Chapter 07

시스와 보옴 기준

플라즈마는 벽에 닿는 순간 준중성을 잃는다. 전자는 이온보다 수백 배 빨라 먼저 벽에 쌓이고, 벽은 음으로 대전되어 전자를 밀어내고 이온을 끌어당긴다. 그렇게 생긴 수 λD–수 mm 두께의 양전하층이 시스(sheath)다. 웨이퍼에 떨어지는 이온의 에너지와 방향, 그 분포는 전부 이 얇은 층에서 정해진다. 이 장은 부유 전위에서 출발해 보옴 기준, 차일드 법칙, RF 시스의 자기 바이어스를 거쳐 이온 에너지 분포까지 계산한다.

벽 앞의 양전하층: 부유 전위

전기적으로 떠 있는(부유) 벽을 Tₑ = 3 eV Ar 플라즈마에 넣었다고 하자. 처음 순간 벽에 오는 전자 플럭스 14nvˉe\tfrac14 n\bar v_e는 이온 플럭스보다 수백 배 크다(vˉe=8eTe/πm\bar v_e = \sqrt{8eT_e/\pi m} ≈ 1.2×10⁶ m/s, 이온 열속도는 수백 m/s). 벽은 음으로 대전되고, 그 음전위가 전자를 되밀어 전자 플럭스 = 이온 플럭스가 될 때 멈춘다. 이때 벽 앞에는 전자가 고갈된, 이온만 남은 층이 생긴다(2장의 데바이 차폐가 벽 전위를 가리는 방식). 층의 전위 강하는 Tₑ의 몇 배이므로 두께는 수 λD다.

벌크 플라즈마 (준중성) 예비 시스 시스 벽 ni = ne = n₀, 거리 ≫ λ_D 길이 ~ λ_i, Δφ ≈ Tₑ/2 두께 ~ 수 λ_D – mm 전위 φ(x) n_i n_e (볼츠만) 시스 경계: u_i = u_B, n_s ≈ 0.6 n₀ n_i ≫ n_e 전위 강하: 예비 시스 ≈ 0.5 Tₑ + 시스 ≈ 4.7 Tₑ(Ar 부유 벽) → 이온 충돌 에너지 ≈ 5.2 Tₑ
그림 7-1. 벽 앞의 세 영역. 준중성 벌크, 이온을 보옴 속도까지 천천히 가속하는 예비 시스(준중성 유지, 길이 ~ 이온 평균 자유 행로), 그리고 전자가 볼츠만 인자로 고갈되어 ni>nen_i \gt n_e가 되는 시스. 전위의 대부분은 시스에서 떨어진다.

시스 안 전자는 볼츠만 관계 ne=nseeϕ/Ten_e = n_s e^{e\phi/T_e}를 따른다(ϕ\phi는 시스 경계 기준, 벽 쪽으로 음). 벽에 닿는 전자 플럭스는 시스 전위 장벽을 넘는 꼬리만이므로 14nsvˉeeeVw/Te\tfrac14 n_s \bar v_e e^{eV_w/T_e}이고, 이온은 시스 경계를 보옴 속도로 들어와 모두 벽에 닿는다. 두 플럭스를 같게 놓으면

nsuB=14nsvˉe e−eΔVs/Te  ⇒  ΔVs=Te2ln⁡ ⁣(M2πm),uB=eTeM,vˉe=8eTeπmn_s u_B = \frac14 n_s \bar v_e\, e^{-e\Delta V_s/T_e} \;\Rightarrow\; \Delta V_s = \frac{T_e}{2}\ln\!\left(\frac{M}{2\pi m}\right),\qquad u_B = \sqrt{\frac{eT_e}{M}},\quad \bar v_e = \sqrt{\frac{8eT_e}{\pi m}}
ΔVs\Delta V_s는 시스에서 떨어지는 전위(시스 경계 → 벽), Tₑ는 eV 단위. Ar(M/m = 73,400)이면 12ln⁡(M/2πm)=4.68\tfrac12\ln(M/2\pi m) = 4.68이므로 ΔVs≈4.7 Te\Delta V_s \approx 4.7\,T_e. 여기에 예비 시스의 약 0.5 Tₑ를 더하면 벌크에서 본 벽 전위 Vf≈−5.2 TeV_f \approx -5.2\,T_e이고, 이온은 약 5.2 Te5.2\,T_e의 에너지로 벽을 때린다. 8장 전력 균형의 Ei≈5.2 Te\mathcal{E}_i \approx 5.2\,T_e가 이 값이다.
전자: 장벽 앞에서 대부분 반사 −eφ (전자 위치 에너지) 맥스웰 꼬리 E > eΔV_s 만 통과: Γ_e = ¼ n_s v̄_e e^(−eΔV_s/Tₑ) 이온: 모두 가속되어 벽에 도달 eφ (이온에게는 내리막) Γ_i = n_s u_B (시스 경계에서 이미 u_B)
그림 7-2. 부유 벽의 플럭스 균형. 같은 전위가 전자에게는 오르막, 이온에게는 내리막이다. 벽은 전자 꼬리 플럭스가 이온 플럭스와 같아지는 전위에서 멈춘다. 이 균형은 RF 전극에서도 한 주기 평균으로 성립하고, 그것이 자기 바이어스의 원리다(6절).
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부유 전위 계산기: 전자·이온 전류 교차점

기체(이온)
½ ln(M/2πm)—
시스 강하 ΔV_s—
벽 전위 V_f (벌크 기준)—
이온 충돌 에너지—
보옴 속도 u_B—
이온 플럭스 Γ_i—
가로축은 벌크 기준 벽 전위, 세로축은 전류 밀도(로그). 전자 전류 Je=14en0vˉeeV/TeJ_e = \tfrac14 e n_0 \bar v_e e^{V/T_e}(파랑)는 지수로 줄고, 이온 전류 Ji=e 0.61n0uBJ_i = e\,0.61 n_0 u_B(주황)는 거의 일정하다. 두 선이 만나는 곳이 부유 전위다. 해볼 것: ① H₂⁺에서 Xe⁺로 바꾸면 Vf/TeV_f/T_e가 −3.7에서 −5.8로 깊어진다(로그라서 질량 65배에 겨우 2.1 Tₑ). ② 밀도를 바꾸면 두 전류가 함께 움직여 교차점은 그대로다 — 부유 전위는 Tₑ와 질량만의 함수다.

보옴 기준과 예비 시스

시스 안 이온은 에너지 보존 12Mu2=12Mus2−eϕ\tfrac12 M u^2 = \tfrac12 M u_s^2 - e\phi와 연속 niu=nsusn_i u = n_s u_s를 따르므로 ni=ns(1−2eϕ/Mus2)−1/2n_i = n_s(1 - 2e\phi/Mu_s^2)^{-1/2}, 전자는 ne=nseeϕ/Ten_e = n_s e^{e\phi/T_e}다. 포아송 방정식에 넣고 χ=−eϕ/Te\chi = -e\phi/T_e, ξ=x/λDs\xi = x/\lambda_{Ds}, 마하수 M=us/uB\mathcal{M} = u_s/u_B로 무차원화하면 시스 방정식이 된다.

d2χdξ2=(1+2χM2)−1/2−e−χ,12(dχdξ)2=M2[(1+2χM2)1/2−1]+e−χ−1≡F(χ)\frac{d^2\chi}{d\xi^2} = \left(1 + \frac{2\chi}{\mathcal{M}^2}\right)^{-1/2} - e^{-\chi},\qquad \frac12\left(\frac{d\chi}{d\xi}\right)^2 = \mathcal{M}^2\left[\left(1 + \frac{2\chi}{\mathcal{M}^2}\right)^{1/2} - 1\right] + e^{-\chi} - 1 \equiv F(\chi)
두 번째 식은 첫 식에 χ′\chi'를 곱해 한 번 적분한 것이다(경계에서 χ=χ′=0\chi = \chi' = 0). 단조 증가하는 시스 해가 있으려면 모든 χ>0\chi \gt 0에서 F(χ)>0F(\chi) \gt 0이어야 한다. 작은 χ\chi로 전개하면 F≈12χ2(1−1/M2)F \approx \tfrac12\chi^2(1 - 1/\mathcal{M}^2)이므로 M≥1\mathcal{M} \ge 1, 곧 보옴 기준 us≥uB=eTe/Mu_s \ge u_B = \sqrt{eT_e/M}.

물리적으로는 "시스 안에서 이온 밀도가 전자 밀도보다 천천히 줄어야 한다"는 조건이다. 이온이 너무 느리게 들어오면 전위가 조금만 떨어져도 이온이 급히 가속되어 nin_i가 nen_e보다 빨리 줄고, 양전하층이 만들어지지 않는다. 그러니 벌크(이온 거의 정지)와 시스 사이에는 이온을 uBu_B까지 데려가는 준중성 영역이 있어야 하고, 이것이 예비 시스(presheath)다. 거기서 이온이 12MuB2\tfrac12 M u_B^2를 얻으려면 전위가 Te/2T_e/2 떨어져야 하고, 볼츠만 전자 때문에 시스 경계 밀도는 ns=n0e−1/2≈0.61 n0n_s = n_0 e^{-1/2} \approx 0.61\,n_0가 된다. Ar, Tₑ = 2.5 eV이면 uBu_B ≈ 2.4 km/s(PL-300 IC 모듈 값).

이온 마하수 u/u_B M = 1 (보옴) 예비 시스 (준중성, 아음속) 시스 (초음속) 이온화·충돌 마찰과 약한 전기장 의사 퍼텐셜 F(χ) M = 1.3: F > 0 M = 0.8: 작은 χ에서 F < 0 → 해 없음 χ
그림 7-3. 왼쪽: 이온은 예비 시스에서 아음속으로 가속되어 시스 경계에서 정확히 음속(보옴 속도)에 이르고, 시스 안에서 초음속이 된다. 오른쪽: 시스 방정식의 첫 적분 F(χ)F(\chi). M<1\mathcal{M} \lt 1이면 경계 근처에서 F<0F \lt 0이어서 χ′2=2F\chi'^2 = 2F가 성립하지 않는다.
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무충돌 시스 방정식 수치 풀이 (RK4)

벽 전위 프리셋
해의 성격—
시스 두께—
벽 도달 이온 속도—
벽에서 nₑ/nᵢ—
min F(χ), χ∈(0,3]—
위 그림: 경계(χ0=0.02\chi_0 = 0.02)에서 출발해 χ′′=ni−ne\chi'' = n_i - n_e를 RK4(Δξ=0.01\Delta\xi = 0.01)로 적분한 전위 χ\chi(초록)와 ni/nsn_i/n_s(주황), ne/nsn_e/n_s(파랑). 아래: 의사 퍼텐셜 F(χ)F(\chi). Tₑ = 3 eV 기준으로 −60 V는 χ = 20. 해볼 것: ① 𝓜을 1보다 작게 하면 FF가 음수 구간을 갖고 전위가 단조 증가하지 못하고 진동한다(시스 없음). ② 𝓜 = 1.05에서 χ_w를 4.7 → 40으로 키우면 두께가 약 14 → 26 λD로 커진다. ③ 𝓜이 클수록(이온이 빨리 들어올수록) 이온 밀도가 덜 줄어 시스가 얇아진다. 실제 경계 위치는 χ0\chi_0 선택에 약하게 의존한다 — 시스 "경계"는 수학적으로 흐릿하다.

예비 시스를 좀 더 정확히 보려면 이온 유체 방정식에 이온화(원천, 주파수 νiz\nu_{iz})와 이온-중성 충돌 마찰(νm\nu_m)을 넣는다. 전자는 볼츠만, 이온은 차가운 유체라 하면 마하수에 대한 식 하나로 정리된다.

dMdx=νiz(1+M2)+νmM2uB (1−M2),dln⁡ndx=νiz−uB dM/dxuB M\frac{d\mathcal{M}}{dx} = \frac{\nu_{iz}(1+\mathcal{M}^2) + \nu_m \mathcal{M}^2}{u_B\,(1 - \mathcal{M}^2)},\qquad \frac{d\ln n}{dx} = \frac{\nu_{iz} - u_B\,d\mathcal{M}/dx}{u_B\,\mathcal{M}}
분모 1−M21 - \mathcal{M}^2 때문에 준중성 해는 M=1\mathcal{M} = 1에서 특이점을 만나 끝난다. 그곳이 시스 경계다. 보옴 기준은 "준중성 예비 시스가 매끄럽게 끝나는 조건"이기도 하다. 충돌이 없으면(νm=0\nu_m = 0) n=n0/(1+M2)n = n_0/(1 + \mathcal{M}^2)이어서 경계 밀도는 0.5 n00.5\,n_0, 전위 강하 ln⁡2≈0.69 Te\ln 2 \approx 0.69\,T_e다. 충돌이 많을수록 경계 밀도 비 ns/n0n_s/n_0가 작아진다 — 이 비가 6장·8장의 가장자리 비 hL,hRh_L, h_R이다.
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예비 시스 유체 모델: 충돌이 가장자리 밀도를 깎는다

경계 밀도 n_s/n₀ (=h)—
예비 시스 전위 강하—
해당 l/λᵢ—
h_L 근사 0.86/√(3+l/λᵢ)—
위 식을 M\mathcal{M}에 대해 0 → 1로 적분해 x(M)x(\mathcal{M}), n(M)n(\mathcal{M})를 구하고 가로축을 예비 시스 길이(반 간격 ll)로 정규화했다. 충돌성 r=νm/νizr = \nu_m/\nu_{iz}는 l/λi≈r∫011−M21+(1+r)M2dMl/\lambda_i \approx r\int_0^1 \frac{1-\mathcal{M}^2}{1+(1+r)\mathcal{M}^2}d\mathcal{M}에 대응한다. 해볼 것: ① r→0r \to 0에서 ns/n0=0.50n_s/n_0 = 0.50, 전위 강하 0.69 Tₑ. 교과서의 "0.5 Tₑ, 0.61 n₀"는 이 값을 반올림한 근사다. ② rr을 100 이상으로 올리면 ns/n0n_s/n_0가 0.1 아래로 내려가고, 근사식 hLh_L(전체 길이 2l2l로 쓴 Lieberman 식)과 같은 경향을 보인다(이 모델은 νm\nu_m을 일정하게 둔 1D 근사라 값은 2배 안팎 다르다). 압력을 올리면 벽으로 가는 이온 플럭스가 줄어드는 이유다.

행렬 시스와 차일드 법칙

벽에 수백 V의 음전압을 걸면(eV≫TeeV \gg T_e) 시스 안 전자는 사실상 없다. 가장 단순한 그림은 이온 밀도가 균일하게 nsn_s로 남아 있다고 보는 행렬 시스(matrix sheath)로, 순간적으로 전자가 빠져나간 직후 상태다. 이온이 가속되며 밀도가 줄어드는 것까지 반영하면, 이온 전류 밀도 J0=ensuBJ_0 = e n_s u_B를 공간 전하 제한 전류로 놓은 차일드 법칙(Child law) 시스가 된다.

smatrix=λDs(2V0Te)1/2,J0=49ε0(2eM)1/2V03/2s2  ⇒  sChild=23λDs(2V0Te)3/4s_{\text{matrix}} = \lambda_{Ds}\left(\frac{2V_0}{T_e}\right)^{1/2},\qquad J_0 = \frac49\varepsilon_0\left(\frac{2e}{M}\right)^{1/2}\frac{V_0^{3/2}}{s^2}\;\Rightarrow\; s_{\text{Child}} = \frac{\sqrt2}{3}\lambda_{Ds}\left(\frac{2V_0}{T_e}\right)^{3/4}
λDs=ε0Te/ens\lambda_{Ds} = \sqrt{\varepsilon_0 T_e/en_s}는 시스 경계 밀도로 구한 데바이 길이. 차일드 시스 안의 전위는 ϕ∝x4/3\phi \propto x^{4/3}, 전기장 ∝x1/3\propto x^{1/3}, 이온 밀도 ∝x−2/3\propto x^{-2/3}이다. CP 모듈(n₀ = 5×10¹⁰ cm⁻³, Tₑ = 3 eV, 바이어스 전극 시스 평균 약 870 V)이면 충돌 예비 시스의 가장자리 비 h ≈ 0.3을 써서 nsn_s ≈ 1.5×10¹⁶ m⁻³, λDs\lambda_{Ds} ≈ 105 µm, sChilds_{\text{Child}} ≈ 6 mm로 간격 25 mm의 약 1/4을 차지한다.
행렬 시스: n_i = n_s 균일 φ ∝ x² (포물선) 전자가 막 빠져나간 직후(ω_pi⁻¹ 이하 시간) 차일드 시스: n_i ∝ x^(−2/3) φ ∝ x^(4/3), 같은 V₀에서 더 두껍다 정상 상태: J₀ = e n_s u_B 가 공간 전하로 제한
그림 7-4. 행렬 시스(왼쪽)와 차일드 시스(오른쪽). 차일드 시스에서는 이온이 가속되며 묽어지므로 같은 전압을 가리는 데 더 긴 거리가 필요하다. sChild/smatrix=23(2V0/Te)1/4s_{\text{Child}}/s_{\text{matrix}} = \tfrac{\sqrt2}{3}(2V_0/T_e)^{1/4} — 수백 V에서 약 2배.

압력이 높아 이온 평균 자유 행로 λi=1/(ngσi)\lambda_i = 1/(n_g\sigma_i)가 시스 두께보다 짧으면 이온은 자유 낙하하지 못하고 충돌하며 표류한다. 속도가 u=μEu = \mu E(일정 이동도)나 u=(2eλiE/πM)1/2u = (2e\lambda_i E/\pi M)^{1/2}(일정 평균 자유 행로, 빠른 이온)로 제한되는 충돌 시스(collisional sheath)다.

J0=1.68 ε0(2eλiπM)1/2V03/2s5/2  ⇒  scoll=[1.68 ε0J0(2eλiπM)1/2V03/2]2/5J_0 = 1.68\,\varepsilon_0\left(\frac{2e\lambda_i}{\pi M}\right)^{1/2}\frac{V_0^{3/2}}{s^{5/2}}\;\Rightarrow\; s_{\text{coll}} = \left[\frac{1.68\,\varepsilon_0}{J_0}\left(\frac{2e\lambda_i}{\pi M}\right)^{1/2} V_0^{3/2}\right]^{2/5}
이온이 느려 공간 전하가 더 쌓이므로 같은 J0,V0J_0, V_0에서 λi≪s\lambda_i \ll s이면 차일드 시스보다 얇다. 두 식은 λi≈0.22 s\lambda_i \approx 0.22\,s에서 같은 두께를 주므로, 아래 시뮬레이터는 그 점에서 식을 갈아탄다. 1 mTorr에서 λi\lambda_i ≈ 3 cm(무충돌), 30 mTorr에서 약 1 mm(CP 모듈 시스는 몇 번 충돌), 3 Torr PECVD에서 약 10 µm(완전히 충돌).
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시스 두께: 행렬 · 차일드 · 충돌 시스

λ_Ds—
행렬 시스—
차일드 시스—
충돌 시스—
λᵢ / s_Child—
쓸 식—
ns=0.61 n0n_s = 0.61\,n_0, J0=ensuBJ_0 = e n_s u_B, Ar, σi=10−18\sigma_i = 10^{-18} m², 기체 300 K. 세 곡선은 시스 전압 10 V–2 kV에 대한 두께(로그-로그), 굵은 회색 점선은 충돌을 고려한 "실제" 두께(λᵢ ≈ 0.22 s에서 교체). 기울기: 행렬 1/2, 차일드 3/4, 충돌 3/5. 해볼 것: ① CP 모듈 기본값(870 V, 5×10¹⁰ cm⁻³, 30 mTorr)에서 차일드 약 4 mm(ns=0.61 n0n_s = 0.61\,n_0 가정), λᵢ/s ≈ 0.25 — 경계 영역이다. 경계 밀도를 h ≈ 0.3으로 낮추면 본문처럼 약 6 mm. ② 압력을 3 Torr로 올리면(PECVD) 충돌 시스가 되어 두께가 차일드 값의 절반 이하로 준다. ③ 밀도를 10배 올리면 두께는 √10배 얇아진다(s∝n−1/2s \propto n^{-1/2}).

시스 안 이온 궤적과 통과 시간

무충돌 차일드 시스에서 이온 위치는 x∝t3x \propto t^3로 늘어난다(전위 ∝x4/3\propto x^{4/3}를 운동 방정식에 넣으면 나온다). 경계에서 거의 정지 상태로 출발한 이온이 두께 ss를 건너는 이온 통과 시간은

τi=3s(M2eV0)1/2\tau_i = 3s\left(\frac{M}{2eV_0}\right)^{1/2}
같은 거리를 최종 속도로 등속 이동할 때의 3배. CP 모듈 바이어스 시스(s ≈ 6 mm, 870 V, Ar)에서 τi\tau_i ≈ 280 ns. 이 시간이 RF 주기보다 긴가 짧은가가 IEDF의 모양을 정한다(8절).

시스 두께가 λi\lambda_i와 비슷해지면 이온 일부가 시스 안에서 전하 교환(charge exchange) 충돌을 한다. Ar⁺ + Ar → Ar + Ar⁺에서 빠른 이온은 빠른 중성이 되어 그대로 날아가고, 그 자리에 느린 이온이 새로 생겨 남은 전위만큼만 다시 가속된다. 그래서 IEDF에 낮은 에너지 쪽 꼬리와 계단 같은 2차 봉우리가 생기고, 새 이온은 열속도로 출발하므로 방향이 퍼진다(이온 각도 분포가 넓어짐). 무충돌로 벽에 닿는 비율은 대략 e−s/λie^{-s/\lambda_i}다.

s ≪ λᵢ : 무충돌 E → eV₀ 모두 eV₀, 수직 입사 s ≳ λᵢ : 전하 교환 낮은 E 꼬리·계단 ● 충돌 지점: 빠른 중성(점선) + 느린 새 이온
그림 7-5. 무충돌 시스(왼쪽)는 모든 이온을 eV0eV_0와 수직 방향으로 보내지만, 충돌 시스(오른쪽)에서는 전하 교환으로 생긴 느린 이온이 남은 전위만큼만 얻고 방향도 퍼진다. 고종횡비 식각의 측벽 손상·보잉(EtchBook 시스 장)이 이 각도 퍼짐과 관련된다.
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시스 안 이온 궤적: 차일드 전기장 + 전하 교환 몬테카를로

시스 두께 s—
λᵢ (CX)—
통과 시간 τᵢ—
무충돌 비율 (계산 / e^(−s/λ))—
평균 에너지 / eV₀—
평균 입사각—
왼쪽: 시스(플라즈마 → 오른쪽 전극). 차일드 전기장 E=43V0x1/3/s4/3E = \tfrac43 V_0 x^{1/3}/s^{4/3} 속에서 이온을 적분하고, 이동 거리 Δℓ\Delta\ell마다 확률 Δℓ/λi\Delta\ell/\lambda_i로 전하 교환을 일으켜 속도를 열속도(0.026 eV, 무작위 방향)로 바꾼다. 노란 점은 충돌 지점. 세로 방향은 보기 좋게 확대했다. 오른쪽: 전극 도달 에너지 분포와 입사각 분포. 해볼 것: ① 1 mTorr에서 거의 모든 이온이 eV0eV_0에 쌓인다. ② 30 mTorr 이상에서 계단 모양의 낮은 에너지 꼬리와 넓은 각도가 나타난다. ③ 같은 압력에서 밀도를 올리면 시스가 얇아져 다시 무충돌에 가까워진다 — 고밀도 소스가 저압과 같은 효과를 내는 이유.

RF 시스: 정류와 자기 바이어스

전극에 블로킹 커패시터를 거쳐 RF 전압 Vrfsin⁡ωtV_{rf}\sin\omega t를 걸면 무엇이 달라지는가? 전극은 직류적으로 떠 있으므로 한 주기 평균 전류가 0이어야 한다. 이온 전류는 주기 내내 거의 일정하게 흘러들지만, 전자 전류는 전극 전위가 플라즈마 전위 가까이 올라가는 짧은 순간에만 지수적으로 크게 흐른다. 처음에 전극이 0 V 중심으로 흔들리면 양의 반주기에 전자가 왕창 들어와 커패시터가 음으로 충전되고, 전극의 평균 전위가 내려간다. 결국 전극 전위의 꼭대기가 플라즈마 전위에 "살짝 닿는" 상태에서 균형이 잡힌다. 이 직류 오프셋이 자기 바이어스(DC self-bias)이고, 시스가 다이오드처럼 동작하는 이 현상이 정류다.

⟨14ensvˉe e(Vdc+Vrfsin⁡ωt−Vp)/Te⟩=ensuB  ⇒  Vdc=Vp−Te2ln⁡M2πm−Teln⁡I0 ⁣(VrfTe)\Big\langle \tfrac14 e n_s \bar v_e\, e^{(V_{dc} + V_{rf}\sin\omega t - V_p)/T_e}\Big\rangle = e n_s u_B \;\Rightarrow\; V_{dc} = V_p - \frac{T_e}{2}\ln\frac{M}{2\pi m} - T_e\ln I_0\!\left(\frac{V_{rf}}{T_e}\right)
I0I_0는 0차 변형 베셀 함수, ⟨easin⁡ωt⟩=I0(a)\langle e^{a\sin\omega t}\rangle = I_0(a). Vrf≫TeV_{rf} \gg T_e이면 Teln⁡I0(Vrf/Te)≈Vrf−Te2ln⁡(2πVrf/Te)T_e\ln I_0(V_{rf}/T_e) \approx V_{rf} - \tfrac{T_e}{2}\ln(2\pi V_{rf}/T_e)이므로 Vdc≈−VrfV_{dc} \approx -V_{rf} — 전극 전위는 거의 −2Vrf-2V_{rf}에서 0 사이를 오간다. 이온은 시간 평균 시스 전압 Vˉs=Vp−Vdc≈Vrf\bar V_s = V_p - V_{dc} \approx V_{rf}를 본다.
전압 파형 인가 V_rf sin ωt (커패시터 앞) V_p (플라즈마 전위) V_dc ≈ −V_rf 처음 몇 주기: 양의 반주기마다 전자가 몰려와 커패시터를 음으로 충전 → 평균 전위 하강 시스 두께 s(t) ωt=3π/2 평균 ωt=π/2 붕괴 시스 붕괴 순간에만 전자 유입
그림 7-6. RF 시스의 정류. 커패시터 뒤 전극 전압(초록)은 인가 파형이 아래로 밀려 꼭대기만 플라즈마 전위에 닿는다. 그 짧은 순간 시스가 붕괴하고 전자가 들어와, 나머지 시간 동안 들어온 이온 전하를 상쇄한다. 시스 두께는 s(t)∝Vs(t)3/4s(t) \propto V_s(t)^{3/4}로 출렁인다.
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블로킹 커패시터 충전과 자기 바이어스 형성

현재 V_dc (수치)—
정상 V_dc (베셀 식)—
평균 시스 전압 V̄_s—
주기 평균 순전류 / Jᵢ—
경과 주기—
플라즈마 전위는 큰 접지 벽에 대해 Vp=5.2 TeV_p = 5.2\,T_e로 고정, 전극 전류 J=Ji−Ji e−Vf/Teexp⁡[min⁡(0,V−Vp)/Te]J = J_i - J_i\,e^{-V_{f}/T_e}\exp[\min(0, V - V_p)/T_e](전자 포화 포함), 커패시터 dVdc/dt=AJ/CdV_{dc}/dt = A J/C를 주기당 400단계로 적분한다. 위: 전극 전압(초록), 인가 파형(점선), VpV_p(보라), 정상 VdcV_{dc}(빨강 점선). 아래: 전극 전류(파랑 = 전자, 주황 = 이온). 해볼 것: ① 다시 시작을 누르고 VdcV_{dc}가 수십 주기 만에 베셀 식 값으로 수렴하는 것을 보자. ② 수렴 뒤 전자 전류는 꼭대기의 좁은 바늘로만 남는다. ③ VrfV_{rf} = 0이면 Vdc=Vp−5.2TeV_{dc} = V_p - 5.2T_e = 0(전극이 부유 전위), Vrf=500V_{rf} = 500 V이면 약 −490 V.

비대칭 방전과 면적비 법칙

실제 반응기에서 RF 전극(면적 A1A_1)은 접지된 넓은 면적(A2A_2: 반대 전극 + 벽)과 마주한다. 두 시스는 RF 전압을 나눠 갖고, 같은 이온 전류가 양쪽에 흐른다. 시스를 커패시터로 보면 RF 전류 연속(ωC1V1=ωC2V2\omega C_1 V_1 = \omega C_2 V_2)과 C∝A/sC \propto A/s에서 V1/V2=(A2/A1)(s1/s2)V_1/V_2 = (A_2/A_1)(s_1/s_2)이고, 두 시스가 같은 밀도·같은 이온 전류 밀도의 차일드 시스라면 s∝V3/4s \propto V^{3/4}를 넣어

V1V2=(A2A1)q,q=4  (무충돌 차일드, 균일 밀도),Vdc≈−(V1−V2)=−Vrf(A2/A1)q−1(A2/A1)q+1\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^q,\qquad q = 4\;(\text{무충돌 차일드, 균일 밀도}),\qquad V_{dc} \approx -(V_1 - V_2) = -V_{rf}\frac{(A_2/A_1)^q - 1}{(A_2/A_1)^q + 1}
V1,V2V_1, V_2는 각 시스의 RF 전압 진폭(시간 평균 시스 전압과 거의 같다), V1+V2≈VrfV_1 + V_2 \approx V_{rf}. 작은 전극 쪽 시스가 전압 대부분을 가져가고, 자기 바이어스는 그 비대칭의 크기다. 대칭(A1=A2A_1 = A_2)이면 Vdc=0V_{dc} = 0.

그런데 실험에서 qq는 4가 아니라 대개 1–2다. 이유는 (1) 접지 쪽 실효 면적이 벽 전체가 아니라 플라즈마가 실제로 닿는 부분이고, 플라즈마가 작은 전극 쪽에 몰리면 A2A_2가 작아 보인다, (2) 이온 전류 밀도가 두 전극에서 같지 않다(밀도 비균일), (3) 충돌 시스는 s∝V3/5s \propto V^{3/5} 등으로 지수가 달라진다, (4) 큰 쪽 시스는 저항성·전자 전류 기여가 커져 순수 커패시터가 아니다. 그래서 장비 설계에서는 qq를 측정으로 맞춘다. 식각 RIE가 작은 전극에 웨이퍼를 두는 이유가 이 법칙이다(EtchBook RF 시스).

시스 1: V₁ 큼 (두꺼움) 시스 2: V₂ 작음 (넓은 접지 면적 A₂) 플라즈마 C_block → RF A₁ 전압 분배 (V_rf = 1 kV 예) V₂ ≈ 150 V V₁ ≈ 850 V V_dc ≈ −(V₁ − V₂) = −700 V (A₂/A₁)^q ≈ 5.7 q = 4 → A₂/A₁ ≈ 1.5 q = 2 → ≈ 2.4 q = 1.5 → ≈ 3.2
그림 7-7. 비대칭 CCP. 작은 RF 전극 쪽 시스가 RF 전압 대부분을 가져가 두꺼워지고, 그 차이가 자기 바이어스로 나타난다. PL-300 CP 모듈의 VrfV_{rf} ≈ 1 kV, VdcV_{dc} ≈ −700 V는 V1:V2V_1 : V_2 ≈ 850 : 150에 해당한다.
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면적비 법칙: 자기 바이어스와 두 시스의 이온 에너지

V₁ (RF 전극 시스)—
V₂ (접지 시스)—
자기 바이어스 V_dc—
웨이퍼 평균 이온 에너지—
접지 벽 이온 에너지—
V1/V2=(A2/A1)qV_1/V_2 = (A_2/A_1)^q, V1+V2=VrfV_1 + V_2 = V_{rf}, 각 시스는 주기마다 부유 강하(약 5.2 Te5.2\,T_e)까지 붕괴한다고 보아 평균 시스 전압 Vˉk=Vk+5.2Te\bar V_k = V_k + 5.2T_e. 곡선은 qq = 1, 2, 4와 현재 qq(굵게)의 ∣Vdc∣/Vrf|V_{dc}|/V_{rf}. 해볼 것: ① CP 모듈의 ∣Vdc∣/Vrf|V_{dc}|/V_{rf} = 0.7을 만드는 A2/A1A_2/A_1를 qq = 1.5, 2, 4에서 각각 찾아보자. ② 접지 벽 이온 에너지가 커지면 벽 스퍼터·오염이 늘어난다 — 넓은 접지 면적은 벽을 보호하는 효과도 있다. ③ 플라즈마를 좁은 간격에 가두는 제한 링(confinement ring)은 A2A_2를 줄여 바이어스 효율을 낮춘다.
모델 가정시스 두께 스케일q현실성
무충돌 차일드, 두 전극 같은 JiJ_is∝V3/4s \propto V^{3/4}4저압·균일 밀도 이상화
충돌 시스(일정 평균 자유 행로)s∝V3/5s \propto V^{3/5}약 2.5수십 mTorr 이상
밀도 비균일(작은 전극 쪽 밀도↑)Ji1>Ji2J_{i1} \gt J_{i2}약 1–2대부분의 실제 반응기
측정(평행판·RIE)—1–2.5장비마다 교정

이온 에너지 분포: 두 봉우리와 ωτᵢ

RF 시스 전압은 Vs(t)=Vˉs+V~ssin⁡ωtV_s(t) = \bar V_s + \tilde V_s\sin\omega t로 흔들린다. 이온이 받는 에너지는 시스를 건너는 동안의 전압 평균이다. 통과 시간이 주기보다 아주 짧으면(ωτi≪1\omega\tau_i \ll 1) 이온은 들어온 순간의 전압을 그대로 받아 IEDF가 e(Vˉs−V~s)e(\bar V_s - \tilde V_s)–e(Vˉs+V~s)e(\bar V_s + \tilde V_s) 사이에 퍼지고, 사인 함수가 꼭대기·바닥에서 오래 머무르므로 양 끝에 봉우리가 선다(두 봉우리 IEDF(bimodal IEDF)). 통과 시간이 주기보다 길면(ωτi≫1\omega\tau_i \gg 1) 이온은 여러 주기를 평균해 eVˉse\bar V_s 근처의 좁은 분포가 된다. 그 사이에서 폭은

ΔEi≈8 eV~s3 ωsˉ(2eVˉsM)1/2=8 eV~sωτi(ωτi≫1),ΔEi→2eV~s(ωτi≪1)\Delta E_i \approx \frac{8\,e\tilde V_s}{3\,\omega \bar s}\left(\frac{2e\bar V_s}{M}\right)^{1/2} = \frac{8\,e\tilde V_s}{\omega\tau_i}\quad(\omega\tau_i \gg 1),\qquad \Delta E_i \to 2e\tilde V_s\quad(\omega\tau_i \ll 1)
고정 두께 시스에 대한 Benoit-Cattin 근사. τi∝sˉM\tau_i \propto \bar s\sqrt{M}이므로 폭은 주파수↑, 질량↑, 시스 두께↑(밀도↓)일 때 좁아진다. 아래 시뮬레이터의 수치 적분은 13.56 MHz·60 MHz에서 이 식과 몇 % 안에서 맞는다. 2 MHz처럼 ωτi\omega\tau_i가 수 이하이면 식이 2eV~s2e\tilde V_s를 넘는 값을 주므로 쓰지 않는다.
ωτᵢ ≪ 1 (2 MHz, 가벼운 이온) e(V̄−Ṽ)e(V̄+Ṽ) ωτᵢ ~ 10 (13.56 MHz) ΔE ∝ 1/ωτᵢ ωτᵢ ≫ 1 (60 MHz, 무거운 이온) ≈ eV̄_s
그림 7-8. 같은 Vˉs,V~s\bar V_s, \tilde V_s에서 ωτi\omega\tau_i가 커질수록 두 봉우리가 가운데로 모인다. 그래서 이중 주파수 CCP는 낮은 주파수(2 MHz)를 이온 에너지 손잡이로, 높은 주파수(60 MHz)를 밀도 손잡이로 쓴다(9장). 바이어스 파형을 다듬어 좁은 IEDF를 만드는 방법은 12장.
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IEDF 계산기: RF 시스를 건너는 이온 1500개 적분

바이어스 주파수
이온
V_dc / Ṽ_s / V̄_s—
시스 두께 s̄—
τᵢ / ωτᵢ—
봉우리 (낮음 / 높음)—
ΔE 수치 / Benoit-Cattin—
평균 이온 에너지—
모델: 두께 sˉ\bar s(평균 전압의 차일드 두께, Tₑ = 3 eV)로 고정된 시스에 V(x,t)=Vs(t)(x/sˉ)4/3V(x,t) = V_s(t)(x/\bar s)^{4/3}, Vs(t)=Vˉs+V~ssin⁡ωtV_s(t) = \bar V_s + \tilde V_s\sin\omega t. 이온은 한 주기 안 균일한 위상으로 uBu_B를 갖고 들어와 Mx¨=eE(x,t)M\ddot x = eE(x,t)를 따라 전극까지 적분된다. 비대칭은 V~s=Vrf(1+r)/2\tilde V_s = V_{rf}(1 + r)/2, Vˉs=V~s+5.2Te\bar V_s = \tilde V_s + 5.2T_e(면적비 절). 충돌을 켜면 λi\lambda_i ≈ 1 mm로 전하 교환을 넣는다. 해볼 것: ① 기본값(PL-300 CP: 2 MHz, 1 kV, VdcV_{dc} = −700 V)에서 봉우리는 약 250 eV와 1.6 keV. ② 13.56 → 60 MHz로 올리면 폭이 약 290 → 65 eV로 줄어 1/ω1/\omega를 따른다. ③ 2 MHz에서 He⁺는 거의 2eV~s2e\tilde V_s 폭, Xe⁺는 더 좁다. ④ 충돌을 켜면 높은 봉우리가 낮아지고 낮은 에너지 쪽이 채워진다.
CP 모듈 바이어스의 IEDF2 MHz 3 kW 바이어스에서 RF 진폭 약 1 kV, 자기 바이어스 약 −700 V이면 바이어스 전극 시스는 평균 약 870 V, 진폭 약 850 V로 흔들린다. 시스 경계 밀도 1.5×10¹⁶ m⁻³(벌크 5×10¹⁰ cm⁻³ × h ≈ 0.3)에서 차일드 두께 약 6 mm, Ar⁺ 통과 시간 약 280 ns, ωτi\omega\tau_i ≈ 3.5. 이 정도면 두 봉우리가 거의 Vˉs±V~s\bar V_s \pm \tilde V_s까지 벌어진다. 무충돌 고정 시스 모델은 약 250 eV–1.6 keV를 주고, PL-300 표의 "수백 eV ~ 약 1.2 keV"보다 위쪽이 높다. 실제 30 mTorr 시스는 λᵢ ≈ 1 mm로 여러 번 충돌하고 시스 두께가 출렁여(그림 7-6), 측정되는 높은 봉우리는 이 모델보다 낮게 나오는 일이 많다. 무거운 C₄F₈ 조각 이온(CF₃⁺, C₂F₄⁺ 등)은 더 좁은 분포를 만든다. 9장의 이중 주파수 모델(CCP 시뮬레이터)은 이온이 시스 전압을 일부만 따라가는 저역 통과 근사로 약 0.54–1.2 keV를 주어 표와 맞는다.
손잡이 (조건)시스·이온 변화 (결과)IEDF
바이어스 전력·전압 ↑Vˉs\bar V_s, V~s\tilde V_s 비례 ↑, 플럭스 거의 그대로전체가 높은 에너지로 이동, 폭도 커짐
바이어스 주파수 ↑ (2 → 13.56 → 60 MHz)ωτi\omega\tau_i ↑, 같은 전압에서 밀도도 ↑두 봉우리가 모여 좁아짐(∝ 1/ω)
이온 질량 ↑ (He → Ar → Xe)τi∝M\tau_i \propto \sqrt M ↑좁아짐
밀도 ↑ (소스 전력 ↑)시스 얇아짐(s∝n−1/2s \propto n^{-1/2}), τi\tau_i ↓, 플럭스 ↑넓어짐
압력 ↑λi\lambda_i ↓, 충돌 시스낮은 에너지 꼬리·각도 퍼짐
전극 면적비 A2/A1A_2/A_1 ↑∣Vdc∣|V_{dc}| ↑, 웨이퍼 쪽 시스 전압 ↑웨이퍼 이온 에너지 ↑, 벽 이온 에너지 ↓
IC 모듈 벽과 웨이퍼Ar 10 mTorr, 1.5 kW(Tₑ ≈ 2.5 eV)에서 바이어스를 끄면 웨이퍼는 부유 전위로 약 13 eV(5.2 Tₑ)의 이온을 받는다 — 대부분의 막 문턱보다 낮아 스퍼터는 거의 없다. 13.56 MHz 바이어스를 켜면 시스 평균 전압이 이온 에너지를 정하고, 플럭스는 ICP 소스가 정한다(웨이퍼 쪽 Γi=hLn0uB\Gamma_i = h_L n_0 u_B ≈ 0.2×4×10¹⁷×2.4×10³ ≈ 2×10²⁰ m⁻²s⁻¹, 약 3 mA/cm²). 이 "플럭스와 에너지의 분리"가 고밀도 소스의 존재 이유다(10장).

핵심 정리

  1. 부유 벽은 전자 꼬리 플럭스 = 이온 플럭스가 되는 전위에 선다: 시스 강하 Te2ln⁡(M/2πm)\tfrac{T_e}{2}\ln(M/2\pi m)(Ar 4.7 Tₑ) + 예비 시스 0.5 Tₑ → 이온 충돌 에너지 약 5.2 Tₑ.
  2. 시스 방정식의 단조 해는 us≥uB=eTe/Mu_s \ge u_B = \sqrt{eT_e/M}(보옴 기준)일 때만 있다. 예비 시스가 약 0.5–0.7 Tₑ의 강하로 이온을 uBu_B까지 가속하며, 경계 밀도 ns≈0.5n_s \approx 0.5–0.6 n₀(충돌이 많으면 더 작다 = h 인자).
  3. 고전압 시스 두께: 행렬 λD(2V/Te)1/2\lambda_D(2V/T_e)^{1/2}, 차일드 23λD(2V/Te)3/4\tfrac{\sqrt2}{3}\lambda_D(2V/T_e)^{3/4}(수백 V에서 수백 λD ≈ mm), λi≲0.2s\lambda_i \lesssim 0.2s이면 충돌 시스(더 얇음, s∝V3/5s \propto V^{3/5}).
  4. 이온 통과 시간 τi=3sM/2eV\tau_i = 3s\sqrt{M/2eV}. 시스가 λi\lambda_i보다 두꺼우면 전하 교환으로 낮은 에너지 꼬리와 각도 퍼짐이 생긴다.
  5. RF 시스는 정류한다: 주기 평균 전류 0 조건에서 Vdc=Vf−Teln⁡I0(Vrf/Te)≈−VrfV_{dc} = V_f - T_e\ln I_0(V_{rf}/T_e) \approx -V_{rf}. 비대칭 방전에서는 V1/V2=(A2/A1)qV_1/V_2 = (A_2/A_1)^q, 이론 q = 4, 실제 1–2.
  6. IEDF는 ωτi≪1\omega\tau_i \ll 1이면 2eV~s2e\tilde V_s 폭의 두 봉우리, ωτi≫1\omega\tau_i \gg 1이면 ΔE≈8eV~s/ωτi\Delta E \approx 8e\tilde V_s/\omega\tau_i로 좁아진다. 낮은 주파수 = 넓고 높은 에너지, 높은 주파수·무거운 이온 = 좁은 분포.

확인 퀴즈

1. Tₑ = 4 eV인 Ar 플라즈마에 놓인 부유 기판에 이온이 도달하는 에너지에 가장 가까운 값은? (예비 시스 포함)

Ar은 12ln⁡(M/2πm)=4.68\tfrac12\ln(M/2\pi m) = 4.68이므로 시스 강하 4.68 × 4 ≈ 18.7 V, 예비 시스 0.5 × 4 = 2 V. 합계 약 5.2 Tₑ ≈ 21 eV.

2. 보옴 기준이 요구하는 것은?

시스 안에서 이온 밀도가 전자 밀도보다 천천히 줄어야 양전하층이 생긴다. 시스 방정식의 첫 적분 F(χ)F(\chi)가 작은 χ\chi에서 양수일 조건이 us≥uBu_s \ge u_B다. 이를 맞추기 위해 예비 시스가 필요하다.

3. 같은 플라즈마(밀도·Tₑ 고정)에서 무충돌 차일드 시스의 전압을 100 V에서 1600 V로 올리면 시스 두께는?

s∝V3/4s \propto V^{3/4}, 16^(3/4) = 8. 행렬 시스라면 V1/2V^{1/2}로 4배, 충돌 시스라면 V3/5V^{3/5}로 약 5.3배다.

4. 블로킹 커패시터를 거쳐 RF를 건 전극이 음의 자기 바이어스를 갖는 근본 이유는?

시스가 다이오드처럼 비선형 I-V를 가지므로(정류) 평균 전류 0 조건이 전극 평균 전위를 끌어내린다. 커패시터는 직류를 막아 그 오프셋을 유지할 뿐이다.

5. 비대칭 방전에서 VrfV_{rf} = 1000 V, 면적비 법칙 지수 q = 2, A2/A1A_2/A_1 = 2일 때 자기 바이어스에 가장 가까운 값은?

V1/V2=22=4V_1/V_2 = 2^2 = 4, V1+V2=1000V_1 + V_2 = 1000 → V1=800V_1 = 800, V2=200V_2 = 200, Vdc≈−(800−200)=−600V_{dc} \approx -(800 - 200) = -600 V.

6. 바이어스 주파수를 2 MHz에서 13.56 MHz로 올리고 시스 전압과 두께는 그대로 두었다. IEDF는?

통과 시간 τi\tau_i는 그대로이고 ω\omega가 6.8배 커지므로 ωτi\omega\tau_i가 커져 이온이 여러 주기를 평균한다. 폭은 ΔE≈8eV~s/ωτi\Delta E \approx 8e\tilde V_s/\omega\tau_i로 줄고, 평균은 eVˉse\bar V_s 근처에 남는다.

7. 압력을 올려 시스 두께가 이온 평균 자유 행로의 5배가 되었다. 기판에 도달하는 이온에 대한 설명으로 옳은 것은?

전하 교환으로 빠른 이온은 빠른 중성이 되고, 새로 생긴 이온은 남은 전위만큼만 가속되며 열속도로 출발해 방향이 퍼진다. 이온 플럭스 자체는 시스 경계에서 정해지므로 도달은 한다.