Chapter 03

충돌과 반응 속도

플라즈마에서 일어나는 거의 모든 일은 충돌이다. 전자가 Ar 원자에 부딪혀 방향만 바꾸면 탄성 충돌, 원자를 들뜨게 해 빛을 내면 여기, 전자를 하나 더 떼어 내면 이온화다. 이 장은 "얼마나 자주"를 단면적 $\sigma$ , 평균 자유 행로 $\lambda$ , 충돌 주파수 $\nu$ 로 세고, "얼마나 빨리 반응하는가"를 맥스웰 분포 위에서 적분한 반응 속도 계수 $k = \langle\sigma v\rangle$ 로 계산한다. 마지막에는 전자-이온 쌍 하나를 만드는 데 드는 에너지 $\mathcal{E}_c$ 가 왜 15.76 eV가 아니라 수십 eV인지, 그리고 전자 한 무리를 몬테카를로로 직접 날려 이 모든 것을 확인한다.

단면적에서 평균 자유 행로와 충돌 주파수를 계산하고, PL-300 압력 범위에서 전자·이온의 $\lambda$ 와 $\nu$ 를 말할 수 있다.
탄성·여기·이온화·부착·해리·전하 교환 충돌을 구분하고 Ar, O₂, CF₄ 단면적 곡선의 모양(문턱, 봉우리, 램사우어 최소)을 설명할 수 있다.
탄성 충돌의 에너지 전달 비 $2m/M$ 이 전자 가열과 이온 냉각에 주는 의미를 설명할 수 있다.
단면적을 맥스웰 분포로 적분해 $k(T_e)$ 를 구하고, 문턱이 높은 반응일수록 $T_e$ 에 민감한 이유를 $d\ln k/d\ln T_e \approx E_{th}/T_e$ 로 설명할 수 있다.
전자-이온 쌍당 충돌 손실 $\mathcal{E}_c(T_e)$ 를 계산하고 전역 모델(8장)에서 그 값이 쓰이는 곳을 안다.

단면적과 평균 자유 행로

전자 하나가 정지한 기체 원자들 사이를 날아간다고 하자. 원자 하나가 전자에게 "과녁"으로 보이는 넓이를 충돌 단면적(collision cross section) $\sigma$ 라 한다. 전자가 길이 $dx$ 를 가는 동안 쓸고 지나가는 부피 $\sigma\,dx$ 안에 원자가 $n_g\sigma\,dx$ 개 있으므로, 그 구간에서 충돌할 확률은 $n_g\sigma\,dx$ 다. 충돌하지 않고 $x$ 까지 살아남을 확률은 지수 함수로 줄어든다.

\frac{d\Gamma}{dx} = -n_g\sigma\,\Gamma \;\Rightarrow\; P_{\text{생존}}(x) = e^{-x/\lambda},\qquad \lambda = \frac{1}{n_g\sigma},\qquad n_g = \frac{p}{k_BT_g}

\lambda

가 평균 자유 행로(mean free path)다. 자유 비행 길이는 평균

\lambda

인 지수 분포를 따르므로, 실제 비행 거리는

\lambda

보다 훨씬 짧은 것도 긴 것도 많다(표준 편차도

\lambda

). 300 K에서

n_g \approx 3.22\times10^{19}\,p[\text{mTorr}]

m⁻³. 전자는 원자보다 훨씬 빨라서 원자의 운동을 무시해도 되므로 기체 운동론의

\sqrt2

보정이 없다.

원자 반지름이 약 0.1 nm이면 기하학적 단면적은 $\pi a^2 \approx 3\times10^{-20}$ m²이다. 그러나 전자-원자 단면적은 고정된 값이 아니라 전자 에너지에 따라 수십 배 바뀐다. 전자는 파동이고 원자는 전기적으로 분극되는 구름이기 때문이다(4절 램사우어 최소). 그래서 이 장의 모든 계산은 $\sigma(\varepsilon)$ 곡선에서 시작한다.

그림 3-1. 왼쪽: 전자는 진행 방향으로 넓이 σ의 원기둥을 쓴다. 원기둥 부피 σλ 안에 원자가 평균 하나 들어갈 만큼 날면 한 번 부딪힌다. 오른쪽: 충돌 없이 x를 가는 전자 비율은

e^{-x/\lambda}

로 준다. λ만큼 가면 37 %만 남는다.

SIMULATOR

기체 속을 나는 전자: 자유 비행과 충돌

압력 전자 에너지

기체

상자 폭 = 100 mm. 점: 탄성여기이온화부착

σ_total(ε)—

이론 λ = 1/(n_g σ)—

측정 평균 비행 거리—

ν = n_g σ v—

충돌 수—

전자 에너지를 고정하고 비행 거리를

s = -\lambda\ln r

(r은 0–1 난수)로 뽑아 날린다. 충돌 종류는 단면적 비

\sigma_k/\sigma_{tot}

로 고르고 방향은 무작위로 바꾼다. 벽에서는 거울 반사한다. 아래 막대그래프는 측정한 비행 거리 분포, 선은

e^{-s/\lambda}/\lambda

다. 해볼 것: ① Ar 4 eV, 30 mTorr에서 λ ≈ 1.4 cm, 전자는 상자를 가로지르는 동안 여러 번 꺾인다. 압력을 200 mTorr로 올리면 약 2 mm가 된다. ② 에너지를 0.24 eV로 내리면(램사우어 최소) λ가 약 1 m로 길어져 벽 사이를 거의 직진한다. ③ 15.8 eV를 넘기면 이온화 점이 나타난다.

충돌 주파수: 압력이 세는 시계

속력 $v$ 로 나는 입자는 초당 $v/\lambda$ 번 부딪힌다. 이것이 충돌 주파수(collision frequency)다. 전자의 속력은 분포를 이루므로 실제로는 분포로 평균한 값, 곧 반응 속도 계수 $K$ (6절)를 쓴다.

\nu = n_g\sigma v = \frac{v}{\lambda},\qquad \langle\nu\rangle = n_g\,K(T_e),\qquad K = \langle\sigma v\rangle,\qquad \bar v_e = \sqrt{\frac{8eT_e}{\pi m}} \approx 6.7\times10^{5}\sqrt{T_e[\text{eV}]}\ \text{m/s}

전자의 운동량 전달 충돌 주파수

\nu_m = n_gK_{el}

은 이동도·전도도·RF 가열(6·9장)에, 이온화 주파수

\nu_{iz} = n_gK_{iz}

는 입자 균형(8장)에 들어간다. 이온은 느리지만(300 K Ar의

\bar v_i \approx 400

m/s) 단면적이 커서(PL-300

\sigma_i \approx 1\times10^{-18}

m²) 평균 자유 행로는 오히려 전자보다 짧다.

모든 충돌 주파수는 $n_g$ , 곧 압력에 비례한다. 이것이 공정 엔지니어가 압력을 가장 먼저 돌리는 손잡이로 쓰는 이유다. 특히 $\nu_m$ 과 RF 각주파수 $\omega$ 의 비교가 중요하다. $\nu_m \gg \omega$ 이면 전자는 RF 한 주기에 여러 번 부딪혀 저항처럼 가열되고(충돌 가열), $\nu_m \ll \omega$ 이면 전자는 장을 따라 출렁일 뿐 평균 에너지를 거의 얻지 못한다. 그래서 저압에서는 시스 가장자리의 무충돌 가열이 중요해진다(9장, 10장).

조건 (Ar, 300 K, Tₑ = 2.5 eV)	n_g (m⁻³)	전자 λₑ = v̄ₑ/ν_m	이온 λᵢ = 1/(n_g σᵢ)	ν_m / ω (13.56 MHz)	결과
2 mTorr (IC 하한)	6.4×10¹⁹	약 170 mm	약 16 mm	0.07	전자는 챔버(높이 100 mm)를 거의 무충돌로 가로지른다. 비국소 EEDF
10 mTorr (IC 기준)	3.2×10²⁰	약 34 mm	약 3.1 mm	0.37	이온은 시스(~1 mm) 안에서 거의 안 부딪힘 → 방향성 이온
30 mTorr (CP 기준)	9.7×10²⁰	약 11 mm	약 1.0 mm	1.1	충돌·무충돌 가열이 비슷. 간격 25 mm 안에서 전자 2번 남짓 충돌
200 mTorr (CP 상한)	6.4×10²¹	약 1.7 mm	약 0.16 mm	7.4	충돌 가열 지배, 두꺼운 시스 안에서 이온 충돌 → 이온 에너지 분포가 낮은 쪽으로 퍼짐

SIMULATOR

압력 손잡이와 충돌 주파수: νₘ, ν_iz, νᵢ와 RF 주파수

압력 전자 온도 Tₑ 기체 온도

PL-300 프리셋

n_g—

ν_m (전자 탄성)—

λₑ—

λᵢ (이온)—

ν_m/ω (13.56 MHz)—

선:

\nu_m = n_gK_{el}(T_e)

\nu_{iz} = n_gK_{iz}(T_e)

(PL-300 Lieberman 근사),

\nu_i = n_g\sigma_i\bar v_i

. 수평선은 2, 13.56, 60 MHz의 각주파수

\omega = 2\pi f

. 해볼 것: ① IC 2 mTorr에서

\nu_m

은 13.56 MHz의

\omega

보다 한 자릿수 작다. ② Tₑ를 2 → 3 eV로 올리면

\nu_m

은 1.8배,

\nu_{iz}

는 약 23배 커진다. 문턱 반응의 지수 민감도(7절)다. ③ 기체 온도를 올리면 같은 압력에서

n_g

가 줄어 모든 주파수가 낮아진다. 고온 PECVD에서 압력을 그대로 옮기면 안 되는 이유다.

충돌의 종류

전자-중성 충돌은 전자가 잃는 에너지와 생기는 입자로 분류한다. 운동 에너지만 주고받으면 탄성, 내부 에너지(전자 준위·진동·회전)로 바뀌면 비탄성이다. 비탄성 충돌에는 문턱 에너지(threshold energy) $E_{th}$ 가 있어서 그보다 느린 전자는 그 반응을 일으키지 못한다.

그림 3-2. 여섯 가지 대표 충돌. 탄성은 방향, 여기는 빛, 이온화는 새 전자, 부착은 음이온, 해리는 래디컬, 전하 교환은 빠른 중성과 느린 이온을 만든다. 색은 책 전체 색 코드(전자이온음이온래디컬중성)를 따른다.

Ar은 단원자라 진동·회전이 없고 해리도 없다. 그래서 탄성·여기·이온화 세 과정만으로 꽤 정확히 모델링되고, 교과서와 이 책의 기준 기체가 된다. 분자 기체는 훨씬 복잡하다. O₂는 0.2 eV 진동, 0.98 eV 준안정 a¹Δg, 6–8 eV 해리 상태, 4.4 eV에서 시작하는 해리성 부착이 있다. CF₄는 0.16 eV 진동 공명이 크고, 이온화 대부분이 CF₃⁺ + F로 쪼개지는 해리성 이온화다. 이온 충돌 가운데 공명 전하 교환(resonant charge exchange)은 시스 안 이온 에너지 분포를 넓히는 주범이다(7장).

그림 3-3. Ar 에너지 준위. 11.55 eV 준안정 준위는 복사로 바로 내려가지 못해 오래 살고(단계 이온화에 기여), 11.62 eV 공명 준위는 106.7 nm VUV를 낸다(14장 VUV 손상). 2p 준위에서 1s로 떨어질 때 나오는 750.4 nm선이 OES 액티노메트리의 기준선이다(15장). 오른쪽은 이 장에서 쓰는 문턱 값이다.

단면적 곡선 읽기: Ar, O₂, CF₄

문턱이 있는 비탄성 단면적은 문턱에서 0으로 시작해 문턱의 몇 배 에너지에서 봉우리를 이루고, 고에너지에서는 $\ln\varepsilon/\varepsilon$ 처럼 천천히 줄어든다(빠른 전자는 원자 곁을 스칠 시간이 짧다). 이온화 단면적의 봉우리는 Ar에서 약 100 eV, $2.9\times10^{-20}$ m²이다. 그런데 저온 플라즈마의 전자는 대부분 수 eV라서 문턱 바로 위 몇 eV 구간만 반응 속도에 기여한다. 봉우리 높이보다 문턱 근처의 기울기가 중요하다.

\sigma_{iz}(\varepsilon) \approx \sigma_0\,\frac{\varepsilon - E_{iz}}{E_{iz}}\quad(\varepsilon \gtrsim E_{iz}),\qquad \sigma_{att}(\varepsilon)\ :\ \text{좁은 공명 봉우리}

해리성 부착은 전자가 분자에 잠깐 붙은 음이온 상태(공명)를 거치므로 1–2 eV 폭의 좁은 봉우리를 만든다. O₂는 6.5 eV에서 약

1.4\times10^{-22}

m²로 이온화 봉우리보다 약 200배 작지만, 문턱이 낮아 수 eV 전자도 일으킬 수 있다.

램사우어 최소

Ar, Kr, Xe와 CH₄, CF₄ 같은 기체는 탄성 단면적이 0.2–0.3 eV 근처에서 거의 0에 가깝게 떨어진다. 이것이 램사우어-타운센드 효과(Ramsauer–Townsend minimum)다. 느린 전자의 드브로이 파장(0.25 eV에서 약 2.5 nm)은 원자보다 훨씬 크다. 원자의 인력 퍼텐셜이 이 파동의 위상을 정확히 $\pi$ 의 정수배만큼 밀면 산란파가 상쇄되어, 원자가 전자에게 거의 "투명"해진다. 고전 입자 그림으로는 설명되지 않는 순수한 양자 효과다.

그림 3-4. 램사우어 최소. 왼쪽: 원자 안에서 파장이 짧아진 전자파가 빠져나올 때 위상이 맞으면 산란이 사라진다. 오른쪽: Ar 운동량 전달 단면적은 0.24 eV에서 봉우리(약 13 eV)의 약 1/200까지 떨어진다. 이 구간의 전자는 거의 부딪히지 않으므로 전기장에 잘 가열되지 않거나(RF), 오히려 잘 가속되어(DC) EEDF 모양을 바꾼다(4장).

SIMULATOR

단면적 탐색기: 기체별 과정과 문턱

기체

전자 에너지 ε 압력(λ 계산) Ar⁺–Ar 전하 교환(이온 에너지 축)

ε에서의 단면적

σ_total—

λ (전 과정)—

비탄성 분율—

드브로이 파장—

곡선은 LXCat·Phelps 계열 측정값의 모양을 흉내 낸 교육용 근사다(Ar 세 곡선은 6절에서 PL-300 Lieberman 근사를 Tₑ = 3–10 eV에서 약 15 % 안으로 재현하도록 맞췄다). 정량 모델에는 원 데이터를 써야 한다. 해볼 것: ① Ar에서 ε를 0.24 eV로 두고 램사우어 최소를 확인한다. CF₄에도 0.15 eV 근처에 같은 골이 있다. ② O₂에서 6.5 eV는 부착 봉우리지만 크기는 이온화 봉우리의 1/200이다. ③ 전하 교환 곡선(이온 에너지 기준)은 전자 단면적보다 한 자릿수 크다. PL-300

\sigma_i \approx 1\times10^{-18}

m²는 전하 교환과 이온 탄성을 합친 값이다.

에너지 전달: 2m/M의 의미

질량 $m$ 인 입자가 정지한 질량 $M$ 인 입자와 탄성 충돌하면, 질량 중심계 산란각이 $\chi$ 일 때 잃는 에너지 비율은 다음과 같다. 모든 방향으로 고르게 산란한다면 평균은 $\langle 1-\cos\chi\rangle = 1$ 이다.

\frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon} = \frac{2mM}{(m+M)^2}\,(1-\cos\chi),\qquad \delta \equiv \left\langle\frac{\Delta\varepsilon}{\varepsilon}\right\rangle = \frac{2mM}{(m+M)^2} \;\xrightarrow{m \ll M}\; \frac{2m}{M}

전자-Ar:

2m/M = 2.7\times10^{-5}

. 전자는 탄성 충돌 한 번에 에너지의 약 4만 분의 1만 잃는다. 같은 질량(Ar⁺-Ar)이면

\delta = 1/2

이고, 정면 충돌(

\chi = \pi

)이면 모든 에너지를 넘긴다.

이 작은 숫자가 저온 플라즈마의 비평형을 만든다. 전기장에서 에너지를 얻은 전자는 탄성 충돌로는 기체를 거의 데우지 못하므로, 에너지가 쌓여 수 eV(수만 K)까지 올라가고 그 에너지는 대부분 여기·이온화 같은 비탄성 충돌로 빠져나간다. 반대로 이온은 중성과 질량이 같아 충돌 몇 번이면 기체 온도로 식는다. 그래서 $T_e \gg T_i \approx T_g$ 다(1장). 탄성 충돌에 의한 전자 에너지 손실 전력은 $P_{el} = n_e\,\nu_m\,\frac{3m}{M}\,T_e$ 로 쓴다( $3/2\,T_e$ 의 평균 에너지 × $2m/M$ ). 이 $3m/M$ 인수가 8절 $\mathcal{E}_c$ 의 셋째 항이다.

그림 3-5. 질량비에 따른 에너지 전달. 전자는 Ar과 부딪혀 방향만 바뀌고 에너지는 거의 그대로 남는다. 그래서 운동량은 잘 잃고(이동도가

\nu_m

으로 정해짐) 에너지는 잘 못 잃는다. 같은 질량의 이온-중성 충돌은 한 번에 평균 절반을 넘긴다.

SIMULATOR

강체 충돌 실험대: 질량비와 충돌 변수

질량비 m/M 충돌 변수 b/R

짝

ν_m (충돌 수/초)

산란각 χ (질량 중심계)—

이번 충돌 Δε/ε—

평균 δ = 2mM/(m+M)²—

에너지 1/e 감쇠 충돌 수—

걸리는 시간—

강체 구 충돌에서 질량 중심계 산란각은

\chi = \pi - 2\arcsin(b/R)

이다(R은 두 반지름의 합). 위 그림은 실험실 좌표의 충돌 장면, 아래는 평균 전달 비

\delta

를 질량비에 대해 그린 것이다. 에너지가

1/e

로 줄기까지

1/\delta

번, 시간으로

1/(\delta\nu_m)

이 걸린다. 해볼 것: ① e–Ar, ν_m = 3×10⁷ s⁻¹(IC 10 mTorr)이면 탄성만으로 식는 데 약 1 ms — 실제 플라즈마에서는 비탄성 손실과 벽 손실이 훨씬 빠르다. ② Ar⁺–Ar에서 b/R = 0(정면)이면 이온이 멈추고 중성이 모든 에너지를 가져간다. 시스에서 빠른 중성이 생기는 경로다.

반응 속도 계수 k = ⟨σv⟩: 맥스웰 분포 위의 적분

전자는 한 속력이 아니라 분포를 이루므로, 단위 부피·단위 시간의 반응 수는 모든 속력에 대해 $\sigma(v)\,v$ 를 더해야 한다. 반응 속도는 $R = n_en_gK$ 로 쓰고, 반응 속도 계수(rate coefficient) $K$ 를 다음 적분으로 정의한다.

K(T_e) = \langle\sigma v\rangle = \int_0^\infty \sigma(\varepsilon)\,v(\varepsilon)\,f(\varepsilon)\,d\varepsilon,\qquad f_M(\varepsilon) = \frac{2}{\sqrt\pi}\,T_e^{-3/2}\,\varepsilon^{1/2}e^{-\varepsilon/T_e},\qquad v = \sqrt{\frac{2e\varepsilon}{m}}

f(\varepsilon)

는 전자 에너지 분포 함수(EEDF,

\int f\,d\varepsilon = 1

T_e

와

\varepsilon

은 eV. 맥스웰 분포를 넣으면

K = \sqrt{2e/m}\,\frac{2}{\sqrt\pi}T_e^{-3/2}\int\sigma\,\varepsilon\,e^{-\varepsilon/T_e}d\varepsilon

. 분포가 맥스웰이 아니면 결과가 크게 바뀐다(4장).

적분 안을 보면 문턱 위에서 급히 커지는 $\sigma v$ 와 지수로 줄어드는 $f$ 의 곱이다. Tₑ = 3 eV에서 Ar 이온화의 적분 함수는 약 20 eV에서 봉우리를 이룬다. 평균 에너지 4.5 eV의 4배가 넘는, 분포의 꼬리 부분이다. 전자 100개 가운데 15.76 eV를 넘는 전자는 2개도 안 되지만(약 1.5 %), 이온화는 전부 그 전자들이 한다.

그림 3-6.

K

는 분포

f(\varepsilon)

(파랑)와

\sigma v

(초록)의 겹침 넓이다. 겹침은 문턱 바로 위 몇 Tₑ 폭에만 있으므로, 문턱 근처 단면적의 기울기와 분포 꼬리의 높이가 결과를 정한다.

SIMULATOR

k(Tₑ) 적분기: 단면적 × 맥스웰 분포

과정 (Ar)

전자 온도 Tₑ PL-300 Lieberman 근사 겹쳐 보기

K (수치 적분)—

K (Lieberman 근사)—

비 수치/근사—

적분 함수 봉우리—

문턱 넘는 전자 비율—

위: 맥스웰 EEDF

f

(파랑),

\sigma v

(초록), 그 곱(칠한 면적)을 각각 최댓값으로 정규화해 겹쳤다. 아래: 4절 근사 단면적을 0–

40T_e

구간에서 중점 적분한

K(T_e)

(실선)와 PL-300 표의 Lieberman 근사(점선). 해볼 것: ① 이온화에서 Tₑ = 2 → 5 eV로 올리면 수치 적분 K는 약 250배(Lieberman 근사로는 약 320배) 커진다. ② Tₑ = 3–10 eV에서는 두 곡선이 약 15 % 안에서 맞지만, 2 eV에서 약 30 %, 1 eV에서는 2배 넘게 벌어진다. 근사식은 맞춘 구간 밖에서 믿으면 안 된다. ③ 탄성은 문턱이 없어 Tₑ에 완만하게(

\approx T_e^{1.0}

–

T_e^{1.5}

) 변한다.

문턱과 지수 꼬리: 왜 Tₑ 0.5 eV가 큰일인가

문턱 위에서 선형으로 커지는 단면적 $\sigma = \sigma_0(1 - E_{th}/\varepsilon)$ 을 맥스웰 분포로 적분하면 결과가 깔끔하게 나온다.

K = \sigma_0\,\bar v_e\,e^{-E_{th}/T_e},\qquad \frac{d\ln K}{d\ln T_e} = \frac12 + \frac{E_{th}}{T_e}

\bar v_e = \sqrt{8eT_e/\pi m}

. 민감도

d\ln K/d\ln T_e

는 문턱과 온도의 비로 정해진다. Tₑ = 3 eV에서 Ar 이온화(

E_{th}/T_e \approx 5.3

)는 Tₑ가 1 % 변할 때 K가 약 6 % 변한다. 그래서 Lieberman 근사의 지수 인자

e^{-17.44/T_e}

처럼

K \approx A\,T_e^{b}e^{-E/T_e}

꼴이 잘 맞는다.

이 민감도는 양쪽으로 작용한다. 좋은 쪽: 플라즈마는 Tₑ를 거의 고정한다. 이온화 손실이 벽 손실과 맞도록(8장 입자 균형) Tₑ가 정해지는데, K가 Tₑ에 지수로 민감하므로 조건이 크게 바뀌어도 Tₑ는 조금만 움직인다(전력을 10배 올려도 Tₑ는 거의 그대로). 나쁜 쪽: 문턱이 다른 두 반응의 비(예: 해리 대 이온화, 여기 대 이온화)는 Tₑ와 꼬리 모양에 매우 민감하다. 공정 화학을 Tₑ로 조절할 수 있는 이유이자, 분포 꼬리의 작은 변화(4장)가 래디컬 조성을 바꾸는 이유다.

SIMULATOR

문턱 민감도: 꼬리의 비율과 dlnK/dlnTₑ

문턱 E_th 전자 온도 Tₑ Tₑ 변화 ΔTₑ

문턱 예

ε > E_th 전자 비율—

dlnK/dlnTₑ (수치)—

½ + E_th/Tₑ—

K(Tₑ+ΔTₑ)/K(Tₑ)—

위: 로그 축 EEPF

f/\sqrt\varepsilon

. 맥스웰 분포는 기울기

-1/T_e

인 직선이고, 문턱 위(칠한 부분)가 반응하는 전자다. 점선은 Tₑ+ΔTₑ의 분포. 아래:

\sigma = \sigma_0(1-E_{th}/\varepsilon)

로 수치 적분한

K(T_e)/K(T_e^{ref})

. 해볼 것: ① Ar 이온화, Tₑ = 3 eV, ΔTₑ = +10 %이면 K가 약 1.7배다. ② 같은 조건에서 O₂ 부착(4.4 eV)은 약 1.2배. 문턱 낮은 반응은 Tₑ에 둔감하다. ③ 문턱을 Tₑ보다 낮게 두면 민감도는 ½에 가까워진다(

\bar v_e \propto \sqrt{T_e}

만 남음).

전자-이온 쌍당 에너지 𝓔_c

Ar 이온 하나를 만드는 최소 에너지는 15.76 eV다. 그러나 플라즈마는 이온화 한 번마다 여기 충돌(빛과 준안정 원자로 사라지는 에너지)과 탄성 충돌(기체 가열)을 함께 치른다. 이온화 한 번당 평균적으로 잃는 충돌 에너지를 전자-이온 쌍당 충돌 손실(collisional energy loss per electron–ion pair created) $\mathcal{E}_c$ 라 한다.

K_{iz}\,\mathcal{E}_c = K_{iz}\,E_{iz} + \sum_k K_{ex,k}\,E_{ex,k} + K_{el}\,\frac{3m}{M}\,T_e\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{E}_c = E_{iz} + \frac{K_{ex}}{K_{iz}}E_{ex} + \frac{K_{el}}{K_{iz}}\frac{3m}{M}T_e

PL-300 표 값:

E_{iz} = 15.76

eV, 대표 여기

E_{ex} = 12.14

eV, Lieberman 근사

K

. Tₑ가 낮을수록

K_{ex}/K_{iz}

가 커져(여기 문턱이 4 eV 낮다) 이온 하나에 여기 손실을 훨씬 많이 치른다. 탄성 항은

3m/M = 4.1\times10^{-5}

이 작아도

K_{el}/K_{iz}

가 Tₑ = 2 eV에서 약

1.2\times10^{4}

이라 1 eV 남짓이 된다.

그림 3-7. PL-300 Lieberman 근사로 계산한 Ar의

\mathcal{E}_c

구성. Tₑ = 2 eV에서는 이온 하나를 만들 때 여기로 7배 넘는 에너지를 잃는다. 이 에너지는 대부분 빛(OES가 보는 신호)과 VUV로 챔버 밖이나 벽으로 나간다.

$\mathcal{E}_c$ 는 8장 전역 모델의 전력 균형에 그대로 들어간다. 벽으로 나가는 전자·이온이 가져가는 운동 에너지(전자 $2T_e$ , 이온은 예비 시스 $0.5T_e$ 와 시스 약 $4.7T_e$ 를 지나며 얻는 $\mathcal{E}_i \approx 5.2T_e$ )를 더한 $\mathcal{E}_T = \mathcal{E}_c + 2T_e + \mathcal{E}_i$ 가 "이온 하나가 벽에 닿을 때까지 든 총 에너지"이고, 흡수 전력 $P = e\,n_0u_BA_{eff}\,\mathcal{E}_T$ 에서 밀도가 나온다.

IC 모듈 기준점의 𝓔_cIC 모듈(Ar 10 mTorr, 1.5 kW)의 전역 모델 Tₑ는 약 2.5 eV다. 이때 Lieberman 근사로

K_{iz} = 3.8\times10^{-17}

K_{ex} = 2.0\times10^{-16}

K_{el} = 9.8\times10^{-14}

m³/s이고

\mathcal{E}_c = 15.76 + 5.4\times12.14 + 2600\times4.1\times10^{-5}\times2.5 \approx 81

eV다. 여기에

2T_e = 5

eV와 이온 손실 약

5.2T_e \approx 13

eV를 더하면

\mathcal{E}_T \approx 100

eV — 흡수 전력 1.5 kW의 대부분은 이온을 만드는 데가 아니라 Ar을 들뜨게 해 빛을 내는 데 쓰인다. 이 장 시뮬레이터의 근사 단면적으로 적분하면 약 78 eV로, 표와 약 4 % 차이다.

SIMULATOR

𝓔_c(Tₑ) 계산기: 이온 하나의 에너지 영수증

전자 온도 Tₑ 대표 여기 에너지 E_ex

K 출처

𝓔_c—

K_ex/K_iz—

K_el/K_iz—

𝓔_T = 𝓔_c + 2Tₑ + 5.2Tₑ—

이온화 효율 E_iz/𝓔_T—

위:

\mathcal{E}_c(T_e)

로그 그래프. 실선은 고른 K 출처, 점선은 다른 쪽, 점은 PL-300 표 값(2 eV 약 127, 3 eV 약 62, 4 eV 약 45, 5 eV 약 37 eV). 아래: 선택한 Tₑ의 에너지 영수증 막대. 해볼 것: ① 2 eV와 3 eV 사이에서 𝓔_c가 절반으로 준다. 압력을 올려 Tₑ가 떨어지면 같은 전력에서 밀도 증가가 둔해지는 한 원인이다. ② "근사 σ 적분"으로 바꾸면 2 eV에서 약 115 eV(표보다 10 % 낮음), 3–5 eV에서는 2–3 % 안에서 맞는다. ③ Tₑ가 10 eV면 𝓔_c는 약 27 eV로

E_{iz}

의 2배에 가까워진다.

몬테카를로 전자 무리: 충돌을 하나씩 굴리기

지금까지는 분포를 맥스웰로 가정했다. 실제 분포는 전기장 가열과 충돌 손실의 균형으로 정해진다. 이를 가장 직접적으로 구하는 방법이 몬테카를로 충돌(Monte Carlo collision, MCC)이다. 전자 수백 개를 전기장 속에서 날리면서, 각자 언제 무엇과 부딪히는지를 난수로 정한다. PIC/MCC(16장)의 충돌 부분이 바로 이것이다.

P_{\text{충돌}}(\Delta t) = 1 - e^{-\nu_{max}\Delta t},\qquad \Delta t = -\frac{\ln r_1}{\nu_{max}},\qquad \text{과정 } k:\ \frac{\nu_k(\varepsilon)}{\nu_{max}} \text{ 구간에 } r_2 \text{가 들면 선택}

널 충돌(null collision) 기법: 충돌 주파수

\nu(\varepsilon) = n_g\sigma(\varepsilon)v

는 에너지마다 다르므로, 모든 에너지에서 그보다 큰 상수

\nu_{max}

로 충돌 시각을 뽑고, 남는 몫

1 - \nu(\varepsilon)/\nu_{max}

은 "아무 일도 없는" 가상 충돌로 처리한다. 그러면 자유 비행 시간을 매번 적분하지 않아도 된다.

그림 3-8. 널 충돌 몬테카를로의 한 바퀴. 아래 시뮬레이터는 Ar 속 전자 800개를 이 순서로 굴린다. 산란은 모두 등방으로 단순화했고, 이온화로 생긴 2차 전자는 무작위로 고른 다른 전자를 대신해 전자 수를 일정하게 유지한다.

SIMULATOR

몬테카를로 전자 무리: E/N이 만드는 분포와 반응 속도

환산 전기장 E/N 4배속

1 Td = 10⁻²¹ V·m². N = 3.2×10²¹ m⁻³(100 mTorr)로 계산하지만 결과(분포·K)는 E/N에만 의존한다.

평균 에너지 ⟨ε⟩—

표류 속도 v_d—

K_iz (MC)—

K_iz (맥스웰, 같은 ⟨ε⟩)—

α/N = K_iz/v_d—

시뮬레이션 시간—

왼쪽: 전자 에너지 히스토그램을 EEPF(

f/\sqrt\varepsilon

, 로그 축)로 그렸다. 점선은 같은 평균 에너지의 맥스웰 분포. 오른쪽: 평균 에너지의 시간 변화. 통계(K, v_d)는 E/N을 바꾸거나 다시 시작한 뒤 평균 에너지가 자리 잡으면(처음 1/3 구간 제외) 누적한다. 해볼 것: ① 100 Td에서 평균 에너지 약 6–7 eV, EEPF는 11.55 eV 위에서 꺾여 맥스웰보다 꼬리가 훨씬 낮다. MC의

K_{iz}

는 같은 평균 에너지 맥스웰 값보다 한 자릿수 이상 작다(4장 주제). ② 1000 Td로 올리면 평균 에너지가 13 eV 안팎으로 오르고 이온화가 급증한다. α/N은 5장 타운센드 계수의 출발점이다. ③ 10 Td에서는 자리 잡는 데 약 10 µs가 걸린다. 탄성으로는 에너지가 거의 안 빠지기 때문이다.

더 읽을거리공정 관점의 플라즈마 화학과 전자 충돌 해리는 EtchBook 플라스마 장과 ThinFilmBook PECVD 반응기 장에 있다. 단면적 원 데이터는 공개 데이터베이스 LXCat(Phelps, Biagi, Hayashi 세트)에서 받을 수 있다. 분포가 맥스웰이 아닐 때 무엇이 달라지는지는 바로 다음 4장에서 2항 볼츠만 풀이로 다룬다.

핵심 정리

충돌 확률은 $n_g\sigma\,dx$ , 자유 비행 길이는 평균 $\lambda = 1/(n_g\sigma)$ 인 지수 분포다. 300 K에서 $n_g \approx 3.2\times10^{19}\,p[\text{mTorr}]$ m⁻³.
충돌 주파수 $\nu = n_g\sigma v = n_gK$ 는 압력에 비례한다. IC 10 mTorr에서 이온 λ ≈ 3 mm, 전자 $\nu_m \approx 3\times10^{7}$ s⁻¹로 13.56 MHz의 ω보다 작다.
충돌은 탄성·여기·이온화·부착·해리·전하 교환으로 나뉜다. 비탄성 충돌은 문턱이 있고(Ar 여기 11.55, 이온화 15.76 eV), 부착은 좁은 공명 봉우리다. Ar·CF₄의 탄성 단면적은 0.2 eV 근처에서 램사우어 최소를 갖는다.
탄성 충돌의 평균 에너지 전달은 $2mM/(m+M)^2$ . 전자-Ar은 $2.7\times10^{-5}$ 이라 전자는 뜨겁고 기체는 차갑다. 이온-중성은 1/2이라 이온은 기체 온도로 식는다.
$K = \langle\sigma v\rangle = \int\sigma v f\,d\varepsilon$ . 문턱 반응은 분포 꼬리가 정하고 $d\ln K/d\ln T_e = 1/2 + E_{th}/T_e$ 로 Tₑ에 지수적으로 민감하다.
이온 하나를 만드는 충돌 손실 $\mathcal{E}_c$ 는 Ar에서 Tₑ = 2, 3, 4, 5 eV일 때 약 127, 62, 45, 37 eV. 대부분 여기(빛)로 나간다. 벽 손실을 더한 $\mathcal{E}_T$ 가 8장 전력 균형에 들어간다.
널 충돌 몬테카를로는 $\nu_{max}$ 로 충돌 시각을 뽑아 분포를 가정하지 않고 E/N에서 분포·표류 속도·K를 직접 얻는다. Ar의 실제 분포는 여기 문턱 위에서 꼬리가 꺾여 맥스웰보다 이온화가 훨씬 적다.

확인 퀴즈

1. Ar 10 mTorr(300 K)에서 이온-중성 단면적이 $1\times10^{-18}$ m²일 때 이온의 평균 자유 행로는?

n_g = 3.22\times10^{20}

m⁻³이므로

\lambda_i = 1/(3.22\times10^{20}\times10^{-18}) = 3.1

mm. PL-300 IC 모듈 값과 같다. 시스 두께(~1 mm)보다 길어 이온이 시스를 거의 충돌 없이 지난다.

2. 압력을 그대로 두고 기체 온도를 300 K에서 600 K로 올렸다. 전자의 평균 자유 행로는?

n_g = p/k_BT_g

가 절반이 되므로

\lambda = 1/(n_g\sigma)

는 두 배다(같은 전자 에너지 기준). 충돌 주파수는 절반이 된다.

3. 전자가 Ar 원자와 탄성 충돌할 때 평균적으로 잃는 에너지 비율은?

2m/M = 2\times9.11\times10^{-31}/(40\times1.66\times10^{-27}) \approx 2.7\times10^{-5}

. 탄성 충돌도 운동 에너지를 원자에 조금 넘긴다. 이 값이 작아서 전자는 뜨겁고 기체는 차가운 비평형이 유지된다.

4. 맥스웰 분포에서 $\sigma = \sigma_0(1 - E_{th}/\varepsilon)$ 인 반응의 K가 Tₑ = 3 eV에서 Tₑ가 1 % 오를 때 약 6 % 늘었다. 이 반응의 문턱은 대략?

d\ln K/d\ln T_e = 1/2 + E_{th}/T_e \approx 6

이므로

E_{th} \approx 5.5\times3 \approx 16

eV. Ar 이온화(15.76 eV)에 해당한다.

5. Tₑ가 2 eV에서 4 eV로 오르면 Ar의 전자-이온 쌍당 충돌 손실 $\mathcal{E}_c$ 는?

\mathcal{E}_c = E_{iz} + (K_{ex}/K_{iz})E_{ex} + \ldots

. 여기 문턱이 이온화보다 낮아 저온일수록 이온 하나당 여기가 많다. Tₑ가 오르면

K_{ex}/K_{iz}

가 줄어

\mathcal{E}_c

가 15.76 eV 쪽으로 다가간다.

6. Ar의 탄성 단면적이 0.24 eV 근처에서 거의 0이 되는 램사우어 최소의 원인으로 가장 알맞은 것은?

드브로이 파장이 원자보다 큰 느린 전자는 퍼텐셜 안에서 위상이 밀린다. 위상 이동이 π의 정수배가 되면 주된 부분파(s파)의 산란이 사라져 원자가 투명해진다. 고전 입자 그림으로는 설명되지 않는다.

7. 널 충돌 몬테카를로에서 상수 $\nu_{max}$ 를 실제 최대 충돌 주파수보다 훨씬 크게 잡으면?

실제 충돌은 확률

\nu_k/\nu_{max}

로 고르므로

\nu_{max}

를 키워도 실제 충돌 빈도는 같다. 늘어나는 것은 아무 일도 없는 널 충돌뿐이다. 다만

\nu_{max}

가 실제 최대보다 작으면 충돌이 빠져 결과가 틀린다.