보정과 실험 계획

왜 보정이 필요한가

TCAD는 물리 방정식을 푼다. 그래서 "측정 없이도 맞는다"고 기대하기 쉽지만, 방정식에 들어가는 숫자의 상당수는 측정에서 온 경험식이다. 10장의 이동도 모델은 계수만 십여 개이고, 7장의 TED는 결함의 수명 하나에 접합 깊이가 수십 nm씩 움직인다. 시뮬레이션과 측정이 어긋나는 원인은 크게 네 가지다.

보정(Calibration)은 이 어긋남을 줄이도록 매개변수를 고르는 일이다. 겉보기에는 곡선 맞추기와 같지만 목적이 다르다. 곡선을 맞추는 것만이 목적이라면 매개변수가 몇 개든 상관없다. TCAD 보정의 목적은 측정하지 않은 조건을 예측하는 것이다. 다음 세대 게이트 길이, 바꿔 볼 어닐 온도, 아직 만들지 않은 스페이서 폭. 그래서 손잡이는 물리적으로 의미가 있어야 하고, 한 번에 하나씩, 그 손잡이가 가장 크게 드러나는 측정에 맞춘다.

보정 순서: 공정에서 소자로

보정은 데이터 하나에 모든 손잡이를 한꺼번에 맞추지 않는다. 앞 단계의 결과가 뒤 단계의 입력이 되도록 순서를 정하고, 각 단계에서는 그 측정에 가장 민감한 매개변수만 움직인다. 표준적인 순서는 아래와 같다.

순서의 논리는 간단하다. 문턱 전압은 채널 도핑과 산화막 두께와 게이트 일함수가 함께 정한다. C-V로 산화막 두께를 먼저 고정하지 않으면, 문턱 전압을 맞추려고 도핑을 움직이는 순간 도핑이 산화막 오차까지 떠안는다. 그렇게 맞춘 도핑은 이 소자에서는 맞지만 다른 게이트 길이나 다른 웰 조건에서는 틀린다. 전류도 마찬가지다. 선형 영역(Vd 0.05 V)의 켜짐 전류는 이동도와 직렬 저항에, 포화 전류는 주입 속도(포화 속도)에 주로 반응한다. 이동도를 먼저 정하지 않고 포화 전류를 맞추면 포화 속도가 이동도 오차를 대신 흡수한다.

손으로 맞춰 보기

아래 시뮬레이터의 점은 "측정"이다. 이 페이지가 숨겨 둔 매개변수로 TN-45 압축 모델(TC.mosCompact, 2D TN-45 결과에 맞춘 가상 소스형 모델)을 돌리고 3% 잡음과 2 pA/µm 바닥 잡음을 얹었다. 선은 모델이다. 손잡이는 세 개다. 할로 도즈 배수는 문턱 전압을, 이동도 배수는 선형 영역 전류를, 주입 속도 배수(포화 속도에 해당한다)는 포화 전류를 주로 움직인다. 직렬 저항은 앞 단계(면저항 측정)에서 정해졌다고 보고 고정한다. 순서대로 맞춰 본 다음, 거꾸로도 해 본다.

숨긴 값은 할로 도즈 1.08배, 이동도 1.25배, 주입 속도 1.45배다. 측정의 Vt,sat은 0.263 V, Ion은 0.87 mA/µm로 기본 모델(0.246 V, 0.70 mA/µm)과 다르다. 순서대로 맞추면 세 손잡이가 거의 독립적으로 움직인다. 할로는 곡선을 옆으로 밀고, 이동도는 선형 곡선만, 주입 속도는 포화 곡선만 위아래로 민다. 거꾸로 하면 할로를 고칠 때 켜짐 전류도 함께 바뀌므로 이미 맞춘 Ion이 다시 어긋난다. 순서는 손잡이들 사이의 교차 민감도가 작은 쪽부터 고정하는 방법이다.

오차를 무엇으로 잴 것인가

"맞는다"를 숫자로 만들어야 알고리즘에게 맡길 수 있다. 측정점 \(k\)에서 모델과 측정의 차이를 잔차 \(r_k\)로 두고, 그 제곱합을 최소화한다.

Id-Vg는 여섯 자리 넘게 변한다. 선형 잔차로 재면 켜짐 영역의 수십 µA 차이가 부문턱 영역의 nA 차이를 완전히 덮는다. 꺼짐 전류가 열 배 틀려도 오차에 거의 보이지 않는다. 로그 잔차는 모든 자리를 같은 비율로 본다. 대신 측정 바닥(장비의 pA 수준 잡음) 근처의 점에 과하게 반응하므로 바닥 아래 점은 빼거나 가중을 낮춘다. 실무에서는 두 척도를 섞거나, 영역별 가중치를 둔다.

아래 시뮬레이터는 할로 도즈를 일부러 틀린 값에 묶어 둔 채(모델 형태 오차를 흉내 낸다) 이동도와 주입 속도만 레벤버그-마쿼트로 맞춘다. 척도를 바꾸면 같은 데이터, 같은 모델에서 다른 "최적" 매개변수가 나온다.

모델이 측정을 정확히 재현할 수 있을 때는 척도가 거의 상관없다. 척도에 따라 답이 크게 달라진다면 그 자체가 진단이다. 남은 손잡이 중 하나가 다른 원인(여기서는 틀린 문턱 전압)을 대신 맞추고 있다는 뜻이다. 보정 보고서에 오차 척도와 가중치를 함께 적어야 하는 이유이기도 하다.

민감도 분석: 어떤 손잡이가 중요한가

손잡이를 고르기 전에, 각 매개변수가 관심 있는 출력(Vt, Ion, Ioff)을 얼마나 움직이는지 잰다. 가장 단순한 방법은 한 번에 하나씩(One-at-a-time, OAT) 바꾸는 것이다. 매개변수 \(p_j\)를 \(\pm\delta\)만큼 바꾸고 출력의 변화를 보는 중앙 차분이다. 단위가 다른 매개변수끼리 비교하려면 상대 변화끼리의 비, 곧 정규화 민감도(Normalized sensitivity)를 쓴다.

모든 매개변수의 막대를 크기 순으로 쌓으면 토네이도 그림(Tornado chart)이 된다. 위쪽 몇 개가 보정에서 움직일 손잡이 후보이고, 아래쪽은 기본값에 두어도 된다. 아래 시뮬레이터는 압축 모델로 11개 매개변수의 토네이도를 그린다. 압축 모델 평가는 한 번에 1 ms가 안 되므로 섭동 크기를 바꾸면 바로 다시 그린다. "2D로 확인"을 누르면 그중 세 매개변수(할로 도즈, 스페이서 폭, 게이트 길이)를 실제 2D 드리프트-확산(coarse 격자)으로 다시 풀어 막대 위에 겹친다.

두 가지를 봤다. 첫째, 민감도 순위는 출력마다 다르다. Ioff는 문턱 전압의 지수 함수라서 Vt를 움직이는 모든 것에 몇 배씩 반응한다. 둘째, 대리 모델의 민감도는 그 모델에 들어 있는 물리만큼만 맞다. 압축 모델은 Leff를 표면 접합에서 구하므로 깊은 소스/드레인의 측면 꼬리가 게이트 쪽으로 다가오는 효과를 보지 못한다. 2D 풀이에서는 스페이서가 18 nm로 줄면 Vt,sat이 0.231 V에서 0.205 V로, Ioff는 약 3배로 커진다. 민감도 분석으로 손잡이를 고를 때는 그 분석을 한 모델의 한계를 함께 적어야 한다.

최소 제곱 추출: 레벤버그-마쿼트

손으로 맞추는 대신 \(E(\mathbf p)\)를 최소화하는 알고리즘에 맡긴다. 잔차를 현재 점 근처에서 선형화하면 \(\mathbf r(\mathbf p + \boldsymbol\delta) \approx \mathbf r + \mathbf J\boldsymbol\delta\)이고(\(\mathbf J\)는 야코비안 \(J_{kj} = \partial r_k/\partial p_j\)), 이 선형 문제의 최소 제곱 해가 가우스-뉴턴(Gauss–Newton) 걸음이다. 레벤버그-마쿼트(Levenberg–Marquardt, LM)는 여기에 감쇠 항을 더한다.

아래 그림의 배경은 할로 도즈 배수와 주입 속도 배수 두 축으로 펼친 오차 곡면 \(\log_{10}E\)이다(이동도는 맞춘 값 1.26에 고정, 로그 척도, 두 Vd의 Id-Vg 42점). 출발점을 끌어다 놓고 세 알고리즘을 돌려 본다. 오른쪽(좁은 화면에서는 아래)은 반복마다 줄어드는 오차다.

경사 하강은 등고선에 수직으로만 움직이므로 길쭉한 골짜기에서 벽 사이를 오간다. 할로 축의 곡률이 주입 속도 축보다 수백 배 크기 때문이다. 가우스-뉴턴은 곡률을 알고 있으므로 해 근처에서는 몇 걸음에 끝나지만, 선형화가 맞지 않는 먼 곳에서는 엉뚱한 곳으로 뛴다. LM은 처음에는 큰 \(\lambda\)로 조심스럽게 내려가다가, 골짜기에 들어서면 \(\lambda\)를 줄여 가우스-뉴턴처럼 달린다. 상용 TCAD의 최적화 도구가 기본으로 LM 계열을 쓰는 이유다.

식별 가능성: 상관된 매개변수와 골짜기

LM이 수렴했다고 매개변수가 정해진 것은 아니다. 두 매개변수가 출력을 같은 방식으로 바꾸면 오차 곡면에 바닥이 평평한 골짜기가 생기고, 골짜기 위 어디든 똑같이 잘 맞는다. 이때 매개변수는 데이터로 식별(Identifiable)되지 않는다. 해 근처에서 매개변수의 불확실성은 야코비안으로 어림한다.

고전적인 예가 이동도와 직렬 저항이다. 둘 다 켜짐 전류를 줄인다. 선형 영역 전류는 대략 \(I_d \approx V_d/(R_{ch} + R_s)\)이고 채널 저항은 \(R_{ch} \propto 1/[\mu(V_g - V_t)]\)이므로, Vg 한 점만 보면 \(\mu\)를 낮춘 것과 \(R_s\)를 높인 것을 구별할 수 없다. 그러나 \(R_{ch}\)는 Vg에 따라 변하고 \(R_s\)는 변하지 않는다. Vg를 쓸어 곡선 전체를 쓰면 둘이 갈라진다. 아래 그림은 (μ 배수, Rs) 평면의 오차 곡면이다. 데이터 묶음을 바꿔 가며 골짜기 모양을 본다.

숨긴 Rs는 56 Ω·µm다. Vg 1 V에서 선형·포화 두 점만 쓰면 ρ = 0.989, Rs의 표준편차가 약 30 Ω·µm로 사실상 모른다. 선형 곡선의 켜짐 영역(Vg ≥ 0.5 V)을 쓰면 ρ = 0.82, σ(Rs) 약 4 Ω·µm, 두 곡선 전체를 쓰면 ρ = 0.56, 약 2.4 Ω·µm다. 같은 측정 장비, 같은 잡음인데 어떤 데이터를 쓰느냐가 불확실성을 열 배 넘게 바꾼다. 실무에서는 Rs를 아예 다른 측정(TLM 패턴, 게이트 길이를 바꾼 여러 소자의 총 저항 외삽)으로 먼저 고정하기도 한다. 보정 사다리의 ②단계가 하는 일이다.

실험 계획: 몇 번, 어디서 돌릴 것인가

보정이 끝난 시뮬레이터는 "가상 웨이퍼"가 된다. 이제 공정 변수(할로 도즈, 스페이서 폭, 어닐 온도…)를 바꿔 가며 소자 특성의 지도를 그리고 싶다. 2D 풀이 한 번에 수 초~수 분, 공정 모사까지 넣으면 수십 분이 걸리므로 몇 점에서 돌릴지가 곧 비용이다. 실험 계획법(Design of experiments, DOE)은 정해진 횟수로 가장 많은 정보를 얻는 점의 배치를 정한다.

부분 요인 설계의 대가는 섞임(Aliasing)이다. 세 요인 A, B, C를 2³⁻¹ = 4번으로 돌리려면 C의 수준을 A×B의 부호로 정한다. 그러면 C의 주효과와 A·B 상호작용이 같은 열이 되어 구별되지 않는다.

물리 실험과 달리 시뮬레이션은 같은 입력에 같은 출력을 낸다. 반복 실행으로 잡음을 평균할 필요가 없으므로, 계산 실험에서는 점을 공간에 고르게 흩는 공간 채움 설계(LHS, 최대 최소 거리 설계)가 잘 맞는다. 다만 격자가 바뀌는 매개변수(게이트 길이, 스페이서 폭)는 격자 잡음이라는 "가짜 측정 잡음"을 만들 수 있으니, 격자 규칙을 고정해 둔다(TN-45 격자는 게이트 끝과 스페이서 끝을 항상 격자선으로 둔다).

반응 표면: 2D TN-45로 지도를 만든다

설계점에서 시뮬레이션을 돌린 뒤, 그 결과를 매끈한 함수로 이어 붙인 것이 반응 표면 모델(Response surface model, RSM)이다. 가장 흔한 형태는 정규화한 요인 \(x_1, x_2 \in [-1, 1]\)의 2차 다항식이다.

아래 시뮬레이터는 면 중심 CCD 9점에서 TN-45를 실제로 2D로 푼다(coarse 격자, Vd 1 V, Vg −0.4~1.0 V 스윕). 한 점에 1초 남짓, 프레임마다 바이어스 한 점씩 풀므로 화면이 멈추지 않는다. 다 풀리면 2차 모델을 맞추고 색 지도와 등고선으로 그린다. 오른쪽(좁은 화면에서는 아래)은 2D 값 대 모델 예측의 대각선 그림이다. "검증점"은 설계에 쓰지 않은 무작위 위치를 하나 더 풀어 모델이 처음 보는 점을 얼마나 맞히는지 본다.

좁은 범위에서 9점의 2D 풀이가 주는 Vt,sat은 0.116 V(할로 0.8배, 스페이서 18 nm)에서 0.321 V(1.2배, 32 nm)까지 퍼진다. 할로 도즈 ±20%가 Vt를 약 ±90 mV 움직이는 반면, 스페이서 18 → 32 nm는 약 35 mV, 그것도 좁은 쪽에 몰려 있다(18 → 25 nm에서 26 mV, 25 → 32 nm에서 10 mV). 이 비대칭이 2차 항 \(b_{11}\)이다. 반응 표면은 범위 안에서만 믿을 수 있다. 넓은 범위에서 보듯 물리가 바뀌는 경계(펀치스루)를 품으면 다항식은 그 절벽을 평균내 버린다. 그럴 때는 범위를 나누거나, 응답을 변환하거나(log Ioff), 다항식보다 유연한 대리 모델(크리깅, 신경망)을 쓴다.

반응 표면 위에서: 최적화와 몬테카를로

반응 표면은 평가가 마이크로초 단위이므로 그 위에서는 무엇이든 할 수 있다. 첫째는 최적화다. "Vt,sat을 목표값 ±15 mV 안에, Ioff를 상한 아래로 두면서 Ion을 최대로" 같은 제약 최적화를 격자 탐색만으로 푼다. 다만 반응 표면이 찾은 최적점은 모델의 최적점이다. 그 점에서 2D를 한 번 더 풀어 확인하는 것이 규칙이다.

둘째는 몬테카를로다. 공정 변수는 웨이퍼마다, 칩마다 흔들린다. 할로 도즈가 ±σ 흔들리고 스페이서 폭이 ±σ nm 흔들릴 때 Vt, Ion, Ioff의 분포를 알고 싶다. 2D로 수천 번 풀 수는 없지만, 반응 표면에서는 수천 번이 순식간이다. 출력 분포의 폭은 작은 산포에서는 선형 전파로 어림할 수 있다.

몬테카를로는 반응 표면의 정확도를 넘을 수 없다. 표본이 설계 범위 밖으로 나가면 다항식의 외삽이고, 꼬리 확률(수율의 99.9%를 정하는 부분)은 정확히 그 바깥에서 결정된다. 그래서 수율 분석용 반응 표면은 관심 산포의 ±3σ~4σ를 덮도록 범위를 잡는다. 이 장의 몬테카를로는 공정 변수(도즈·스페이서)의 칩 간 변동만 다룬다. 같은 칩 안에서 트랜지스터마다 다른 무작위 도펀트와 선 가장자리 거칠기는 17장의 주제다.

TCAD에서 컴팩트 모델로

회로 설계자는 TCAD를 직접 돌리지 않는다. 회로 시뮬레이터(SPICE)는 트랜지스터마다 마이크로초 안에 전류와 전하를 돌려주는 컴팩트 모델(Compact model)을 쓴다. 업계 표준은 BSIM 계열(평면 BSIM4, FinFET BSIM-CMG)과 PSP이고, 이 책의 TC.mosCompact는 MIT 가상 소스(VS) 모델처럼 반전 전하 × 주입 속도로 전류를 쓰는 간단한 형태다. 컴팩트 모델 매개변수는 측정에서 추출하는 것이 원칙이지만, 실리콘이 나오기 전에는 보정된 TCAD가 만든 "가상 측정"에서 뽑는다. 초기 공정 설계 키트(PDK)가 그렇게 만들어진다.

절차는 이 장의 보정과 같다. 다만 이번에는 "측정"이 2D TCAD 결과이고, 맞추는 것이 컴팩트 모델 매개변수다. 아래 시뮬레이터는 TN-45를 2D로 풀어 Vd 0.05 V와 1 V의 Id-Vg를 만든 뒤, 압축 모델의 네 매개변수(문턱 전압 이동, 이동도, 주입 속도, DIBL 배수)를 LM으로 뽑는다. 2D 쪽의 이동도나 포화 속도를 바꾸면(보정에서 흔히 하는 일이다) 컴팩트 모델도 다시 뽑아야 한다.

2D 쪽의 물리 매개변수(muScale, vsatScale)가 바뀌면 컴팩트 모델의 대응하는 매개변수가 거의 그것만 움직인다. 이동도 1.3배가 압축 모델의 이동도 배수를 1.4배로, 포화 속도 1.3배가 주입 속도 배수를 1.3배로 바꾼다. 둘이 깔끔하게 갈라지는 것은 Vd 0.05 V와 1 V 곡선을 함께 썼기 때문이다(앞 절의 식별 가능성). 이 책의 엔진에서도 같다. TC.COMPACT_CAL은 표준 2D TN-45(normal 격자)에 맞춘 값이므로, 보정 과정에서 2D의 muScale·vsatScale을 바꾸면 압축 모델의 보정 상수도 다시 맞춰야 한다.

예측인가, 맞춤인가

매개변수가 충분하면 어떤 곡선이든 맞출 수 있다. 보정의 품질은 맞춘 데이터가 아니라 맞추지 않은 데이터로 판정한다. 가장 자연스러운 검증 데이터는 게이트 길이를 바꾼 소자들이다. 한 Lg에서 맞춘 모델이 다른 Lg의 문턱 전압 롤오프와 켜짐 전류를 맞히는가. 맞힌다면 손잡이가 물리적 원인을 잡았다는 증거이고, 못 맞힌다면 손잡이가 엉뚱한 원인을 흉내 냈다는 뜻이다.

마지막 시뮬레이터가 이 장의 종합이다. Lg 45 nm 소자의 Id-Vg(앞에서 손으로 맞춘 그 측정)와, 따로 잰 다른 게이트 길이의 Vt,sat·Ion이 있다. 문턱 전압을 맞출 손잡이를 셋 중 하나로 고른다. 할로 도즈(물리적 원인), 게이트 길이 바이어스 ΔL(구조 오차), Vt 오프셋(그냥 곡선을 옆으로 미는 값). 그리고 "단계별 보정"으로 사다리 순서(문턱 → 선형 → 포화 → 전체 다듬기)를 따라 LM을 돌린다. 결과를 오른쪽의 Lg 의존성(검증 데이터)과 비교한다.

세 손잡이 모두 Lg 45 nm의 문턱 전압은 맞춘다. 차이는 그 밖에서 난다. Vt 오프셋은 모든 게이트 길이에 같은 이동을 주므로 롤오프의 모양을 바꾸지 못한다. 할로 도즈를 늘리면 짧은 채널일수록 할로가 채널을 더 많이 차지하므로 Vt가 더 많이 오른다. 그 Lg 의존성이 숨긴 원인과 같기 때문에 예측이 맞는다. ΔL 바이어스는 문턱 전압을 맞추는 대신 DIBL과 SS까지 바꿔 버려 같은 Lg에서도 곡선 모양이 틀린다. 실제 보정에서도 이 구분이 핵심이다. 물리적 원인에 대응하는 손잡이로, 그 원인이 가장 잘 드러나는 데이터에, 순서대로 맞추고, 맞추지 않은 데이터로 확인한다.