드리프트-확산을 넘어서

수송 모델의 사다리

반도체 안의 전자 하나하나를 기술하는 가장 일반적인 고전 방정식은 볼츠만 수송 방정식(Boltzmann transport equation, BTE)이다. 미지수는 위치 \(\mathbf r\)와 파수 \(\mathbf k\)와 시간 \(t\)의 함수인 분포 함수 \(f(\mathbf r,\mathbf k,t)\), 곧 "어디에 어떤 운동량을 가진 전자가 얼마나 있는가"다.

7차원을 격자로 풀 수는 없다. 그래서 TCAD는 이 방정식을 줄인다. \(f\)에 1, \(\mathbf v\), \(E\)를 곱해 \(\mathbf k\)로 적분하면 각각 농도, 전류, 에너지의 방정식이 나온다(모멘트(Moments)). 앞의 두 개만 남기고 전자 집단이 격자와 열평형에 있다고 놓으면 3장의 드리프트-확산이고, 세 번째까지 남기면 에너지 균형(유체역학) 모델이다. 반대로 \(f\) 자체를 입자 표본으로 직접 푸는 것이 몬테카를로이고, 전자의 파동성(간섭·터널링·구속)이 중요해지면 BTE 자체를 버리고 슈뢰딩거 방정식 계열로 올라간다.

어느 칸이 필요한지는 소자의 크기를 몇 개의 고유 길이와 비교하면 대략 정해진다. 전자가 운동량을 잃기까지 가는 거리인 평균 자유 행로(Mean free path), 남는 에너지를 격자에 넘기기까지 가는 에너지 이완 길이(Energy relaxation length), 전자의 파동성이 드러나는 드브로이 파장(de Broglie wavelength)이다.

아래 축은 0.1 nm에서 10 µm까지의 길이를 로그로 펼친 것이다. 도핑과 이동도를 바꾸면 평균 자유 행로가 움직인다. 삼각형 손잡이(소자 길이)를 끌어서 어느 영역에 들어가는지 본다.

경계가 칼같이 나뉘지는 않는다. 그래도 순서는 분명하다. 소자를 줄이면 먼저 에너지 이완 길이(수십 nm)에 닿아 속도 과도가 나타나고, 다음으로 평균 자유 행로(약 10 nm)에 닿아 탄도 수송이 시작되며, 마지막으로 드브로이 파장(약 8 nm)에 닿아 터널링과 간섭이 보인다. 45 nm 세대는 첫째와 둘째 경계 사이에 걸쳐 있다. 수직 방향은 다르다. 반전층 두께는 이미 1~2 nm라 수직 구속은 오래전부터 양자 영역이다.

드리프트-확산이 깔고 앉은 가정

드리프트-확산 전류 \(J_n = q\mu_n nE + qD_n\nabla n\)을 BTE에서 끌어내려면 세 가지를 가정해야 한다.

1. 국소 평형. 분포 함수가 격자 온도의 맥스웰 분포에서 조금만 벗어나 있다. 전자 온도 \(T_n = T_L\).
2. 느린 변화. 전계와 농도가 평균 자유 행로 길이 안에서, 그리고 운동량 이완 시간 \(\tau_m\)(약 0.1~0.2 ps) 동안 거의 변하지 않는다.
3. 국소 전계 모델. 이동도·속도 포화·충돌 이온화가 그 자리의 전계 하나로 정해진다. \(v = \mu(E)\,E\)가 즉시 성립한다.

세 번째가 짧은 채널에서 가장 먼저 깨진다. 10장의 Canali 모델에서 속도는 전계의 함수일 뿐이라, 전자가 고전계 영역에 들어서는 순간 이미 포화 속도 \(1.07\times10^7\) cm/s에 묶인다. 실제 전자는 에너지를 얻는 데 시간이 걸린다. 전계가 높아도 아직 "차가운" 전자는 저전계 이동도를 가진 채 빠르게 가속된다. 이것을 보려면 분포 함수를 직접 풀어야 한다. 13장에서 충돌 이온화에 에너지 이완 길이만큼의 지연을 넣은 것도 같은 이유였다.

몬테카를로: 볼츠만 방정식을 입자로 푼다

앙상블 몬테카를로(Ensemble Monte Carlo, EMC)는 BTE를 그대로 풀지 않고 흉내 낸다. 전자 하나를 따라가면 일어나는 일은 두 가지뿐이다. 산란과 산란 사이에는 전계에 밀려 파수가 고르게 변하고(자유 비행(Free flight)), 무작위한 순간에 산란이 일어나 파수가 새로 정해진다. 산란률 \(\Gamma_i(\varepsilon)\)은 에너지에 따라 다르므로, 계산을 쉽게 하려고 총 산란률이 언제나 상수 \(\Gamma\)가 되도록 가짜 자기 산란(Self-scattering)을 채워 넣는다.

엔진의 모형은 실리콘 전도대를 비포물선 단일 계곡(\(\alpha\) = 0.5 eV⁻¹)으로 보고, 음향 포논과 Jacoboni-Reggiani의 밸리 간 포논 여섯 종(g형 3, f형 3)을 넣는다. 먼저 전자 하나를 따라가 본다. 위 그래프는 시간에 따른 에너지, 아래는 파수 평면이다. 산란 점의 색이 과정을, 채움이 방출(채움)과 흡수(빈 원)를 나타낸다.

전자 하나의 시간 평균은 수렴이 느리다. 에르고드성 덕분에 충분히 오래 평균하면 결국 같은 값에 가지만, 소자에서는 시간에 따라 변하는 양이 궁금하므로 전자 수천 개를 동시에 굴리고 같은 시각에서 평균한다. 이것이 앙상블 몬테카를로다. 아래는 전계마다 앙상블을 정상 상태까지 굴려 드리프트 속도와 평균 에너지를 얻은 것이다. 실선은 10장의 Canali 속도 포화 모델이다.

몬테카를로 점들은 10³~10⁵ V/cm에서 Canali 곡선을 10% 안팎으로 따라간다. 산란 모형의 매개변수(변형 퍼텐셜, 포논 에너지)를 실험 v(E)에 맞춰 정했기 때문이다. 이 일치가 몬테카를로의 출발점이다. 정상 상태 균일 전계에서는 드리프트-확산과 몬테카를로가 같은 답을 준다. 차이는 정상이 아니거나 균일하지 않을 때 생긴다. 오른쪽 그래프의 평균 에너지가 그 실마리다. 10⁵ V/cm에서 전자는 열에너지(39 meV)의 열 배 가까운 에너지를 갖고, 이 에너지를 얻고 잃는 데에는 시간이 걸린다.

속도 과도와 에너지 이완

평형에 있던 전자 집단에 \(t = 0\)에 갑자기 큰 전계를 건다. 처음에는 전자가 차가워서 저전계 이동도로 가속된다. 에너지가 오르면서 밸리 간 산란이 켜지고 이동도가 떨어져, 속도는 꼭짓점을 찍고 정상값으로 내려온다. 운동량은 \(\tau_m\)으로, 에너지는 그보다 긴 \(\tau_w\)로 이완되기 때문에 생기는 속도 과도(Velocity overshoot)다. 같은 현상을 모멘트 방정식 두 개(운동량·에너지)로 공간 없이 적으면 다음과 같다.

아래에서 전계 계단의 크기를 바꾸면 엔진이 전자 1500개로 1 ps를 다시 굴린다. 함께 그린 0차원 에너지 균형 곡선은 \(\tau_w\) 하나로 몬테카를로를 얼마나 흉내 낼 수 있는지 보여 준다.

과도가 지속되는 시간은 0.1~0.3 ps, 그동안 전자가 가는 거리는 수십 nm다. 오른쪽 아래 숫자가 핵심이다. 10⁵ V/cm에서 22 nm를 지나는 데 드리프트-확산은 약 0.21 ps가 걸린다고 보지만 몬테카를로 전자는 그보다 훨씬 빨리 지나간다. 채널이 에너지 이완 길이보다 짧으면 전자는 정상 상태에 닿기 전에 채널을 빠져나간다. 드리프트-확산이 짧은 채널의 전류를 낮게 잡는 첫째 이유다. 실제 소자에서는 전계가 계단이 아니라 소스에서 드레인으로 가며 서서히 커지므로 과도는 이보다 작지만, 방향은 같다.

에너지 균형 모델: n⁺–n–n⁺ 구조

몬테카를로를 소자 전체에 돌리기는 비싸다. 그래서 TCAD 도구는 드리프트-확산에 에너지 방정식 하나를 더해 전자 온도 \(T_n\)을 함께 푸는 에너지 균형(Energy balance) 또는 유체역학(Hydrodynamic) 모델을 제공한다. 이동도와 충돌 이온화를 전계 대신 \(T_n\)의 함수로 두면, 전자가 데워지는 데 걸리는 거리가 저절로 들어간다.

시험대는 고전적인 n⁺–n–n⁺ 구조다. 가운데 저농도 n 영역이 채널 역할을 하고, 드레인 쪽 n⁻/n⁺ 경계에 전계가 몰린다. 아래에서 길이와 전압을 바꾸면 엔진이 두 모델(Canali 드리프트-확산, 에너지 균형)을 차례로 푼다.

에너지 균형 모델은 드리프트-확산이 놓친 비국소 효과를 상당 부분 되살린다. 그러나 대가가 있다. 전자 온도 기울기가 큰 곳에서 열확산 항이 과장되어, n⁻/n⁺ 경계 바로 뒤에서 속도가 실제(몬테카를로)보다 크게 튀거나 전자 온도가 드레인 안쪽 깊이까지 남는 가짜 속도 과도(Spurious velocity overshoot)가 알려져 있다. 그래서 에너지 균형 모델은 켜짐 전류를 과대 예측하기 쉽고, 상용 도구에서도 τw와 열 흐름 계수를 몬테카를로 결과에 맞춰 조정해 쓴다.

탄도 수송: 장벽 꼭대기에서 본 MOSFET

채널이 평균 자유 행로 수준으로 짧아지면 질문 자체가 바뀐다. "전자가 얼마나 빨리 끌려가는가"가 아니라 "소스에서 장벽을 넘어 들어온 전자 가운데 몇이 되돌아가지 않는가"다. Natori와 Lundstrom의 장벽 꼭대기 모델(Top-of-the-barrier model)은 채널 전위가 가장 높은 점(가상 소스) 하나만 본다. 그 점에서 +k 방향으로 움직이는 전자는 소스 페르미 준위 \(E_{FS}\)로, −k 방향 전자는 드레인 페르미 준위 \(E_{FD} = E_{FS} - qV_D\)로 채워진다. 산란이 전혀 없다면 전류는 두 흐름의 차이다.

왼쪽은 장벽 꼭대기의 에너지-파수 그림이다. 점의 진하기가 그 상태가 채워진 확률이다. 드레인 전압을 올리면 −k 쪽이 비워지며 전류가 포화한다. 오른쪽은 이렇게 얻은 탄도 Id-Vd이고, 주황 점은 12장에서 드리프트-확산으로 푼 TN-45다.

탄도 한계는 산란이 하나도 없을 때의 전류이므로 어떤 실제 소자도 넘을 수 없는 상한이다. 드리프트-확산 TN-45는 그 약 21%를 낸다. 실제 45 nm급 소자의 측정 전류는 그 사이(약 1 mA/µm 이상)에 있다는 것이 잘 알려져 있다. 그 사이를 메우는 것이 후방 산란(Backscattering) 이론이다. 장벽 꼭대기를 넘은 전자는 바로 뒤의 짧은 구간, 전위가 꼭대기에서 \(k_BT/q\)만큼 떨어지는 kT 층(kT layer) 안에서 산란되면 꼭대기로 되돌아올 수 있다. 그 너머에서 산란된 전자는 이미 에너지를 잃어 돌아오지 못한다.

kT 층 길이는 채널의 전위 모양이 정한다. 그 모양은 2D 풀이가 가장 잘 안다. 아래 시뮬레이터는 TN-45를 2D 드리프트-확산으로 직접 풀고(normal 격자, 프레임마다 뉴턴 한두 번), 표면 0.5 nm 깊이를 따라 전도대 \(E_C(x)\)를 잘라 꼭대기와 kT 층을 찾는다.

준탄도 어림은 직렬 저항과 DIBL을 넣지 않았으므로 실제 전류보다 크게 나온다. 그래도 방향은 분명하다. 드리프트-확산은 kT 층 바깥의 산란까지 모두 전류를 깎는 데 쓰므로, 짧은 채널에서 전류를 과소평가한다. 몬테카를로 소자 시뮬레이션은 이 효과를 자연스럽게 담는다. 드리프트-확산 도구에서는 포화 속도를 높이거나 탄도 이동도 \(1/\mu_{eff} = 1/\mu + 1/\mu_{bal}\)(\(\mu_{bal} \propto v_T L\))를 넣어 흉내 낸다.

양자 구속: 반전층은 표면에 붙어 있지 않다

지금까지는 채널 방향(가로) 이야기였다. 세로 방향은 이미 오래전에 양자 영역에 들어갔다. 반전층 전자는 산화막 장벽과 수직 전계가 만드는 1~3 nm 폭의 삼각 우물에 갇혀 있다. 우물 폭이 드브로이 파장보다 좁으면 에너지가 부띠로 나뉘고, 파동 함수는 장벽에서 0이 되므로 전자 분포의 꼭짓점이 계면에서 1 nm쯤 안쪽으로 밀린다. 고전 볼츠만 분포는 계면에서 가장 큰 값을 가진다.

TCAD에는 두 가지 대응이 있다. 슈뢰딩거-포아송(Schrödinger-Poisson, SP)은 수직 방향 슈뢰딩거 방정식을 풀어 부띠와 파동 함수로 전자 농도를 만들고 포아송과 자기 일관이 될 때까지 반복한다. 정확하지만 2D·3D 소자의 모든 단면에서 하기는 무겁다. 밀도 기울기(Density gradient, DG)는 전자 농도의 곡률에 비례하는 양자 퍼텐셜을 드리프트-확산에 더한다.

11장에서 TN-45 게이트 스택의 C-V로 본 것을 이번에는 농도 분포로 본다. 같은 게이트 전압에서 고전·DG·SP를 차례로 푼다.

중심이 1 nm 안쪽으로 가면 게이트에서 본 반전 전하가 그만큼 멀어진다. 실리콘 유전율이 산화막의 3배이므로 산화막으로 환산하면 약 0.3 nm가 더해진다. EOT 1.2 nm 스택에서 25%다. 문턱 전압은 부띠의 영점 에너지만큼, 그리고 전하가 줄어든 만큼 오른다. 2D 드리프트-확산 TN-45는 양자 보정 없이 풀었으므로, 같은 문턱 전압을 얻으려고 채널 도핑이 실제보다 높게 잡혀 있다(12장의 주의).

터널링과 NEGF

가로 방향으로 채널이 드브로이 파장 수준으로 짧아지면 전자는 장벽을 넘지 않고 뚫고 지나갈 수 있다. 이 영역에서는 입자 그림의 BTE가 의미를 잃고, 전자를 파동으로 다뤄야 한다. 소자 전체를 열린 양자계로 보는 표준 도구가 비평형 그린 함수(Non-equilibrium Green's function, NEGF)다. 산란이 없는 경우 NEGF는 Landauer 공식으로 줄어든다.

엔진의 TC.transmission1d는 재귀 그린 함수로 이 \(\mathcal T(E)\)를 계산한다. 왼쪽 장벽의 오른쪽 위 손잡이를 끌어 높이와 폭을 바꾼다. 오른쪽은 투과율을 로그로 그린 것으로, 세로축이 왼쪽 그림의 에너지와 같다.

트랜지스터에서 이것이 문제가 되는 곳이 소스-드레인 직접 터널링(Source-to-drain tunneling)이다. 꺼짐 상태에서 채널은 높이 0.3~0.5 eV의 장벽인데, 장벽 길이가 수 nm로 짧아지면 장벽 아래로 새는 전류가 열 방출 전류를 따라잡는다. 아래는 포물선 장벽의 투과율로 에너지별 전류 \(\mathcal T(E)\,e^{-E/k_BT}\)를 계산해 장벽 길이에 따라 터널링 몫이 어떻게 변하는지 본 것이다. 꼭대기 바로 아래(2k_BT 이내)를 지나는 전류는 열의 도움을 받은 터널링으로 장벽이 매끄러우면 언제나 있으므로 열 방출 쪽에 넣고, 그보다 깊이 뚫고 지나가는 전류만 터널링 몫으로 센다.

45 nm 세대의 유효 채널(22 nm)에서는 터널링 몫이 무시할 만하다. 직접 터널링이 문턱 아래 기울기를 망치기 시작하는 것은 장벽 길이가 약 10 nm 아래로 내려가는 곳(8 nm에서 SS 한계 약 73 mV/dec), 대략 게이트 길이 15~20 nm 근처다. 그래서 그 아래 세대의 소자 연구는 NEGF가 주된 도구다. 위그너 함수 방법은 같은 양자 효과를 위상 공간 분포로 다루어 산란을 넣기 쉬운 대안이지만, 수치적으로 까다로워 연구용에 머문다.

언제 어느 모델을 쓰는가

지금까지 본 것을 표로 모은다. 비용은 같은 2D 소자 한 바이어스 점에 드는 계산의 대략적인 배수다.

마지막 시뮬레이터는 이 장의 계산을 TN-45 하나에 모은다. 게이트 길이를 바꾸면 16장에서 쓸 압축 모델(2D 드리프트-확산에 맞춘 것)로 DD 켜짐 전류를, 장벽 꼭대기 모델로 탄도 한계를, 후방 산란 식으로 준탄도 전류를 계산한다. 아래 그래프는 탄도 비율과 꺼짐 상태 터널링 몫이다. 이 둘이 어느 모델이 필요한지를 알려 준다.

그래프가 말하는 것은 하나다. 게이트 길이를 줄여 가면 필요한 모델이 한 칸씩 위로 올라간다. 수백 nm에서는 드리프트-확산이면 되고, 수십 nm에서는 준탄도 효과를 보정하거나 몬테카를로로 확인해야 하며, 10 nm 아래에서는 양자 수송이 필요하다. 다만 어느 길이에서든 문턱 전압·누설·접합처럼 정전기가 정하는 양은 드리프트-확산(+양자 보정)이 여전히 잘 맞힌다. 위 칸 모델이 바꾸는 것은 주로 켜짐 전류다.