Chapter 07

확산과 열처리

이온 주입이 끝난 웨이퍼에는 원자가 박혀 있을 뿐 아직 트랜지스터가 아니다. 도펀트는 격자 사이에 엉켜 있고, 결정은 부서져 있고, 전기적으로 활성인 원자는 일부뿐이다. 열처리(Anneal)가 결정을 되살리고 도펀트를 격자 자리에 앉힌다. 그 대가로 도펀트가 움직인다. 이 장은 그 움직임을 계산하는 법을 다룬다. 원자 하나의 무작위 걸음에서 시작해 픽의 법칙, 열 예산, 점결함이 매개하는 확산, 주입 손상이 일으키는 과도 증속 확산까지 쌓아 올리고, 마지막에 TN-45의 소스/드레인을 2차원으로 어닐한다.

무작위 걸음에서 $\langle x^2\rangle = 2Dt$를 얻고, 확산 거리가 $\sqrt{Dt}$로 자란다는 것을 시뮬레이터로 확인한다.
픽의 제2법칙을 격자 위에서 푸는 양해법·음해법의 안정 조건을 보고, 공정 시뮬레이터가 음해법을 쓰는 이유를 설명한다.
선확산(erfc)과 드라이브인(가우시안) 해석해를 수치해와 비교하고, 아레니우스 확산 계수로 열 예산 $Dt$를 계산한다.
공공·격자간 원자가 매개하는 확산, 페르미 준위 의존 확산, 과도 증속 확산(TED)이 접합 깊이를 어떻게 바꾸는지 설명한다.
활성화와 고용 한계, 스파이크·플래시·레이저 어닐의 열 이력, 접합 깊이와 면저항의 맞교환을 수치로 다룬다.

무작위 걸음: 확산의 출발점

실리콘 결정 속의 도펀트 원자는 대부분의 시간을 한 자리에서 진동하며 보낸다. 아주 가끔 열 요동이 장벽을 넘을 만큼 커지면 이웃 자리로 뛴다. 어느 방향으로 뛸지는 기억이 없다. 원자 하나를 보면 아무 의미 없는 갈지자걸음이지만, 원자 $10^{15}$개를 모아 보면 놀랄 만큼 매끄러운 법칙이 나온다. 이것이 확산(Diffusion)이다.

1차원에서 원자가 시간 $\tau$마다 거리 $a$씩 왼쪽이나 오른쪽으로 같은 확률로 뛴다고 하자. $n$번 뛴 뒤 위치는 $\pm a$ 를 $n$개 더한 값이므로 평균은 0이고 분산은 $na^2$이다. 중심 극한 정리에 따라 분포는 가우시안이 된다.

$$\langle x^2\rangle = n a^2 = 2Dt, \qquad D = \frac{a^2}{2\tau}\ (\text{1D}),\quad D = \frac{a^2\Gamma}{6}\ (\text{3D})$$

$a$: 점프 거리, $\tau$: 점프 사이 평균 시간, $t = n\tau$, $\Gamma = 1/\tau$: 점프 빈도, $D$: 확산 계수(cm²/s)

아래에서 입자를 모두 한가운데 놓고 뛰게 한다. 위쪽 띠는 입자 하나하나의 위치, 가운데 막대는 그 분포, 아래 그림은 퍼짐의 제곱 $\sigma^2$이 점프 횟수에 정비례하는지를 보여 준다. 입자 수를 줄여 보면 법칙이 "많은 원자"의 법칙이라는 것도 보인다.

SIMULATOR

무작위 걸음이 가우시안이 된다

입자 수

점프 횟수 n—

측정 σ—

이론 a√n—

측정 / 이론—

해볼 것: ① 2000개로 끝까지 돌리고 아래 그림의 점이 직선 $\sigma^2 = na^2$을 따르는지 본다. ② 입자를 50개로 줄여 다시 돌린다. 막대가 들쭉날쭉하고 σ도 이론에서 10% 넘게 벗어난다. ③ 퍼짐이 2배가 되려면 점프가 몇 배 필요한지 읽는다(4배). (1차원, 점프 거리 a = 1, 방향 무작위·기억 없음. 막대 폭이 2a인 것은 n번 뛴 입자의 위치가 n과 같은 홀짝만 갖기 때문이다.)

퍼짐은 시간에 비례하지 않고 시간의 제곱근에 비례한다. 확산 거리를 두 배로 하려면 시간이 네 배 든다. 공정 엔지니어가 확산을 말할 때 시간이나 온도가 아니라 곱 $Dt$와 그 제곱근 $\sqrt{Dt}$를 쓰는 이유가 이것이다. 실리콘 속 붕소는 1000 °C에서 1초에 약 150번 뛰지만(점프 거리 약 0.24 nm, $\Gamma = 6D/a^2$) 1초 동안 퍼지는 거리는 $\sqrt{Dt}$ 약 1.2 nm에 그친다.

이 장은 TCAD 흐름의 어디인가 공정 모사 → 구조·격자 → 물리 모델 → 수치 해 → 소자 특성 → 보정 가운데 공정 모사의 둘째 단계다. 6장이 주입 직후의 도핑과 손상을 만들었다. 이 장은 그것을 열처리해 최종 도핑 프로파일을 만든다. 여기서 나온 접합 깊이와 활성 도핑이 9장 이후 모든 소자 계산의 입력이 된다.

픽의 법칙과 격자 위의 풀이

원자 수가 많으면 개별 걸음 대신 농도 $C(x,t)$를 쓴다. 어떤 면을 왼쪽에서 오른쪽으로 건너는 원자 수는 왼쪽 농도에, 반대 방향은 오른쪽 농도에 비례하므로 알짜 흐름은 농도 기울기에 비례한다. 여기에 원자 수 보존을 더하면 확산 방정식이 된다.

$$J = -D\,\frac{\partial C}{\partial x}, \qquad \frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{\partial J}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(D\,\frac{\partial C}{\partial x}\right)$$

$J$: 원자 흐름(cm⁻²s⁻¹), $C$: 농도(cm⁻³). $D$가 농도에 따라 변하면 미분 안에 남겨 두어야 한다(뒤에서 중요해진다).

TCAD는 이 식을 4장의 박스 방법으로 이산화한다. 격자점 $i$의 농도를 $C_i$, 간격을 $h$, 시간 간격을 $\Delta t$라 하면 가장 단순한 양해법(Explicit, forward Euler)은 지금의 농도로 다음 농도를 바로 계산한다. 음해법(Implicit, backward Euler)은 다음 농도로 쓴 식을 연립해서 푼다. 둘 다 결국 같은 무차원수 하나에 좌우된다.

$$\text{양해법: } C_i^{k+1} = C_i^k + r\,(C_{i+1}^k - 2C_i^k + C_{i-1}^k), \qquad \text{음해법: } C_i^{k+1} - r\,(C_{i+1}^{k+1} - 2C_i^{k+1} + C_{i-1}^{k+1}) = C_i^k, \qquad r = \frac{D\,\Delta t}{h^2}$$

가장 빠르게 출렁이는 격자 모드(이웃 점끼리 부호가 바뀌는 톱니)는 한 단계마다 양해법에서 $1-4r$배, 음해법에서 $1/(1+4r)$배, 크랭크-니콜슨에서 $(1-2r)/(1+2r)$배가 된다. 양해법은 $r \le 1/2$이어야 안정하다.

아래에서 같은 초기 프로파일(표면에 붙은 가우시안)을 같은 열 예산까지 확산시킨다. 시간 간격을 $r$로 정하고 방법을 바꿔 본다. 회색 점선이 해석해다.

SIMULATOR

시간 간격의 안정성: 양해법은 r > 1/2에서 폭발한다

r = DΔt/h²

시간 단계 수—

톱니 모드 증폭 g—

해석해와 최대 오차—

상태—

해볼 것: ① 양해법에서 r = 0.4 → 0.5 → 0.55로 올린다. 0.5를 넘는 순간 톱니가 자라 해가 터진다. ② 음해법으로 바꾸고 r = 3까지 올린다. 단계 수가 10배 넘게 줄어도 안정하다. 대신 오차가 커진다(안정은 정확하다는 뜻이 아니다). ③ 크랭크-니콜슨에서 r = 3. 터지지는 않지만 표면 근처에 출렁임이 남는다(g가 음수라 톱니가 부호를 바꾸며 천천히 줄어든다). (D 일정, 격자 간격 h = 5 nm, 반사 경계, 최종 √Dt ≈ 42 nm.)

공정 온도에서 확산 계수는 짧은 스파이크 동안 수십 배 변하고, 고농도 영역에서는 자리마다 수십 배 다르다. 가장 촘촘한 격자(표면 0.5 nm)와 가장 큰 $D$로 양해법 안정 조건을 맞추면 시간 간격이 마이크로초 단위가 된다. 그래서 공정 시뮬레이터는 음해법을 쓰고, 정확도는 따로 시간 간격 제어로 맞춘다. 이 책의 엔진 TC.diffuse1d도 뒤쪽 오일러 음해법이며, 단계마다 $D$를 새로 계산하고 열 예산이 같도록 시간을 나눈다.

해석해: 선확산과 드라이브인

$D$가 일정하면 픽의 법칙은 해석적으로 풀린다. 예전 공정의 두 단계가 각각 대표 해를 갖는다. 표면 농도를 고용 한계로 붙잡아 두고 도펀트를 들여보내는 선확산(Predeposition)은 보 함수(erfc)를, 표면을 막고 이미 들어온 도즈를 안으로 밀어 넣는 드라이브인(Drive-in)은 가우시안을 준다.

$$\text{선확산: } C(x,t) = C_s\,\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right),\quad Q(t) = \frac{2C_s\sqrt{Dt}}{\sqrt\pi} \qquad\quad \text{드라이브인: } C(x,t) = \frac{Q}{\sqrt{\pi Dt}}\,\exp\!\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right)$$

$C_s$: 표면 농도, $Q$: 도즈(cm⁻²). 접합 깊이 $x_j$는 $C(x_j) = C_B$(배경 농도)인 깊이다. 가우시안은 처음 도즈가 표면의 얇은 층(델타 함수)에 있었다고 가정한다.

아래에서 엔진의 수치해(점)와 해석해(점선)를 겹쳐 본다. 드라이브인은 붕소를 950 °C에서 30분 선확산한 뒤의 프로파일을 출발점으로 쓴다. 드라이브인 시간이 짧으면 출발점이 델타 함수가 아니라는 사실이 드러난다.

SIMULATOR

수치해 대 해석해: erfc와 가우시안

시간

√Dt—

xj 수치—

xj 해석—

도즈 Q—

해볼 것: ① 선확산 30분: 수치 xj와 해석 xj가 몇 nm 안에서 맞는다. 도즈는 $\sqrt t$로 늘어난다. ② 드라이브인을 5분 이하로 줄인다. 표면 근처에서 수치해가 가우시안보다 낮다. 출발 프로파일이 이미 두께를 가지기 때문이다. 60분을 넘기면 두 곡선이 겹친다. ③ 거친 격자로 바꾼다. 선확산은 격자 간격 40 nm로는 xj를 수십 nm 틀린다. (진성 D 일정, 선확산 Cs = 1e20 cm⁻³ 고정 표면, 드라이브인은 반사 표면(도즈 보존), 배경 1e16 cm⁻³.)

해석해는 지금도 쓸모가 크다. 수치 풀이기를 검증하는 기준이고(엔진의 붕소 1100 °C 1시간 드라이브인은 해석해와 정점의 0.4% 안에서 맞는다), 공정 조건을 머릿속에서 어림하는 도구다. 하지만 실제 소자 공정에서 $D$는 일정하지 않다. 온도가 시간에 따라 변하고, 농도에 따라 변하고, 주입 손상에 따라 변한다. 이 장의 나머지는 이 세 가지를 차례로 다룬다.

아레니우스 D(T)와 열 예산

점프는 장벽을 넘는 열 활성 과정이므로 점프 빈도는 $e^{-E_a/kT}$를 따른다. 확산 계수도 마찬가지다.

$$D(T) = D_0\,\exp\!\left(-\frac{E_a}{kT}\right), \qquad (Dt)_{\text{eff}} = \int_0^{t} D\big(T(t')\big)\,dt'$$

$D_0$: 앞 인자(cm²/s), $E_a$: 활성화 에너지(실리콘 속 도펀트는 약 3.4~4.4 eV). 온도가 변하는 열처리는 $D$를 시간에 대해 적분한 열 예산(Thermal budget)으로 묶는다. 같은 $(Dt)_{\text{eff}}$이면 (D가 농도에 의존하지 않는 한) 같은 프로파일이 나온다.

활성화 에너지가 3.5 eV이면 1000 °C 근처에서 온도 25 °C마다 $D$가 약 두 배가 된다. 아래 그래프에서 세로선을 끌어 온도를 바꾸고, 각 도펀트의 $D$와 확산 거리를 읽는다. 오른쪽 슬라이더는 고농도 n형 영역($n/n_i > 1$)을 흉내 낸다. 다음 절의 주제를 미리 맛보는 것이다.

SIMULATOR

B, P, As, Sb의 확산 계수: 아레니우스 그림

세로선을 끈다

전자 농도 n/nᵢ

온도—

B: D · √Dt—

P: D · √Dt—

As: D · √Dt—

Sb: D · √Dt—

해볼 것: ① 1000 °C에서 B와 As의 D를 비교한다(약 5배). 얕은 n⁺ 접합에 비소를 쓰는 이유 하나다. ② 1100 °C → 900 °C로 내리면 B의 D가 약 150배 줄어든다. ③ n/nᵢ를 10, 100으로 올린다. P와 As는 빨라지고(음전하 공공 경로), B는 느려진다(B의 D⁺ 항은 p/nᵢ = nᵢ/n에 비례). (Fair 공공 모델, Plummer 표 7-5 계수. 실선은 슬라이더의 n/nᵢ, 점선은 진성. 위쪽 눈금은 °C.)

도펀트	D⁰₀ (cm²/s)	E⁰ (eV)	하전 항	진성 D, 1000 °C	고용 한계, 1050 °C
붕소 B	0.037	3.46	D⁺ 0.72, 3.46 eV	1.5e-14	1.5e20
인 P	3.85	3.66	D⁻ 4.44, 4.0 · D⁼ 44.2, 4.37	1.3e-14	1.1e21
비소 As	0.066	3.44	D⁻ 12.0, 4.05	2.7e-15	3.6e20
안티몬 Sb	0.214	3.65	D⁻ 15.0, 4.08	1.8e-15	5.6e19

표의 고용 한계는 전기적으로 활성일 수 있는 최대 농도다(엔진 TC.solubility). 확산 계수는 엔진 TC.diffCoef가 계산한 값이며 Plummer·Deal·Griffin의 표와 같은 계열이다. 실제 공정의 값은 측정 장비와 문헌에 따라 수십 % 다르다.

점결함이 매개하는 확산

앞의 무작위 걸음은 원자가 "그냥" 이웃 자리로 뛴다고 가정했다. 실제로 치환형 도펀트는 혼자서는 거의 움직이지 못한다. 이웃이 모두 실리콘 원자로 차 있기 때문이다. 도펀트는 결정 속의 점결함(Point defect)과 짝을 지어야 움직인다. 빈자리인 공공(Vacancy, V)과 격자 사이에 끼어든 실리콘인 격자간 원자(Self-interstitial, I) 두 가지다.

그림 7-1. 두 가지 확산 경로. 왼쪽: 공공과 자리를 바꾸며 움직인다. 오른쪽: 격자간 실리콘이 치환 자리의 도펀트를 밀어내고 도펀트-격자간 쌍이 함께 이동한다. 어느 경로를 쓰는 몫(격자간 몫 $f_I$)이 도펀트마다 다르며, 이 몫이 뒤에 나오는 과도 증속 확산의 크기를 정한다.

점결함은 전하를 띨 수 있다. 공공은 중성(V⁰) 외에 V⁻, V⁼, V⁺ 상태가 있고, 각 상태의 농도는 페르미 준위에 따라 달라진다. n형으로 세게 도핑하면 V⁻는 $n/n_i$에 비례해, V⁼는 $(n/n_i)^2$에 비례해 늘어난다. 도펀트가 각 전하 상태의 결함과 짝짓는 비율을 더한 것이 Fair의 하전 공공 모델(Fair charged-vacancy model)이다.

$$D_{\text{도너}} = D^0 + D^-\frac{n}{n_i} + D^{=}\Big(\frac{n}{n_i}\Big)^2, \qquad D_{\text{억셉터}} = D^0 + D^+\frac{p}{n_i}, \qquad h = 1 + \frac{C}{\sqrt{C^2 + 4n_i^2}}$$

$n_i$: 공정 온도의 진성 농도(1000 °C에서 약 7×10¹⁸ cm⁻³). 도핑이 $n_i$보다 낮으면 $n/n_i \approx 1$이라 진성 D로 돌아간다. $h$는 이온화된 도펀트가 만드는 내부 전계가 확산을 돕는 전계 증강 인자(최대 2).

요점은 이것이다. 공정 온도의 $n_i$는 상온보다 9자릿수 크지만, 소스/드레인 도핑(10²⁰ 이상)은 그보다도 10배 넘게 크다. 그 영역에서 $D$는 농도의 함수가 되고, 픽의 법칙은 비선형이 된다.

농도 의존 확산: 비소의 상자 프로파일

비소를 높은 도즈로 주입하고 어닐한다. $D$가 일정하면(진성 모델) 가우시안처럼 퍼진다. 페르미 준위 의존 모델에서는 농도가 높은 곳일수록 $D$가 크다. 정점 근처 원자는 빠르게 평평해지고, 꼬리 쪽 원자는 진성 속도로 느리게 움직인다. 결과는 앞이 가파르고 위가 평평한 상자 모양 프로파일이다.

SIMULATOR

상수 D 대 페르미 준위 의존 D: 고도즈 비소 어닐

As 30 keV 도즈 1000 °C 어닐 시간 클러스터(고용 한계 위 원자 고정)

xj 상수 D—

xj 페르미—

최대 D/Dᵢ—

nᵢ(1000 °C)—

해볼 것: ① 도즈를 3e13으로 낮춘다. 정점이 nᵢ보다 낮아 두 모델이 거의 겹친다. ② 5e15로 올린다. 페르미 모델의 접합이 상수 D보다 50% 이상 깊고 위가 평평하다. 아래 그림의 D/Dᵢ가 고농도 영역에서 약 20배다. ③ 클러스터를 끄면 정점의 원자도 움직여 상자가 더 넓어진다. (배경 붕소 1e16, 1D, 표면 반사. 위: 농도(log), 회색 = 주입 직후, 점선 = 상수 D, 실선 = 페르미 모델. 아래: 페르미 모델의 국소 D/Dᵢ.)

상수 D 모델은 저도즈에서는 충분하지만 소스/드레인 같은 고도즈에서는 접합 깊이를 크게 틀린다. 그래서 공정 시뮬레이터의 기본 모델은 적어도 페르미 준위 의존 모델이다. 붕소에서도 같은 일이 $p/n_i$로 일어나며, 서로 다른 도펀트가 같은 $n$을 공유하므로 n⁺ 영역 안의 붕소는 느려지고(위 아레니우스 그림의 ③) p⁺ 영역 안의 비소도 느려진다. 엔진은 여러 종을 함께 어닐할 때(TC.anneal1d, TC.anneal2d) 모든 종의 활성 농도로 $n$을 계산한다.

페르미 모델 다음 단계: 쌍 확산 모델 페르미 모델은 점결함 농도가 언제나 평형이라고 가정한다. 실제 상용 도구의 고급 모델은 도펀트, 공공, 격자간 원자, 도펀트-결함 쌍의 농도를 각각 미지수로 두고 연립 반응-확산 방정식을 푼다(pair diffusion / five-stream model). 미지수가 많아 격자점당 5~10개 방정식이 되지만, 산화로 주입된 격자간 원자(OED), 주입 손상(TED), 결함 사이의 재결합을 한 틀에서 다룰 수 있다. 이 장의 TED 모델은 그중 격자간 과포화만 남긴 축약판이다.

과도 증속 확산(TED)

6장에서 이온 하나가 실리콘 원자 수백 개를 밀어낸다는 것을 봤다. 대부분의 공공과 격자간 원자는 어닐 초기에 서로 만나 사라지지만, 이온이 들어온 만큼의 원자는 결정 안에 남는다. 이온 하나가 격자 자리에 앉으면 실리콘 원자 하나가 밀려나기 때문이다. 이것이 "+1" 모델(Plus-one model)이다. 주입 도즈 $10^{15}$ cm⁻²면 남는 격자간 원자도 대략 $10^{15}$ cm⁻²이고, 이는 평형 격자간 농도보다 수천~수만 배 많다.

남은 격자간 원자는 {311} 결함으로 뭉쳤다가 천천히 풀리면서 표면이나 결함으로 사라진다. 그동안 격자간 원자를 쓰는 도펀트(B, P)는 평상시보다 수백~수천 배 빨리 움직인다. 시간이 지나면 과포화가 사라지고 확산은 정상으로 돌아온다. 그래서 이름이 "과도" 증속 확산(Transient enhanced diffusion)이다.

$$D_{\text{eff}} = D\left[1 + f_I\left(\frac{C_I}{C_I^*} - 1\right)\right] \approx D\left[1 + f_I\,F\,e^{-t/\tau(T)}\right], \qquad \tau(T) = \tau_0\,e^{E_\tau\left(\frac{1}{kT} - \frac{1}{kT_0}\right)}$$

$C_I/C_I^*$: 격자간 원자 과포화, $f_I$: 격자간 매개 몫(B·P 1, As 0.4, Sb 0.02), $F$: 초기 증강 인자, $\tau$: 과포화가 사라지는 시간(엔진 기본 1000 °C에서 5 s, $E_\tau$ = 4 eV). 엔진은 $e^{-\int dt/\tau(T)}$로 온도 이력을 따라간다.

아래에서 붕소 2 keV 10¹⁵ cm⁻²를 일정 온도로 어닐한다. 실선이 TED를 넣은 것, 점선이 넣지 않은 것이다. 아래 그림은 접합 깊이를 로그 시간에 대해 그린다. 온도를 낮추며 어떻게 달라지는지 본다.

SIMULATOR

TED: 접합은 처음 몇 초에 움직인다

어닐 온도 초기 증강 F

시간—

τ(T)—

지금 증강 1+F·e^(−t/τ)—

xj TED / 없음—

해볼 것: ① 950 °C, F = 100: 처음 몇십 초 동안 접합이 TED 없는 경우보다 훨씬 빨리 내려가고, τ를 지나면 두 곡선이 나란해진다. ② 온도를 850 °C로 낮춘다. 정상 확산으로는 접합이 2 nm도 안 움직이는데 TED만으로 100 nm 넘게 움직인다. ③ 1050 °C로 올린다. τ가 약 1초로 줄어 TED의 몫이 정상 확산에 묻힌다. 얕은 접합에 짧고 뜨거운 어닐을 쓰는 이유다. (B 2 keV 1e15, 배경 n형 1e17, 페르미 모델 + 클러스터, 등온 120 s. 위: 지금 프로파일(회색 = 주입 직후), 아래: xj(t), 로그 시간.)

TED에서 이동량은 대략 $F \cdot D \cdot \tau$로 정해진다. $D$의 활성화 에너지(붕소 3.46 eV)보다 $\tau$의 활성화 에너지(약 4 eV)가 커서, 온도를 내리면 $D$는 줄지만 $\tau$가 더 빨리 늘어난다. 낮은 온도로 오래 굽는 것은 TED를 피하는 길이 아니다. 오히려 TED가 일어나는 동안 정상 확산을 거의 하지 않으니 이동이 온통 TED 몫이 된다. 반대로 온도를 빨리 올리면 과포화가 짧은 시간에 사라지고, 같은 활성화를 더 적은 이동으로 얻는다. 이것이 급속 열처리(RTA)와 스파이크 어닐의 논리다.

열 이력: 소크, 스파이크, 플래시, 레이저

어닐의 목표는 두 가지다. 손상을 회복하고 도펀트를 활성화한다(높은 온도가 유리하다). 도펀트는 움직이지 않게 한다(작은 $Dt$가 유리하다). 활성화는 결정 회복과 자리 잡기라는 빠른 과정이고, 확산은 느린 과정이다. 그래서 온도는 높게, 시간은 짧게 가는 것이 정석이다.

소크(Soak RTA): 1000 °C 근처에서 수 초~수십 초 유지. 0.25 µm 세대까지의 주력.
스파이크(Spike anneal): 램프 램프로 올렸다가 정점에서 머무르지 않고 바로 내린다. 상승 150~250 °C/s, 하강은 램프 냉각으로 약 75~100 °C/s. 90~45 nm 세대의 확장부 어닐.
플래시(Flash lamp anneal): 웨이퍼를 700~800 °C로 예열한 뒤 섬광등으로 표면만 1~3 ms 동안 1300 °C 근처까지 올린다.
레이저(Laser spike / sub-melt anneal): 주사하는 레이저 빔이 한 점을 0.1~1 ms 동안 녹는점(1414 °C) 바로 아래까지 데운다.

열 이력이 복잡해도 확산 쪽 결과는 열 예산 하나로 요약된다. 정점 온도에서 같은 $Dt$를 주는 시간을 유효 시간 $t_{\text{eff}} = (Dt)_{\text{eff}}/D(T_{\text{peak}})$라 하면, 기본 스파이크(1050 °C, 150/75 °C/s)의 붕소 유효 시간은 약 0.8 s, $\sqrt{Dt}$는 약 2 nm다. 아래에서 온도 이력의 꼭짓점을 직접 끌어 본다.

SIMULATOR

온도 이력 편집기: 열 예산과 확장부 접합 깊이

꼭짓점을 끈다

TED (F = 3)

정점 온도—

유효 시간 (B)—

√Dt B / As—

As 확장부 xj (주입 직후 14.5)—

해볼 것: ① 스파이크의 정점을 1050 → 1100 °C로 끌어 올린다. 유효 시간은 거의 그대로(약 0.8 → 0.9 s)인데 정점의 D가 커서 √Dt가 약 1.8배가 되고 xj가 깊어진다. ② 정점을 오른쪽으로 끌어 상승 속도를 늦춘다. 램프 동안의 열 예산이 더해진다. 두 번째 꼭짓점을 끌어 유지 시간을 넣으면 소크에 가까워진다. ③ 플래시와 레이저: 정점이 1300 °C를 넘어도 시간이 ms라 xj는 주입 직후(약 14.5 nm)와 거의 같다. (As 3 keV 1e15 → 배경 B 2e18, 페르미 모델 + 클러스터. 위: T(t), 아래: As 농도(회색 = 주입 직후). 플래시의 예열 단계와 표면-후면 온도 차이는 넣지 않았다.)

스파이크 정점을 50 °C 올리면 $\sqrt{Dt}$가 약 1.8배가 된다(붕소 2.0 → 3.7 nm). 확장부 접합이 15 nm 남짓인 45 nm 세대에서 몇 nm는 문턱 전압을 흔드는 양이다. 플래시와 레이저 어닐은 확산을 거의 0으로 만들면서 1300 °C 이상의 온도로 활성화를 끌어올린다. 다만 손상이 완전히 회복되지 않고, 높은 활성 농도가 준안정 상태라 뒤따르는 열 공정에서 다시 비활성화될 수 있다. 실제 32 nm 이후 공정은 스파이크와 밀리초 어닐을 함께 쓰는 경우가 많다.

활성화와 고용 한계

주입된 원자 모두가 캐리어를 내놓지는 않는다. 격자 자리에 앉아 이온화된 원자만 활성이다. 어닐 온도에서 실리콘이 녹여 둘 수 있는 양, 곧 고용 한계(Solid solubility)를 넘은 원자는 클러스터나 석출물로 뭉쳐 전기적으로 죽는다. 비소는 공공과 뭉친 As₄V 클러스터, 붕소는 격자간 원자와 뭉친 붕소-격자간 클러스터(BIC)를 만든다. 뭉친 원자는 잘 움직이지도 않는다. 엔진은 활성 농도를 $C/(1+(C/C_s)^4)^{1/4}$로 고용 한계 $C_s(T)$에서 부드럽게 포화시킨다.

$$R_s = \frac{1}{q\displaystyle\int_0^{x_j}\mu\big(N(x)\big)\,N(x)\,dx}$$

$R_s$: 면저항(Ω/□), $N$: 활성 순 도핑, $\mu(N)$: 도핑 의존 이동도(10장의 Caughey-Thomas). 활성이 아닌 원자는 $N$에 들어가지 않는다.

SIMULATOR

화학 농도 대 활성 농도: 고용 한계가 면저항을 정한다

스파이크 정점

고용 한계 Cs(T)—

활성 몫—

면저항 Rs—

전부 활성이라면—

xj—

해볼 것: ① As 1050 °C: 정점이 고용 한계(가로 점선) 위로 솟아 있고 그 위쪽(빗금)이 죽은 원자다. ② 정점 온도를 1300 °C까지 올린다. Cs가 커져 활성 몫이 늘고 Rs가 떨어진다. 그러나 1150 °C 위의 스파이크는 xj도 함께 키운다. 1300 °C 근처는 확산이 거의 없는 밀리초 어닐에서나 쓸 수 있는 온도다. ③ P로 바꾼다. 인은 고용 한계가 1e21 수준이라 1050 °C에서도 거의 전부 활성이고 Rs가 As의 1/3 정도지만, 접합이 두 배 넘게 깊다. B는 활성 몫이 비슷해도 정공 이동도가 낮아 Rs가 가장 높다. (도즈 3e15, 반대형 배경 1e17, 스파이크 150/75 °C/s, 페르미 + 클러스터 + TED 3배, 활성화는 정점 온도의 고용 한계로 계산.)

이 시뮬레이터는 냉각 동안 활성 농도가 정점 온도의 값으로 "얼어붙는다"고 가정한다. 빠른 냉각에서는 대략 맞지만, 뒤따르는 낮은 온도의 공정(실리사이드, 후속 증착)에서 준안정 활성 원자가 다시 클러스터로 돌아가는 비활성화가 일어난다. 상용 도구는 클러스터 형성과 해리를 따로 반응 방정식으로 푼다.

접합 깊이와 면저항의 맞교환

얕은 접합은 짧은 채널 효과를 막고, 낮은 면저항은 구동 전류를 지킨다. 그런데 둘은 서로 반대 방향으로 당긴다. 어닐을 세게 하면 활성 농도가 올라 $R_s$가 내려가지만 $x_j$가 깊어진다. 접합을 얕게 두려고 어닐을 약하게 하면 $R_s$가 올라간다. 확장부 설계는 이 곡선 위의 한 점을 고르는 일이다.

아래에서 TN-45의 확장부 주입(As 4 keV, 이중 피어슨)을 할로 영역의 붕소 배경 위에 놓고, 스파이크 정점 온도를 950~1150 °C로 바꾸며 $(x_j, R_s)$를 하나씩 계산해 이어 그린다.

SIMULATOR

Rs–xj 곡선: 스파이크 온도 스윕

As 4 keV 도즈

1050 °C에서 xj—

1050 °C에서 Rs—

xj ≤ 20 nm 중 최저 Rs—

해볼 것: ① TED 3배에서 곡선을 따라간다. 950 °C 쪽은 얕지만 Rs가 높고, 1150 °C 쪽은 Rs가 낮지만 접합이 수십 nm로 깊어진다. ② 도즈를 올리면 곡선 전체가 아래로 내려간다. 고용 한계 때문에 도즈를 2배 해도 Rs는 2배까지 줄지 않는다. ③ TED 30배: 곡선이 오른쪽으로 밀려 xj ≤ 20 nm(세로 점선)을 만족하는 점이 가장 낮은 온도 하나만 남고, 그 점의 Rs는 높다. (1D, 배경 붕소는 할로 영역을 흉내 낸 깊이 14 nm 정점 4.6e18 가우시안, 각 점은 스파이크 150/75 °C/s 하나. 점 위 숫자는 정점 온도 °C.)

2D 어닐: 게이트 밑으로 기어드는 접합

지금까지는 깊이 방향만 봤다. 실제 소스/드레인은 마스크(게이트와 스페이서) 가장자리에서 끝나고, 어닐 동안 옆으로도 퍼진다. 확장부는 게이트 밑으로 몇 nm 기어들어가야 채널과 이어진다(겹침(Overlap)). 너무 많이 기어들면 실효 채널 길이 $L_{\text{eff}}$가 줄어 짧은 채널 효과가 커진다. 2D 확산은 엔진이 x·y 방향을 번갈아 음해법으로 푸는 LOD(국소 1차원) 분할로 계산한다.

이 장의 종합 시뮬레이터다. TN-45 단면에 확장부(As 4 keV 1e15, 오프셋 2 nm)와 깊은 S/D(As 40 keV 3e15, 스페이서 밖)를 주입한 직후에서 출발해 스파이크 어닐을 한 단계씩 진행한다. 정점 온도, TED 세기, 스페이서 폭을 바꿔 보고 접합(흰 실선)이 어디까지 오는지 본다. 점선은 주입 직후의 접합이다.

SIMULATOR

TN-45 소스/드레인 2D 스파이크 어닐

지도 위에 올리면 농도를 읽는다

스파이크 정점 TED 증강 F 스페이서 폭

t · T(t)—

확장부 xj / 주입 직후—

깊은 S/D xj—

게이트 밑 겹침 (한쪽)—

Leff (표면 1 nm)—

커서 위치 순 도핑—

해볼 것: ① 기본값으로 어닐한다. 확장부 접합이 주입 직후보다 몇 nm 깊어지고, 게이트 밑으로 몇 nm 들어가 Leff가 약 25 nm가 된다. ② TED를 10, 30으로 올린다. 확장부 바닥이 깊은 S/D 꼬리와 이어지고 Leff가 0을 향해 무너진다. ③ 스페이서를 15 nm로 줄인다. S/D 꼬리가 옆으로 퍼져 게이트 끝까지 오고 확장부 xj가 S/D와 구분되지 않는다. (121×67 격자, 붕소 배경은 할로를 흉내 낸 깊이 방향 가우시안(가로로 균일), 페르미 + 클러스터, 활성화는 정점 온도의 고용 한계. 컬러맵: 빨강 p, 파랑 n, 순 도핑의 로그.)

어닐은 접합을 아래로만이 아니라 옆으로도 민다. 옆 방향으로도 세로와 비슷한 거리만큼 퍼지므로, 확장부가 게이트 끝에서 2 nm 떨어져 시작해도 스파이크 뒤에는 게이트 밑으로 들어온다. TED 세기가 몇 배만 달라져도 접합이 깊이 수십 nm, 옆으로 10 nm 넘게 바뀐다. 공정 시뮬레이션에서 가장 불확실한 매개변수가 TED 관련 값이라는 점을 생각하면, 16장에서 이 값을 측정 프로파일(SIMS)과 소자 특성에 맞춰 보정하는 이유가 분명해진다.

TARGET TN-45타깃 파일 · 7장

스파이크 한 번이 접합을 정한다

엔진의 TN-45 공정 흐름(TC.tn45Process(), 기본 격자)을 스파이크 어닐(1050 °C, 상승 150·하강 75 °C/s, 페르미 + 클러스터, TED 3배)까지 돌렸다. 게이트 끝에서 2 nm 바깥의 확장부 접합 깊이는 주입 직후 13.6 nm에서 어닐 뒤 18.9 nm가 되었다. 스페이서 끝에서 35 nm 바깥의 깊은 S/D 접합은 76 nm다. 표면 1 nm 깊이에서 잰 Leff는 24.7 nm로 게이트 길이 45 nm보다 훨씬 짧다. 확장부가 양쪽에서 각각 약 10 nm씩 게이트 밑으로 들어온 것이다. 면저항은 깊은 S/D 약 54 Ω/□, 스페이서 밑 확장부 약 119 Ω/□다.

스파이크 조건	확장부 xj (nm)	S/D xj (nm)	Leff (nm)
TED 없음	16.1	76.1	29.7
기본 (TED 3배)	18.9	76.3	24.7
TED 10배	36.7	76.6	16.6
TED 30배	52.6	77.7	1.1
TED 100배	73.0	91.1	채널 없음
정점 1000 °C (TED 3배)	14.9	—	33.2
정점 1100 °C (TED 3배)	43	—	13

표의 숫자는 모두 엔진으로 계산했다. TED가 3배에서 10배로 바뀌면 확장부 접합이 두 배 깊어지고 그 바닥이 깊은 S/D의 측면 꼬리와 이어진다. 30배면 Leff가 1 nm로 채널이 사실상 닫히지 않는다. 절벽이다. TED 3배라는 값 자체는 이 책이 정한 교육용 기본값이어서, 실제 공정이라면 SIMS 프로파일로 보정해야 하는 가장 중요한 매개변수가 바로 이것이다.

이 장에서 정한 것스파이크 1050 °C 뒤 확장부 xj 18.9 nm, 깊은 S/D xj 76 nm, Leff 24.7 nm. 2D 활성 도핑 지도(R.net)가 소자 계산의 입력으로 준비되었다.

아직 남은 문제S/D 위치를 정한 스페이서를 25 nm 직사각형 차단물로만 다뤘다. 스페이서가 실제로 어떤 모양으로 만들어지는지, 폭이 바뀌면 무엇이 바뀌는지 모른다. TED 세기는 보정되지 않은 값이다.

다음 단계게이트 산화와 등각 증착 + 에치백으로 스페이서를 만든다(8장).

핵심 정리

확산은 무작위 걸음의 집단 행동이다. 퍼짐은 $\langle x^2\rangle = 2Dt$로 시간의 제곱근에 비례하므로 공정은 $Dt$와 $\sqrt{Dt}$로 말한다.
픽의 제2법칙을 양해법으로 풀면 $r = D\Delta t/h^2 \le 1/2$이어야 안정하다. 공정 시뮬레이터는 무조건 안정한 음해법을 쓰고 정확도는 시간 간격 제어로 맞춘다.
D가 일정하면 선확산은 erfc, 드라이브인은 가우시안이다. 해석해는 수치 풀이기의 검증 기준이자 어림 도구다.
$D = D_0 e^{-E_a/kT}$이고 $E_a$가 3.5~4 eV라 1000 °C 근처에서 25 °C마다 약 2배가 된다. 온도 이력은 열 예산 $\int D\,dt$로 묶는다.
치환형 도펀트는 공공이나 격자간 원자와 짝지어 움직인다. 결함의 전하 상태가 페르미 준위를 따르므로, 도핑이 $n_i$(공정 온도)보다 높으면 D가 농도에 의존하고 고도즈 비소는 상자 모양이 된다.
주입이 남긴 격자간 원자("+1")가 B·P의 확산을 수백~수천 배 빠르게 만들다가 시간 $\tau(T)$ 동안 사라진다(TED). 이동량은 $F D\tau$ 규모이며 낮은 온도에서 오히려 커질 수 있어 짧고 뜨거운 어닐이 유리하다.
활성 농도는 고용 한계 $C_s(T)$에서 포화하고, 면저항은 활성 도핑의 $\int q\mu N\,dx$로 정해진다. 어닐을 세게 하면 Rs는 내려가고 xj는 깊어진다.
2D 어닐에서 접합은 마스크 가장자리 밑으로도 퍼진다. TN-45에서 기본 스파이크 뒤 확장부 xj 18.9 nm, S/D 76 nm, Leff 24.7 nm이며, TED 세기가 몇 배만 커져도 확장부가 S/D와 이어져 채널이 무너진다.

확인 퀴즈

어떤 도펀트를 일정 온도에서 10초 어닐했더니 확산 거리 $\sqrt{Dt}$가 3 nm였다. 같은 온도에서 6 nm를 얻으려면 얼마나 어닐해야 하는가?

확산 거리는 $\sqrt{t}$에 비례하므로 2배가 되려면 시간이 4배 필요하다. 무작위 걸음에서 분산 $\langle x^2\rangle$이 점프 횟수에 비례하는 것과 같은 이유다.

확산 방정식을 양해법으로 풀던 중 격자를 표면 근처에서 2 nm → 0.5 nm로 촘촘히 했다. 같은 시간 간격을 쓰면 무슨 일이 생기는가?

양해법의 안정 조건은 $r \le 1/2$이다. 격자 간격을 1/4로 줄이면 $r$은 16배가 된다. 가장 빠른 톱니 모드가 매 단계 $|1-4r| > 1$배로 자라 발산한다. 음해법은 이 조건이 없다.

붕소 저에너지 주입 뒤 900 °C에서 오래 어닐한 시료와 1050 °C 스파이크 어닐한 시료를 비교했더니, 정상 확산 계수로 계산한 열 예산은 900 °C 쪽이 훨씬 작은데도 접합은 900 °C 쪽이 더 깊었다. 가장 그럴듯한 설명은?

TED의 이동량은 $F\cdot D\cdot\tau$ 규모다. $\tau$의 활성화 에너지(약 4 eV)가 붕소 D(3.46 eV)보다 커서 온도를 내리면 TED 지속 시간이 D 감소보다 빨리 늘어난다. 고용 한계는 오히려 낮은 온도에서 낮다.

고도즈 비소 주입을 1000 °C로 어닐한 SIMS 프로파일이 위가 평평하고 앞이 가파른 상자 모양이었다. 상수 D 모델로는 이 모양이 나오지 않는 이유는?

비소의 D⁻ 항은 $n/n_i$에 비례한다. 정점 근처(10²⁰ 이상)는 $n_i$(약 7e18)보다 훨씬 높아 D가 수십 배 크고 금방 평평해진다. 농도가 떨어지는 앞쪽에서는 D가 급히 작아져 앞이 가파르다. 비소는 공공 기구 몫이 더 크다.