도핑)을 이 페이지에서 TC.poisson1d로 평형(Vg = 0) 풀이한 결과: 뉴턴 17회, 실리콘 표면 전위 ψs = 0.216 V(진성 준위 기준, 중성 기판의 ψ ≈ −0.46 V), 산화막 전계 3.0 MV/cm, 표면 공핍 깊이 약 12 nm, 다결정 안의 공핍 강하 39 mV. 바이어스 0인데도 표면이 이미 약반전 직전까지 휘어 있다(표면 n ≈ 4×10¹³ cm⁻³ > p). n⁺ 다결정과 p형 채널의 일함수 차이 때문이다. 같은 단면을 2D 포아송(normal 격자)에서 잘라 보면 ψs ≈ 0.245 V로 1D보다 약 30 mV 높다.

이 장에서 정한 것미지수 ψ, n, p와 세 방정식. 네 전극의 경계 조건: 게이트는 다결정 위 오믹(다결정 안에서 포아송, 게이트 공핍 포함), 소스·드레인은 실리사이드 아래 오믹(전하 중성 + 평형, φn = φp = 인가 전압), 기판은 바닥 오믹, 옆면은 노이만, Si/SiO₂ 계면은 D 연속(고정 전하 0).

아직 남은 문제2D에서 이 방정식을 얼마나 촘촘한 격자로 풀어야 문턱 전압이 믿을 만한가. 표면 디바이 길이가 약 2 nm이고 반전층은 그보다 얇다.

다음 단계4장에서 TN-45의 2D 격자를 만들고, 격자를 성기게 했을 때 문턱 전압이 얼마나 틀리는지 본다.

핵심 정리

드리프트-확산 모델은 미지수 ψ, n, p와 세 방정식(포아송, 전자·정공 연속)으로 이루어진다. 전하가 전위를, 전위가 전류를, 전류의 발산이 전하를 정하므로 셋을 함께 풀어야 한다.
포아송 방정식은 가우스 법칙이다. 전하를 적분하면 전계, 전계를 적분하면 전위가 되고, 적분 상수는 경계 조건이 정한다. 캐리어가 전위에 지수적으로 응답하므로 반도체의 포아송 방정식은 비선형이다.
연속 방정식은 상자마다 (들어옴 − 나감) + G − R = dn/dt인 입자 회계이고, 유한 체적 이산화는 이 회계를 상자마다 정확히 지킨다.
전류는 드리프트 qμnE와 확산 qD∇n의 합이고, 아인슈타인 관계 D = μkT/q로 둘은 준 페르미 준위의 기울기 하나로 합쳐진다. 평형 접합에서 두 항은 각각 10⁴ A/cm² 이상이면서 정확히 상쇄되므로 샤페터-거멜 이산화가 필요하다.
디바이 길이 $L_D = \sqrt{\varepsilon V_t/qN}$는 도핑 변화가 캐리어에 번지는 거리이고, 격자 간격의 기준이다. 원 단위의 수들은 40자리에 걸치므로 $V_t$, $n_i$, 길이로 정규화한다.
오믹 접촉은 전하 중성 + 평형, 쇼트키 접촉은 장벽 높이와 열전자 재결합 속도, 게이트 접촉은 산화막 바깥의 일함수 조건, 절연막 계면은 ψ 연속과 D 도약 = 계면 전하, 인공 경계는 법선 전계·전류 0이다.
TN-45 게이트 중앙 단면은 Vg = 0에서 이미 표면이 약 0.7 V 휘어 있고(일함수 차이), 2D 해는 소스·드레인의 영향으로 1D보다 표면 전위가 약 30 mV 높다.

확인 퀴즈

1. 평형 상태의 pn 접합 공핍 영역에서 전자의 드리프트 전류와 확산 전류는 어떤가?

공핍 영역의 캐리어는 적어도 0이 아니고 농도 기울기와 전계가 매우 크다. 두 항이 각각 거대하지만 평형(평평한 페르미 준위)에서는 합이 0이다. 단순 차분으로 두 항을 따로 근사하면 가짜 전류가 생기는 이유다.

2. 균일 도핑 10¹⁸ cm⁻³ 실리콘의 디바이 길이와 그 의미로 가장 알맞은 것은?

$L_D = \sqrt{\varepsilon V_t/qN}$에 11.7ε₀, 25.85 mV, 10¹⁸ cm⁻³을 넣으면 약 4.1 nm다. 41 µm는 n_i = 10¹⁰을 쓴 진성 디바이 길이로, 정규화의 길이 단위로 쓴다.

3. TCAD의 이상적인 오믹 접촉 경계 조건이 가정하는 것은?

오믹 접촉은 재결합 속도가 무한대인 이상화다. 과잉 캐리어가 즉시 사라지므로 접촉은 늘 평형이고, 전하 중성 조건이 ψ = Va + Vt·asinh(N/2n_i)를 준다. 두 번째는 노이만(인공 경계), 세 번째는 쇼트키 접촉이다.

4. Si/SiO₂ 계면에 양의 고정 전하 Q_f가 있다. 계면에서 성립하는 것은? (E는 실리콘 쪽을 향하는 전계)

가우스 법칙을 계면을 감싼 얇은 상자에 적용하면 전속 밀도 D = εE가 면전하만큼 뛴다. 전위는 연속이다(유한한 전계를 0 두께로 적분). Q_f = 0이어도 ε가 3배 다르므로 E 자체는 3배 뛴다.

경계	전위 ψ	캐리어	쓰는 곳
오믹 접촉	\(V_a + V_t\,\mathrm{asinh}\frac{N_D - N_A}{2n_i}\)	전하 중성 + 평형: \(np = n_i^2\), \(\phi_n = \phi_p = V_a\)	소스·드레인·기판, 다결정 게이트 위
쇼트키 접촉	\(V_a + V_t\ln\frac{N_c}{n_i} - \Phi_B\)	열전자 방출: \(J_n = q v_n (n - n_0)\), \(n_0 = N_c e^{-\Phi_B/V_t}\)	금속-반도체 접합, 실리사이드 접촉 모형
게이트 접촉	\(V_g - \big(\Phi_M - \chi - \frac{E_c - E_i}{q}\big)\)	없음(절연막 위)	금속 게이트
절연막 계면	\(\psi\) 연속, \(\varepsilon_{Si}E_{Si} - \varepsilon_{ox}E_{ox} = qQ_f\)	법선 전류 0(+ 표면 재결합)	Si/SiO₂, 스페이서 밑
인공 경계	\(\partial\psi/\partial n = 0\)	\(\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf J_n = \hat{\mathbf n}\cdot\mathbf J_p = 0\)	계산 영역의 옆면, 대칭면