Chapter 04

격자와 이산화

3장의 포아송 방정식과 연속 방정식은 공간의 모든 점에서 성립하는 미분 방정식이다. 컴퓨터는 무한히 많은 점을 다룰 수 없으므로, 소자 단면에 유한한 개수의 점을 뿌리고 방정식을 그 점들 사이의 대수 관계로 바꾼다. 이 장은 그 바꾸기, 곧 이산화(Discretization)를 다룬다. 점을 어디에 몇 개 두느냐가 답의 정확도와 계산 시간을 동시에 정한다. 그리고 점을 잘못 이으면 음의 전자 농도처럼 물리적으로 불가능한 답이 나온다.

3점 유한 차분을 테일러 전개로 유도하고, 오차가 간격의 제곱 $O(h^2)$으로 줄어드는 것을 수치로 확인한다.
비균일 격자에서 간격 비율이 왜 제한되는지, 정해진 점 개수를 어디에 써야 하는지 설명한다.
박스 적분(유한 체적)이 가우스 정리로 플럭스를 보존하는 이유와, 결합 계수 $d_{ij}/L_{ij}$의 기하학적 의미를 말한다.
들로네 삼각 분할과 보로노이 제어 체적을 만들고, 비들로네 변이 음의 결합 계수를 거쳐 음의 농도를 만드는 과정을 본다.
도핑 기울기·전위 변화로 격자를 세분하고, TN-45의 문턱 전압·켜짐 전류가 격자에 따라 얼마나 변하는지 수렴 시험을 한다.

연속 방정식에서 점의 방정식으로

평형 상태의 1D 포아송 방정식부터 시작한다. 전위 $\psi(x)$는 전하 밀도 $\rho(x)$와 다음 관계를 갖는다.

$$\frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{\rho(x)}{\varepsilon_s}$$

$\psi$: 정전 전위(V), $\rho$: 공간 전하 밀도(C/cm³), $\varepsilon_s$: 실리콘 유전율(11.7·ε₀)

구간 $[0, L]$에 간격 $h$로 점 $x_i = ih$를 놓는다. 이웃 점의 값 $\psi_{i\pm1}$을 $x_i$ 둘레에서 테일러 전개해 더하면 홀수 차수 항이 상쇄된다.

$$\frac{\psi_{i+1} - 2\psi_i + \psi_{i-1}}{h^2} = \psi''(x_i) + \frac{h^2}{12}\,\psi^{(4)}(x_i) + O(h^4)$$

왼쪽이 3점 스텐실(Three-point stencil)이다. 오른쪽 둘째 항이 절단 오차(Truncation error)이며 $h^2$에 비례한다.

모든 내부 점에서 $\psi''$을 이 차분으로 바꾸면 미분 방정식이 $N-2$개의 연립 일차 방정식이 된다. 각 식은 이웃 두 점만 보므로 행렬은 삼중 대각(Tridiagonal)이고, 토머스 알고리즘으로 $O(N)$에 풀린다. 오차가 $h^2$에 비례한다는 말은 점을 두 배로 늘리면 오차가 1/4로 줄어든다는 뜻이다. 다만 이것은 $h$가 해의 변화 길이보다 충분히 작을 때만 성립한다.

아래 시뮬레이터는 깊이 40 nm에 묻힌 얇은 도너 층(가우시안, 정점 10¹⁸ cm⁻³, 폭 σ)이 만드는 전위를 양 끝 전위 0 조건으로 푼다. 전하가 고정되어 있어 방정식이 선형이고, 해석해가 오차 함수로 정확히 나온다. 노드 수를 바꾸며 위 그림의 수치해(점)와 해석해(선)를 비교하고, 아래 그림의 로그-로그 오차 곡선에서 기울기를 읽는다. 아래 그림을 직접 끌어 간격을 고를 수도 있다.

SIMULATOR

3점 유한 차분: 간격을 반으로 줄이면 오차는 1/4

아래 그래프를 끌어 간격을 고른다

노드 수 N 도너 층 폭 σ

간격 h—

h / σ—

최대 오차—

h를 반으로 하면 오차 비—

해볼 것: ① σ = 8 nm에서 N을 11 → 21 → 41로 늘리며 오차 비가 약 4로 모이는지 본다. ② σ를 2 nm로 줄이고 N = 11로 둔다. 간격(10 nm)이 층 폭보다 커서 도너 층이 노드 사이로 빠지고 전위가 거의 0이 된다. 오차 곡선의 오른쪽(큰 h)이 기울기 2에서 벗어나는 구간이다. ③ N을 최대로 올려 오차가 1 µV 아래로 내려가는 것을 본다. (선형 포아송, 고정 전하, 균일 격자, 양 끝 디리클레 조건. 전하는 노드에서 표본을 뜬다.)

점이 층 폭보다 촘촘해지면 오차 곡선은 기울기 2의 직선을 따른다. 노드 수를 두 배로 늘릴 때마다 오차 비가 4 근처에 머문다. 반대로 간격이 σ보다 크면 오차는 $h^2$ 법칙과 상관없이 크다. 전하를 노드에서만 표본으로 뜨기 때문에 층이 노드 사이에 끼면 통째로 사라진다. $O(h^2)$는 "충분히 작은 $h$에서"라는 단서가 붙은 점근 성질이다. 격자가 해의 가장 짧은 길이 척도를 몇 점 이상 덮어야 그 법칙의 영역에 들어간다.

이 장은 TCAD 흐름의 어디인가 공정 모사 → 구조·격자 → 물리 모델 → 수치 해 → 소자 특성 → 보정 가운데 둘째 단계다. 공정 모사(6장~8장)가 만든 단면과 도핑을 받아 점을 뿌리고, 그 점 위에서 3장의 방정식을 대수 방정식으로 바꾼다. 그렇게 얻은 비선형 연립 방정식을 실제로 푸는 일은 5장의 몫이다.

비균일 격자: 점이 필요한 곳

소자에는 길이 척도가 여러 개 섞여 있다. 고농도 영역의 전위는 디바이 길이(Debye length) 안에서 변하고, 저농도 쪽 공핍층은 수백 nm에 걸쳐 완만하게 휜다.

$$L_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_s k T}{q^2 N}}$$

300 K 실리콘에서 $N = 10^{16}$이면 약 41 nm, $10^{18}$이면 약 4.1 nm, $10^{20}$ cm⁻³이면 약 0.41 nm

가장 짧은 척도에 맞춰 균일 격자를 깔면 점이 너무 많아진다. 그래서 간격을 위치마다 다르게 둔다. 간격이 $h_{i-1}$, $h_i$로 다르면 2계 미분의 차분은 다음과 같다.

$$\psi''_i \approx \frac{2}{h_{i-1}+h_i}\left(\frac{\psi_{i+1}-\psi_i}{h_i} - \frac{\psi_i-\psi_{i-1}}{h_{i-1}}\right), \qquad \text{오차} \approx \frac{h_i - h_{i-1}}{3}\,\psi'''_i + O(h^2)$$

이웃 간격의 차이 $h_i - h_{i-1}$에 비례하는 1차 항이 생긴다. 간격이 비율 $r$로 매끄럽게 커지면 $h_i - h_{i-1} = (r-1)h_{i-1}$이어서 $r$이 1에 가까울수록 2차 정확도에 가까워진다. 실무에서는 이웃 간격 비율을 대개 1.2~1.5 이하로 둔다.

다음 시뮬레이터는 실제 엔진(TC.poisson1d, 비선형 포아송, 오믹 양 끝)으로 p⁺(10¹⁸)/n(10¹⁶) 계단 접합을 푼다. 접합은 500 nm에 있다. p⁺ 쪽 공핍은 수 nm, n 쪽은 약 340 nm에 걸친다. 점의 개수는 정해져 있고, 그 점들을 어디에 모을지(세분 중심)와 얼마나 급하게 성기게 할지(간격 비율)를 고른다. 기준해는 831점 격자로 미리 푼다.

SIMULATOR

점 개수는 그대로, 놓는 자리만 바꾼다

아래 격자 띠를 끌어 세분 중심을 옮긴다

노드 수 간격 비율 r

최소 / 최대 간격—

최대 전계—

최대 |Δψ| (노드)—

뉴턴 반복—

해볼 것: ① 균일 격자(r = 1)에서 최대 전계 오차를 읽는다. 간격 100 nm는 p⁺ 쪽 공핍(수 nm)을 전혀 보지 못한다. ② r = 1.3으로 올리고 세분 중심을 접합(500 nm)에 둔다. 전계 정점은 좋아지지만 n 쪽 공핍 끝(약 840 nm)의 간격이 커져 전위 오차가 그쪽으로 옮겨 간다. ③ 세분 중심을 1200 nm로 끌어 엉뚱한 곳에 점을 모아 본다. 같은 점 개수로도 결과가 크게 나빠진다. ④ 노드 30개, r = 1.25와 노드 60개 균일 격자의 전계 정점을 비교해 본다. (볼츠만 통계, 평형. 노드의 도핑은 제어 체적 안의 평균으로 준다. 노드 전위의 오차는 기준해를 선형 보간해 잰다.)

균일 격자에서 오차는 고르게 퍼져 있지 않다. 접합 바로 옆 몇 nm에 몰려 있다. 그곳에 점을 모으면 전계 정점은 빠르게 맞아 가지만, 같은 개수의 점을 쓰는 한 다른 곳은 성겨진다. 비율을 너무 크게 잡으면 n 쪽 공핍 끝에서 한 칸이 수백 nm가 되고, 그 칸 안에서 공핍과 중성이 갈리는 위치를 놓쳐 전위가 수십 mV 틀린다. 격자 설계는 정해진 점 예산을 오차가 큰 곳에 나눠 주는 일이다. 어디가 오차가 큰 곳인지 미리 알기 어렵다는 것이 문제이고, 이 장 뒤쪽의 적응 세분이 그 답이다.

유한 체적: 박스 적분

유한 차분은 미분을 직접 근사한다. TCAD 소자 시뮬레이터는 대부분 다른 길을 택한다. 방정식을 각 노드를 둘러싼 작은 영역 $\Omega_i$에서 적분하고, 가우스 정리로 부피 적분을 표면 적분으로 바꾼다. 이것이 박스 적분법(Box integration method), 일반 용어로 유한 체적법(Finite volume method)이다.

$$\oint_{\partial\Omega_i} \varepsilon\,\nabla\psi\cdot\hat{n}\,dS = -\int_{\Omega_i}\rho\,dV \;\;\Longrightarrow\;\; \sum_{j}\varepsilon_{ij}\,\frac{d_{ij}}{L_{ij}}\,(\psi_j-\psi_i) = -\rho_i\,|\Omega_i|$$

$j$: 노드 $i$와 변으로 이어진 이웃, $L_{ij}$: 변의 길이, $d_{ij}$: 그 변을 수직으로 가르는 제어 체적 면의 길이(2D) 또는 넓이(3D), $|\Omega_i|$: 제어 체적의 넓이, $\varepsilon_{ij}$: 면이 지나는 재질의 유전율

왼쪽 합의 각 항은 "변 $ij$를 따라 흐르는 전기 변위 플럭스"다. 노드 $i$에서 $j$로 나가는 플럭스와 $j$가 $i$에서 받는 플럭스는 같은 식에서 부호만 반대이므로, 이웃한 두 제어 체적 사이에서 플럭스가 정확히 주고받아진다. 격자가 아무리 성겨도 전하와 전류는 이산 수준에서 보존된다. 전류 연속 방정식에서 이 성질은 결정적이다. 단자 전류가 전극마다 정확히 맞아떨어지는 것은 이 구조 덕분이다. 전자 전류도 같은 꼴로 변마다 쓰고, 변 위에서는 샤페터-거멜 식을 쓴다(5장).

$$\sum_j \frac{d_{ij}}{L_{ij}}\,q\mu_n V_t\left[n_j\,B(\Delta_{ij}) - n_i\,B(-\Delta_{ij})\right] = q\,R_i\,|\Omega_i|, \qquad \Delta_{ij} = \frac{\psi_j - \psi_i}{V_t}$$

$B(x) = x/(e^x-1)$: 베르누이 함수, $R_i$: 순 재결합률. 결합 계수 $d_{ij}/L_{ij}$는 포아송과 연속 방정식이 함께 쓰는 기하량이다.

박스 적분의 기하. 왼쪽: 노드 i의 제어 체적은 둘레 삼각형들의 외심을 이은 보로노이 셀이다. 각 변을 수직으로 가르는 셀의 면이 플럭스가 지나는 통로다. 오른쪽: 변 ij의 면 길이 dᵢⱼ는 두 이웃 삼각형 외심 사이의 거리이고, 변의 맞은편 두 각 α, β로 쓰면 결합 계수가 (cot α + cot β)/2가 된다. α + β > 180°이면 두 외심의 위아래가 뒤바뀌어 dᵢⱼ가 음수가 된다.

텐서곱 사각 격자에서는 제어 체적이 이웃 노드 사이 중점으로 둘러싸인 직사각형이 되고 $d_{ij}/L_{ij}$는 간단한 간격 비가 된다. 이 책의 2D 엔진(TC.device2d)이 쓰는 방식이다. 휘어진 경계나 복잡한 형상을 따라가려면 삼각형(3D에서는 사면체)이 필요하고, 그때 제어 체적을 어떻게 정하느냐가 다음 절의 주제다.

들로네 삼각 분할과 보로노이 제어 체적

평면에 점들이 주어졌을 때 이들을 잇는 방법은 많다. 그 가운데 들로네 삼각 분할(Delaunay triangulation)은 "어떤 삼각형의 외접원 안에도 다른 점이 들어 있지 않다"는 조건을 만족하는 분할이다. 이 조건은 이웃한 두 삼각형이 공유하는 변의 맞은편 두 각의 합이 180°를 넘지 않는다는 조건과 같다. 들로네 분할의 쌍대가 보로노이 다이어그램(Voronoi diagram)이다. 각 점에 대해 "그 점이 가장 가까운 영역"을 모은 것이며, 그 경계는 삼각형 외심들을 이은 선이다. 보로노이 셀은 박스 적분의 제어 체적으로 꼭 알맞다. 셀의 각 면이 대응하는 변에 수직이기 때문에 변 방향 기울기 $(\psi_j-\psi_i)/L_{ij}$가 곧 면을 지나는 법선 플럭스가 된다.

아래에서 점을 끌어 본다. 엔진의 TC.delaunay(보이어-왓슨 알고리즘)가 매번 다시 삼각형을 만들고, TC.voronoiCells가 제어 체적을, TC.meshQuality가 각도와 비들로네 변을 센다. 변 위에 마우스를 올리거나 눌러 그 변의 결합 계수를 읽는다.

SIMULATOR

점을 끌면 삼각형과 제어 체적이 따라온다

점을 끈다 · 변을 누르면 계수를 읽는다

보로노이 셀 외심 표시

점 / 삼각형—

최소 / 최대 각—

둔각 삼각형—

음의 결합 변 (경계 포함)—

고른 변 d/L—

둔각 삼각형음의 결합 계수 변보로노이 면(제어 체적 경계)

해볼 것: ① 정규 격자의 한 점을 옆 삼각형 쪽으로 끌어 둔각 삼각형을 만든다. 내부에서는 들로네 재연결이 대각선을 바꿔 결합 계수가 음수로 가지 않는다. ② 맨 아래 줄의 점 하나를 위로 끌어 경계 삼각형을 둔각으로 만든다. 경계 변은 이웃 삼각형이 하나뿐이라 cot α 하나만 남고, 둔각이면 그 변의 계수가 음수(빨강)가 된다. 외심이 영역 밖으로 나간 것을 외심 표시로 확인한다. ③ 무작위 배치를 몇 번 눌러 최소각이 얼마나 작아지는지 본다. (2D, 균일 유전율. 경계 셀은 열린 다각형이라 칠하지 않는다.)

이 2D 균일 재질 박스 적분에서 내부 변의 결합 계수는 들로네 분할이면 음수가 되지 않는다. 맞은편 두 각의 합이 180°를 넘지 않으니 $\cot\alpha + \cot\beta \ge 0$이다. 둔각 삼각형이 있어도 이웃 삼각형이 받쳐 주면 괜찮다. 위험은 영역 경계와 재질 경계에서 생긴다. 경계 변은 맞은편 각이 하나뿐이어서 그 각이 둔각이면 바로 음수가 된다. 그래서 실무 격자 생성기는 경계 위의 삼각형도 둔각이 되지 않게 경계에 점을 더 넣는다(경계 들로네 조건). 내부에서 음수가 생기는 경우는 들로네가 아닌 연결이다. 격자를 다른 도구에서 가져오거나, 노드를 옮긴 뒤 다시 잇지 않을 때 생길 수 있다. 3D 사면체는 별도의 이산화·쌍대 셀 조건으로 판단해야 하며, 다음 시뮬레이터는 2D에서 이산 최대 원리가 무너지는 예를 보여 준다.

음의 결합 계수가 만드는 음의 농도

결합 계수가 음수라는 것은 변 방향으로 "낮은 곳에서 높은 곳으로" 플럭스가 흐른다는 뜻이다. 행렬로 보면 비대각 원소의 부호가 뒤집혀 M-행렬(M-matrix) 성질이 깨진다. M-행렬이면 해가 경계값 사이에 머문다는 이산 최대 원리(Discrete maximum principle)가 보장되고, 그래서 농도가 음수가 될 수 없다. 이 성질이 깨지면 그런 보장이 사라진다.

포아송 방정식만 보면 피해가 작다. 결합 계수 행렬이 대칭 양정치로 남는 경우가 많아 답이 조금 틀릴 뿐이다. 문제는 전류 연속 방정식이다. 샤페터-거멜 식에서 한 변의 무차원 전위차를 $\Delta=(\psi_j-\psi_i)/V_t$라 하면 베르누이 함수 $B(\Delta)=\Delta/(e^\Delta-1)$는 큰 양의 $\Delta$에서 0으로 줄고, 큰 음의 $\Delta$에서 $-\Delta$에 가까워진다. 지수적으로 커지는 것은 전위에 따른 캐리어 농도 항이며, 베르누이 함수 자체의 음의 방향 점근은 선형이다. 음의 기하 결합 계수는 이런 항들과 함께 행렬의 대각 우세를 깨뜨릴 수 있다. 아래 시뮬레이터는 60 nm 정사각형 영역에서 전자 연속 방정식(재결합 없음)을 박스 적분으로 푼다. 왼쪽 접촉은 n = 1(n⁺ 기준으로 정규화), 오른쪽은 n = 10⁻³이고, 전위는 오른쪽으로 갈수록 V만큼 선형으로 오른다. 연결은 사각형을 대각선으로 자른 고정 연결이며, 가운데 점 하나를 이미 옆으로 밀어 두었다.

SIMULATOR

같은 점, 다른 연결: 비들로네 변이 음의 전자 농도를 만든다

내부 점을 끈다

가로 전위차 V

음의 결합 변—

가장 작은 d/L—

최소 n (정상 ≥ 10⁻³)—

판정—

해볼 것: ① 기본 상태(V = 5.2 V, 고정 연결)에서 음수로 떨어진 노드(빨간 고리)를 찾는다. ② 연결만 들로네로 바꾼다. 점은 하나도 움직이지 않았는데 음의 결합 변이 사라지고 모든 n이 두 접촉값 사이로 돌아온다. ③ 고정 연결로 돌아가 V를 0까지 내린다. 전위차가 작으면 같은 나쁜 변이 있어도 최대 원리 위반이 작아진다. 변 하나에 떨어지는 전위가 클수록(성긴 격자, 높은 전계) 위험하다. ④ 다른 내부 점을 이웃 대각선 가까이 끌어 새 나쁜 변을 만들어 본다. (전자만, 재결합 0, 전위는 고정한 선형 분포, 위아래 경계는 플럭스 0. 오른쪽 그래프의 선은 1D 해석해다.)

점은 그대로 두고 연결만 들로네로 바꾸면 이 2D 박스 적분 예에서 음의 농도가 사라진다. 격자의 품질은 점의 위치만이 아니라 점을 어떻게 잇는가에 달려 있다. 상용 격자 생성기가 들로네 성질과 경계 정합을 중요한 조건으로 다루는 이유다. 다만 3D 사면체의 슬리버가 만드는 문제를 이 박스 적분 계수의 부호와 같은 것으로 일반화하면 안 된다. 슬리버는 유한요소법에서 나쁜 요소 형상과 행렬 성질을 만들 수 있지만, 유한체적/박스 적분의 결합 계수는 사용한 쌍대 셀과 경계 처리에 따라 판단해야 한다. 따라서 "3D 들로네 사면체면 음의 박스 적분 계수가 생긴다"고 단정할 수 없다. 3D 메시 예와 박스 적분 결합 조건을 구분해 보자.

증상으로 알아보기 수렴은 하는데 어느 노드에서 전자 농도가 음수이거나 이웃보다 수십 배 튀는 값이 보이면, 먼저 그 근처의 격자 연결을 의심한다. 뉴턴 반복이 특정 노드에서 진동하며 수렴하지 않을 때도 같다. 바이어스 간격을 줄이는 수치적 처방(5장)으로는 격자 결함이 낫지 않는다.

텐서 격자와 비정형 격자

가장 단순한 2D 격자는 가로선 묶음과 세로선 묶음을 곱한 텐서곱 격자(Tensor-product mesh)다. 행렬 구조가 규칙적이고 박스 적분 기하가 간단하며 비들로네 변이 생기지 않는다. 이 책의 2D 엔진도 텐서 격자다. 대가는 국소 세분이 불가능하다는 것이다. 한 곳에 가는 선을 넣으면 그 선이 영역 끝까지 이어진다. 접합 모서리처럼 휘어진 곳을 촘촘히 덮으려면 그 곡선이 차지하는 가로·세로 범위 전체가 촘촘해진다. 비정형 격자(Unstructured mesh)는 필요한 곳만 쪼갤 수 있다. 아래는 S/D 접합 단면을 닮은 반원(반지름 40 nm)을 ±3 nm 띠 안에서 목표 간격으로 덮을 때, 텐서 격자와 4분 트리 세분 + 들로네 삼각 분할의 노드 수를 비교한다.

SIMULATOR

가는 선은 끝까지 간다: 텐서 대 비정형

세분 단계

목표 간격—

텐서 노드—

비정형 노드 / 삼각형—

텐서 / 비정형—

해볼 것: ① 단계를 0에서 4까지 올리며 두 노드 수가 어떻게 늘어나는지 비교한다. 텐서 쪽은 곡선의 가로·세로 투영 전체가 촘촘해진다. ② 단계 4에서 텐서 격자의 오른쪽 위 빈 영역에도 가는 선이 지나가는 것을 본다. 거기는 아무것도 변하지 않는 곳이다. ③ 3D라면 텐서 격자의 노드 수는 가로·세로·깊이 선 수의 곱이 되어 차이가 더 벌어진다. (반원 중심 (60, 0) nm, 기본 간격 25 nm, 4분 트리는 2:1 균형을 강제하지 않았다.)

2D에서는 두 배 남짓 차이지만, 세분할 곳이 여러 군데이거나 3D가 되면 격차는 커진다. 그렇다고 텐서 격자가 열등한 것만은 아니다. MOSFET 채널처럼 표면을 따라 길게 늘어선 구조는 가로·세로 방향이 자연스럽게 나뉘므로 텐서 격자가 잘 맞고, 비들로네 문제도 없으며, 방향마다 간격을 독립적으로 정하기 쉽다. 상용 도구들은 대개 둘을 섞는다. 표면과 산화막 근처는 층 모양의 정렬 격자, 나머지는 들로네 비정형 격자를 쓴다.

	텐서곱 사각 격자	비정형 삼각·사면체 격자
국소 세분	불가능(선이 끝까지 간다)	가능
휘어진 경계	계단 근사	그대로 따라간다
결합 계수 부호	항상 양수	2D 삼각 박스 적분은 들로네 조건·경계 처리에 달림; 3D는 이산화와 쌍대 셀에 달림
행렬 구조	띠 행렬, 번호 매기기 쉬움	희소, 재정렬 필요
잘 맞는 곳	평면 MOSFET 채널, 1D형 구조	FinFET·GAA 3D, 트렌치, 곡면 접합

어디를 촘촘히 하는가

점 예산을 어디에 쓸지는 결국 해가 빨리 변하는 곳이 어디인지에 달려 있다. 경험적 기준은 대체로 다음과 같다.

위치	왜	대표 간격
게이트 산화막	전위가 막 안에서 직선으로 떨어진다. 두께 방향으로 3층 이상	EOT/3 이하 (TN-45 0.4 nm)
채널 표면(반전층)	고전적 반전층 두께는 수 nm 이하, 전자 농도가 표면에서 1 nm 안에 두 자릿수 바뀐다	0.1~0.5 nm, 아래로 갈수록 비율 1.2~1.5
금속학적 접합	도핑 부호가 바뀌고 공핍이 시작된다. 고농도 쪽 디바이 길이 수 nm	1~2 nm
공핍층 끝	공핍과 중성이 갈리는 곳(저농도 쪽, 바이어스에 따라 움직인다)	공핍 폭의 1/10 이하
고전계 영역	드레인 끝 핀치오프, 충돌 이온화 생성률이 전계에 지수적으로 민감	수 nm
재질 경계	유전율·밴드가 불연속, 경계 들로네 조건	경계에 노드 정렬
깊은 기판·중성 영역	전위가 거의 평탄	10~50 nm

이 기준을 자동으로 적용하는 것이 적응 세분(Adaptive refinement)이다. 한 칸 안에서 어떤 양이 허용치보다 많이 변하면 그 칸을 둘로 쪼갠다. 기준 양으로는 도핑을 부호 있는 로그로 펼친 $\mathrm{asinh}(N/2n_i)$이 흔하다. 접합에서 도핑이 0을 지나면 로그가 크게 변하므로 접합이 자동으로 촘촘해진다. 풀이 결과를 쓰는 기준도 있다. 한 칸의 전위 변화가 $V_t$의 몇 배를 넘으면 쪼갠다. 아래에서 TN-45의 깊은 소스/드레인을 수직으로 자른 1D 단면(표면 n⁺ 3×10²⁰, 접합 약 74 nm, 아래는 p-웰)을 7점에서 시작해 세분해 본다.

SIMULATOR

적응 세분: 도핑 기준과 전위 기준

한 칸 허용 변화

세분 횟수—

노드 수—

최대 |Δψ|—

최대 전계 오차—

해볼 것: ① 도핑 기준(허용 0.6 decade)으로 "끝까지"를 누른다. 접합 둘레만 촘촘해지고, 접합 아래 p 쪽 공핍층 끝은 성긴 채 남아 전위 오차가 수십 mV에서 멈출 수 있다. ② 전위 기준(0.6 V_t)으로 처음부터 다시 한다. 전위가 휘는 공핍층 전체에 점이 들어가 오차가 1~2 mV로 내려간다. ③ 둘 다 쓰고 허용치를 2로 올렸다 0.3으로 내리며 노드 수와 오차의 교환을 본다. (평형 비선형 포아송, 양 끝 오믹, 볼츠만 통계, 칸을 반으로 쪼개는 1D 세분. 기준해는 3001점 균일 격자.)

도핑만 보는 세분은 공정 모사 직후, 풀이 전에 쓸 수 있다는 장점이 있지만 바이어스에 따라 움직이는 공핍층 끝이나 고전계 영역은 모른다. 풀이 결과를 보는 세분은 정확하지만 풀고, 쪼개고, 다시 풀어야 한다. 실무에서는 도핑 기준으로 첫 격자를 만들고, 중요한 바이어스에서 전위·전계·전류 밀도 기준으로 한두 번 더 다듬는다. 2D·3D에서 같은 일을 하려면 텐서 격자는 선을 끝까지 늘려야 하고, 비정형 격자는 쪼갠 뒤 다시 들로네 연결을 맞춰야 한다.

TN-45의 격자

TN-45의 2D 계산 영역은 155 × 157 nm다(게이트 스택 위 7.2 nm부터 기판 150 nm까지, 소스·드레인 접촉 포함). 엔진의 TC.tn45Mesh는 앞 절의 기준을 그대로 따른다. 게이트 끝과 스페이서 끝을 반드시 격자선으로 두고, 게이트 산화막(1.2 nm)을 세로로 3칸으로 나눈다. 실리콘 표면 첫 간격은 0.4 nm에서 시작해 깊이 3 nm까지 1.1 nm, 12 nm에서 2.6 nm로 커진다. 가로 방향은 게이트 끝(확장부 접합) 둘레를 1.5 nm로 조이고 채널 가운데와 접촉 쪽은 성기게 둔다. 밀도 단계는 이 간격들에 같은 배수를 곱한다(coarse 1.7, normal 1, fine 0.6, xfine 0.4).

SIMULATOR

TN-45 격자를 도핑 위에 겹쳐 본다

격자 nx × ny—

노드—

산화막 칸 수 / 표면 첫 간격—

게이트 끝 가로 간격—

바이어스 한 점 풀이(약)—

해볼 것: ① 전체 보기에서 격자선이 게이트 끝(x = ±22.5 nm)과 표면(y = 0)에 몰리는 것을 본다. 깊은 기판은 30 nm 간격이다. ② 채널 표면 보기로 바꾸고 coarse와 xfine을 오가며 산화막 칸 수와 반전층이 생길 첫 1 nm 안의 노드 수를 센다. ③ 게이트 끝 보기에서 점선(금속학적 접합)이 격자 칸 몇 개에 걸쳐 그려지는지 본다. (텐서곱 격자, 해석식 TN-45 도핑. 풀이 시간은 node에서 잰 웜 스타트 값이고 브라우저도 비슷하다.)

텐서 격자이므로 게이트 끝에서 조인 가로선은 기판 바닥까지, 표면에서 조인 가로 방향 선은 영역 양 끝까지 이어진다. 그래서 normal 격자 2009개 노드 가운데 상당수가 기판 깊은 곳의 가늘고 긴 칸이다. coarse에서는 산화막이 2칸, 표면 첫 간격이 0.6 nm가 되고, xfine에서는 산화막이 5칸, 표면 첫 간격 약 0.07 nm다. 반전층의 고전적 전자 분포는 표면에서 1 nm 안에 두 자릿수가 줄기 때문에(11장에서 양자 보정으로 다시 본다) 이 첫 몇 칸이 문턱 전압을 좌우한다.

격자 수렴: 답이 격자에 기대고 있지 않은가

격자를 바꿔도 답이 거의 변하지 않을 때 그 답을 격자 수렴(Mesh convergence)했다고 한다. 확인하는 방법은 하나다. 간격을 일정한 비율로 줄여 가며 관심 있는 양이 한 값으로 모이는지 본다. 2D에서 간격을 $1/s$로 줄이면 노드는 약 $s^2$배가 된다. 오차가 $h^p$로 줄어든다면 세 격자의 값으로 수렴값을 외삽할 수 있다(리처드슨 외삽(Richardson extrapolation)).

$$\phi_\infty \approx \phi_h + \frac{\phi_h - \phi_{sh}}{s^p - 1}$$

$\phi_h$, $\phi_{sh}$: 간격 $h$와 $sh$에서 얻은 값, $p$: 수렴 차수(세 격자가 있으면 $p$도 추정할 수 있다)

아래 시뮬레이터는 TN-45의 Id-Vg(V_d = 1 V, V_g 0~1 V, 0.05 V 간격)를 일곱 가지 격자 밀도에서 비교한다. 성긴 셋(2.5배·coarse·1.3배)과 normal은 "직접 풀기"로 브라우저에서 한 점씩 풀 수 있고, 무거운 셋(0.8배·fine·xfine)은 같은 엔진으로 미리 풀어 둔 값이다. 문턱 전압은 정전류법(2.22 µA/µm)으로 뽑는다.

SIMULATOR

격자 밀도에 따른 TN-45 Id-Vg, 문턱 전압, 켜짐 전류

상태—

V_t,sat coarse / normal / fine / xfine—

I_on (mA/µm) 같은 순서—

해볼 것: ① "직접 풀기"를 눌러 성긴 격자들의 곡선이 한 점씩 그려지는 것을 본다. 실선이 브라우저에서 푼 것, 점선이 미리 푼 것이다. 같은 엔진이므로 겹친다. ② 2.5배 격자(399 노드)의 V_t를 본다. 산화막이 2칸이고 표면 아래 간격이 모두 2.5배라 반전층을 못 그려 문턱 전압이 0.2 V 가까이 틀린다. ③ I_on으로 바꿔 normal에서 xfine까지도 계속 줄어드는 것을 본다. 문턱 전압보다 켜짐 전류가 더 늦게 수렴한다. (드리프트-확산, 전자만, 이동도 full, 300 K. 미리 푼 값은 node로 같은 코드를 돌린 결과다.)

성긴 쪽에서 문턱 전압은 격자에 크게 기댄다. 2.5배 격자는 V_t,sat을 약 0.07 V로, coarse는 0.231 V로, normal은 0.259 V로, fine은 0.271 V로, xfine은 0.275 V로 준다. 차이가 28 → 12 → 4 mV로 줄어든다. 수렴 방향은 한쪽이다. 격자가 성길수록 반전층 전하를 첫 칸에 뭉뚱그려 크게 잡고, 표면 전위가 덜 올라가도 전류가 흐르는 것처럼 보인다. 켜짐 전류도 격자가 성길수록 크게 나온다. 이 책이 인용하는 숫자는 normal 기준이며, fine보다 V_t가 약 12 mV 낮고 I_on이 약 6% 높다는 것을 알고 쓴다. 절대값 대신 차이(게이트 길이에 따른 변화, 모델 A/B 비교)를 볼 때는 같은 격자를 쓰는 한 오차가 상당 부분 상쇄된다.

격자 수렴 시험의 요령 간격을 전체적으로 같은 배수로 줄여야 수렴 차수를 읽을 수 있다. 한 곳만 바꾸면 그 곳의 민감도를 볼 수는 있지만 수렴했는지는 알 수 없다. 관심 양마다 수렴 속도가 다르다. 문턱 전압·문턱 아래 기울기는 표면 격자에, 켜짐 전류는 표면과 드레인 끝 격자에, 항복 전압과 기판 전류는 고전계 영역 격자에 민감하다.

점 하나의 값: 1D·2D·3D 계산 비용

점이 많을수록 정확하지만 계산이 무거워진다. 박스 적분이 만드는 행렬은 각 행에 이웃 개수만큼만 원소가 있는 희소 행렬이다. 1D는 삼중 대각이라 $O(N)$에 풀린다. 2D 텐서 격자를 행마다 번호 매기면 띠 폭이 $\sqrt{N}$인 띠 행렬이 되고, 띠 LU의 비용은 $N\cdot(\text{띠 폭})^2 \sim N^2$이다. 3D는 띠 폭이 $N^{2/3}$이어서 $N^{7/3}$이 된다. 더 좋은 번호 매기기(중첩 절단)를 쓰는 희소 직접 풀이기는 2D $O(N^{1.5})$, 3D $O(N^2)$ 정도이고, 전처리한 반복법은 $N$에 더 가깝게 간다. 그래도 3D가 같은 해상도에서 노드가 수십~수백 배 많다는 사실은 바뀌지 않는다.

아래 시뮬레이터는 이 브라우저에서 실제로 잰다. 1D는 TC.tridiag, 2D와 3D는 라플라스 행렬을 TC.bandSolve(엔진의 띠 LU)로 푼다. 한 프레임에 한 크기씩 잰다.

SIMULATOR

노드 수와 풀이 시간: 이 브라우저에서 직접 잰다

외삽할 노드 수

기울기 1D / 2D / 3D—

외삽 1D—

외삽 2D (띠 LU)—

외삽 3D (띠 LU)—

해볼 것: ① "측정 시작"을 누르고 세 곡선의 기울기를 읽는다. 대략 1, 2, 2.3 근처가 나온다(작은 크기에서는 고정 비용 때문에 완만하다). ② 외삽 노드 수를 10⁵로 둔다. 2D 띠 LU로 수 초, 3D 띠 LU로는 수 시간이 된다. ③ 이것이 뉴턴 반복 한 번의 선형 풀이 비용이라는 점을 기억한다. 바이어스 한 점에 반복이 3~10회, Id-Vg 한 줄에 20점이 넘는다. (라플라스 행렬, 피벗 없는 띠 LU, 단일 스레드. 실제 TCAD는 희소 직접 풀이기나 반복법을 써서 3D 비용을 크게 줄인다.)

TN-45 normal 격자(2009 노드)는 띠 LU 한 번이 수십 ms다. 같은 해상도로 폭 방향까지 3D로 풀면 노드가 약 9만 개가 되고, 띠 LU로는 감당이 안 된다. 그래서 3D TCAD는 반복법, 병렬화, 대칭면 활용, 그리고 무엇보다 격자를 아끼는 설계에 기댄다. 어디를 촘촘히 할지 아는 것이 곧 계산 시간을 아는 것이다. 3D 소자와 도구는 17장에서 다시 다룬다.

격자 설계 실험실

마지막으로 TN-45의 격자를 직접 설계한다. 가로 간격 배수와 세로 간격 배수를 따로 바꿔, 문턱 전압이 가로(접합·할로·게이트 끝) 격자에 더 민감한지 세로(산화막·표면) 격자에 더 민감한지 확인한다. "게이트 끝 격자선" 선택을 끄면 x = ±22.5 nm의 격자선을 빼고, 셀 중심으로 재질을 정하는 엔진은 다결정 게이트를 한 칸 짧게 본다. 풀 때마다 결과가 오른쪽 그래프에 쌓이고, 점선 띠는 xfine 결과 ±10 mV다.

SIMULATOR

TN-45 격자 설계 실험실

가로 간격 배수 세로 간격 배수 게이트 끝 격자선

노드—

격자가 본 게이트 길이—

V_t,sat—

I_on—

SS—

상태—

해볼 것: ① 기본값(가로 1.6, 세로 1, 1189 노드)으로 푼다. 다음에 가로 1, 세로 1.6(1323 노드)으로 바꿔 푼다. 노드 수는 비슷한데 가로를 성기게 한 쪽이 xfine보다 약 40 mV, 세로 쪽이 약 25 mV 낮다. TN-45에서는 접합과 할로가 몰린 채널 양 끝의 가로 격자가 가장 민감하다. ② 가로 1, 세로 1로 두고 게이트 끝 격자선을 끈 채 푼다. 격자가 본 게이트 길이는 43.3 nm로 줄지만 V_t는 거의 그대로다. 게이트 끝은 확장부 위(겹침 영역)에 있고, 채널의 전기적 길이는 표면 접합(±11 nm)이 정하기 때문이다. ③ 두 배수를 모두 3으로 올려(306 노드) 어디까지 무너지는지 본다. V_t가 0.11 V로 떨어지고 I_on은 1.08 mA/µm로 부풀어 오른다. (드리프트-확산, 전자만, 이동도 full. V_d = 1 V에서 V_g 0~1 V 13점. 산화막 칸 수는 세로 배수로 정해진다.)

TARGET TN-45타깃 파일 · 4장

격자가 문턱 전압을 40 mV 움직인다

TN-45의 2D 계산 영역 155 × 157 nm에 텐서곱 격자를 깔았다. 촘촘히 한 곳은 세 군데다. 게이트 산화막(1.2 nm를 세로 3칸), 채널 표면(첫 간격 0.4 nm에서 시작), 확장부 접합이 있는 게이트 끝(가로 1.5 nm)이다. 게이트 끝과 스페이서 끝은 반드시 격자선 위에 둔다. 밀도 단계에 따라 노드는 coarse 754, normal 2009, fine 5372, xfine 11155개다. V_d = 1 V Id-Vg를 네 격자에서 모두 풀면 V_t,sat은 0.231 / 0.259 / 0.271 / 0.275 V, I_on은 0.79 / 0.715 / 0.67 / 0.65 mA/µm다. 문턱 아래 기울기는 79~82 mV/dec로 격자에 거의 둔감하다. 간격을 2.5배로 키우면(399 노드) V_t,sat이 0.07 V로 무너진다.

이 장에서 정한 것이 책의 TN-45 표준 격자는 normal(49 × 41 = 2009 노드)이다. 바이어스 한 점을 약 0.15 s에 풀어 브라우저에서 스윕을 돌릴 수 있는 크기다. 대신 V_t를 가장 촘촘한 격자보다 약 16 mV 낮게, I_on을 약 9% 높게 준다는 것을 기록해 둔다.

아직 남은 문제격자 위의 방정식은 비선형이다. 평형에서 V_g = V_d = 1 V까지 한 번에 뛰면 뉴턴 반복이 수렴하지 않는다. 바이어스를 어떤 간격으로 올려야 하는가.

다음 단계샤페터-거멜 이산화, 뉴턴과 거멜 반복, 바이어스 램프(5장).

핵심 정리

3점 유한 차분의 절단 오차는 $h^2\psi^{(4)}/12$이다. 간격을 반으로 하면 오차는 1/4이 되지만, 이것은 간격이 해의 가장 짧은 길이 척도보다 충분히 작을 때만 성립한다.
비균일 격자는 이웃 간격 차이에 비례하는 1차 오차를 만든다. 간격은 비율 약 1.2~1.5 이하로 매끄럽게 키운다. 점 예산을 어디에 쓰느냐가 점 개수만큼 중요하다.
박스 적분은 노드마다 제어 체적에서 방정식을 적분해 변 플럭스의 합으로 바꾼다. 이웃 셀이 같은 플럭스를 주고받으므로 전하와 전류가 이산 수준에서 정확히 보존된다.
2D 삼각 박스 적분의 결합 계수는 $d_{ij}/L_{ij} = (\cot\alpha + \cot\beta)/2$이다. 들로네 분할의 내부 변에서는 음수가 되지 않는다. 경계의 둔각 삼각형과 비들로네 연결에서는 음수가 되어 M-행렬 성질이 깨지고, 연속 방정식에서 음의 농도가 나올 수 있다. 3D는 이산화와 쌍대 셀 조건을 따로 확인한다.
텐서 격자는 단순하고 결합 계수가 항상 양수지만 국소 세분이 안 된다. 비정형 격자는 필요한 곳만 쪼갤 수 있지만 들로네 성질과 경계 정합을 지켜야 한다.
촘촘히 할 곳은 게이트 산화막(3층 이상), 채널 표면(0.1~0.5 nm), 접합(1~2 nm), 공핍층 끝, 고전계 영역이다. 도핑 기준 세분은 풀이 전에, 전위·전계 기준 세분은 풀이 뒤에 쓴다.
TN-45의 V_t,sat은 coarse 0.231, normal 0.259, fine 0.271, xfine 0.275 V로 격자에 따라 움직인다. 결과를 인용할 때는 격자와 그 수렴 정도를 함께 적는다. TN-45에서는 접합·할로가 몰린 채널 양 끝의 가로 격자와 표면의 세로 격자가 가장 민감하다.
선형 풀이 비용은 1D $O(N)$, 2D 띠 LU $O(N^2)$, 3D 띠 LU $O(N^{7/3})$로 늘어난다. 3D에서는 격자를 아끼는 설계가 곧 계산 가능성이다.

확인 퀴즈

매끄러운 전하 분포에 대한 1D 포아송 방정식을 3점 유한 차분 균일 격자로 풀었더니 최대 오차가 8 mV였다. 노드 사이 간격을 1/2로 줄이면 오차는 대략 얼마가 되는가? (간격은 이미 해의 변화 길이보다 충분히 작다.)

절단 오차가 $h^2\psi^{(4)}/12$이므로 2차 정확도다. 간격을 반으로 하면 오차는 1/4, 곧 약 2 mV가 된다. 간격이 해의 길이 척도보다 크면 이 법칙이 성립하지 않는다.

삼각 격자에서 박스 적분의 결합 계수 $d_{ij}/L_{ij}$가 음수가 되는 경우는?

$d_{ij}/L_{ij} = (\cot\alpha + \cot\beta)/2$이므로 $\alpha + \beta > 180°$이면 음수다. 이것이 비들로네 변의 정의다. 경계 변은 맞은편 각이 하나뿐이어서 그 각이 90°를 넘으면 바로 음수가 된다.

TN-45를 coarse·normal·fine 격자로 풀었더니 V_t,sat이 0.231, 0.259, 0.271 V였다. 가장 알맞은 해석은?

간격을 일정 비율로 줄일 때 값이 단조롭게 한 값으로 모이면 수렴 과정에 있는 것이다. 차이가 줄어드는 비율(28 → 12 mV)로 수렴값을 외삽할 수 있고, normal은 그보다 약 20 mV 낮다. 결과를 인용할 때는 격자와 이 오차를 함께 적는다.

노드 예산이 정해진 평면 MOSFET 2D 격자에서 문턱 전압의 정확도를 높이는 데 가장 효과적인 것은?

문턱 전압은 반전층 전하와 채널 장벽으로 정해진다. 고전적 반전층은 표면에서 1 nm 안에 농도가 두 자릿수 바뀌므로 표면 첫 몇 칸이 중요하고, 짧은 채널에서는 소스 쪽 장벽의 높이와 모양을 정하는 접합·할로 둘레의 가로 격자도 중요하다. 실험실 시뮬레이터에서 가로 간격을 1.6배로 키우면 약 40 mV, 세로를 1.6배로 키우면 약 25 mV 틀린다. 깊은 기판은 거의 상관이 없다.