Chapter 06

수송: 이동도·확산·양극성

플라즈마 안의 전자와 이온은 가만히 있지 않는다. 전기장에 밀려 표류하고, 밀도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산하며, 결국 벽에 닿아 사라진다. 생성과 손실이 균형을 이루는 곳에서 밀도 프로파일과 전자 온도가 정해진다. 이 장은 충돌이 주는 마찰로 이동도와 확산 계수를 구하고, 가벼운 전자와 무거운 이온이 서로를 붙잡아 함께 움직이는 양극성 확산을 계산한다. 그다음 원통 챔버의 밀도 고유모드와 확산 시간, 저압에서 벽 앞 밀도를 정하는 가장자리 비 hL,hRh_L, h_R과 유효 길이 deffd_{eff}를 PL-300 IC 챔버로 구한다. 끝으로 자기장이 수송을 어떻게 바꾸는지 본다.

표류 속도와 이동도

전기장 EE 속 전하 qq는 가속되지만, 중성 기체와 충돌할 때마다 얻은 운동량을 잃는다. 충돌이 평균적으로 운동량을 주파수 νm\nu_m(운동량 전달 충돌 주파수)으로 빼앗는다고 보면 평균 속도 u\mathbf{u}의 운동 방정식은 마찰이 있는 뉴턴 식이다. 정상 상태(du/dt=0d\mathbf{u}/dt = 0)의 속도가 표류 속도(drift velocity)이고, 비례 계수가 이동도(mobility)다.

mdudt=qE−mνmu⟹ud=qmνmE=±μE,μ=∣q∣m νmm\frac{d\mathbf{u}}{dt} = q\mathbf{E} - m\nu_m\mathbf{u}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{u}_d = \frac{q}{m\nu_m}\mathbf{E} = \pm\mu\mathbf{E},\qquad \mu = \frac{|q|}{m\,\nu_m}
νm=ngKm\nu_m = n_g K_m(Km=⟨σmv⟩K_m = \langle\sigma_m v\rangle). 전자는 질량이 이온의 약 1/73,000(Ar)이라 이동도가 수백 배 크다. 이온은 공명 전하 교환이 지배하므로 μip\mu_i p가 거의 일정하다: Ar⁺/Ar μip≈1.2×103\mu_i p \approx 1.2\times10^{3} cm² Torr V⁻¹s⁻¹ (= 0.116 m² Torr V⁻¹s⁻¹). 이온이 충돌 사이 얻는 에너지가 열에너지보다 크면(Eλi>kT/eE\lambda_i \gt kT/e, 저압의 시스·예비 시스) ud∝Eu_d \propto \sqrt{E}로 바뀐다.

이 모형은 충돌 사이 자유 비행을 평균한 것이다. 개별 입자는 충돌마다 방향이 무작위로 바뀌는 랜덤 워크를 하고, 전기장은 그 위에 작은 한쪽 쏠림을 얹는다. 열속도(전자 3 eV에서 약 10⁶ m/s)에 비해 표류 속도는 보통 훨씬 작다.

평균 표류 u_d = μE E → (전자는 −E 쪽, 그림은 양전하 기준) 충돌 사이 비행 (τ = 1/ν_m) u_d 시간 → 속도는 qE/m로 늘고 충돌마다 0 근처로 돌아감
그림 6-1. 왼쪽: 전하는 충돌마다 방향을 잃는 랜덤 워크를 하고, 전기장이 그 위에 한쪽 쏠림(표류)을 얹는다. 오른쪽: 장 방향 속도는 충돌 사이 qE/mqE/m로 늘었다가 충돌에서 사라진다. 평균이 ud=qE/mνmu_d = qE/m\nu_m이다.
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표류-확산 몬테카를로: 구름의 중심은 μE로, 폭은 √(2Dt)로

측정 u_d · 이론 qE/mν—
측정 D · 이론 kT/mν—
D/μ (측정)—
경과 시간—
입자 600개가 원점에서 출발한다. 확산 계수는 장에 수직한 y 방향 퍼짐으로 잰다(장 방향은 자유 비행 시간의 무작위성 때문에 ud2/νu_d^2/\nu만큼 더 퍼진다). 자유 비행 동안 가속도 qE/m를 받고, 확률 ν·dt로 충돌하면 속도를 바탕 온도의 맥스웰 분포에서 새로 뽑는다(이온의 공명 전하 교환과 비슷한 BGK 모형). 단위는 무차원이다. 아래 띠는 x 방향 히스토그램과 이론 가우스 곡선이다. 해볼 것: ① ν를 두 배로 하면 표류 속도와 확산 계수가 함께 절반이 된다 — 비 D/μ는 그대로 kT/q(아인슈타인 관계). ② E = 0이면 구름은 퍼지기만 하고 중심은 움직이지 않는다. ③ 온도만 올리면 D만 커지고 u_d는 그대로다.

확산과 아인슈타인 관계

밀도에 기울기가 있으면 랜덤 워크만으로도 알짜 흐름이 생긴다. 왼쪽에 입자가 더 많으면 오른쪽으로 가는 입자가 반대 방향보다 많기 때문이다. 같은 마찰 모형에 압력 기울기 −∇(nkT)-\nabla(nkT)를 넣으면 확산 계수(diffusion coefficient)가 나오고, 표류와 확산을 합친 플럭스가 플라즈마 수송의 기본 식(표류-확산 근사)이다.

Γ=nu=±nμE−D∇n,D=kTm νm,Dμ=kTe    (아인슈타인 관계)\boldsymbol{\Gamma} = n\mathbf{u} = \pm n\mu\mathbf{E} - D\nabla n,\qquad D = \frac{kT}{m\,\nu_m},\qquad \frac{D}{\mu} = \frac{kT}{e}\;\;(\text{아인슈타인 관계})
kT/e를 eV로 쓰면 D=μTD = \mu T[eV]이다. 전자 3 eV는 확산 계수와 이동도의 비가 3 V, 이온 300 K는 0.026 V다. 이 비가 "기울기 하나를 버티는 데 필요한 전위"다. 볼츠만 관계 ne=n0eeϕ/kTen_e = n_0 e^{e\phi/kT_e}는 전자 플럭스가 0일 때 표류와 확산이 정확히 상쇄된 결과다(2장).
Γ = −D ∇n 밀도 높음 → 낮음 n(x) 확산 −D∇n 표류 ±nμE 합이 0 → n ∝ exp(eφ/kT): 볼츠만 관계 평형: 기울기를 전기장이 버틴다
그림 6-2. 왼쪽: 밀도 기울기만으로 알짜 확산 플럭스가 생긴다. 오른쪽: 확산과 표류가 상쇄되면 밀도는 전위에 대해 볼츠만 분포를 이룬다. 이때 필요한 전위차가 kT/ekT/e 단위로 정해진다는 것이 아인슈타인 관계의 뜻이다.
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Ar 플라즈마의 이동도·확산 계수 vs 압력

전자 ν_m—
μₑ · Dₑ—
μᵢ · Dᵢ—
D_a—
u_d,e · u_d,i—
전자 νm=Kel(Te) ng\nu_m = K_{el}(T_e)\,n_g(PL-300 표의 Ar 탄성 계수), 이온 μi=0.116/p\mu_i = 0.116/p m²/(V s)(p는 Torr). 세 직선 모두 1/p에 비례한다. 해볼 것: ① IC 기준 10 mTorr, Tₑ = 2.5 eV에서 De≈1.4×104D_e \approx 1.4\times10^4, Da≈29D_a \approx 29 m²/s — 양극성 확산이 전자 자유 확산보다 약 500배 느리다. ② Tₑ를 올리면 DaD_a는 Tₑ에 비례해 커지지만 DiD_i는 그대로다. ③ 전기장을 100 V/m로 올리면 전자 표류 속도가 수백 km/s로 열속도에 가까워진다 — 그때는 전자가 가열되어 선형 식(μ\mu 일정)이 무너진다. 이온은 1 km/s 남짓이다.

양극성 확산: 전자와 이온은 함께 벽으로 간다

플라즈마 덩어리가 확산하면 전자가 훨씬 빨리 퍼지려 한다(De≫DiD_e \gg D_i). 그러나 전자가 조금만 앞서도 뒤에 양전하가, 앞에 음전하가 남아 강한 전기장이 생긴다. 데바이 길이가 플라즈마 크기보다 훨씬 짧으면 아주 작은 전하 분리로도 충분한 장이 생겨, 이 양극성 전기장(ambipolar field)이 전자를 붙잡고 이온을 밀어 두 플럭스를 같게 만든다. Γe=Γi\Gamma_e = \Gamma_i, ne=ni=nn_e = n_i = n을 놓고 풀면 다음과 같다.

Ea=Di−Deμi+μe∇nn,Γ=−Da∇n,Da=μiDe+μeDiμi+μe≈Di(1+TeTi)≈μiTeeE_a = \frac{D_i - D_e}{\mu_i+\mu_e}\frac{\nabla n}{n},\qquad \Gamma = -D_a\nabla n,\qquad D_a = \frac{\mu_i D_e + \mu_e D_i}{\mu_i + \mu_e} \approx D_i\left(1+\frac{T_e}{T_i}\right) \approx \frac{\mu_i T_e}{e}
근사는 μe≫μi\mu_e \gg \mu_i일 때다. 전자는 거의 볼츠만 평형(Ea≈−(Te/e)∇n/nE_a \approx -(T_e/e)\nabla n/n)에 있고, 이온은 그 장에 끌려 DiD_i보다 Te/TiT_e/T_i배(약 100배) 빨리 나간다. 플라즈마 전체는 전자 자유 확산보다 μe/μi\mu_e/\mu_i만큼 느리게 잃는다. 양극성 전기장이 벽 쪽 예비 시스로 이어져 이온을 보옴 속도까지 가속한다(7장).
n(x): 가운데 밀도 높음 E_a (바깥쪽)E_a 전자: 장이 붙잡음이온: 장이 밀어 줌 Γₑ = Γᵢ → 둘 다 D_a ≈ μᵢTₑ/e 로 확산 φ(x)는 가운데가 가장 높다 (전위 언덕)
그림 6-3. 양극성 확산. 플라즈마 가운데가 양의 전위 언덕이 되어 바깥쪽 전기장 EaE_a가 생긴다. 이 장은 빠른 전자를 안쪽으로 되돌리고 느린 이온을 바깥으로 밀어, 두 플럭스를 같게 만든다.
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양극성 확산 풀이: 전자·이온 표류-확산 + 포아송 (1D)

전기장
이온 유효 D (측정)—
이론 D_a · Dᵢ—
최대 |nᵢ − nₑ|/n₀—
시간 t·Dₑ/L²—
무차원 식 ∂tne=∂x(neE+∂xne)\partial_t n_e = \partial_x(n_e E + \partial_x n_e), ∂tni=∂x[−(niE−(Ti/Te)∂xni)]/R\partial_t n_i = \partial_x[-(n_i E - (T_i/T_e)\partial_x n_i)]/R, ∂xE=(ni−ne)/λ~D2\partial_x E = (n_i - n_e)/\tilde\lambda_D^2를 양 끝 흡수 벽(n = 0) 사이에서 시간 전진한다(E는 Tₑ/eL 단위, x는 L 단위). 실선은 이온(빨강)·전자(파랑) 밀도, 아래 선은 전기장이다. 실제 Ar은 μₑ/μᵢ가 수백이지만 계산이 빨리 끝나도록 줄였다. 해볼 것: ① 포아송을 끄면 전자는 빠르게 퍼지고 이온은 제자리에 남는다. ② 켜면 전자가 붙잡혀 이온과 함께 퍼지고, 이온 유효 D가 이론 Da=(1+Ti/Te)/(R+1)D_a = (1+T_i/T_e)/(R+1)(Dₑ 단위)에 가까워진다. ③ λ_D를 키우면 전하 분리가 커지고 양극성 근사가 무너진다.

확산 고유모드: cos과 J₀ 프로파일

양극성 확산과 전리를 함께 쓰면 밀도의 연속 방정식은 ∂n/∂t=Da∇2n+νizn\partial n/\partial t = D_a\nabla^2 n + \nu_{iz} n이다. 벽에서 밀도가 거의 0이라는 경계 조건(고압의 확산 지배 영역)을 두면 해는 공간 고유모드의 합이다. 높은 모드일수록 빨리 사라지고, 오래 지나면 가장 낮은 기본 모드만 남는다. 슬래브와 유한 원통의 기본 모드는 다음과 같다.

n(x)=n0cos⁡πxL    (슬래브),n(r,z)=n0 J0 ⁣(2.405 rR)cos⁡πzL    (원통),1Λ2=(2.405R)2+(πL)2n(x) = n_0\cos\frac{\pi x}{L}\;\;(\text{슬래브}),\qquad n(r,z) = n_0\,J_0\!\left(\frac{2.405\,r}{R}\right)\cos\frac{\pi z}{L}\;\;(\text{원통}),\qquad \frac{1}{\Lambda^2} = \left(\frac{2.405}{R}\right)^2+\left(\frac{\pi}{L}\right)^2
2.405는 J0J_0의 첫 영점. Λ는 확산 길이(diffusion length)다. 생성이 없으면 밀도는 e−t/τe^{-t/\tau}, τ=Λ2/Da\tau = \Lambda^2/D_a로 감쇠한다(잔광, 12장). 정상 상태가 되려면 νiz=Da/Λ2\nu_{iz} = D_a/\Lambda^2이어야 하고, 이 조건이 Tₑ를 정한다(쇼트키 조건; 5장 양광주와 같은 식).
기본 cos(πx/L) 고차 모드: (2k+1)²배 빨리 감쇠 벽 −L/2벽 +L/2 J₀(2.405 r/R) 웨이퍼 끝 r = 150 mm (R = 250 mm) 축 r = 0벽 r = R 고압 확산 지배: 웨이퍼 끝에서 중심의 약 54 %
그림 6-4. 확산 고유모드. 왼쪽: 슬래브의 기본 cos 모드와 3차 모드. 오른쪽: 원통의 반지름 방향 J₀ 모드. 같은 형상이 고압의 확산 지배 영역에서 정해지는 밀도 모양이다. PL-300 IC 챔버(R = 250 mm)라면 웨이퍼 끝(150 mm)에서 J₀ ≈ 0.54로 크게 처진다 — 저압에서 더 평평해지는 이유는 가장자리 비 절에서 본다.
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고유모드 풀이: 어떤 초기 모양도 기본 모드로 간다

형상
초기 프로파일
t/τ—
기본 모드 비중—
감쇠율 측정 · 1/τ—
Λ (반폭 1 단위)—
∂tn=D∇2n\partial_t n = D\nabla^2 n(원통은 1r∂r(r∂rn)\frac{1}{r}\partial_r(r\partial_r n))를 벽 n = 0으로 양해 차분한다. 실선은 현재 밀도를 최댓값으로 나눈 모양, 점선은 기본 모드, 오른쪽 위 작은 그래프는 총 입자 수의 로그(기울기 = 감쇠율)다. 해볼 것: ① 균일한 초기 밀도는 0.1τ 안에 벽 근처가 깎여 cos/J₀ 모양이 된다. ② "가장자리 고리"(ICP 코일 아래처럼 바깥에서 생성된 플라즈마)도 τ 정도 지나면 가운데가 볼록해진다 — 생성 위치보다 확산이 모양을 정한다. ③ 생성을 켜면 감쇠가 멈추고 기본 모드로 정상 상태가 된다.

확산 길이와 손실 시간: 크기·압력·기체

τ=Λ2/Da\tau = \Lambda^2/D_a는 이온 하나가 벽까지 가는 평균 시간이다. Da≈μiTe/e∝Te/pD_a \approx \mu_i T_e/e \propto T_e/p이므로 τ는 압력에 비례하고 크기의 제곱에 비례한다. 무거운 이온(Xe⁺)은 이동도가 작아 더 오래 머문다. 정상 상태에서는 이 손실을 이온화가 메워야 하므로, 압력이 낮거나 챔버가 작을수록(손실이 빠를수록) 더 높은 Tₑ가 필요하다. 이것이 "압력 ↓ → Tₑ ↑"의 출발점이다(8장에서 저압 보정까지 넣어 다시 푼다).

τ=Λ2Da=Λ2 p(μip) Te,Kiz(Te) ng=DaΛ2    ⟹    Te=f(pΛ)\tau = \frac{\Lambda^2}{D_a} = \frac{\Lambda^2\,p}{(\mu_i p)\,T_e},\qquad K_{iz}(T_e)\,n_g = \frac{D_a}{\Lambda^2}\;\;\Longrightarrow\;\; T_e = f(p\Lambda)
PL-300 IC 챔버(R = 0.25 m, L = 0.10 m): 1/Λ2=92.5+9871/\Lambda^2 = 92.5 + 987 m⁻², Λ≈30\Lambda \approx 30 mm. 축 방향(높이 10 cm)이 손실을 지배한다. Ar 10 mTorr, Tₑ = 2.5 eV에서 Da≈29D_a \approx 29 m²/s, τ≈32\tau \approx 32 µs. 이온 환산 이동도 μip\mu_i p: He⁺/He 약 0.79, Ar⁺/Ar 약 0.116, Xe⁺/Xe 약 0.044 m² Torr V⁻¹s⁻¹.
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확산 손실 시간과 쇼트키 Tₑ: 챔버 크기·압력·기체

강조 기체
Λ—
D_a—
τ = Λ²/D_a—
쇼트키 Tₑ (Ar)—
λᵢ / Λ—
위 그래프: 세 기체의 τ(p)(강조 기체 굵게). 아래 그래프: Ar의 쇼트키 Tₑ(p) — Kiz(Te)ng=μiTe/Λ2K_{iz}(T_e)n_g = \mu_i T_e/\Lambda^2를 이분법으로 푼 값(PL-300 Kiz). λi/Λ\lambda_i/\Lambda가 0.1을 넘는 저압 쪽(음영)은 벽 밀도 0 가정이 틀어져 τ가 과대, Tₑ가 과대 추정된다. 그 영역은 다음 절의 hh 인자를 쓴다. 해볼 것: ① IC 조건(10 mTorr)에서 λᵢ/Λ ≈ 0.1 — 이미 경계다. ② 높이 L을 반으로 줄이면 τ가 약 1/4이 되고 Tₑ가 오른다. ③ He는 τ가 Ar의 약 1/7이다.

저압의 가장자리 비 h_L, h_R과 유효 길이 d_eff

공정 플라즈마는 대부분 이온 평균 자유 행로 λi\lambda_i가 챔버 크기의 수 % 이상인 저압에서 돈다. 이때 밀도는 벽에서 0이 되지 않는다. 이온은 벽 앞 예비 시스에서 보옴 속도 uB=eTe/Mu_B = \sqrt{eT_e/M}까지 가속되어 시스로 들어가고(7장), 벽 플럭스는 Γwall=nsuB\Gamma_{wall} = n_s u_B이다. 시스 끝 밀도 nsn_s와 중심 밀도 n0n_0의 비가 가장자리 비(edge-to-centre ratio) hh다. 고압(확산 지배)에서는 h→0h\to 0이고 저압(자유 낙하)에서는 0.4–0.5에 가깝다. 고드약과 리버만은 두 극한을 잇는 식을 냈다.

hL=ns,axialn0≈0.863+L/(2λi),hR=ns,radialn0≈0.84+R/λi,λi=1ngσih_L = \frac{n_{s,axial}}{n_0} \approx \frac{0.86}{\sqrt{3 + L/(2\lambda_i)}},\qquad h_R = \frac{n_{s,radial}}{n_0} \approx \frac{0.8}{\sqrt{4 + R/\lambda_i}},\qquad \lambda_i = \frac{1}{n_g\sigma_i}
σi≈1×10−18\sigma_i \approx 1\times10^{-18} m²(Ar⁺-Ar, PL-300 공통값), 1 mTorr에서 ng≈3.2×1019n_g \approx 3.2\times10^{19} m⁻³ → λi≈31\lambda_i \approx 31 mm/p[mTorr]. 식은 Ti≪TeT_i \ll T_e, 등온 이온 확산, 균일 이온화를 가정한 보간식이라 오차는 약 10–20 %다.

원통 챔버의 전체 이온 손실은 ΓA=n0uB(2πR2hL+2πRLhR)\Gamma A = n_0 u_B(2\pi R^2 h_L + 2\pi R L h_R)이다. 이것을 "중심 밀도 × 보옴 속도 × 유효 면적" n0uBAeffn_0 u_B A_{eff}으로 쓰고, 부피와의 비로 유효 플라즈마 길이 deffd_{eff}를 정의한다. 8장 전역 모델의 입자 균형 Kiz/uB=1/(ngdeff)K_{iz}/u_B = 1/(n_g d_{eff})과 전력 균형 P=en0uBAeffETP = e n_0 u_B A_{eff}\mathcal{E}_T이 바로 이 두 양을 쓴다(8장).

Aeff=2πR2hL+2πRLhR,deff=VAeff=RL2 (RhL+LhR)A_{eff} = 2\pi R^2 h_L + 2\pi R L h_R,\qquad d_{eff} = \frac{V}{A_{eff}} = \frac{R L}{2\,(R h_L + L h_R)}
IC 챔버 Ar 10 mTorr: λi≈3.1\lambda_i \approx 3.1 mm, hL≈0.20h_L \approx 0.20, hR≈0.087h_R \approx 0.087, Aeff≈0.091A_{eff} \approx 0.091 m², deff≈0.22d_{eff} \approx 0.22 m. 실제 벽 면적(0.55 m²)의 약 1/6만 "중심 밀도로 보옴 손실"하는 셈이다.
세라믹 창 (z = L)웨이퍼·척 (z = 0) 중심 n₀ n_s = h_L n₀h_L n₀ h_R n₀ R = 0.25 m, L = 0.10 m (IC 모듈, 반단면) h n₀ n(z)/n₀ 저압: 평평, 벽 앞 h ≈ 0.2–0.5 고압: cos, 벽 앞 h → 0
그림 6-5. 가장자리 비. 왼쪽: 원통 챔버의 위·아래 면은 hLh_L, 옆면은 hRh_R로 중심 밀도와 이어진다. 오른쪽: 고압에서는 확산 지배 cos 모양(벽 밀도 ≈ 0), 저압에서는 가운데가 평평하고 벽 앞 밀도가 중심의 수십 %다.
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h_L · h_R · d_eff 계산기 (PL-300 IC 챔버)

λᵢ—
h_L · h_R—
A_eff / A_wall—
d_eff—
Tₑ (입자 균형)—
왼쪽 위: hL,hRh_L, h_R, 왼쪽 아래: deffd_{eff}의 압력 의존. 오른쪽(좁은 화면은 맨 아래): 축 방향 밀도 모양(개략: 같은 hLh_L을 주는 1−(1−hL)∣2z/L∣k1-(1-h_L)|2z/L|^k, 저압일수록 k가 커서 평평)과 고압 cos 비교. Tₑ는 8장 입자 균형 Kiz(Te)/uB(Te)=1/(ngdeff)K_{iz}(T_e)/u_B(T_e) = 1/(n_g d_{eff})을 PL-300 Kiz로 푼 미리보기다. 해볼 것: ① IC 기준에서 d_eff ≈ 0.22 m, Tₑ ≈ 2.5 eV — PL-300 표의 값과 맞는다. ② 압력을 2 mTorr로 내리면 h가 커지고 d_eff가 줄어 Tₑ가 오른다. 50 mTorr로 올리면 반대다. ③ CP 형상은 간격이 25 mm라 d_eff가 약 5 cm로 작다. 압력이 3배 높아도 ngdeffn_g d_{eff}가 IC보다 작아 Tₑ가 약 2.6 eV로 조금 높다(PL-300 CP의 약 3 eV는 여기에 시스 가열 효과가 더해진 값, 9장).
IC 챔버의 수송 숫자 한 줄Ar 10 mTorr, Tₑ ≈ 2.5 eV: 이온 평균 자유 행로 3.1 mm(챔버 높이의 1/30), 전자 νm≈3×107\nu_m \approx 3\times10^7 s⁻¹, De≈1.4×104D_e \approx 1.4\times10^4 m²/s, Da≈29D_a \approx 29 m²/s, 확산 길이 30 mm, 확산식 손실 시간 약 32 µs. 저압 보정을 넣으면 hL≈0.20h_L \approx 0.20, hR≈0.087h_R \approx 0.087, deff≈0.22d_{eff} \approx 0.22 m이고, 이 deffd_{eff}로 입자 균형을 풀면 Tₑ ≈ 2.5 eV, 보옴 속도 약 2.4 km/s로 PL-300 표와 일치한다. 손실이 위·아래 면(웨이퍼와 창)에 몰린다는 점(RhL≫LhRR h_L \gg L h_R)이 웨이퍼 이온 플럭스가 큰 이유다. 반면 반지름 방향 밀도는 확산만으로는 웨이퍼 끝(150 mm)에서 중심의 약 50–70 %로 처진다. ±3 % 균일도는 코일 배치로 가장자리 생성을 늘려 맞춘다(10장).

자기장 속 수송: 라모어 반지름과 홀 파라미터

자기장 BB에서 전하는 자기력선 둘레를 사이클로트론 주파수 ωc=∣q∣B/m\omega_c = |q|B/m, 라모어 반지름 rL=mv⊥/∣q∣Br_L = m v_\perp/|q|B로 돈다. 자기력선을 따라서는 자유롭게 움직이지만, 가로지르려면 충돌로 회전 중심을 옮겨야 한다. 충돌 한 번에 약 rLr_L만큼 옮기므로 가로 확산은 크게 줄어든다. 자화 정도는 홀 파라미터 h=ωc/νmh = \omega_c/\nu_m(충돌 사이 회전 각도)로 잰다.

D⊥=D1+(ωc/νm)2,μ⊥=μ1+(ωc/νm)2,D∥=D,rL=2m kT∣q∣BD_\perp = \frac{D}{1+(\omega_c/\nu_m)^2},\qquad \mu_\perp = \frac{\mu}{1+(\omega_c/\nu_m)^2},\qquad D_\parallel = D,\qquad r_L = \frac{\sqrt{2 m\,kT}}{|q|B}
h≫1h \gg 1이면 D⊥≈Dνm2/ωc2=rL2νm/2D_\perp \approx D\nu_m^2/\omega_c^2 = r_L^2\nu_m/2(고전 확산, ∝1/B2\propto 1/B^2). 실제 강자화 플라즈마에서는 요동 때문에 보옴 확산 DB=kTe/16eBD_B = kT_e/16eB(∝1/B\propto 1/B)만큼 빠르게 새는 일이 흔하다. 자기장이 E\mathbf{E}와 직교하면 전하는 E×B/B2\mathbf{E}\times\mathbf{B}/B^2로 표류한다(5장 마그네트론).

숫자로 보면 차이가 극명하다. B = 100 G(0.01 T)에서 3 eV 전자는 rL≈0.6r_L \approx 0.6 mm, ωce≈1.8×109\omega_{ce} \approx 1.8\times10^9 s⁻¹이고 10 mTorr의 νm≈4×107\nu_m \approx 4\times10^7 s⁻¹보다 40배 이상 크다 — 강하게 자화된다. 같은 B에서 상온 Ar⁺은 rL≈1.5r_L \approx 1.5 cm, ωci≈2.4×104\omega_{ci} \approx 2.4\times10^4 s⁻¹로 충돌 주파수(약 10⁵ s⁻¹)보다 작아 자화되지 않는다. 그래서 대부분의 공정 장비 자기장(수십–수백 G)은 전자만 붙잡고, 이온은 양극성 장을 통해 간접적으로 영향을 받는다.

B ⊙ (지면 밖) — 전자 회전 + 충돌 r_L 충돌마다 회전 중심이 ~r_L씩 이동 → D⊥ ≈ r_L²ν/2 같은 B = 100 G, Ar 10 mTorr 전자 r_L 0.6 mmh ≈ 40 (자화) 이온 r_L 1.5 cmh ≈ 0.2 (비자화) (실제 반지름 비는 약 25배)
그림 6-6. 자기장 속 수송. 왼쪽: 전자는 작은 원을 그리며 돌고, 충돌할 때만 회전 중심이 옮겨 가 가로 확산이 1/(1+h2)1/(1+h^2)로 느려진다. 오른쪽: 같은 자기장에서 전자와 이온의 라모어 반지름은 수십 배 다르다.
SIMULATOR

자기장 가로 확산 몬테카를로 + 라모어 계산기

입자
r_L—
ω_c · ν_m—
홀 파라미터 h—
D⊥/D 이론—
D⊥/D 측정 (MC)—
자기장에 수직한 평면에서 입자 400개를 ωc\omega_c로 회전시키고 확률 νmdt\nu_m dt로 충돌(속도를 맥스웰 분포에서 새로 뽑음)시킨다. 시간은 1/ν, 길이는 vth/νv_{th}/\nu 단위다. 회색 원은 자기장 없는 구름이 같은 시간에 퍼질 크기, 굵은 선은 입자 하나의 궤적이다. MC는 h ≤ 30까지만 그대로 계산하고 그 이상은 30으로 둔다(이론값은 그대로 표시). 전자 ν_m은 PL-300 Ar KelK_{el}, 이온은 ngσivˉin_g\sigma_i\bar v_i(Tᵢ = 0.026 eV)로 계산한다. 해볼 것: ① 전자, 10 mTorr에서 B를 10 G → 100 G로 올리면 h가 약 4에서 40으로, D⊥/D가 약 0.05에서 약 6×10⁻⁴로 거의 100배 준다(∝1/B2\propto 1/B^2). ② Ar⁺로 바꾸면 같은 B에서 h ≪ 1 — 이온은 자화되지 않는다. ECR 공명 자기장 875 G까지 올리면 이온도 h ≈ 16(10 mTorr), 압력이 낮으면 그 이상이 되어 자화되기 시작한다.
다극 커스프 벽 NSNSNS 벽 근처 B만 강함 마그네트론 E×B 고리에 전자 가둠 ECR (2.45 GHz) B = 875 G 공명면 ω = ω_ce에서 전자 가열 발산 자기장이 플라즈마를 웨이퍼로 안내
그림 6-7. 공정 장비의 자기 가둠. 다극 커스프는 벽 근처에만 강한 자기장을 두어 전자 손실을 줄이고 가운데는 자기장 없는 균일 플라즈마를 만든다. 마그네트론은 E×B 고리로, ECR은 공명 자기장으로 전자를 가두거나 가열한다(10장).

손잡이와 결과: 수송이 정하는 프로파일과 손실

조건 (손잡이)수송 계수밀도 프로파일손실·Tₑ
압력 ↑μ, D, D_a ∝ 1/p, λᵢ ↓h ↓, cos/J₀에 가까워져 가운데 볼록손실 시간 ↑, d_eff ↑ → Tₑ ↓
압력 ↓ (λᵢ ≳ 챔버의 수 %)이온 고전장 영역, μᵢ ∝ E^(−1/2)평평, 벽 앞 h ≈ 0.2–0.5손실 빠름 → Tₑ ↑, 이온 플럭스 비중 ↑
무거운 기체 (Ar → Xe)μᵢ ↓, u_B ↓모양은 비슷τ ↑, 같은 전력에서 n ↑, Tₑ ↓
가벼운 기체 (He, H₂)μᵢ ↑ (He 약 7배)모양은 비슷손실 빠름 → Tₑ ↑
챔버 높이 L ↓ (간격 좁힘)—축 방향 Λ ≈ L/π 지배d_eff ↓ → Tₑ ↑, 벽 손실 ↑
반지름 R ↑ (웨이퍼 대비)—웨이퍼 위가 J₀의 평평한 부분반경 균일도 ↑, 부피·전력 ↑
Tₑ ↑ (생성 쪽 변화)D_a ∝ Tₑ양극성 장 ↑보옴 손실 ↑
자기장 B ↑D⊥ ∝ 1/(1+h²) (전자), 이온은 거의 그대로자기력선 따라 길게, 가로로 좁게벽 손실 ↓, 저압 운전 가능
전기 음성 기체 (음이온 생성)D_a ↓ (음이온이 양극성 장을 줄임)음이온은 가운데에 갇힘8장 전기 음성 플라즈마
더 읽을거리벽 앞 시스와 보옴 기준은 7장, hh와 deffd_{eff}를 쓰는 입자·전력 균형은 8장, 표류-확산 유체 모델의 수치 풀이는 16장에서 이어진다. 공정 쪽 균일도는 EtchBook 반응기, 증착 균일도는 ThinFilmBook 균일도를 보자.

핵심 정리

  1. 충돌이 주는 마찰로 표류 속도 ud=μEu_d = \mu E, 이동도 μ=e/mνm\mu = e/m\nu_m, 확산 계수 D=kT/mνmD = kT/m\nu_m이 정해진다. 아인슈타인 관계 D/μ=kT/eD/\mu = kT/e. 모두 1/p에 비례한다.
  2. 플럭스 Γ=±nμE−D∇n\Gamma = \pm n\mu E - D\nabla n. 전자 플럭스가 0이면 볼츠만 관계가 된다.
  3. 양극성 확산: 전자가 앞서 나가려 하면 생기는 양극성 장이 두 플럭스를 같게 만든다. Da≈Di(1+Te/Ti)≈μiTe/eD_a \approx D_i(1+T_e/T_i) \approx \mu_i T_e/e — 전자 자유 확산보다 수백 배 느리다.
  4. 고압 확산 지배의 밀도는 기본 모드 cos/J₀ 모양이고, 1/Λ2=(2.405/R)2+(π/L)21/\Lambda^2 = (2.405/R)^2+(\pi/L)^2, 손실 시간 τ=Λ2/Da\tau = \Lambda^2/D_a. IC 챔버 Λ ≈ 30 mm, Ar 10 mTorr τ ≈ 32 µs.
  5. 정상 상태 Kiz(Te)ng=Da/Λ2K_{iz}(T_e)n_g = D_a/\Lambda^2이 Tₑ를 정한다. 압력이나 크기가 작을수록 Tₑ가 높다.
  6. 저압에서는 벽 앞 밀도가 중심의 hL≈0.86/3+L/2λih_L \approx 0.86/\sqrt{3+L/2\lambda_i}, hR≈0.8/4+R/λih_R \approx 0.8/\sqrt{4+R/\lambda_i}배다. deff=RL/2(RhL+LhR)d_{eff} = RL/2(Rh_L+Lh_R): IC 10 mTorr에서 약 0.22 m, 이것으로 8장 입자 균형을 풀면 Tₑ ≈ 2.5 eV.
  7. 자기장은 홀 파라미터 h=ωc/νmh = \omega_c/\nu_m가 1보다 큰 입자만 붙잡는다. 공정 자기장에서 전자는 강하게 자화(D⊥∝1/h2D_\perp \propto 1/h^2)되지만 이온은 거의 자화되지 않는다.

확인 퀴즈

1. Tₑ = 4 eV인 전자의 이동도가 5×1035\times10^3 m²/(V s)일 때 확산 계수는?

아인슈타인 관계 D=μ kT/e=5×103×4=2×104D = \mu\,kT/e = 5\times10^3 \times 4 = 2\times10^4 m²/s. 충돌 주파수는 μ와 D 모두에 같이 들어가 비에서 사라진다.

2. 양극성 확산 계수에 대해 옳은 것은? (Tₑ ≫ Tᵢ, μₑ ≫ μᵢ)

Da≈Di(1+Te/Ti)D_a \approx D_i(1+T_e/T_i). Tₑ = 2.5 eV, Tᵢ = 0.026 eV면 Dᵢ의 약 100배이지만 Dₑ보다는 수백 배 작다. 양극성 장이 이온을 밀고 전자를 붙잡기 때문이다.

3. 원통 챔버 R = 0.25 m, L = 0.10 m에서 확산 길이 Λ를 정하는 데 주로 기여하는 것은?

(2.405/0.25)² ≈ 93 m⁻², (π/0.10)² ≈ 987 m⁻²로 축 방향이 10배 크다. 납작한 챔버는 위아래로 잃는다. 그래서 웨이퍼(아래 면)로 가는 이온 플럭스가 크다.

4. 플라즈마를 끈 뒤 밀도가 확산으로 e−t/τe^{-t/\tau}처럼 감쇠한다. 압력을 두 배로 올리면 τ는? (Tₑ 같음)

τ=Λ2/Da\tau = \Lambda^2/D_a이고 Da∝1/pD_a \propto 1/p이므로 τ ∝ p. 실제 잔광에서는 Tₑ도 급히 떨어져 DaD_a가 더 줄므로 감쇠가 더 느려진다(12장).

5. IC 챔버(R = 0.25 m, L = 0.10 m) Ar 10 mTorr에서 λᵢ ≈ 3.1 mm일 때 h_L은 대략?

hL=0.86/3+0.10/(2×0.0031)=0.86/19.1≈0.20h_L = 0.86/\sqrt{3 + 0.10/(2\times0.0031)} = 0.86/\sqrt{19.1} \approx 0.20. 벽 앞 밀도가 중심의 약 1/5이다.

6. B = 100 G인 영역(Ar 10 mTorr)에서 옳은 설명은?

ωc∝1/m\omega_c \propto 1/m이라 전자 사이클로트론 주파수가 이온보다 7만 배 이상 크다. 전자 r_L ≈ 0.6 mm, 이온 r_L ≈ 1.5 cm. 이온은 충돌 사이 한 바퀴도 못 돈다.

7. 같은 IC 챔버를 2 mTorr로 운전하면 10 mTorr에 비해 어떻게 되는가?

λᵢ가 15 mm로 길어져 hL≈0.34h_L \approx 0.34, hR≈0.18h_R \approx 0.18로 커지고 deffd_{eff}는 약 0.12 m로 준다. 입자 균형 Kiz/uB=1/(ngdeff)K_{iz}/u_B = 1/(n_g d_{eff})에서 ngdeffn_g d_{eff}가 약 10배 작아지므로 Tₑ가 약 3.5 eV로 오른다.