Chapter 02

반도체 방정식의 재료

TCAD 소자 시뮬레이터는 격자점 하나하나에서 "여기에 전자가 몇 개, 정공이 몇 개 있는가"를 묻는다. 그 답은 전위 하나와 페르미 준위 하나, 그리고 실리콘이라는 재료가 가진 몇 개의 숫자(밴드갭, 상태 밀도, 진성 농도)로 정해진다. 이 장은 그 숫자들과 식을 하나씩 만져 본다. 다음 장의 포아송·연속 방정식은 여기서 만든 재료를 격자 위에 올려놓는 일일 뿐이다.

이 장의 위치: 물리 모델의 맨 밑바닥

TCAD 흐름은 공정 모사 → 구조·격자 → 물리 모델 → 수치 해 → 소자 특성 → 보정·활용이다. 공정 모사가 넘겨주는 것은 격자점마다의 도핑 농도 \(N_d(x,y), N_a(x,y)\)뿐이다. 소자 시뮬레이터는 여기에 정전 전위 \(\psi\)를 풀어 붙이고, 그 전위에서 전자·정공 농도를 계산한다. 이 "전위 → 농도" 변환이 이 장의 주제다. 이 변환은 포아송 방정식의 우변(전하)을 만들고, 연속 방정식의 미지수를 정하며, 반복 풀이의 야코비안에 들어간다. 한 번의 2D 풀이에서 수백만 번 불리는 함수이므로, 어떤 근사를 쓰느냐가 결과와 수렴을 함께 좌우한다.

이 장에서 쓰는 엔진 함수 모든 숫자는 책의 엔진 코어 TC가 계산한다. 밴드갭 TC.Eg(T), 유효 상태 밀도 TC.Nc·TC.Nv, 진성 농도 TC.ni, 페르미-디랙 적분 TC.fd12, 불완전 이온화 TC.ionFrac, 밴드갭 좁아짐 TC.bgn, 그리고 끝부분에서는 1D 포아송·드리프트-확산 풀이기(TC.poisson1d, TC.ddSolver1d)와 TN-45의 2D 평형 풀이(TC.poisson2d)를 그대로 돌린다. 소자 물리 자체의 자세한 유도는 DeviceBook을 참조한다.

밴드 그림과 정전 전위

반도체의 전자 에너지는 두 개의 띠로 나뉜다. 전자가 자유롭게 움직이는 전도대(Conduction band)의 바닥 \(E_c\)와 정공이 움직이는 가전자대(Valence band)의 꼭대기 \(E_v\) 사이가 밴드갭(Band gap) \(E_g\)다. 실리콘은 300 K에서 약 1.12 eV다. 전자를 결정 밖으로 끌어내는 데 필요한 에너지의 기준이 진공 준위(Vacuum level) \(E_{\mathrm{vac}}\)이고, \(E_{\mathrm{vac}} - E_c\)가 전자 친화도(Electron affinity) \(\chi\)(실리콘 4.05 eV)다.

소자 안에 전위 \(\psi(x)\)가 있으면 전자의 위치 에너지는 \(-q\psi\)만큼 변한다. 그래서 밴드 그림은 전위를 뒤집어 그린 그림이다. 밴드 모양은 그대로 둔 채 통째로 오르내린다. TCAD는 이 전위의 기준을 어디로 잡을지 정해야 하는데, 이 책의 엔진(그리고 많은 교과서와 도구)은 진성 준위(Intrinsic level) \(E_i\)를 기준으로 쓴다.

$$E_i(x) = -q\,\psi(x) + \text{상수}, \qquad E_c = E_i + \tfrac{1}{2}E_g - \Delta_i, \qquad E_v = E_i - \tfrac{1}{2}E_g - \Delta_i, \qquad E_{\mathrm{vac}} = E_c + \chi$$
\(\Delta_i = \tfrac{1}{2}kT\ln(N_v/N_c)\): 진성 준위가 갭 중앙에서 벗어난 양(엔진 값으로 300 K에서 약 +1 meV, 무시할 만하다). 평형에서는 페르미 준위 \(E_F\)를 0 eV로 둔다. 그러면 \(\psi = (E_F - E_i)/q\)이고, n형 중성 영역에서 ψ > 0, p형에서 ψ < 0이다.
p형 중성 영역 (ψ < 0) n형 중성 영역 (ψ > 0) Evac Ec Ei Ev EF = 0 χ Eg qψ < 0 qψ > 0 qVbi = q(ψn − ψp)
밴드 그림과 전위의 정의. 평형에서 페르미 준위는 어디서나 0 eV로 평평하다. 정전 전위 ψ는 진성 준위가 페르미 준위 아래에 있으면 양(n형), 위에 있으면 음(p형)이다. 진공 준위·전도대·진성 준위·가전자대는 모두 −qψ를 따라 함께 휜다(위치마다 재질이 같다면). 이종 접합이나 게이트 산화막처럼 재질이 바뀌는 곳에서는 \(\chi\)와 \(E_g\)가 달라져 밴드가 계단을 이룬다.

이 정의에서 볼츠만 근사의 전자·정공 농도는 아주 짧다. 비평형으로 넘어가면 \(E_F\) 대신 전자와 정공의 준페르미 전위 \(\phi_n, \phi_p\)가 들어간다(뒤에서 다룬다).

$$n = n_i\,e^{(\psi - \phi_n)/V_t}, \qquad p = n_i\,e^{(\phi_p - \psi)/V_t}, \qquad V_t = \frac{kT}{q} \;(300\ \mathrm{K}\text{에서}\ 25.85\ \mathrm{mV})$$
평형에서는 \(\phi_n = \phi_p = 0\)(접지 기준)이다. 이 식이 성립하려면 볼츠만 통계여야 한다. 고농도에서는 \(F_{1/2}\)로 바꿔야 한다.

상태 밀도 × 점유 확률 = 캐리어 농도

전도대에 전자가 몇 개 있는지는 두 가지의 곱으로 정해진다. 에너지 \(E\)에 전자가 들어갈 자리가 얼마나 있는가(상태 밀도(Density of states, DOS) \(g_c(E)\)), 그리고 그 자리가 실제로 차 있을 확률(페르미-디랙 분포(Fermi-Dirac distribution) \(f(E)\))이다. 포물선 밴드라면 상태 밀도는 \(\sqrt{E - E_c}\)에 비례한다.

$$n = \int_{E_c}^{\infty} g_c(E)\,f(E)\,dE, \quad g_c(E) = \frac{2N_c}{\sqrt{\pi}\,(kT)^{3/2}}\sqrt{E - E_c}, \quad f(E) = \frac{1}{1 + e^{(E - E_F)/kT}}$$$$\Rightarrow\; n = N_c\,\mathcal{F}_{1/2}(\eta_n), \quad \eta_n = \frac{E_F - E_c}{kT}, \qquad p = N_v\,\mathcal{F}_{1/2}(\eta_p), \quad \eta_p = \frac{E_v - E_F}{kT}$$
\(N_c = 2(2\pi m_n^* kT/h^2)^{3/2}\): 전도대 유효 상태 밀도(Effective density of states). 엔진 값으로 300 K에서 \(N_c\) = 2.86×10¹⁹, \(N_v\) = 3.10×10¹⁹ cm⁻³이고 \(T^{3/2}\)로 변한다. \(\mathcal{F}_{1/2}\)는 \(N_c\)로 정규화한 페르미-디랙 적분이며 \(\eta \ll 0\)이면 \(e^{\eta}\)(볼츠만)로 간다.

아래 그림의 왼쪽은 밴드 그림이고 오른쪽은 같은 에너지 축 위에 그린 \(g_c\), \(f\), 그리고 둘의 곱이다. 곱의 넓이가 전자 농도다. 페르미 준위를 위아래로 끌어 본다. 페이지가 이 곱을 직접 수치 적분하고, 그 값을 엔진의 \(\mathcal{F}_{1/2}\) 근사식과 볼츠만 식에 나란히 비교한다.

SIMULATOR

g(E)·f(E)의 넓이가 n이다

E_F를 위아래로 끈다
E_F − E_c—
n (수치 적분)—
n = N_c F₁/₂(η)—
n 볼츠만—
p (수치 적분)—
np / (N_cN_v e^{−E_g/kT})—
해볼 것: ① E_F를 진성 준위 근처에 두면 n과 p가 둘 다 약 10¹⁰ cm⁻³이다. 위로 올리면 n이 kT(26 meV)마다 e배씩 늘고 p는 같은 비율로 준다. 곱 np는 N_cN_v e^{−E_g/kT}에 붙어 움직이지 않는다(질량 작용 법칙). ② E_F를 E_c 위로 끌어올린다. 볼츠만 값이 적분값보다 커지기 시작하고, 넓이의 모양이 \(\sqrt{E}\)를 따라 꽉 찬 사각형 꼴로 바뀐다(축퇴). ③ 온도를 600 K로 올리면 분포의 꼬리가 길어지고 갭이 줄어 n_i가 수천 배 커진다. (포물선 밴드, 실리콘 유효 상태 밀도, 단일 페르미 준위. 적분은 페이지가 사다리꼴로 직접 계산한다.)

볼츠만 근사는 \(f(E) \approx e^{-(E-E_F)/kT}\)로 바꾼 것이다. 페르미 준위가 밴드 끝에서 몇 kT 이상 떨어져 있으면 두 값은 구분되지 않는다. 그 대가로 \(np = N_cN_v e^{-E_g/kT} = n_i^2\)라는 질량 작용 법칙이 페르미 준위와 무관하게 성립한다. TCAD가 볼츠만 통계를 기본으로 쓰는 이유는 이 단순함이다. 전위의 지수 함수 하나로 농도와 그 미분(야코비안)이 모두 나온다.

진성 농도 ni(T)와 1.0×10¹⁰의 사연

도핑이 없으면 n = p이고 이를 진성 농도(Intrinsic carrier concentration)라 한다. 볼츠만 근사에서

$$n_i(T) = \sqrt{N_c N_v}\;e^{-E_g(T)/2kT}, \qquad E_g(T) = E_g(0) - \frac{\alpha T^2}{T + \beta}\quad(\text{Varshni})$$
엔진 계수: \(E_g(0)\) = 1.1696 eV, α = 4.73×10⁻⁴ eV/K, β = 636 K → \(E_g\)(300 K) = 1.124 eV. \(n_i\)는 300 K에서 정확히 1.0×10¹⁰ cm⁻³이 되도록 앞 계수를 맞췄다.

오래된 교과서(Sze 2판 등)에는 300 K 실리콘의 \(n_i\)가 1.45×10¹⁰ cm⁻³으로 나온다. 이후 정밀 측정(Sproul·Green 1991, Misiakos·Tsamakis 1993)이 약 1.0×10¹⁰(9.65×10⁹)을 내놓았고, 그 차이의 상당 부분은 예전 \(N_c, N_v\) 값과 저농도에서도 남아 있는 미세한 밴드갭 좁아짐 처리에서 왔다. 지금의 TCAD 도구와 이 책은 1.0×10¹⁰ 근방을 쓴다. 이 숫자가 중요한 이유는 소수 캐리어 농도 \(n_i^2/N\)과 다이오드 포화 전류가 \(n_i^2\)에 비례하기 때문이다. 1.45배의 차이는 누설 전류에서 2.1배가 된다. 한 가지 덧붙이면, 엔진의 \(N_c, N_v, E_g\)를 위 식에 그대로 넣으면 1.08×10¹⁰이 나와 1.0×10¹⁰보다 8% 크다. 엔진(그리고 여러 TCAD 도구)은 \(n_i\)를 측정값에 맞춰 따로 지정하기 때문이다. 이런 작은 불일치는 모델 매개변수를 섞어 쓸 때 늘 생기므로, 어떤 값이 어떤 값에서 유도됐는지 매개변수 파일에서 확인하는 습관이 필요하다.

아래 그림은 \(n_i\)를 \(1000/T\)에 대해 그린 아레니우스 그림이다. 온도 손잡이를 움직이며 기울기를 읽어 본다.

SIMULATOR

ni(T) 아레니우스 그림과 밴드갭의 온도 의존

곡선 위 점을 끈다
E_g(T)—
N_c(T)—
n_i(T)—
기울기로 읽은 활성화 에너지 ×2—
n_i² 비 (옛값/현재)—
해볼 것: ① 300 K에서 n_i = 1.0×10¹⁰, 400 K에서 약 5×10¹², 600 K에서 약 4×10¹⁵ cm⁻³이다. 100 K 오를 때마다 수백 배다. ② 기울기에서 읽은 "갭"은 E_g(T)가 아니라 1.2 eV 가까이 나온다. Varshni 식이 고온에서 거의 직선이라 \(E_g(T) \approx E_g(0) - \alpha' T\)이고, 직선 부분은 아레니우스 기울기에 들어가지 않기 때문이다. ③ E_g를 고정한 곡선과 비교하면 고온에서 n_i가 몇 배 차이 난다. 고온 누설이나 열 폭주 해석에서 E_g(T)를 빼면 안 되는 이유다. (볼츠만 통계, 밴드갭 좁아짐 없음, N_c ∝ T^{3/2}.)

도핑과 전하 중성: 페르미 준위는 어디에 앉는가

도너 \(N_d\)와 억셉터 \(N_a\)를 넣고 전계가 없는 곳(중성 영역)에서는 전하의 합이 0이다. 모두 이온화됐다고 가정하면

$$p - n + N_d^{+} - N_a^{-} = 0 \;\Rightarrow\; n = \frac{N}{2} + \sqrt{\left(\frac{N}{2}\right)^2 + n_i^2}, \quad N = N_d - N_a, \qquad \psi = V_t\,\mathrm{asinh}\!\left(\frac{N}{2n_i}\right)$$
볼츠만 통계일 때의 해. \(\psi\)는 TCAD가 오믹 접촉의 경계 조건으로 쓰는 "국소 중성 전위"이고, 반복 풀이의 초기값으로도 쓴다. 고농도·축퇴 영역에서는 \(\mathcal{F}_{1/2}\)를 넣고 수치로 푼다.

중요한 것은 순 도핑 \(N_d - N_a\)다. 억셉터 6×10¹⁸ 위에 도너 5.9×10¹⁸을 넣으면 p형 1×10¹⁷처럼 보인다. 이것이 보상(Compensation)이다. 다만 이동도와 밴드갭 좁아짐은 순 도핑이 아니라 총 도핑 \(N_d + N_a\)를 본다. 그래서 TCAD는 두 도핑을 따로 저장한다(10장).

SIMULATOR

도핑 → 페르미 준위 → n, p

순 도핑—
n—
p—
E_F − E_i = qψ—
E_F 위치—
해볼 것: ① N_a = 10¹⁷에서 E_F − E_i ≈ −0.41 eV다. N_a를 열 배 올릴 때마다 E_F는 약 60 meV(= V_t ln 10)씩 E_v로 다가간다. ② N_d를 올려 N_a에 바짝 붙인다. 두 막대가 거의 같아지는 순간 순 도핑이 작아지고 E_F가 갭 중앙으로 미끄러진다(보상). N_d가 N_a를 넘으면 n형으로 뒤집힌다. ③ N_d를 10²⁰ 이상으로 올리고 볼츠만과 페르미-디랙을 번갈아 눌러 본다. 같은 n인데 E_F가 E_c 위로 수십 meV 다르게 앉는다. (완전 이온화, 밴드갭 좁아짐 없음, 300 K.)

볼츠만 대 페르미-디랙: 축퇴의 문턱

볼츠만 근사는 \(\eta = (E_F - E_c)/kT\)가 약 −4보다 작을 때 1% 안에서 맞는다. \(\eta=-3\)에서는 페르미-디랙 적분과 비교한 오차가 약 1.7%다. 실리콘에서 \(\eta\approx-4\)는 대략 \(n\lesssim 5\times10^{17}\) cm⁻³에 해당한다. 그보다 높은 농도에서는 상태가 차기 시작해 볼츠만 식이 같은 \(E_F\)에서 전자 수를 과대평가한다. 거꾸로 말하면, 같은 농도를 얻는 데 필요한 \(E_F\)를 너무 낮게 잡는다. TN-45의 소스/드레인(10²⁰ cm⁻³ 이상)과 반전층 표면(10²⁰ 근처)이 정확히 이 영역이다.

$$\frac{n_{\mathrm{MB}}}{n_{\mathrm{FD}}} = \frac{e^{\eta}}{\mathcal{F}_{1/2}(\eta)}, \qquad \mathcal{F}_{1/2}(\eta) \approx \frac{1}{e^{-\eta} + \tfrac{3\sqrt{\pi}}{4}\,\nu^{-3/8}}\;(\text{Bednarczyk 근사, 오차} < 0.4\%)$$
\(\nu = \eta^4 + 50 + 33.6\,\eta\,(1 - 0.68\,e^{-0.17(\eta+1)^2})\). 엔진의 TC.fd12가 이 식이다. 수치 풀이기는 적분 대신 이런 닫힌 근사를 쓴다(미분도 닫힌 꼴로 필요하다).
SIMULATOR

볼츠만 근사는 어디서 틀리기 시작하는가

세로 커서를 끈다
η = (E_F − E_c)/kT—
n 페르미-디랙—
n 볼츠만(같은 E_F)—
과대평가—
같은 n에서 E_F 차이—
해볼 것: ① η = −3에서 오차는 약 2%, η = 0(E_F가 E_c에 닿음)에서 약 31%다. ② 가로축을 도핑으로 바꾸고 커서를 10²⁰ cm⁻³에 둔다. 볼츠만은 E_F를 E_c 위 32 meV에, 페르미-디랙은 63 meV에 둔다. 차이 31 meV는 소스/드레인의 내부 전위(장벽 높이)에 그대로 더해진다. ③ 2×10²⁰에서는 같은 E_F를 볼츠만 식에 넣으면 전자가 약 10배로 계산된다. (포물선 밴드·완전 이온화. 비포물선성과 밴드갭 좁아짐은 빼고 통계만 비교한다.)
FD를 켜면 드리프트-확산도 바뀐다 페르미-디랙 통계에서는 아인슈타인 관계 \(D = \mu kT/q\)가 \(D = \mu\,(kT/q)\,\mathcal{F}_{1/2}(\eta)/\mathcal{F}_{-1/2}(\eta)\)로 커진다. 상용 도구는 FD를 켜면 이 보정을 전류식에 넣는다. 이 책의 1D·2D 드리프트-확산 엔진은 볼츠만만 지원하고, 포아송과 MOS 커패시터 풀이에서만 stats: "fd"를 쓸 수 있다. 축퇴 영역이 전류 경로에서 짧은 소스/드레인뿐이라면 볼츠만으로도 단자 특성이 크게 틀리지 않는다. 다만 접합의 내부 전위와 반전층 전하 분포는 달라진다.

불완전 이온화와 동결

도너가 전자를 내놓으려면 \(E_c - E_d\)(인 45 meV, 비소 54 meV)만큼의 에너지가 필요하다. 300 K의 kT(26 meV)는 이보다 작지만 상태 수가 많아 대부분 이온화된다. 온도를 낮추면 전자가 도너에 다시 붙잡혀 농도가 떨어진다. 이것이 동결(Freeze-out)이다. 온도를 높이면 반대로 진성 캐리어가 도핑을 넘어선다. 그 사이의 넓은 평탄 구간이 \(n \approx N_d\)인 외인성 영역(Extrinsic region)이고, 소자는 이 영역에서 동작하도록 설계된다.

$$N_d^{+} = \frac{N_d}{1 + g_d\,\dfrac{n}{N_c}\,e^{\Delta E_d/kT}}, \qquad n = \frac{N_d^{+}}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_d^{+}}{2}\right)^2 + n_i^2}$$
\(g_d\) = 2(도너), \(g_a\) = 4(억셉터). 엔진 TC.ionFrac(N, T, ΔE, g)은 \(n \approx N_d^+\)로 놓고 이차식을 푼다(인 10¹⁷에서 0.96, 10¹⁹에서 0.39). 고농도에서는 도펀트 준위가 서로 겹쳐 띠를 이루고(모트 전이, 약 3×10¹⁸ cm⁻³ 이상) 이온화 에너지가 사라지므로, 실제로는 다시 완전 이온화에 가깝다. 아래 시뮬레이터의 "도핑 의존 ΔE"는 \(\Delta E(N) = \Delta E_0/[1 + (N/3\times10^{18})^2]\)(Altermatt 계열 근사)이다.
SIMULATOR

n 대 1/T: 동결 · 외인성 · 진성 영역

온도 커서를 끈다
커서 온도—
이온화 비율—
300 K 이온화 비율—
n = N_d/2 되는 온도—
n_i = N_d 되는 온도—
해볼 것: ① N_d = 10¹⁶에서 외인성 평탄 구간은 약 100 K에서 500 K 넘게까지 이어진다. ② N_d를 10¹⁹로 올린다. 단순 모델에서는 300 K에서도 40%만 이온화되는 것으로 나온다. 모트 전이를 켜면 거의 1로 돌아온다. 그래서 상용 TCAD는 불완전 이온화를 기본으로 끄고, 저온·SiC·저농도 기판 해석에서만 켠다. ③ 도핑을 낮추면 진성 영역이 시작되는 온도가 내려간다. 10¹⁴이면 400 K 근처다(전력 소자 고온 동작의 한계). (단일 도너 준위, 보상 없음, 볼츠만 통계, 엔진 TC.ionFrac.)

밴드갭 좁아짐과 실효 진성 농도

도핑이 10¹⁸ cm⁻³을 넘으면 도펀트 이온의 무작위 퍼텐셜, 캐리어끼리의 교환·상관 에너지 때문에 밴드 끝이 갭 안쪽으로 내려온다. 이것이 밴드갭 좁아짐(Bandgap narrowing, BGN)이다. TCAD는 이를 밴드 구조로 직접 계산하지 않고, 실효 진성 농도 \(n_{i,\mathrm{eff}}\)에 넣는다.

$$\Delta E_g = E_{\mathrm{bgn}}\left[\ln\frac{N}{N_{\mathrm{ref}}} + \sqrt{\ln^2\frac{N}{N_{\mathrm{ref}}} + \frac12}\,\right], \qquad n_{i,\mathrm{eff}} = n_i\,e^{\Delta E_g/2kT}$$
Slotboom-de Graaff 모델. \(E_{\mathrm{bgn}}\) = 6.92 meV, \(N_{\mathrm{ref}}\) = 1.3×10¹⁷ cm⁻³, N은 총 도핑. 10¹⁸에서 29 meV, 10¹⁹에서 61 meV, 10²⁰에서 92 meV. 이 값은 볼츠만 통계를 가정하고 소자 측정에서 거꾸로 뽑은 "겉보기" 밴드갭 좁아짐이다.

BGN이 다수 캐리어 농도에는 거의 영향이 없다(전하 중성이 n ≈ N을 고정한다). 영향을 받는 것은 소수 캐리어다. \(p_0 = n_{i,\mathrm{eff}}^2/N\)이므로 10²⁰ 영역에서 소수 캐리어가 \(e^{\Delta E_g/kT}\), 약 35배 많아진다. 바이폴라 에미터의 주입 효율과 고농도 접합의 누설이 이 숫자에 달려 있다.

SIMULATOR

도핑에 따른 ΔEg와 ni,eff

도핑 커서를 끈다
총 도핑 N—
ΔE_g—
n_i,eff—
소수 캐리어 BGN 없음—
소수 캐리어 BGN 포함—
해볼 것: ① 10¹⁷ 아래에서는 ΔE_g가 거의 0이다. 10¹⁸부터 로그로 올라간다. ② TN-45의 소스/드레인 2×10²⁰에 커서를 둔다. ΔE_g 약 0.10 eV, 소수 캐리어는 약 50배다. ③ del Alamo 모델(18.7 meV·ln(N/7×10¹⁷), n형 에미터 측정)과 비교한다. 같은 도핑에서 수십 meV 차이 나는 것이 모델 선택의 몫이다. 온도를 올리면 같은 ΔE_g의 효과(e^{ΔE_g/kT})는 줄어든다. (모델 계수는 공개 문헌 값, 두 모델 모두 볼츠만 통계 기준의 겉보기 BGN.)
통계와 BGN은 짝으로 고른다 Slotboom·del Alamo 계수는 볼츠만 통계로 해석한 측정에서 나왔다. 그런데 실제 축퇴 효과의 일부(FD가 볼츠만보다 E_F를 높이는 효과)가 이미 "겉보기" BGN 안에 섞여 있다. 그래서 FD 통계를 켜고 겉보기 BGN 모델까지 그대로 쓰면 축퇴 효과를 두 번 세는 셈이 된다. FD를 쓸 때는 FD로 다시 맞춘 BGN 모델(예: Schenk, Altermatt 재매개화)을 쓰는 것이 원칙이다. 이 장의 마지막 시뮬레이터에서 두 스위치를 따로 켜 보며 그 크기를 비교한다.

준페르미 준위: 비평형에서 EF가 둘로 갈라진다

평형에서는 \(np = n_i^2\)다. 빛을 쬐거나 접합에 순방향 전압을 걸어 캐리어를 주입하면 n과 p가 동시에 많아지고, 하나의 페르미 준위로는 둘을 함께 설명할 수 없다. 그래서 전자와 정공에 각각 준페르미 준위(Quasi-Fermi level) \(E_{Fn} = -q\phi_n\), \(E_{Fp} = -q\phi_p\)를 준다. 전자끼리, 정공끼리는 피코초 안에 각자의 열평형에 이르지만, 전자와 정공 사이의 평형(재결합)은 나노~마이크로초가 걸리기 때문에 이 그림이 성립한다.

$$np = n_i^2\,e^{(E_{Fn} - E_{Fp})/kT} = n_i^2\,e^{(\phi_p - \phi_n)/V_t}, \qquad J_n = -q\mu_n n\,\nabla\phi_n, \quad J_p = -q\mu_p p\,\nabla\phi_p$$
전류는 준페르미 전위의 기울기로 흐른다. 평형에서 φ가 평평하면 전류가 0이다. 이 형태가 드리프트-확산 식을 한 줄로 줄인 것이다(3장).

아래는 엔진의 1D 드리프트-확산 풀이기(뉴턴, 샤페터-거멜)로 pn 다이오드를 순방향으로 푼 결과다. 위는 밴드 그림, 아래는 n, p와 \(np/n_i^2\)다. 전압을 올리며 두 준페르미 준위가 공핍 영역을 가로질러 거의 평평하게 Va만큼 벌어지는지 본다.

SIMULATOR

순방향 pn 접합의 준페르미 준위 (1D 드리프트-확산 풀이)

접합에서 E_Fn − E_Fp—
접합 np/n_i²—
e^{V_a/V_t}—
주입 수준 p/N (n쪽 x = 1.3 µm)—
전류 밀도 J—
뉴턴 반복—
해볼 것: ① V_a = 0이면 두 준위가 한 줄로 겹친다(평형). ② 0.5 V로 올리면 공핍 영역에서 E_Fn − E_Fp가 0.5 eV, np/n_i²가 e^{0.5/0.0259} ≈ 2.5×10⁸이다. 준위는 중성 영역 쪽으로 가며 재결합 때문에 다시 합쳐진다. ③ 도핑을 10¹⁵로 바꾸고 0.7 V 이상으로 올린다. 주입된 캐리어가 도핑을 넘어서는 고주입이 되어 다수 캐리어의 준페르미 준위까지 기울고, 중성 영역에도 전압이 걸린다. (볼츠만, SRH τ = 0.1 µs + 오제, 길이 2 µm, 엔진 TC.ddSolver1d로 이전 해에서 이어 푼다.)

노드가 저장하는 것: 변수 선택과 스케일링

지금까지의 식을 모으면, 격자점 하나의 상태는 세 개의 숫자로 완전히 정해진다. 무엇을 그 세 숫자로 고르느냐가 풀이기의 성격을 바꾼다.

변수 묶음n, p 계산장점약점쓰는 곳
(ψ, n, p)그대로연속 방정식이 n, p에 선형. 샤페터-거멜 전류와 잘 맞는다n, p가 수십 자릿수에 걸쳐 있다(음수가 되지 않게 보호해야 한다)상용 도구의 결합 뉴턴, 이 책의 1D·2D DD
(ψ, φn, φp)\(n_i e^{(\psi-\phi_n)/V_t}\)값의 범위가 인가 전압 정도로 작다. 양수가 자동 보장전류가 \(n\nabla\phi_n\)이라 비선형이 강하다. 캐리어가 거의 없는 곳에서 φ가 정해지지 않는다준페르미 해석, 일부 도구의 선택지
슬롯붐 (ψ, u, v)\(n = n_i e^{\psi/V_t} u\), \(u = e^{-\phi_n/V_t}\)연속 방정식이 u에 대해 선형·자기수반이 된다(거멜 반복에 유리)u, v가 \(e^{V/V_t}\)로 커져 수십 V 넘는 바이어스에서 배정밀도가 넘친다거멜 반복, 초기 단계 풀이

또 하나의 문제는 스케일이다. 실리콘 안의 농도는 공핍 영역의 소수 캐리어 10⁰ 근처(저온에서는 10⁻²⁰ 아래)에서 소스/드레인의 10²¹까지 걸쳐 있고, 전위는 수 V, 위치는 nm다. 그대로 행렬에 넣으면 원소 크기가 10⁴⁰배 차이 나 풀이가 망가진다. 그래서 TCAD는 전위를 \(V_t\)로, 농도를 기준 농도(최대 도핑 또는 \(n_i\))로, 길이를 디바이 길이로 나눈 무차원 변수로 바꾸고, 행마다 크기를 맞추는 평형화((Row scaling))를 더한다.

$$\tilde\psi = \frac{\psi}{V_t}, \qquad \tilde n = \frac{n}{C_{\mathrm{ref}}}, \qquad \tilde x = \frac{x}{L_D}, \quad L_D = \sqrt{\frac{\varepsilon V_t}{q\,C_{\mathrm{ref}}}}$$
\(C_{\mathrm{ref}}\)를 최대 도핑 10²⁰으로 잡으면 \(L_D\) ≈ 0.4 nm, \(n_i\)로 잡으면 약 41 µm다. 어느 쪽이든 수치는 같고, 반올림 오차가 고르게 퍼지게 만드는 것이 목적이다.

아래 시뮬레이터는 pn 다이오드(10¹⁷/10¹⁷)를 역방향으로 깊게 걸며 세 변수 묶음이 노드에 저장할 값을 그린다. 각 묶음의 "동적 범위"를 읽어 본다.

SIMULATOR

같은 해, 세 가지 저장 방식

n 범위—
φ_n 범위—
u = e^{−φn/Vt} 범위—
ψ 범위—
풀이—
해볼 것: ① (ψ, n, p)에서 −5 V를 건다. 공핍 영역의 n이 한 자릿수 cm⁻³까지 떨어져 n의 범위가 16~17 자릿수다. ② (ψ, φn, φp)로 바꾼다. 같은 해인데 저장 값은 0에서 −5 V 사이뿐이다. ③ 슬롯붐으로 바꾸고 역방향을 −18 V 너머로 민다. u의 최댓값이 e^{18.3/0.0259} ≈ 10³⁰⁸을 넘어 배정밀도 실수가 무한대가 된다(빨간 표시). 슬롯붐 변수를 쓰는 거멜 풀이가 고전압에서 스케일링 트릭(국소 기준 전위)을 따로 써야 하는 이유다. (풀이 자체는 (ψ, n, p) 뉴턴으로 하고, 나머지 두 묶음은 그 해를 변환해 보여 준다.)

TN-45의 재료: 소스/드레인과 채널을 가로지르는 단면

이제 이 장의 재료를 모두 한 단면에 올린다. 위 그림은 TN-45의 해석식 도핑을 2D 격자(normal, 2009 노드)에 올린 것이다. 수평 단면선을 끌어 깊이를 정하면, 페이지가 그 선 위의 도핑 \(N_d - N_a\)를 따라 1D 비선형 포아송 방정식(평형, 게이트 없음)을 뉴턴으로 푼다. 통계(볼츠만/페르미-디랙)와 밴드갭 좁아짐을 각각 켜고 끄며 밴드 그림이 어떻게 달라지는지 본다. 지도를 "전자 n"이나 "정공 p"로 바꾸면 게이트와 산화막까지 포함한 2D 평형 해(TC.poisson2d)를 한 번 풀어 보여 준다.

SIMULATOR

TN-45 가로 단면의 밴드 그림: 통계와 BGN 비교

지도 위 단면선을 위아래로 끈다
단면 깊이 y—
소스 끝 n / E_F − E_c—
채널 중앙 p / E_F − E_v—
채널 중앙 n—
장벽 E_c(중앙) − E_c(소스)—
뉴턴 반복—
해볼 것: ① 깊이 10 nm(채널 도핑 정점)에서 볼츠만으로 본다. 채널 중앙은 p ≈ 9×10¹⁸으로 중성이고 E_F가 E_v 위 약 30 meV에, 소스는 E_F가 E_c 위 약 56 meV에 있다. ② 페르미-디랙으로 바꾼다. 농도는 그대로인데 소스의 E_c가 약 70 meV 더 내려가 소스-채널 장벽이 1.15 → 1.23 eV로 커진다. ③ BGN을 켠다. 고농도 소스와 채널의 갭이 각각 줄어 장벽이 약 60 meV 다시 낮아진다. FD와 BGN이 서로 반대 방향이라는 것, 그리고 둘을 함께 켤 때의 모델 일관성(위 상자)이 실제 결정의 쟁점이다. ④ 단면을 표면(1~2 nm)으로 올리면 채널이 너무 짧아 중성에 이르지 못한다. 양쪽 n⁺의 공핍이 채널 전체를 덮는다. (게이트 없는 1D 평형 포아송, 양 끝 오믹, 0.5 nm 균일 격자 301점. 2D 지도는 게이트·산화막을 포함한 평형 해.)
TARGET TN-45타깃 파일 · 2장

채널은 볼츠만으로 충분하고, 소스/드레인은 그렇지 않다

공정 레시피(TC.tn45Process)가 만든 채널 중앙의 붕소는 표면 5.6×10¹⁸, 깊이 12 nm 정점 6.3×10¹⁸ cm⁻³이다. 대표값 p = 6×10¹⁸에서 엔진 계산은 다음과 같다. E_F − E_i = −0.523 eV(φ_F ≈ 0.52 V), E_F − E_v = 42.5 meV(볼츠만) 대 40.7 meV(페르미-디랙)로 차이는 2 meV뿐이다. 전자는 n = n_i²/p ≈ 17 cm⁻³이고, 밴드갭 좁아짐(ΔE_g = 54 meV, n_i,eff = 2.8×10¹⁰)을 넣으면 약 130 cm⁻³으로 늘어난다. 단순 이온화 모델은 300 K에서 붕소 38%만 이온화된다고 말하지만 모트 전이를 넣으면 거의 완전 이온화다. 깊은 소스/드레인 n⁺ 2×10²⁰에서는 사정이 다르다. E_F가 E_c 위에 있고(볼츠만 50 meV, 페르미-디랙 109 meV), 같은 E_F를 볼츠만 식에 넣으면 전자가 9.8배로 계산된다. 밴드갭 좁아짐은 10²⁰에서 0.092 eV, 2×10²⁰에서 0.102 eV다. 위 단면 시뮬레이터에서 깊이 10 nm의 소스-채널 장벽은 볼츠만 1.151 eV, 페르미-디랙 1.225 eV, 페르미-디랙+BGN 1.167 eV로 계산된다.

이 장에서 정한 것TN-45 해석의 기본 통계는 볼츠만(드리프트-확산 엔진이 지원하는 것)으로 두고, 소스/드레인의 축퇴 효과가 내부 전위를 약 60~70 meV 바꾼다는 것을 기억해 둔다. 이온화는 완전 이온화, 300 K n_i = 1.0×10¹⁰.
아직 남은 문제게이트가 없는 단면이었다. 게이트 전압이 채널 표면의 밴드를 어떻게 굽히는지, 네 전극이 어떤 경계 조건으로 들어가는지는 아직 모른다.
다음 단계채널 중앙의 수직 단면에서 평형 포아송 방정식을 세우고 네 전극의 경계 조건을 정한다(3장).

핵심 정리

  1. TCAD의 정전 전위 ψ는 진성 준위를 기준으로 잡는다(\(E_i = -q\psi\), 평형 \(E_F\) = 0). 밴드는 −qψ를 따라 통째로 휘고, 재질이 바뀌는 곳에서만 χ·E_g 차이로 계단이 생긴다.
  2. 캐리어 농도는 상태 밀도와 점유 확률의 곱의 적분, \(n = N_c\mathcal{F}_{1/2}(\eta)\)다. 볼츠만 근사 \(n = n_i e^{(\psi-\phi_n)/V_t}\)는 η < −4 정도에서 1% 안에 들며, 실리콘에서 약 5×10¹⁷ cm⁻³ 위에서는 오차가 커져 E_F를 낮게 잡는다.
  3. \(n_i\)는 \(e^{-E_g(T)/2kT}\)로 변하며 100 K마다 수백 배다. 현재 TCAD는 300 K에서 약 1.0×10¹⁰을 쓰고, 옛 값 1.45×10¹⁰은 누설 전류를 2배 넘게 바꾼다.
  4. 전하 중성이 페르미 준위를 정한다. 순 도핑이 위치를, 총 도핑이 이동도와 BGN을 정한다. 고농도에서 단순 불완전 이온화 모델은 모트 전이를 무시해 틀리므로, 실온 실리콘 TCAD는 보통 완전 이온화를 쓴다.
  5. 밴드갭 좁아짐은 \(n_{i,\mathrm{eff}} = n_i e^{\Delta E_g/2kT}\)로 들어가 소수 캐리어를 키운다(10²⁰에서 ΔE_g ≈ 0.09 eV, 약 35배). 겉보기 BGN 모델은 볼츠만 통계와 짝이다.
  6. 비평형에서는 준페르미 전위 φn, φp가 갈라지고 \(np = n_i^2 e^{(\phi_p-\phi_n)/V_t}\), 전류는 \(-q\mu n\nabla\phi_n\)이다.
  7. 노드 변수는 (ψ, n, p), (ψ, φn, φp), 슬롯붐 (ψ, u, v) 중에서 고른다. 농도의 수십 자릿수 범위와 슬롯붐 변수의 넘침 때문에 무차원화·행 스케일링이 필수다.

확인 퀴즈

n형 중성 영역에서 도핑을 10¹⁷에서 10¹⁸ cm⁻³으로 열 배 올렸다(300 K, 볼츠만, 완전 이온화). 이 책의 부호 규약에서 정전 전위 ψ는 어떻게 변하는가?

ψ = V_t ln(N/n_i)이므로 열 배마다 V_t ln 10 ≈ 59.5 mV씩 커진다. n형에서 ψ > 0이고 E_i가 E_F 아래로 더 내려간다.

2×10²⁰ cm⁻³ 비소 소스/드레인에서 볼츠만 통계와 페르미-디랙 통계를 비교했다. 중성 영역에서 옳은 설명은?

중성 영역의 다수 캐리어 농도는 전하 중성이 도핑과 같게 고정한다. 통계가 바꾸는 것은 그 농도를 만드는 E_F 위치다(볼츠만 E_c 위 50 meV, 페르미-디랙 109 meV). 이 차이가 접합 내부 전위로 들어간다. 볼츠만에서도 이 도핑에서는 E_F가 이미 E_c 위에 있다.

밴드갭 좁아짐을 켰더니 10²⁰ cm⁻³ n⁺ 영역의 무엇이 가장 크게 바뀌는가?

ΔE_g ≈ 0.092 eV이면 n_i,eff² = n_i² e^{ΔE_g/kT} ≈ 35 n_i². 다수 캐리어는 전하 중성이 고정하므로 거의 그대로이고, 소수 캐리어와 그에 비례하는 확산 전류·누설이 커진다.

거멜 반복에서 슬롯붐 변수 u = e^{−φn/Vt}를 쓰는 풀이기가 −25 V 역방향 바이어스에서 갑자기 NaN을 낸다. 가장 그럴듯한 원인은?

슬롯붐 변수는 바이어스에 지수로 비례해 약 18 V(300 K)를 넘으면 배정밀도가 넘친다. 그래서 국소 기준 전위로 다시 스케일하거나 (ψ, n, p) 변수의 뉴턴으로 바꾼다.