Chapter 09

PN 접합 시뮬레이션

앞 장까지는 도핑 프로파일을 만들었다. 이제 그 위에서 처음으로 소자 방정식을 푼다. 가장 단순한 소자인 1차원 pn 다이오드다. 단순하다고 쉬운 것은 아니다. 평형의 밴드 그림, 순방향 주입, 역방향 생성 전류, 접합 용량까지 반도체 소자 물리의 거의 모든 장면이 이 한 줄짜리 구조 안에 들어 있고, 교과서의 해석식은 그 장면마다 다른 근사를 쓴다. 이 장에서는 엔진이 포아송 방정식과 전자·정공 연속 방정식을 격자 위에서 그대로 풀게 하고, 그 결과를 해석식 옆에 나란히 놓는다. 어디서 맞고 어디서 갈라지는지가 이 장의 내용이다.

1D 다이오드 시뮬레이션의 입력(구조·도핑·격자·접점·모델)을 정하고, 평형 해에서 내부 전위와 공핍 폭을 읽는다.
공핍 근사가 무엇을 버리는지(다수 캐리어 꼬리) 수치해와 비교하고, 2kT/q 보정의 뜻을 말한다.
순방향에서 준페르미 준위가 갈라지는 모습과 소수 캐리어 주입을 보고, 이상 계수가 2 → 1 → 고주입·직렬 저항으로 바뀌는 이유를 설명한다.
역방향 생성 전류 $q n_i W/2\tau$, 1/C² 도핑 추출, 온도에 따른 활성화 에너지(Eg 대 Eg/2)를 엔진으로 확인한다.
TN-45의 드레인-웰 접합을 다이오드로 보고 내부 전위, 공핍 폭, 누설, 접합 용량을 계산한다.

첫 소자 시뮬레이션: 무엇을 정해야 하는가

소자 시뮬레이션의 입력은 다섯 가지다. 어떤 구조인가(재질과 치수), 어떤 도핑인가(공정 모사가 준 Nd − Na), 어떤 격자로 쪼갤 것인가, 전극을 어디에 어떤 경계 조건으로 붙일 것인가, 어떤 물리 모델(이동도·재결합·통계)을 켤 것인가. 1D pn 다이오드에서는 이 다섯 가지가 모두 한 줄로 줄어든다.

1D 다이오드 계산 영역. 왼쪽이 p형(양극, 전압 Va), 오른쪽이 n형(음극, 접지)이다. 양 끝은 오믹 접점이다. 격자 눈금은 접합(xj)에서 가장 촘촘하고 중성 영역으로 갈수록 기하급수적으로 넓어진다. 엔진의 TC.diode1d가 이 구조와 격자를 만든다.

입력	이 장의 기본값	왜 그렇게 정하는가
구조	실리콘 2 µm, 접합은 가운데	공핍 폭(0.1 µm 규모)보다 충분히 길어서 양 끝이 중성이어야 오믹 경계 조건이 성립한다.
도핑	계단 접합 Na = Nd = 10¹⁷ cm^-3	해석식과 비교하기 가장 쉬운 경우. 뒤에서 한쪽 고농도·경사 접합으로 바꾼다.
격자	접합 2 nm → 접점 33 nm, 148점	접합 간격을 디바이 길이 $L_D = \sqrt{\varepsilon_s kT/q^2N}$(10¹⁷에서 약 13 nm)의 일부로 잡는다.
경계	양 끝 오믹: 전하 중성 + 평형 n·p, ψ = 중성 전위 + 인가 전압	3장의 오믹 조건. 접점의 소수 캐리어 농도는 평형값에 고정된다(무한 재결합 속도).
모델	볼츠만 통계, 카우기-토머스 이동도, SRH(τ = 10^-7 s) + 오제	10장에서 하나씩 바꿔 본다.

풀어야 할 식은 3장의 세 방정식이다. 정전위 ψ(진성 준위 기준), 전자 농도 n, 정공 농도 p 세 변수를 격자점마다 두고, 5장의 샤페터-거멜 이산화와 뉴턴 반복으로 동시에 푼다.

$$\frac{d}{dx}\!\left(\varepsilon_s \frac{d\psi}{dx}\right) = -q\,(p - n + N_d - N_a),\qquad \frac{1}{q}\frac{dJ_n}{dx} = R,\qquad -\frac{1}{q}\frac{dJ_p}{dx} = R$$

$J_n = q\mu_n n E + qD_n\,dn/dx$, $J_p = q\mu_p p E - qD_p\,dp/dx$: 드리프트-확산 전류, $R$: 순 재결합률(SRH + 오제), $\varepsilon_s$: 실리콘 유전율(11.7ε₀)

이 장은 TCAD 흐름의 어디인가 공정 모사 → 구조·격자 → 물리 모델 → 수치 해 → 소자 특성 → 보정·활용 가운데 소자 특성 단계의 첫 장이다. 앞 장의 공정 모사가 만든 접합을 처음으로 전기적으로 들여다본다. 2D·트랜지스터로 가기 전에 1D에서 모든 출력(밴드, 캐리어, I-V, C-V)을 해석식과 맞춰 보는 것은 실제 TCAD 작업에서도 첫 번째로 하는 점검이다.

평형: 밴드 그림과 내부 전위

전압을 걸지 않은 다이오드를 먼저 푼다. 평형에서는 전류가 0이므로 연속 방정식은 저절로 만족되고(준페르미 준위가 모두 0으로 평평하다), 남는 것은 비선형 포아송 방정식 하나다. p쪽 깊숙한 곳과 n쪽 깊숙한 곳의 정전위 차이가 내부 전위(Built-in potential)다.

$$V_{bi} = \psi(L) - \psi(0) = \frac{kT}{q}\ln\frac{N_a N_d}{n_i^2}$$

$n_i$: 진성 농도(300 K에서 1.0×10¹⁰ cm^-3), 볼츠만 통계와 완전 이온화를 가정한 식

아래 그림의 위쪽 칸에서 p쪽(왼쪽)과 n쪽(오른쪽) 도핑 손잡이를 위아래로 끌어 본다. 끌 때마다 엔진이 포아송 방정식을 새로 풀어 아래쪽 칸에 밴드 그림을 그린다.

SIMULATOR

도핑을 끌면 밴드가 휜다: 평형 포아송 풀이

도핑 손잡이를 위아래로 끈다

페르미-디랙 통계

Ec, EvEiEF (= 0 eV)공핍 근사 W

Vbi 수치(ψ 차이)—

Vbi 해석식—

공핍 폭 W (xp / xn)—

뉴턴 반복 · 격자점—

해볼 것: ① 양쪽을 10¹⁵까지 내린다. 밴드 굽힘(Vbi)은 약 0.6 V로 줄고 공핍 폭은 1 µm를 넘는다. ② 한쪽만 10²⁰으로 올린다. 공핍 영역은 거의 전부 저농도 쪽에 생긴다(한쪽 접합). ③ 양쪽을 10²⁰으로 올린 뒤 페르미-디랙 통계를 켠다. 페르미 준위가 밴드 안으로 들어가 볼츠만 식의 Vbi가 실제보다 커진다(밴드갭 좁아짐과 불완전 이온화는 끈 모델).

위 그림에서 몇 가지를 확인할 수 있다. 첫째, 페르미 준위는 한 줄로 평평하고 밴드가 휜다. 평형의 정의 그대로다. 둘째, 수치해의 ψ 차이와 해석식 $V_{bi}$는 볼츠만 통계에서 넷째 자리까지 같다. 해석식은 양 끝 중성 영역의 전위만 쓰기 때문에, 그 사이의 휜 모양을 몰라도 정확하다. 셋째, 공핍 영역은 저농도 쪽으로 뻗는다. 전하 중성 $N_a x_p = N_d x_n$ 때문이다. 10²⁰/10¹⁶에서는 W의 99.99%가 n쪽에 있다. 이런 한쪽 접합(One-sided junction)은 뒤에서 C-V 도핑 추출과 TN-45 드레인 접합에서 다시 만난다.

FD 통계를 켜고 10²⁰까지 올려 보면 볼츠만 해와 차이가 생긴다. 축퇴 반도체에서는 $n = N_c F_{1/2}(\eta)$가 $N_c e^{\eta}$보다 작아서 같은 농도를 얻으려면 페르미 준위가 밴드 안으로 더 들어가야 한다. 실제 소자 시뮬레이터에서는 고농도 접점 영역 때문에 FD 통계와 밴드갭 좁아짐(2장)을 함께 켜는 경우가 많다.

격자와 수렴: 첫 해가 맞았는지 어떻게 아는가

풀이가 "수렴했다"는 말에는 두 가지 뜻이 있다. 하나는 뉴턴 반복이 수렴했다는 뜻(이산화된 방정식의 해를 찾았다), 다른 하나는 격자에 대해 수렴했다는 뜻(격자를 더 촘촘히 해도 답이 바뀌지 않는다)이다. 앞의 것은 잔차 그래프로, 뒤의 것은 격자를 바꿔 가며 확인한다. 둘 다 통과해야 결과를 믿을 수 있다.

아래는 Na = Nd = 10¹⁸ cm^-3 접합(공핍 폭 약 50 nm)을 균일 격자로 푼 것이다. 격자 간격을 바꾸고, 초기값과 감쇠 방식을 바꿔 본다.

SIMULATOR

격자 간격과 뉴턴 수렴: 전계는 격자를 탄다

격자 간격 h

격자점—

뉴턴 반복—

최대 전계 (기준 대비)—

Vbi—

해볼 것: ① h = 1 nm에서 최대 전계가 기준(h = 0.25 nm)과 2% 안에서 맞고, 2 nm에서는 약 4% 낮은지 본다. ② h를 10 nm, 50 nm로 키운다. 격자점들이 접합의 뾰족한 전계를 놓쳐 최대 전계가 약 20%, 75% 낮아진다. 그런데 Vbi는 그대로다. ③ "ψ = 0, 감쇠 없음"을 고른다. 첫 갱신이 수백 Vt로 튀고 두 번째 반복에서 지수 함수가 넘쳐 발산한다. 로그 감쇠를 켜면 10여 회 만에 수렴한다(초기값 "중성"은 감쇠 없이 7회).

Vbi는 격자를 아무리 성기게 해도 정확하다. 양 끝 경계 조건이 정하는 양이기 때문이다. 반면 최대 전계는 접합 근처 곡률을 해상해야 얻는 양이라 격자에 민감하다. 이 차이는 일반적이다. 단자 전압·전하처럼 적분된 양은 격자에 둔하고, 전계·전류 밀도의 국소 최댓값은 예민하다. 항복이나 터널링처럼 최대 전계에 지수적으로 의존하는 모델(13장)을 켤 때 격자를 먼저 의심해야 하는 이유다. 오른쪽 수렴 그래프에서 중성 초기값 + 뉴턴은 마지막 몇 회에 갱신량이 10^-3 → 10^-6 → 10^-12로 줄어든다. 자릿수가 두 배씩 늘어나는 2차 수렴이다(5장).

공핍 근사와 수치해: 무엇을 버렸는가

교과서의 접합 해석은 공핍 근사(Depletion approximation)에서 시작한다. 공핍 영역 −x_p < x < x_n 안에는 캐리어가 하나도 없고 밖은 완전히 중성이라고 본다. 그러면 전하는 직사각형, 전계는 삼각형, 전위는 포물선 두 조각이다.

$$W = x_p + x_n = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q}\left(\frac{1}{N_a}+\frac{1}{N_d}\right)(V_{bi}-V_a)},\qquad E_{max} = \frac{qN_a x_p}{\varepsilon_s} = \sqrt{\frac{2q(V_{bi}-V_a)}{\varepsilon_s}\frac{N_aN_d}{N_a+N_d}}$$

$x_p, x_n$: p쪽·n쪽 공핍 폭, $N_a x_p = N_d x_n$(전하 중성), $V_a$: 인가 전압(순방향 +)

실제 공핍 영역의 가장자리는 칼로 자른 듯하지 않다. 다수 캐리어 농도는 디바이 길이 규모에 걸쳐 볼츠만 인자 $e^{-q\Delta\psi/kT}$로 서서히 줄어든다. 이 꼬리가 공핍 전하를 조금씩 상쇄하므로, 실제로 전계를 만드는 전위차는 $V_{bi}-V_a$보다 약 $2kT/q$(양쪽 꼬리 각각 kT/q) 작다. 이것이 2kT/q 보정이다.

$$W_c = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q}\left(\frac{1}{N_a}+\frac{1}{N_d}\right)\left(V_{bi}-V_a-\frac{2kT}{q}\right)}$$

대칭 접합에서 잘 맞는 보정식(Sze & Ng). 한쪽이 훨씬 고농도면 보정의 모양이 달라진다.

SIMULATOR

전하·전계·전위: 포아송 수치해 대 공핍 근사

Na (p쪽) Nd (n쪽) 인가 전압 Va

포아송 수치해(볼츠만, 준페르미 준위 = 접점 전압)공핍 근사

Emax 수치해—

Emax 공핍 근사—

Emax 2kT/q 보정—

공핍 근사 오차—

해볼 것: ① 10¹⁷/10¹⁷, 0 V에서 수치해의 Emax가 공핍 근사보다 약 5% 낮고 2kT/q 보정과는 1~2% 안에서 맞는지 본다. ② 역바이어스 −5 V로 간다. Vbi − Va가 커질수록 2kT/q의 몫이 작아져 세 값이 모인다. ③ Nd를 10²⁰으로 올린다. 고농도 쪽의 꼬리가 매우 얇아 공핍 근사보다 수치해의 전계가 오히려 높게 나온다. 한쪽 접합에서는 대칭 보정식이 맞지 않는다. (포아송만 푼다. 역바이어스에서는 준페르미 준위를 각 영역의 접점 전압으로 고정한 근사로, 다음 절의 드리프트-확산 해와 같다.)

공핍 근사의 전하 그래프(직사각형)와 수치해(둥근 모서리)를 비교하면, 버려진 것이 정확히 무엇인지 보인다. 가장자리의 다수 캐리어 꼬리, 그리고 그 꼬리가 상쇄한 전하다. 대칭 접합에서는 이 꼬리 때문에 최대 전계가 몇 % 낮아지고, 2kT/q 보정이 이를 거의 정확히 되돌린다. 한쪽이 고농도인 접합에서는 사정이 다르다. 저농도 쪽 꼬리는 길고 고농도 쪽 꼬리는 짧아서, 수치해의 접합면 전계가 공핍 근사보다 높게 나올 수 있다(엔진 검증: 10²⁰/10¹⁷에서 25% 이상). 해석식은 "대략"을 주고, 그 "대략"이 몇 %인지는 수치해가 알려 준다.

순방향: 준페르미 준위가 갈라진다

전압을 걸면 평형이 깨진다. 이제 페르미 준위 하나로는 전자와 정공을 함께 기술할 수 없다. 대신 전자와 정공 각각의 준페르미 준위(Quasi-Fermi level) $\phi_n, \phi_p$를 둔다($n = n_i e^{(\psi-\phi_n)/V_t}$, $p = n_i e^{(\phi_p-\psi)/V_t}$). 순방향에서 공핍 영역 안의 두 준위 간격이 거의 그대로 인가 전압이다. 그래서 공핍 영역 가장자리의 소수 캐리어 농도는 평형값에서 $e^{qV_a/kT}$배 늘어난다. 이것이 접합의 법칙(Law of the junction)이다.

$$n\,p\,\big|_{\text{공핍 영역}} = n_i^2\, e^{qV_a/kT}\quad\Rightarrow\quad p_n(x_n) = \frac{n_i^2}{N_d}\,e^{qV_a/kT}$$

$p_n(x_n)$: n쪽 공핍 가장자리의 정공 농도, $n_i^2/N_d$: 평형 소수 캐리어 농도(10¹⁷에서 10³ cm^-3)

아래는 드리프트-확산 풀이기를 한 바이어스에서 다음 바이어스로 이어 가며(앞 해를 초기값으로) 푼다. 전압 슬라이더를 천천히 올리면서 밴드 그림과 농도 그림을 번갈아 본다.

SIMULATOR

바이어스를 걸면: 준페르미 준위와 소수 캐리어 주입

인가 전압 Va

전류 밀도 J—

접합에서 φp − φn—

p(xn) 수치 / 접합의 법칙—

p(xn) / Nd—

해볼 것: ① 0.3 V, 0.5 V에서 공핍 가장자리(x_n에서 디바이 길이 두 배 바깥) 정공 농도가 접합의 법칙 $n_i^2/N_d\,e^{V/V_t}$와 맞는지 본다. 공핍 영역 안에서 φn, φp가 평평하다. ② 0.85 V 이상으로 올린다. 주입된 소수 캐리어가 다수 캐리어(10¹⁷)와 비슷해지는 고주입이다. 준위 간격이 Va보다 작아지고 중성 영역에서 다수 캐리어 준위도 기울기 시작한다(저항성 전압 강하). ③ 음수로 내린다. 준위가 반대로 벌어지고 소수 캐리어가 평형보다 줄어 고갈된다. (볼츠만 통계, SRH τ = 10^-7 s, 2 µm 짧은 다이오드: 중성 폭 1 µm는 확산 길이 약 10~20 µm보다 짧아서 소수 캐리어 분포가 직선이다.)

농도 그림에서 소수 캐리어 분포가 중성 영역에서 거의 직선으로 줄어 접점에서 평형값으로 돌아오는 것이 보인다. 중성 폭(1 µm)이 확산 길이보다 짧은 짧은 다이오드(Short diode)이고, 오믹 접점이 소수 캐리어를 평형값에 묶기 때문이다. 이때 확산 전류는 $qD_p\,\Delta p/w_n$이고, 긴 다이오드의 $L_p$ 대신 중성 폭 $w_n$이 들어간다. 엔진의 쇼클리 해석식 TC.shockley는 두 경우를 잇는 coth 식을 쓴다.

$$J = J_0\left(e^{qV_a/kT}-1\right),\qquad J_0 = q n_i^2\left[\frac{D_n}{L_n N_a}\coth\frac{w_p}{L_n} + \frac{D_p}{L_p N_d}\coth\frac{w_n}{L_p}\right]$$

$D = \mu kT/q$: 확산 계수, $L = \sqrt{D\tau}$: 확산 길이, $w_p, w_n$: 중성 영역 폭. $w \ll L$이면 $\coth(w/L) \approx L/w$

I-V 스윕과 이상 계수

실제 TCAD 작업에서 다이오드 I-V는 바이어스를 조금씩 올리며 앞 점의 해를 초기값으로 다음 점을 푸는 스윕(Bias sweep)으로 얻는다. 아래 시뮬레이터는 0~1.1 V를 20 mV 간격으로 프레임마다 몇 점씩 풀어서 곡선을 그려 나간다. 아래 칸은 국소 이상 계수(Ideality factor)다.

$$n(V) = \frac{q}{kT}\,\frac{dV}{d\ln J}$$

이상적인 확산 전류면 $n = 1$(60 mV/dec), 공핍 영역 재결합이 지배하면 $n = 2$(120 mV/dec)

SIMULATOR

순방향 I-V 스윕과 국소 이상 계수

직렬 저항 Rs SRH 재결합

드리프트-확산 스윕쇼클리 J0(e^V/Vt−1)직전 스윕

n (0.15 V)—

n (0.55 V)—

n (0.9 V)—

J(0.6 V) / 쇼클리—

뉴턴 반복(누적)—

해볼 것: ① 기본 상태에서 이상 계수가 낮은 전압에서 약 1.6, 0.45~0.7 V에서 1.00~1.02, 0.8 V 위에서 다시 커지는 세 구간을 읽는다. ② SRH를 끄고 다시 스윕한다. 낮은 전압의 n이 1로 내려온다. 공핍 영역 재결합이 사라졌기 때문이다. ③ Rs를 10^-3 Ω·cm²로 올린다. 높은 전류에서 J·Rs만큼 전압을 빼앗겨 곡선이 눕고 n이 10을 넘는다. (1e17/1e17, 2 µm, 300 K. Rs는 양극 접점의 집중 저항으로 뉴턴 안에 함께 푼다.)

한 곡선 안에 세 영역이 있다. 낮은 전압에서는 공핍 영역의 SRH 재결합 전류가 확산 전류보다 크다(다음 절). 중간에서는 쇼클리의 확산 전류가 지배하고 수치해는 해석식과 2~4% 안에서 맞는다. 차이는 주로 공핍 영역 재결합과 이동도 모델의 영역별 평균 때문이다. 높은 전압에서는 두 가지가 겹친다. 주입된 소수 캐리어가 다수 캐리어 농도에 다가가는 고주입(High injection)에서는 $p \approx n$이 되어 $np = n_i^2 e^{V/V_t}$에서 $p \propto e^{V/2V_t}$, 즉 n → 2가 된다. 그리고 중성 영역의 유한한 저항이 전압을 빼앗는다. 엔진 검증값으로 n은 0.8 V에서 1.34, 0.9 V에서 약 2.5다. 실제 다이오드에서는 접점·기판의 직렬 저항이 더해져 이 영역이 더 일찍 온다.

측정에서 이상 계수를 읽는 법 반도체 공정 모니터링에서 다이오드 I-V의 이상 계수는 결함의 지표로 쓰인다. 낮은 바이어스의 n이 2에 가깝고 그 구간이 넓을수록 공핍 영역의 트랩(짧은 τ)이 많다는 뜻이다. 반대로 높은 바이어스에서 n이 급히 커지는 지점은 직렬 저항을 알려 준다. 시뮬레이션은 이 두 효과를 따로 켜고 끌 수 있다는 점에서 측정보다 유리하다.

공핍 영역 재결합: n = 2는 어디서 오는가

SRH 재결합률은 $R = (np - n_i^2)/[\tau_p(n+n_1) + \tau_n(p+p_1)]$이다. 순방향에서 $np = n_i^2 e^{V/V_t}$로 고정된 공핍 영역 안에서, 분모가 가장 작은 곳은 $n \approx p = n_i e^{V/2V_t}$인 지점이다. 거기서 재결합률이 최대 $R_{max} \approx n_i e^{V/2V_t}/2\tau$가 되고, 이것을 공핍 폭에 걸쳐 적분한 전류는 $e^{V/2V_t}$로 자란다. 이상 계수 2의 기원이다.

$$J_{rec} \approx \frac{q n_i W}{2\tau}\, e^{qV_a/2kT}\quad\text{(상한 근사)},\qquad J_{diff} = J_0\, e^{qV_a/kT}$$

$\tau$: SRH 수명(τn = τp), 트랩 준위는 진성 준위. 두 전류가 같아지는 전압 아래에서 재결합 전류가 이긴다.

SIMULATOR

SRH 수명과 재결합 분포: 전류는 어디서 사라지는가

SRH 수명 τ 인가 전압 Va

재결합률 R(x)공핍 영역공핍 영역 몫중성 영역 + 접점 몫

전류 J—

공핍 영역 재결합 몫—

국소 이상 계수 n—

R 최대 수치 / n_ie^V/2Vt/2τ—

해볼 것: ① τ = 10^-7 s, 0.3 V에서 재결합이 공핍 영역 한가운데에 뾰족하게 몰려 있다. 공핍 영역은 소자 길이의 7%인데 전류의 약 35%를 가져간다. 0.2 V로 내리면 약 77%, 0.1 V면 95%다. ② 전압을 0.6 V로 올린다. 공핍 영역 몫이 거의 0이 되고 n이 1에 다가간다. ③ τ를 10^-10 s로 줄이면 0.5 V에서도 전류의 약 85%가 공핍 영역 재결합이고 n이 1.5를 넘는다. 10^-5 s로 늘리면 0.1 V부터 n ≈ 1이다. (중성 영역 재결합 + 접점으로 빠지는 소수 캐리어 전류를 "중성 영역 몫"으로 묶었다. 공핍 영역 경계는 공핍 근사로 잡았다.)

공핍 영역 재결합 전류는 $n_i$에 비례하고 확산 전류는 $n_i^2$에 비례한다. 그래서 $n_i$가 작은 재료(넓은 밴드갭)일수록, 낮은 온도일수록, 트랩이 많을수록(τ가 짧을수록) 재결합 전류가 넓은 전압 범위를 차지한다. 확산 전류는 τ에 $\sqrt{\tau}$ 이하로만 약하게 의존하고(짧은 다이오드에서는 거의 무관), 재결합 전류는 1/τ에 비례한다는 차이도 그림에서 읽을 수 있다.

역방향: 생성 전류와 공핍층의 확장

역바이어스에서는 공핍 영역 안에서 $np \ll n_i^2$이 된다. SRH 식의 분자가 $-n_i^2$이 되어 재결합률이 음수, 즉 생성(Generation)이 된다. 공핍 영역 안의 생성률은 거의 균일하게 $n_i/2\tau$이고, 만들어진 전자·정공은 전계에 쓸려 나가 역방향 전류가 된다. 역전류는 확산 성분 $J_0$과 생성 성분의 합이고, 실리콘 상온에서는 생성 성분이 훨씬 크다.

$$J_R \approx J_0 + \frac{q n_i W(V_a)}{2\tau},\qquad W(V_a) \propto \sqrt{V_{bi} - V_a}$$

생성 전류는 포화하지 않고 공핍 폭을 따라 $\sqrt{|V_a|}$로 자란다. 확산 성분 $J_0$은 10¹⁷/10¹⁷에서 약 4×10^-11 A/cm²

SIMULATOR

역바이어스: 생성률 분포와 누설 전류

역바이어스 |Va| SRH 수명 τ

생성률 G(x) = −R수치 공핍 폭(n+p < N/2)|J| 수치q·n_i·W_c/2τ

공핍 폭 수치 / 2kT/q 보정 식—

|J| 수치—

q·n_i·W_c/2τ—

최대 전계—

해볼 것: ① |Va|를 0에서 20 V까지 끌며 오른쪽 그래프에 점을 찍는다. 역전류가 포화하지 않고 √V 모양으로 자란다. ② 수치 전류가 q·n_i·W/2τ보다 약 1.5~3배 작은지 본다. 공핍 가장자리 근처에서는 n이나 p가 n_i보다 커져 생성률이 줄기 때문에, 실제로 생성에 기여하는 폭은 W보다 좁다. ③ τ를 바꾸면 곡선 전체가 1/τ로 위아래로 움직인다. (1e17/1e17, 충돌 이온화를 끈 모델이라 항복은 나오지 않는다. 항복은 13장.)

역방향 누설은 공정 품질을 가장 민감하게 반영하는 전기적 지표 중 하나다. 생성 전류가 1/τ에 비례하므로 금속 오염이나 주입 손상이 남긴 깊은 준위 트랩이 누설을 바로 키운다. TCAD에서는 이 τ를 도핑·결함 농도에 따라 바꾸는 모델(TC.tauSRH, 샤프케터 식)을 쓰고, 고전계 영역에서는 트랩 보조 터널링·밴드 간 터널링이 덧붙는다. 뒤의 TN-45 타깃 파일에서 그 한 예를 본다.

접합 용량과 1/C² 도핑 추출

공핍 영역은 두 도체(중성 영역) 사이에 낀 유전체처럼 행동한다. 바이어스를 조금 바꾸면 공핍 가장자리에서 다수 캐리어가 들어오거나 나가며 전하가 바뀐다. 이 접합 용량(Junction capacitance)은 단위 면적당 $C_j = \varepsilon_s/W$이고, 계단 접합에서는

$$\frac{1}{C_j^2} = \frac{2\left(V_{bi} - V_a - 2kT/q\right)}{q\,\varepsilon_s\,N_{\text{eff}}},\qquad N_{\text{eff}} = \frac{N_aN_d}{N_a+N_d}$$

1/C²를 V에 대해 그리면 직선이고, 기울기에서 $N_{\text{eff}}$(한쪽 접합이면 저농도 쪽 도핑), 가로축 절편에서 $V_{bi} - 2kT/q$를 얻는다.

엔진은 용량을 "공식"으로 계산하지 않는다. 각 바이어스에서 드리프트-확산 해를 구한 뒤, 작은 교류 전압을 얹었을 때의 응답을 선형화해서 푸는 소신호 AC 해석(Small-signal AC analysis)으로 어드미턴스 $Y = G + j\omega C$를 얻는다(15장). 아래 시뮬레이터는 p⁺(10¹⁹)/n 접합에 −4 V에서 +0.6 V까지 C-V를 재고 1/C² 직선을 맞춘다.

SIMULATOR

C-V 측정과 1/C² 도핑 추출 (소신호 AC, 100 kHz)

n쪽 도핑 Nd 맞춤 상한 V

AC 해석 C, 1/C²직선 맞춤(맞춤 범위의 점)맞춤에서 뺀 점

추출 N (기울기)—

실제 N_eff—

추출 Vbi (절편 + 2kT/q)—

C(0 V)—

해볼 것: ① Nd = 10¹⁶에서 추출 N이 실제와 1% 안에서 맞는지 본다. ② 맞춤 상한을 +0.6 V로 올린다. 순방향 점에서는 주입된 소수 캐리어의 확산 용량이 더해져 1/C²가 직선에서 아래로 꺾이고, 추출값이 틀어진다. ③ Nd를 10^18.5로 올린다. p⁺ 쪽(10¹⁹)이 더 이상 "무한히 높지" 않아서 추출값이 Nd가 아니라 N_eff가 된다. 한쪽 접합 가정이 깨진 것이다. 절편에서 뽑은 Vbi는 실제보다 약 0.08 V 낮다. 대칭 접합용 2kT/q 보정이 한쪽 고농도 접합에는 맞지 않기 때문이다. (100 kHz는 ωτ ≪ 1인 저주파라 확산 용량이 모두 보인다.)

측정 C-V에서 도핑 프로파일을 거꾸로 뽑는 방법도 같은 식에서 나온다. 1/C²의 국소 기울기는 그 바이어스의 공핍 가장자리 $x = \varepsilon_s/C$에서의 도핑이다: $N(W) = -2/[q\varepsilon_s\, d(1/C^2)/dV]$. 이것이 C-V 프로파일링이다. 다만 공핍 가장자리가 디바이 길이 규모로 흐려지므로, 도핑이 디바이 길이보다 짧은 거리에서 변하면 추출 프로파일은 실제보다 매끈하게 나온다. 시뮬레이션은 실제 도핑을 알고 있으므로 이 한계를 정량적으로 확인하는 데 쓰인다.

온도: 확산 전류는 Eg, 생성 전류는 Eg/2

다이오드 전류의 온도 의존성은 거의 전부 $n_i$에서 온다. $n_i^2 \propto T^3 e^{-E_g/kT}$이므로 확산 전류($\propto n_i^2$)의 활성화 에너지는 약 $E_g$, 생성·재결합 전류($\propto n_i$)는 약 $E_g/2$다. 그래서 역전류를 여러 온도에서 재서 아레니우스 그림을 그리면 어떤 성분이 지배하는지 알 수 있다.

$$J_0 \propto n_i^2 \propto T^3 e^{-E_g/kT},\qquad J_{gen} \propto n_i \propto T^{3/2} e^{-E_g/2kT},\qquad V_{bi}(T) = \frac{kT}{q}\ln\frac{N_aN_d}{n_i^2(T)}$$

엔진의 $E_g(T)$는 바르시니 식(300 K 1.124 eV), $N_c, N_v \propto T^{3/2}$

SIMULATOR

온도 스윕: I-V와 아레니우스 그림

온도 T

선택한 T의 |J|-V300 KJ₀(순방향에서 추출)|J(−1 V)|

n_i(T)—

Vbi(T)—

J₀ 활성화 에너지—

J(−1 V) 활성화 에너지 (저온 / 고온)—

해볼 것: ① 온도를 올려 같은 전류를 얻는 전압이 약 −2 mV/K씩 줄어드는지 본다(다이오드 온도계의 원리). ② 오른쪽 아레니우스 그림에서 J₀ 기울기가 약 1.25 eV(0 K 밴드갭 + 몇 kT), 역전류는 저온에서 약 0.6 eV(Eg/2)인지 읽는다. ③ 고온(400 K 이상)에서 역전류의 기울기가 가팔라진다. n_i²에 비례하는 확산 성분이 생성 성분을 따라잡았다. (τ는 온도와 무관하게 10^-7 s로 두었다. 이동도는 카우기-토머스의 온도 의존을 따른다. 9개 온도를 프레임마다 하나씩 푼다.)

아레니우스 기울기는 "기울기 = 밴드갭"처럼 단순하지 않다. $T^3$ 앞인자와 $E_g$의 온도 의존 때문에 $\ln J$-$1/kT$ 그림의 기울기는 0 K로 외삽한 밴드갭(약 1.17 eV)에 몇 kT를 더한 값이 된다. 측정에서 역전류의 활성화 에너지가 0.6 eV 근처면 공핍 영역 생성(트랩)이, 1.1~1.2 eV 근처면 확산이 지배한다고 판단하는 것은 이 그림에서 온다.

계단 접합과 경사 접합

지금까지는 도핑이 한 점에서 뚝 바뀌는 계단 접합(Abrupt junction)을 썼다. 실제 확산 접합은 7장에서 본 것처럼 경사가 있다. 공핍 폭이 경사 구간 안에 들어가는 경우에는 도핑을 직선 $N_d - N_a = a\,x$로 볼 수 있고, 이것이 선형 경사 접합(Linearly graded junction)이다. 전하가 직선이면 전계는 포물선, 공핍 폭과 용량의 전압 지수가 달라진다.

$$\text{계단: } C_j \propto (V_{bi}-V_a)^{-1/2},\qquad \text{선형 경사: } C_j = \left[\frac{q\,a\,\varepsilon_s^2}{12\,(V_{gr}-V_a)}\right]^{1/3} \propto (V_{gr}-V_a)^{-1/3}$$

$a$: 도핑 기울기(cm^-4), $V_{gr}$: 경사 접합의 내부 전위(경사 영역 안의 값이라 계단 접합의 Vbi보다 작다). 그래서 1/C³이 V에 대해 직선이다.

SIMULATOR

경사 접합: 1/C²와 1/C³ 중 어느 쪽이 직선인가

경사 폭 g

순 도핑 Nd − Na|E| (0 V, 상대값)1/C² (정규화)1/C³ (정규화)

직선성 1/C² (R²)—

직선성 1/C³ (R²)—

1/C³ → 기울기 a (실제)—

공핍 폭 W(−8 V)—

해볼 것: ① 선형 경사, g = 400 nm에서 1/C³이 직선(R² ≈ 1)이고 1/C³ 기울기로 뽑은 a가 실제 기울기 10¹⁷/g와 맞는지 본다. ② g를 줄여 간다. 공핍 폭이 경사 구간보다 넓어지면(−8 V에서 W가 2g를 넘으면) 계단 접합처럼 1/C²가 직선이 된다. ③ "계단"과 "erf 경사"를 비교한다. 실제 확산 프로파일(erf)은 두 극한 사이에 있다. (0 ~ −8 V, 9점 AC 해석을 프레임마다 나눠 돈다.)

이상적인 두 극한 사이의 실제 접합에서는 "1/C²가 직선"이라는 가정이 바이어스 범위에 따라 맞기도 하고 틀리기도 한다. C-V로 도핑을 추출하기 전에 프로파일 모양을 먼저 의심해야 하는 이유다. 공정 모사 결과(7장)를 그대로 넣고 C-V를 계산하면 이런 가정 없이 비교할 수 있다. TCAD가 C-V 측정 해석에 쓰이는 방식이 바로 이것이다.

다이오드 실험실: 수치해 대 쇼클리 이론

지금까지 하나씩 본 것을 한 화면에 모은다. 도핑·수명·온도를 고르고 "풀기"를 누르면 엔진이 역방향 −3 V에서 순방향 1 V까지 I-V를, −3 V에서 0.3 V까지 C-V를 차례로 푼다. 결과는 쇼클리 식, 생성 전류 식, 계단 접합 용량 식과 함께 그려진다.

SIMULATOR

종합: 1D 다이오드 실험실

Na (p쪽) Nd (n쪽) SRH 수명 τ 온도 T

Vbi · W(0)—

J(0.5 V) 수치 / 쇼클리—

n (0.2 V / 0.5 V)—

J(−1 V) 수치 / 생성 식—

C(0) · 1/C² 추출 N—

진행—

해볼 것: ① 기본값(p⁺ 10¹⁸ / n 10¹⁶)에서 0.5 V 전류가 쇼클리 식과 몇 % 안에서 맞는지, 1/C² 추출 N이 10¹⁶인지 본다. ② τ를 10^-10 s로 줄인다. 낮은 바이어스의 n이 2에 다가가고 역전류가 1000배 커진다. 쇼클리 식(확산만)은 거의 그대로다. ③ 온도를 400 K로 올려 J₀이 몇 자릿수 오르는지 본다. ④ Na = Nd = 10²⁰으로 끝까지 올린다. 공핍 폭이 수 nm가 되고 볼츠만 통계·공핍 근사가 모두 의심스러운 영역이다(실제로는 터널링 다이오드가 된다). (길이는 공핍 폭에 맞춰 자동으로 정한다. 길이가 확산 길이보다 짧은 짧은 다이오드다.)

엔진 검증값을 정리하면 다음과 같다(1e17/1e17, 2 µm, τ = 10^-7 s, 300 K). 수치해가 해석식과 어디서 맞고 어디서 갈라지는지가 그대로 이 장의 요약이다.

양	드리프트-확산 수치해	해석식	차이의 원인
Vbi	0.8334 V	0.8334 V	없음(양 끝 중성 전위로 정해진다)
Emax (0 V)	1.09×10⁵ V/cm	1.135×10⁵ (보정 1.10×10⁵)	다수 캐리어 꼬리(2kT/q)
J(0.6 V)	0.538 A/cm²	쇼클리의 약 1.0배	공핍 영역 재결합, 이동도 평균
이상 계수	1.6 / 1.00 / 2.5	1 (쇼클리)	0.15 V: SRH, 0.5 V: 확산, 0.9 V: 고주입 + 저항
J(−5 V)	−2.0×10^-7 A/cm²	q·n_i·W_c/2τ = 3.1×10^-7	유효 생성 폭 < W
C(−2 V)	3.86×10^-8 F/cm²	3.86×10^-8 (2kT/q 보정)	보정식과 일치

TN-45: 드레인-웰 접합을 다이오드로 보다

TN-45의 드레인은 비소 n⁺(10²⁰ cm^-3 이상)이고, 그것을 둘러싼 것은 붕소 p-웰(채널 깊이 근처에서 수 10¹⁸ cm^-3)이다. 트랜지스터가 꺼져 있고 드레인에 V_DD = 1.0 V가 걸리면 이 접합은 1 V 역바이어스 다이오드다. 접합 누설은 꺼짐 전류에 더해지고, 접합 용량은 회로의 스위칭 지연에 더해진다. 이 장의 방법으로 접합 하나를 떼어 1D로 푼다. 도핑은 n⁺ 2×10²⁰ 대 p 3×10¹⁸(대표), 비교로 웰 바닥 쪽 10¹⁸, 할로가 닿는 쪽 10¹⁹를 함께 계산했다(계단 접합 근사, τ = 10^-7 s, 300 K).

p쪽 Na	Vbi	W(0 / −1 V)	Emax(−1 V)	SRH 누설(−1 V)	+ 밴드 간 터널링	Cj(0 / −1 V)
1×10¹⁸ (웰 바닥)	1.09 V	38 / 52 nm	0.96 MV/cm	1.6×10^-8 A/cm²	7×10^-6 A/cm²	2.9 / 2.0 fF/µm²
3×10¹⁸ (대표)	1.12 V	22 / 30 nm	1.41 MV/cm	9×10^-9 A/cm²	약 0.6 A/cm²	4.8 / 3.5 fF/µm²
1×10¹⁹ (할로)	1.15 V	12.5 / 17 nm	2.47 MV/cm	5×10^-9 A/cm²	약 8×10³ A/cm²	8.5 / 6.1 fF/µm²

TARGET TN-45타깃 파일 · 9장

드레인 접합은 얇고, 전계가 MV/cm다

대표 도핑(n⁺ 2×10²⁰ / p 3×10¹⁸)에서 엔진이 준 값: 내부 전위 1.12 V, 공핍 폭 0 V에서 22 nm, V_DD = 1 V 역바이어스에서 30 nm(공핍 근사, 수치해의 n+p < N/2 폭은 26 nm). 공핍층의 98% 이상이 웰 쪽에 있고 n⁺ 쪽으로는 0.5 nm도 들어가지 않는다. 최대 전계는 1 V에서 1.41 MV/cm다. 접합 용량은 0 V에서 4.8 fF/µm², 1 V에서 3.5 fF/µm²(AC 해석, 2kT/q 보정 식과 1% 안). 드레인 면적을 폭 1 µm × 길이 0.1 µm로 잡으면 바닥 면만 약 0.35 fF다. SRH 생성 누설은 τ = 10^-7 s에서 9×10^-9 A/cm², 즉 같은 면적에 약 10^-17 A로 꺼짐 전류(nA/µm 규모)에 비하면 무시할 만하다. 그런데 밴드 간 터널링 모델(Kane, 국소 전계)을 켜면 −1 V에서 약 0.6 A/cm²가 되어 같은 면적에 약 6×10^-10 A, 꺼짐 전류의 수십 %에 이른다. 할로가 닿는 10¹⁹ 쪽에서는 전계가 2.5 MV/cm로 올라 터널링이 폭발한다. (이 국소 터널링 모델은 생성만 더하므로 0 V에서도 약 −4×10^-4 A/cm²의 가짜 전류가 남는다. 상세 균형을 지키지 않는 모델의 흔적이라 크기 차수만 읽는다.)

이 장에서 정한 것TN-45 드레인-웰 접합의 Vbi ≈ 1.1 V, 공핍 폭 20~30 nm, 1 V에서 최대 전계 약 1.4 MV/cm, 접합 용량 3.5~4.8 fF/µm². SRH 누설은 작지만 MV/cm 전계 때문에 터널링 누설이 꺼짐 전류와 같은 규모가 될 수 있다.

아직 남은 문제실제 접합은 1D 계단이 아니다. 확장부와 할로가 만나는 표면 근처는 2D이고, 게이트가 그 위에서 전계를 더한다. 이동도·재결합 모델의 선택도 아직 기본값 그대로다.

다음 단계모델을 고른다. 이동도 모델(상수·도핑·표면·속도 포화)에 따라 TN-45의 켜짐 전류가 얼마나 달라지는가(10장).

핵심 정리

1D 다이오드 시뮬레이션의 입력은 구조·도핑·격자·접점·모델이다. 접합에서 격자를 디바이 길이보다 촘촘히, 양 끝은 중성 영역이 되도록 길게 잡는다.
평형에서는 포아송 방정식 하나만 남는다. Vbi = (kT/q)ln(NaNd/ni²)는 격자와 무관하게 정확하고, 최대 전계처럼 국소적인 양은 격자에 민감하다.
공핍 근사는 다수 캐리어 꼬리를 버린다. 대칭 접합에서는 2kT/q 보정으로 거의 회복되지만, 한쪽 고농도 접합에서는 수치해가 근사보다 높은 전계를 준다.
순방향에서는 공핍 영역의 준페르미 준위 간격이 Va이고, 공핍 가장자리 소수 캐리어 농도가 e^qV/kT배 늘어난다(접합의 법칙).
이상 계수는 낮은 바이어스에서 공핍 영역 SRH 재결합 때문에 2에 가깝고, 확산 영역에서 1, 고주입과 직렬 저항에서 다시 커진다.
역전류는 주로 생성 전류 q·ni·W/2τ로 √V를 따라 자라고, 활성화 에너지는 Eg/2다. 확산 전류는 ni²에 비례해 Eg로 활성화된다.
소신호 AC 해석으로 얻은 1/C²는 계단 접합에서 직선이고 기울기가 N_eff, 절편이 Vbi − 2kT/q다. 선형 경사 접합에서는 1/C³이 직선이다.
TN-45 드레인-웰 접합은 Vbi ≈ 1.1 V, W ≈ 20~30 nm, 1 V에서 Emax ≈ 1.4 MV/cm, Cj ≈ 4 fF/µm²다. 이 전계에서는 밴드 간 터널링이 누설을 지배할 수 있다.

확인 퀴즈

Na = Nd = 10¹⁸ cm^-3 접합을 균일 격자로 풀었다. 격자 간격을 2 nm에서 50 nm로 키우면 내부 전위 Vbi와 최대 전계 Emax는 어떻게 되는가?

Vbi는 양 끝 오믹 경계의 중성 전위 차이로 정해지므로 격자와 무관하다. Emax는 공핍 폭(약 50 nm) 안의 전계 모양을 해상해야 얻는 국소 최댓값이라, 격자점이 공핍 폭보다 듬성듬성하면 약 75% 낮게 나온다. 격자가 성기다고 해서 뉴턴이 발산하지는 않는다. 틀린 답에 조용히 수렴할 뿐이다.

실리콘 pn 다이오드의 순방향 I-V에서 0.1~0.25 V 구간의 이상 계수가 약 1.8로 측정됐다. 가장 그럴듯한 해석은?

공핍 영역 재결합 전류는 n_ie^V/2Vt에 비례해 n = 2에 가깝고, 낮은 바이어스에서 확산 전류(n = 1)보다 크다. 고주입과 직렬 저항도 n을 키우지만 높은 바이어스(큰 전류)에서 나타난다. 도핑 경사는 I-V의 이상 계수가 아니라 C-V의 지수를 바꾼다.

역바이어스 다이오드의 누설 전류를 300 K와 350 K에서 쟀더니 약 30배 늘었다. 어떤 성분이 지배한다고 볼 수 있는가? (Eg ≈ 1.12 eV, kT는 300 K에서 25.9 meV)

ΔE = k·ln(30)/(1/300 − 1/350) ≈ 0.61 eV로 Eg/2에 가깝다. 확산 전류였다면 n_i²을 따라 약 700~1000배 늘었을 것이다. 생성 전류는 n_i에 비례한다.

p⁺/n 접합의 C-V를 재서 1/C²를 V에 대해 그렸더니 역방향에서는 직선이었고, +0.4 V 이상에서는 직선 아래로 꺾였다. 순방향 쪽 점을 맞춤에 넣으면 추출 도핑은 어떻게 되는가?

순방향에서는 주입된 소수 캐리어 전하가 바이어스를 따라 바뀌는 확산 용량이 공핍 용량에 더해져 C가 커지고 1/C²가 아래로 꺾인다. 공핍 용량만을 가정한 직선 맞춤에 이 점을 넣으면 기울기와 절편이 모두 틀어진다. 그래서 도핑 추출은 역방향 점으로 한다.