Chapter 14

균일도와 로딩

막 두께가 평균으로 맞아도, 웨이퍼 가장자리가 3 % 얇으면 가장자리 다이는 식각 끝점과 CMP 잔막이 어긋난다. 이 장은 “얼마나 고른가”를 재는 지표에서 시작해, 웨이퍼 한 장 안(온도·유동·플라즈마), 웨이퍼 사이(배치 고갈·틈 확산), 그리고 패턴 밀도(로딩)가 만드는 두께 차이를 계산한다. 원인마다 돌려야 할 장비 손잡이(구역 히터, 샤워헤드 구멍 분포, 웨이퍼 간격, 회전)가 다르다. 반응 제한·수송 제한의 구분(9장)과 반응기 구조(10장)를 바탕으로 한다.

1σ %, 범위/2평균, (최대−최소)/(최대+최소) 지표를 계산하고, 측정점 수와 가장자리 제외가 숫자를 어떻게 바꾸는지 설명할 수 있다.
반응 제한 공정의 온도 민감도 $E_a/kT^2$ 로 두께 균일도 사양을 웨이퍼 온도 사양으로 바꿀 수 있다.
샤워헤드 반응기의 대류-확산-반응 방정식을 풀어 구멍 분포·간격·압력이 반지름 분포에 주는 영향을 설명할 수 있다.
다구역 히터의 영향 함수로 최소 제곱 보정을 하고, 배치 퍼니스의 구역 온도를 자동 보정할 수 있다.
배치 웨이퍼 틈 안의 반응물 확산을 틸레 계수로 계산해 웨이퍼 간격·압력의 한계를 구할 수 있다.
회전 평균, 미시·거시 로딩, 가장자리 효과의 원인과 대책을 설명할 수 있다.

균일도를 재는 법: 지표·측정점·가장자리 제외

두께 균일도는 측정점 $t_1 \dots t_n$ 으로 계산한다. 가장 흔한 세 지표는 다음과 같다. 같은 웨이퍼라도 지표에 따라 숫자가 두세 배 다르므로, 사양을 읽을 때 어떤 지표인지, 몇 점인지, 가장자리 몇 mm를 뺐는지를 반드시 확인한다.

U_{1\sigma} = \frac{\sigma}{\bar t}\times100\,\%,\qquad U_{R} = \frac{t_{\max} - t_{\min}}{2\,\bar t}\times100\,\%,\qquad U_{MM} = \frac{t_{\max} - t_{\min}}{t_{\max} + t_{\min}}\times100\,\%

\sigma

는 표준 편차,

\bar t

는 평균. 정규 분포 잡음만 있다면 49점에서

U_R \approx 2.2\,U_{1\sigma}

정도다. 범위 지표는 최악의 한 점에 민감하고, 1σ는 넓게 퍼진 경향에 민감하다. TF-300 목표: 퍼니스 산화 ≤ 0.5 %, PECVD ≤ 1.5 %, ALD ≤ 1 %(모두 1σ, 3 mm 가장자리 제외).

그림 14-1. 대표적인 측정점 배치. 점선은 가장자리 제외(EE) 경계(과장). 49점은 반지름 0, 1/3, 2/3, 끝(EE 안쪽) 네 고리에 1·8·16·24점을 둔다. 측정 장비는 16장에서 다룬다.

SIMULATOR

웨이퍼 두께 지도와 균일도 지표 계산기

돔(+)/보울(−) 4차 성분 ρ⁴ (가장자리 급변) 기울기 가장자리 롤오프 무작위 잡음 1σ 가장자리 제외 EE

측정점

평균—

1σ % (측정점)—

범위/2평균—

(최대−최소)/(최대+최소)—

1σ % (전체 지도, EE 안)—

왼쪽: 두께 지도(빨강 = 두꺼움, 파랑 = 얇음, 평균 100 nm)와 측정점. 오른쪽: 측정점의 반지름별 두께(점)와 방위 평균 분포(선). 모델

t = 100[1 - a_2(\rho^2 - \tfrac12) + a_4(\rho^4 - \tfrac13) + b\rho\cos\theta - e\,e^{-(R-r)/2\,\text{mm}}] + \varepsilon

. 해볼 것: ① EE를 3→1 mm로 줄이면 롤오프가 고스란히 들어와 범위 지표가 크게 나빠진다. ② 9점은 기울기를 거의 못 본다 — 기울기를 2 %로 올리고 9점과 121점을 비교. ③ 잡음만 남기면 범위/2평균 ≈ 2.2 × 1σ.

분포의 모양이 원인을 말한다

지표 하나보다 분포의 모양이 더 많은 것을 알려 준다. 중심이 두꺼운 돔, 가장자리가 두꺼운 보울, 반지름 중간이 솟은 M자, 한쪽으로 기운 경사, 가장자리 몇 mm에서 떨어지는 롤오프는 각각 전형적인 원인이 있다. 엔지니어는 지도를 보고 원인을 짐작해 해당 손잡이를 돌린다.

그림 14-2. 두께 분포의 대표 모양과 흔한 원인. 반지름 대칭 성분(돔·보울·M·W)은 구역 히터·샤워헤드로, 비대칭 성분(경사)은 회전·펌핑으로, 롤오프는 에지 링·가장자리 열 관리로 다룬다.

균일도 계층	정의	주요 원인	대표 손잡이
WIW 웨이퍼 안	한 장 안 49점 1σ	온도 분포, 유동·고갈, 플라즈마 분포, 가장자리	다구역 히터, 샤워헤드 구멍 분포·간격, 에지 링, 회전
WTW 웨이퍼 사이	한 배치·연속 웨이퍼의 평균 산포	배치 고갈, 적재 위치, 챔버 첫 장 효과	구역 온도 경사, 더미 배치, 시즌·컨디셔닝
LTL 로트 사이	로트 평균의 시간 산포	챔버 벽 누적, 부품 마모, 원료 변동	세정 주기, 런투런 제어(16장)
WID 다이 안	패턴 밀도에 따른 국부 차	미시 로딩, 피복성	반응 제한 조건, 더미 패턴

웨이퍼 온도 분포 → 두께 분포

반응 제한 공정에서 두께는 $k_s \propto e^{-E_a/kT}$ 를 그대로 따른다. 작은 온도 차 $\Delta T$ 에 대해 두께의 상대 변화는 $E_a/kT^2$ 에 비례하는데, 그로브 모델로 일반화하면 수송 성분이 그 민감도를 $1/(1+\mathrm{Da})$ 만큼 깎아 준다.

\frac{\Delta t}{t} \approx S_T\,\Delta T,\qquad S_T = \frac{E_a}{kT^2}\cdot\frac{1}{1+\mathrm{Da}}

LPCVD 폴리(1.7 eV, 893 K, Da ≈ 0):

S_T

≈ 2.5 %/K. 1σ 0.5 %를 지키려면 웨이퍼 안 온도 산포가 약 0.2 K여야 한다. TEOS(1.9 eV, 973 K)는 2.3 %/K. 반대로 PECVD는 온도 의존이 약해(겉보기

E_a

≈ 0.1–0.2 eV)

S_T

≈ 0.3 %/K라서 온도 균일도보다 플라즈마·유동 균일도가 중요하다.

그림 14-3. 웨이퍼 가장자리의 열 균형. 가장자리는 옆으로도 열을 복사해 잃으므로 중심보다 차갑기 쉽고, 반응 제한 공정에서는 그대로 가장자리 얇음(롤오프)으로 나타난다. 퍼니스·RTP의 열 균일도는 5장에서 다룬다.

SIMULATOR

온도 분포 → 두께 분포: 반응 제한과 수송 제한

공정

가장자리 ΔT 분포 지수 (2 = 포물선) 담쾰러 수 Da 두께 사양 (1σ)

온도 민감도 S_T—

두께 1σ—

가장자리/중심—

사양 허용 ΔT—

T(r) = T_0 + \Delta T\,\rho^{n}

, 두께

\propto k_s h_g/(k_s+h_g)

이고

h_g

는 반지름에 일정하다고 가정(면적 가중 1σ). 빨강 점선: 온도(오른쪽 축). 해볼 것: ① 폴리에서 가장자리 ΔT = −1 K만으로 1σ가 사양 0.5 %를 넘는다. ② Da를 10으로 올리면(수송 제한) 같은 ΔT의 영향이 10분의 1로 준다 — 대신 유동이 균일도를 정한다(다음 절). ③ PECVD는 몇 K 차이에도 둔감하다.

유동과 고갈: 샤워헤드 반지름 분포

샤워헤드 반응기(10장 3절)에서 기체는 면 전체에서 주입되고 반지름 방향으로 빠져나간다. 놀랍게도 구멍 분포·플라즈마·온도가 모두 균일하면, 반응물이 아무리 많이 소모되어도 농도는 어디서나 $C = wC_{\text{in}}/(w + 2k_s)$ 로 같다. 각 위치가 자기 위의 구멍에서 받은 만큼 먹기 때문이다(이 균일 해는 아래 식을 정확히 만족한다). 균일도를 깨는 것은 불균일한 소비(플라즈마 밀도의 중심·가장자리 강화, 웨이퍼 바깥은 웨이퍼가 없어 덜 먹음)와 불균일한 공급(구멍 분포)이다. 이 균형을 축대칭 대류-확산-반응 방정식으로 푼다.

D h\left(C'' + \frac{C'}{r}\right) - h\,u(r)\,C' - \big(w(r) + 2k_s m(r)\big)C + w(r)\,C_{\text{in}} = 0,\qquad h\,u(r) = \frac{1}{r}\int_0^r w(r')\,r'\,dr'

h

는 간격,

w(r)

는 위치별 주입 속도(구멍 분포

w \propto 1 + \beta\rho^2

u(r)

는 반지름 유속,

k_s

는 표면 반응(웨이퍼와 샤워헤드 두 면, 웨이퍼 바깥 링 영역은 웨이퍼 쪽 소비가 15 %),

m(r)

은 플라즈마 밀도 분포(중심 강화 + 전극 가장자리 강화). 경계 조건:

C'(0) = 0

C'(R) = 0

. 증착 속도

\propto k_s m(r) C(r)

. 두 극한: 공급이 넉넉하면(

\mathrm{Da}_I = 2k_s/\bar w \ll 1

) 두께는 플라즈마 분포

m(r)

을 따르고 구멍 분포로는 거의 못 고친다. 공급 제한(

\mathrm{Da}_I \gtrsim 1

)이면 두께는 구멍 분포

w(r)

를 따르므로 β로 고칠 수 있다. 확산(작은 Pe)은 둘 다 반지름 방향으로 뭉갠다.

그림 14-4. 샤워헤드 구멍 분포(점의 밀도 = 주입량). 구멍 분포는 고정된 하드웨어이므로, 공정 개발에서 맞춘 뒤에는 간격·압력·유량·전력으로 미세 조정한다.

SIMULATOR

샤워헤드 반지름 분포 풀이기 (대류-확산-반응)

구멍 분포 β 표면 반응 계수 간격 h 압력 전체 유량 가장자리 플라즈마 강화 중심 플라즈마 강화

두께 1σ (EE 3 mm)—

가장자리/중심—

Pe (가장자리)—

Da_I = 2k_s/w̄—

반응물 이용률—

유한 차분(100칸, 대류는 상류 차분)과 삼중 대각 풀이. 실선: 웨이퍼 두께(평균 = 1), 점선: 기체 농도

C/C_{\text{in}}

, 막대: 구멍 주입 분포

w(r)

. 400 °C·SiH₄ 확산 계수, 전극 반지름 16.5 cm. 해볼 것: ① 플라즈마 강화를 둘 다 0으로 하면

k_s

를 키워 이용률이 50 %를 넘어도 1σ가 0.5 % 안쪽이다(웨이퍼 바깥 링 효과만 남음) — 면 주입의 성질. ② 기본값(중심 +6 %)에서 β 자동 최적화를 누르면 β > 0으로 가장자리 공급을 늘려 0.5 % 아래로 맞춘다. ③

k_s

를 0.3 cm/s로 낮추면(Da_I ≪ 1) β로는 거의 못 고친다 — 그때는 플라즈마 분포(전극·주파수)를 손봐야 한다. ④

k_s

를 30 cm/s로 키우면 웨이퍼 바깥(덜 먹는 링)에서 넘어온 기체로 가장자리가 두꺼워진다.

다구역 히터 보정: 영향 함수와 최소 제곱

매엽 히터는 동심원 2–4구역으로 나뉜다. 구역 $j$ 의 설정을 1 K 바꿨을 때 웨이퍼 반지름 $r$ 의 온도가 얼마나 바뀌는지를 영향 함수(influence function) $\phi_j(r)$ 라 하면, 구역 오프셋 $z_j$ 로 만든 온도는 선형 중첩이다. 목표는 온도(곧 두께)의 면적 가중 분산을 최소로 하는 $z$ 를 찾는 것이고, 이는 3×3 선형 방정식(정규 방정식)이 된다.

T(r) = T_0(r) + \sum_j z_j\,\phi_j(r),\qquad \min_{z}\ \sum_i A_i\big(T(r_i) - \bar T\big)^2 \;\Rightarrow\; (\Phi^{\mathsf T} W \Phi + \lambda I)\,z = -\Phi^{\mathsf T} W\,(T_0 - \bar T_0)

\Phi

는 평균을 뺀 영향 함수 행렬,

W

는 고리 면적 가중치,

\lambda

는 과도한 보정을 막는 작은 정규화 항. 영향 함수는 이웃 구역과 겹치므로 한 구역만 바꾸면 이웃도 따라 움직인다. 실제로는 웨이퍼 열전대(TC 웨이퍼)나 두께 지도로

\phi_j

를 측정해 쓴다.

그림 14-5. 3구역 히터의 영향 함수(개념도). 구역끼리 겹치므로 보정은 독립 손잡이 세 개가 아니라 연립 문제다.

SIMULATOR

3구역 히터 보정: 손으로 맞추기 vs 최소 제곱

Z1 중심 Z2 중간 Z3 가장자리 가장자리 열 손실 공정 활성화 에너지

온도 범위—

두께 1σ—

평균 온도 이동—

상태—

위: 웨이퍼 온도

T(r) - T_{\text{set}}

(실선), 보정 전(점선). 아래: 세 구역의 영향 함수

\phi_j

와 그 기여

z_j\phi_j

. 가장자리 열 손실은

-L\rho^4

. 해볼 것: ① 슬라이더로 직접 1σ를 0.5 % 아래로 맞춰 보자(꽤 어렵다). ② 최소 제곱 보정을 누르면 한 번에 맞는다. ③ 열 손실을 12 K로 키우면 보정 뒤에도 잔차가 남는다. 영향 함수의 모양이 열 손실 모양(가장자리 수 mm에 몰림)을 다 표현하지 못하기 때문이다 — 구역이 많을수록, 가장자리 구역이 좁을수록 작아진다.

웨이퍼 간 균일도: 배치 퍼니스 5구역 자동 보정

FX 퍼니스(150장, 5구역)의 웨이퍼 간 균일도는 10장의 고갈 모델에 구역별 온도 분포를 더해 계산한다. 구역 경계에서는 온도가 부드럽게 이어지고, 보트 양 끝은 열이 새어 차갑다. 그래서 위아래 끝에는 더미 웨이퍼(dummy wafer)를 두고, 위·가운데·아래 모니터 웨이퍼(monitor wafer)의 두께를 측정해 다음 런의 구역 온도를 고친다. 이것을 자동으로 하면 다변수 뉴턴 반복이 된다.

\mathbf G(\mathbf z) \approx \mathbf G(\mathbf z_0) + J\,\Delta\mathbf z,\qquad J_{ij} = \frac{\partial G_i}{\partial z_j},\qquad \Delta\mathbf z = -(J^{\mathsf T}J + \lambda I)^{-1}J^{\mathsf T}\big(\mathbf G - G_{\text{target}}\big)

G_i

는 슬롯

i

의 증착 속도,

z_j

는 구역

j

의 온도 오프셋, 자코비안

J

는 구역 온도를 1 K씩 흔들어 수치로 구한다(가우스-뉴턴, 레벤버그-마콰르트 감쇠

\lambda

). 고갈 때문에 아래 구역을 바꾸면 위 슬롯의 분압도 바뀌므로

J

는 대각 행렬이 아니다.

SIMULATOR

FX 퍼니스 5구역 온도 자동 보정 (가우스-뉴턴)

구역 온도 오프셋 (K, Z1 아래 → Z5 위)

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5

SiH₄ 유량 목표 속도

웨이퍼 간 1σ (제품)—

평균 / 목표—

모니터 상·중·하—

반복 횟수—

입구(Z1) 기준 620 °C, 0.25 Torr 순수 SiH₄. 슬롯 온도는 구역 중심 사이를 부드럽게 잇고(가우스 커널), 양 끝 10슬롯은 열 손실로 최대 −4 K. 실선: 슬롯별 증착 속도, 빨강: 슬롯 온도(오른쪽 축), 점: 모니터 웨이퍼(슬롯 12·70·128). 해볼 것: 자동 보정을 두세 번 누르면 1σ가 1 % 아래로 수렴한다. 목표 속도를 11 nm/min으로 올려 구역 온도가 어떻게 따라가는지 보자. 유량을 500 sccm으로 낮추면 위쪽 구역이 상한에 걸린다.

배치 웨이퍼 틈 확산: 틸레 계수

배치 퍼니스에서 웨이퍼는 약 6 mm 간격으로 마주 보고 서 있다. 반응물은 웨이퍼 둘레에서 틈으로 들어와 중심까지 확산해야 하고, 가는 동안 양쪽 웨이퍼 면에서 소모된다. 이것은 촉매 기공 속 확산-반응과 같은 문제로, 해는 0차 변형 베셀 함수, 지표는 틸레 계수(Thiele modulus) $\phi$ 다.

D_{\text{eff}}\,\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dC}{dr}\right) = \frac{2k_s}{s}\,C \;\Rightarrow\; \frac{C(r)}{C(R)} = \frac{I_0(\phi\,r/R)}{I_0(\phi)},\qquad \phi = R\sqrt{\frac{2k_s}{D_{\text{eff}}\,s}},\qquad \frac{1}{D_{\text{eff}}} = \frac1D + \frac{1}{D_K}

s

는 웨이퍼 사이 틈(피치 − 웨이퍼 두께 0.775 mm),

R

= 15 cm,

D_K = s\bar v/3

는 크누센 확산 계수.

\phi \ll 1

이면 중심/가장자리 비

\approx 1 - \phi^2/4

. TF-300 폴리(620 °C, 0.25 Torr, 피치 6 mm):

D_{\text{eff}} \approx 2{,}800

cm²/s,

\phi \approx 0.3

, 중심이 약 2 % 얇은 보울. 압력을 1 atm으로 올리면

D

가 3,000배 작아져

\phi \approx 15

— 중심에 거의 증착되지 않는다. 대기압에서 웨이퍼를 촘촘히 세울 수 없는 이유다.

그림 14-6. 배치 웨이퍼 틈 안의 확산-반응(두께 과장). 둘레에서 들어온 반응물이 중심으로 가며 소모되어, 반응이 빠를수록(φ↑) 중심이 얇은 보울이 된다.

SIMULATOR

틸레 계수 계산기: 피치·압력·온도와 웨이퍼 안 보울

화학

온도 압력 웨이퍼 피치

D_eff (D, D_K)—

틸레 계수 φ—

중심/가장자리—

웨이퍼 안 1σ—

150장 보트 높이—

위: 두 웨이퍼 사이 틈의 반응물 농도(색 진하기), 아래: 반지름 두께 분포

I_0(\phi r/R)/I_0(\phi)

와 평균 정규화.

k_s

는 9장의 TF-300 아레니우스 값, 웨이퍼 두께 0.775 mm. 해볼 것: ① 폴리 기준에서 압력을 10 Torr로 올리면 보울이 깊어진다. ② 피치를 3 mm로 좁혀 처리량을 두 배로 하면 φ가 약 1.5배 — 균일도 대가를 계산해 보자. ③ 질화막은 온도가 높아 같은 압력에서도 φ가 더 크다.

회전 평균: 비대칭 성분 지우기

펌핑 포트가 한쪽에 있거나 웨이퍼가 살짝 편심되면 두께가 한 방향으로 기운다(경사 성분). 웨이퍼(또는 서셉터)를 회전하면 이 방위각 성분이 시간 평균으로 지워진다. 증착 중 $n$ 바퀴를 돌면 남는 경사 진폭은 sinc 함수를 따른다. 정수 바퀴면 0, 반 바퀴가 남으면 크게 남는다. 짧은 공정(수 초 ALD·PECVD 단계)에서는 증착 시간과 회전 속도를 정수 바퀴로 맞추는 것이 중요하다.

\bar t(\rho,\theta) = t_0\left[1 + b\rho\,\frac{1}{\Theta}\int_0^{\Theta}\cos(\theta - \varphi)\,d\varphi\right],\qquad \frac{b_{\text{잔여}}}{b} = \left|\frac{\sin(\Theta/2)}{\Theta/2}\right|,\qquad \Theta = 2\pi n = 2\pi\,\frac{\text{rpm}\cdot t}{60}

b

는 회전하지 않을 때의 경사 진폭(%),

\Theta

는 증착 동안 돈 각도.

n

이 정수면 잔여 0,

n

= 0.5에서 약 64 %, 1.5에서 약 21 %가 남는다. 반지름 대칭 성분(돔·보울)은 회전으로 바뀌지 않는다.

SIMULATOR

회전 바퀴 수와 남는 경사

정지 시 경사 b 증착 시간 회전 속도 돔 성분 a₂

회전 수 n—

남는 경사—

1σ 정지 → 회전—

왼쪽: 정지 시 / 회전 평균 두께 지도(같은 색 눈금). 오른쪽: 남는 경사 비율

|\mathrm{sinc}|

과 현재 운전점. 해볼 것: 9 s, 10 rpm은 1.5바퀴라 경사의 21 %가 남는다. 버튼으로 시간을 6 s(1바퀴) 또는 12 s(2바퀴)로 맞추면 사라진다. 돔 성분은 회전과 무관하게 남는다.

로딩: 패턴이 반응물을 먹는다

로딩 효과(loading effect)는 웨이퍼 표면적이 반응물 소비를 바꾸어 두께가 달라지는 현상이다. 거시 로딩: 3D 낸드처럼 깊은 패턴이 웨이퍼 전체 표면적을 수십 배로 키우면 같은 레시피에서 평균 속도가 떨어진다(배치에서는 고갈이 심해진다). 미시 로딩: 다이 안에서 패턴 밀도가 높은 블록은 주변보다 반응물을 많이 먹어 그 근처 농도가 떨어지고, 막이 얇아진다. 영향이 미치는 거리는 기체 안 확산 길이 $L_D$ 로 정해진다.

D\delta\,\frac{d^2C}{dx^2} + h_g\big(C_0 - C\big) - k_s A(x)\,C = 0,\qquad A(x) = 1 + (A_f - 1)\,\rho(x),\qquad L_D = \sqrt{\frac{D\delta}{h_g + k_s\bar A}}

\rho(x)

는 패턴 밀도,

A_f

는 패턴 영역의 표면적 배수(트렌치 측벽 포함),

\delta

는 경계층 두께,

h_g

는 위쪽 주 기류에서의 보충. 반응 제한(

k_s\bar A \ll h_g

)이면 농도가 거의 그대로라 로딩이 없고, 수송 제한(래디컬, 큰 부착 계수)이면 밀집 블록이 얇아진다. LPCVD가 패턴 밀도에 둔감하고 PECVD·HDP가 민감한 이유다.

그림 14-7. 미시 로딩(개념도). 밀집 블록이 반응물을 더 많이 먹어 위쪽 농도가 떨어지고, 그 영향은 확산 길이

L_D

정도 옆으로 번진다.

SIMULATOR

미시·거시 로딩: 패턴 밀도와 영역

담쾰러 수 Da 밀집 블록 표면적 배수 밀집 블록 패턴 밀도 확산 길이 척도 웨이퍼 평균 표면적 배수

밀집 vs 고립 두께—

전이 폭 (10–90 %)—

L_D (밀집 위)—

거시 로딩: 평균 속도—

20 mm 구간 가운데 8 mm 폭의 밀집 블록. 위 식을 유한 차분으로 풀었다(양 끝은

C = C_{\text{far}}

). 실선: 윗면 두께(고립 영역 = 1), 점선: 패턴 밀도. 거시 로딩은 웨이퍼 전체 표면적이

M

배일 때

G/G_0 = (1+\mathrm{Da})/(1+\mathrm{Da}\,M)

(경계층 보충 일정 가정). 해볼 것: ① Da = 0.001(LPCVD)에서는

A_f

= 8이어도 차이가 0.5 % 아래다(Da = 10⁻⁴이면

A_f

= 40에서도 약 0.2 %). ② Da = 1(래디컬 증착)이면 밀집 블록이 수십 % 얇다. ③ 확산 길이를 키우면 차이가 넓게 퍼지며 얕아진다 — 다이 크기보다 길면 거시 로딩이 된다.

가장자리 효과와 대책

300 mm 웨이퍼 면적의 약 4 %가 바깥 3 mm에 있고, 가장자리 다이는 수율 손실의 큰 몫이다. 가장자리에서는 여러 원인이 한꺼번에 겹친다. 열(복사 손실, 에지 링과의 간격), 유동(펌핑 링으로 빠지는 가속 흐름, 경계층 변화), 플라즈마(전극 끝 전기장 집중, 쉬스 휨), 그리고 기하(베벨, 노치, 리프트 핀, 클램프 그늘)다. 대책은 원인별로 나뉜다.

그림 14-8. 웨이퍼 가장자리 단면(과장). 에지 링은 열과 쉬스를 웨이퍼 밖까지 이어 주어 “가장자리를 가장자리가 아니게” 만든다. 베벨에 감긴 막은 박리 입자의 원인이 되어 별도로 제거한다.

균일도 예산 짜기PECVD 사양 1.5 %(1σ)를 나눠 보면, 온도(400 °C, 겉보기 0.15 eV → 약 0.3 %/K × 1 K = 0.3 %), 샤워헤드 유동·고갈(0.8 %), 플라즈마 가장자리(0.8 %), 측정 산포(0.3 %)를 제곱합하면

\sqrt{0.3^2+0.8^2+0.8^2+0.3^2} \approx 1.2

%로 여유가 0.3 %다. 반대로 퍼니스 산화 0.5 %는 거의 전부 온도 예산이다(산화 선형 영역 2 eV, 1,000 °C에서 약 1.4 %/K → 0.3 K). 같은 숫자의 사양이라도 지배 원인이 다르면 투자할 하드웨어가 다르다.

핵심 정리

1σ %, 범위/2평균, (최대−최소)/(최대+최소)는 같은 웨이퍼에서 두세 배 다르다. 지표·측정점 수·가장자리 제외를 함께 적는다.
분포의 모양(돔·보울·M·W·경사·롤오프)이 원인을 가리킨다. 반지름 대칭은 구역 히터·샤워헤드, 비대칭은 회전·펌핑, 롤오프는 에지 링·가장자리 구역.
반응 제한 공정의 온도 민감도 $S_T = (E_a/kT^2)/(1+\mathrm{Da})$ : LPCVD 폴리 약 2.5 %/K → 0.5 % 사양은 ±0.2 K.
면 주입 샤워헤드는 소비·공급이 균일하면 고갈이 있어도 균일하다. 불균일은 플라즈마 분포와 구멍 분포에서 오고, 공급 제한일 때만 구멍 분포 β로 보정된다.
다구역 보정은 겹치는 영향 함수의 최소 제곱 문제이고, 배치 퍼니스는 고갈 때문에 구역 사이가 결합된 가우스-뉴턴 문제다.
배치 틈 확산의 틸레 계수 $\phi = R\sqrt{2k_s/(D_{\text{eff}}s)}$ : 저압에서 $\phi \approx 0.3$ , 대기압에서는 수십 — 촘촘한 배치는 저압에서만 가능하다.
회전은 경사를 sinc로 지운다. 정수 바퀴가 아니면 남는다.
로딩은 수송 제한(Da↑)에서 커진다. LPCVD는 패턴에 둔감, 래디컬 증착은 민감하다.

확인 퀴즈

1. 49점 측정에서 평균 100 nm, 최대 102.0 nm, 최소 97.0 nm, 표준 편차 1.1 nm이다. 범위/2평균 균일도와 1σ 균일도는?

범위/2평균 = (102 − 97)/(2 × 100) = 2.5 %, 1σ = 1.1/100 = 1.1 %. 같은 데이터인데 지표에 따라 2배 넘게 다르다.

2. LPCVD 폴리(E_a = 1.7 eV, 893 K, 반응 제한)에서 두께 1σ 0.5 %를 맞추려면 웨이퍼 안 온도 산포는 대략 얼마 이내여야 하는가?

S_T = E_a/kT^2 = 1.7/(8.617\times10^{-5}\times893^2) \approx 0.0247

/K = 2.5 %/K. 0.5 %/2.5 %/K = 0.2 K.

3. 공급 제한( $\mathrm{Da}_I \gtrsim 1$ )인 PECVD에서 플라즈마가 중심에서 강해 가장자리가 얇다. 샤워헤드 구멍 분포를 바꾼다면?

공급 제한이면 각 위치는 자기 위 구멍에서 받은 반응물을 거의 다 먹으므로 두께가 주입 분포

w(r)

를 따른다. 가장자리에 구멍을 더 뚫으면(β > 0) 그만큼 가장자리가 두꺼워져 보상된다. 반대로 공급이 넉넉하면(Da_I ≪ 1) 두께는 플라즈마 분포를 따르고 구멍 분포로는 거의 못 고친다.

4. 배치 LPCVD에서 웨이퍼 피치를 6 mm에서 3 mm로 좁혔다(틈 5.2 → 2.2 mm). 틸레 계수는 대략 몇 배가 되는가? (크누센 효과 무시)

\phi \propto s^{-1/2}

이므로

\sqrt{5.2/2.2} \approx 1.54

배. 중심-가장자리 차이는

\phi^2/4

에 비례해 약 2.4배가 된다. 크누센 확산까지 넣으면

D_K \propto s

라 더 나빠진다.

5. 펌핑 포트 때문에 2 % 경사가 있는 공정을 10 rpm 회전으로 9초 증착했다. 남는 경사는 약 얼마인가?

n = 10 × 9/60 = 1.5바퀴. 잔여 비율

|\sin(1.5\pi)/(1.5\pi)| = 1/(1.5\pi) \approx 0.21

→ 2 % × 0.21 ≈ 0.42 %. 6초(1바퀴)나 12초(2바퀴)로 맞추면 0이 된다.

6. 패턴 밀도에 따른 미시 로딩이 가장 작은 공정은?

로딩은 표면 소비가 보충(확산·수송)을 앞설 때 생긴다. 반응 제한(Da ≪ 1)에서는 표면적이 수십 배여도 기체 농도가 거의 그대로라 두께가 패턴 밀도에 둔감하다.