Chapter 08

전역 모델: 입자·전력 균형

ICP 챔버에 1.5 kW를 넣으면 전자 온도와 밀도는 얼마가 될까? 플라즈마를 하나의 상자로 보고 "생성 = 손실"을 두 번 쓰면 답이 나온다. 전자-이온 쌍의 입자 균형은 압력과 크기만으로 Tₑ를 정하고, 전력 균형은 그 Tₑ에서 밀도를 전력에 비례하게 정한다. 이 전역 모델(global model)은 몇 줄짜리 계산으로 장비 손잡이와 플라즈마 변수의 관계를 놀랄 만큼 잘 맞히고, CCP·ICP·펄스 장(9·10·12장)이 모두 이 결과를 가져다 쓴다.

입자 균형 $K_{iz}(T_e)\,n_g d_{\text{eff}} = u_B(T_e)$ 로 Tₑ를 구하고, Tₑ가 전력과 무관한 이유를 설명할 수 있다.
h 인자와 실효 길이 $d_{\text{eff}}$ , 실효 면적 $A_{\text{eff}}$ 를 계산할 수 있다.
이온당 손실 에너지 $\mathcal{E}_T = \mathcal{E}_c + 2T_e + \mathcal{E}_i$ 를 분해하고, 전력 균형으로 $n_0$ 를 구할 수 있다.
PL-300 IC 모듈(Ar 10 mTorr, 1.5 kW)의 Tₑ ≈ 2.5 eV, n₀ ≈ 4×10¹¹ cm⁻³를 재현할 수 있다.
압력·전력·크기·질량을 바꿀 때 Tₑ, n₀, 이온 플럭스의 변화 방향과 크기를 예측할 수 있다.
전기 음성 플라즈마의 부착·탈리·재결합 균형과 α = n₋/nₑ, 혼합 기체의 희석·페닝 효과, 전력 계단 뒤 시간 응답을 계산할 수 있다.

전역 모델의 생각: 상자 하나, 균형 두 개

전역 모델은 공간 변화를 지우고 플라즈마를 부피 $V$ , 벽 면적 $A$ 인 상자로 본다. 상자 안 전자 밀도는 중심값 $n_0$ , 전자 온도는 균일한 $T_e$ , EEDF는 맥스웰이다. 공간 구조의 정보는 단 하나, 벽 앞 시스 경계 밀도가 중심의 몇 배인가(가장자리 비 $h$ )로만 남는다. 이온은 시스 경계에서 보옴 속도 $u_B$ 로 벽에 빠져나간다(7장).

그림 8-1. 전역 모델. 소스의 종류(ICP, CCP, 마이크로파)는 "흡수 전력

P_{\text{abs}}

"로만 들어오고, 기하는

d_{\text{eff}}

와

A_{\text{eff}}

로만 들어온다. 그래서 같은 식이 모든 저압 소스에 쓰인다.

입자 균형 → 전자 온도

정상 상태에서 부피 이온화로 생기는 전자-이온 쌍의 수는 벽으로 빠져나가는 이온 수와 같다.

K_{iz}(T_e)\,n_g\,n_0\,V = n_0\,u_B\,A_{\text{eff}} \;\Rightarrow\; \frac{K_{iz}(T_e)}{u_B(T_e)} = \frac{1}{n_g\,d_{\text{eff}}},\qquad d_{\text{eff}} = \frac{V}{A_{\text{eff}}} = \frac{RL}{2(Rh_L + Lh_R)}

n_0

가 양변에서 지워진다. 그래서 Tₑ는 전력과 무관하고

n_g d_{\text{eff}}

(압력 × 크기)만으로 정해진다. 왼쪽은 Tₑ에 대해 지수적으로 커지므로(

K_{iz} = 2.34\times10^{-14}T_e^{0.59}e^{-17.44/T_e}

m³/s),

n_g d_{\text{eff}}

가 10배 바뀌어도 Tₑ는 1 eV 남짓만 움직인다. 압력이 낮거나 챔버가 작으면 벽 손실이 상대적으로 커서, 손실을 메우려 Tₑ가 오른다.

가장자리 비는 6장의 저압 확산 해(보옴-고드 근사)를 쓴다. 이온 평균 자유 행로 $\lambda_i = 1/(n_g\sigma_i)$ , $\sigma_i = 10^{-18}$ m²로

h_L = \frac{0.86}{\sqrt{3 + L/2\lambda_i}},\qquad h_R = \frac{0.8}{\sqrt{4 + R/\lambda_i}},\qquad A_{\text{eff}} = 2\pi R^2 h_L + 2\pi R L\,h_R

저압(

\lambda_i \gg L

)에서는 프로파일이 평평해

h_L \to 0.5

, 고압에서는 이동도 제한 확산으로 가운데가 볼록해져

h \propto \sqrt{\lambda_i/L}

로 줄어든다. 7장 예비 시스 유체 해의

n_s/n_0

와 같은 양이다. IC 모듈(R = 0.25 m, L = 0.10 m, 10 mTorr,

\lambda_i

≈ 3.1 mm):

h_L

≈ 0.20,

h_R

≈ 0.087,

d_{\text{eff}}

≈ 0.22 m.

그림 8-2. 왼쪽: 입자 균형을 그래프로 풀면 생성 곡선

K_{iz}n_g d_{\text{eff}}

(Tₑ에 지수적)과 손실 곡선

u_B

(√Tₑ)의 교점이 Tₑ다. 압력이나 크기를 줄이면 생성 곡선이 내려가 교점이 오른쪽(높은 Tₑ)으로 간다. 오른쪽: 단일 이온종 전기 양성 플라즈마에서는 입자 균형이 Tₑ를 정하고, 전력 균형은 그 Tₑ를 받아 밀도만 정한다.

그림 8-3. 가장자리 비. 저압에서는 이온이 충돌 없이 벽으로 날아가 밀도 프로파일이 평평하고, 압력이 오르면 확산이 느려져 가운데가 볼록해진다. 같은

n_0

에서 벽 플럭스가 줄어

d_{\text{eff}}

가 커진다.

SIMULATOR

가장자리 비 h_L·h_R와 실효 길이 d_eff

압력 반지름 R 높이 L

λᵢ—

h_L / h_R—

d_eff—

A_eff / A_벽—

위·아래 벽 손실 비율—

곡선: 압력 0.5–200 mTorr에 대한

h_L

(파랑),

h_R

(주황),

d_{\text{eff}}/L

(초록 점선, 오른쪽 축). 해볼 것: ① 납작한 챔버(L ≪ R)에서는 위·아래 벽이 손실을 지배한다 — 웨이퍼로 가는 이온 플럭스가 손실의 대부분이라는 뜻이다. ② L을 0.3 m로 늘리면 옆벽 손실 비율이 커진다. ③ 압력을 200 mTorr로 올리면

h

가 0.05 아래로 떨어져, 같은 밀도에서 벽 플럭스가 저압의 1/10이 된다.

전력 균형 → 밀도, 그리고 이온 하나의 값

흡수 전력은 결국 벽으로 빠져나가는 이온-전자 쌍이 가지고 나가는 에너지와, 그 쌍을 만드는 동안 충돌로 잃은 에너지로 모두 쓰인다. 쌍 하나가 벽으로 사라질 때 계에서 빠져나가는 총 에너지를 $\mathcal{E}_T$ 라 하면

P_{\text{abs}} = e\,n_0\,u_B\,A_{\text{eff}}\,\mathcal{E}_T,\qquad \mathcal{E}_T = \mathcal{E}_c + 2T_e + \mathcal{E}_i,\qquad \mathcal{E}_c = \mathcal{E}_{iz} + \frac{K_{ex}}{K_{iz}}\mathcal{E}_{ex} + \frac{K_{el}}{K_{iz}}\frac{3m}{M}T_e

\mathcal{E}_c

: 쌍 하나를 만드는 동안 전자가 충돌로 잃는 에너지(이온화 15.76 eV + 그동안 일어난 여기·탄성 손실, 3장).

2T_e

: 벽에 닿는 맥스웰 전자 하나가 가져가는 평균 운동 에너지.

\mathcal{E}_i \approx T_e[\tfrac12 + \tfrac12\ln(M/2\pi m)]

: 이온이 예비 시스·시스에서 얻어 벽에 내려놓는 에너지(Ar 부유 벽 5.2 Tₑ, 7장). 바이어스가 걸린 전극에서는 그 전극 몫의

\mathcal{E}_i

가 시스 전압만큼 커지지만, 그 에너지는 대부분 바이어스 전원이 댄다.

Tₑ는 이미 입자 균형으로 정해졌으므로 $\mathcal{E}_T$ 와 $u_B$ 도 정해져 있다. 그러면 $n_0 = P_{\text{abs}}/(e u_B A_{\text{eff}}\mathcal{E}_T)$ — 밀도는 흡수 전력에 정비례한다. IC 모듈 기준(Tₑ = 2.48 eV)에서 $\mathcal{E}_c$ ≈ 83 eV, $2T_e$ ≈ 5 eV, $\mathcal{E}_i$ ≈ 13 eV로 $\mathcal{E}_T$ ≈ 100 eV. 이온 하나를 벽(웨이퍼)까지 보내는 데 약 100 eV가 들고, 그중 이온화 자체에 쓰이는 것은 16 %뿐이며 66 %는 여기 → 발광(플라즈마가 빛나는 이유)으로 나간다.

그림 8-4. PL-300 IC 모듈(Ar 10 mTorr, Tₑ ≈ 2.5 eV)에서 이온-전자 쌍 하나당 100 eV의 행방. Tₑ가 낮을수록 여기/이온화 비가

e^{4.66/T_e}

처럼 커져

\mathcal{E}_c

가 급증한다(Tₑ = 2 eV에서 127 eV). 고압 플라즈마가 전력 효율이 나쁜 이유다.

SIMULATOR

이온당 손실 에너지 𝓔_T 분해 (Ar 반응 속도 적분)

전자 온도 Tₑ 이온 질량 M 추가 바이어스 시스 전압

𝓔_c—

여기/이온화 K_ex/K_iz—

𝓔ᵢ—

𝓔_T—

이온화에 쓰인 비율—

쌓인 면: 아래부터 이온화(15.76 eV), 여기, 탄성,

2T_e

\mathcal{E}_i

. 오른쪽 막대는 선택한 Tₑ의 분해. 반응 속도는 PL-300 Ar 근사식,

\mathcal{E}_i = T_e[\tfrac12+\tfrac12\ln(M/2\pi m)]

+ 추가 바이어스(벽 전체에 걸렸다고 가정한 상한). 해볼 것: ① Tₑ = 2, 3, 4, 5 eV에서

\mathcal{E}_c

가 PL-300 표의 127, 62, 45, 37 eV와 맞는지 확인. ② 질량은

\mathcal{E}_i

와 탄성 손실만 바꾼다 — 탄성 손실은

3m/M

때문에 거의 보이지 않는다. ③ 바이어스 100 V를 더하면

\mathcal{E}_T

가 두 배 — 그 전력은 실제로는 바이어스 전원이 낸다.

전역 모델 계산기: PL-300 IC 모듈 재현

계산 순서는 (1) $n_g = p/kT_g$ , $\lambda_i$ , $h_L, h_R$ , $d_{\text{eff}}, A_{\text{eff}}$ → (2) $K_{iz}(T_e)n_g d_{\text{eff}} = u_B(T_e)$ 를 이분법으로 풀어 Tₑ → (3) $\mathcal{E}_c(T_e), \mathcal{E}_T$ → (4) $n_0 = P_{\text{abs}}/(eu_BA_{\text{eff}}\mathcal{E}_T)$ . 웨이퍼 이온 플럭스는 $\Gamma_i = h_L n_0 u_B$ , 이온 전류 밀도는 $e\Gamma_i$ 다.

SIMULATOR

전역 모델: 압력·전력·크기·질량 → Tₑ, n₀, Γᵢ

압력(Ar) 흡수 전력 P_abs 반지름 R 높이 L 이온 질량 M (Ar 단면적 유지)

Tₑ—

n₀ (중심)—

u_B—

𝓔_c / 𝓔_T—

d_eff / A_eff—

웨이퍼 이온 플럭스—

이온 전류 밀도—

전리도 n₀/n_g—

그래프는 입자 균형: 생성 쪽

K_{iz}(T_e)n_g d_{\text{eff}}

(초록)와 손실 쪽

u_B(T_e)

(주황)의 교점이 Tₑ다. 이온 질량 슬라이더는 Ar 단면적을 그대로 둔 채 질량만 바꾼 가상 기체다(

u_B

\mathcal{E}_i

, 탄성 손실만 바뀜). 해볼 것: ① 기준값에서 Tₑ ≈ 2.48 eV, n₀ ≈ 4.2×10¹¹ cm⁻³, u_B ≈ 2.4 km/s, λᵢ ≈ 3.1 mm. ② 전력을 3 kW로 두 배 → n₀ 두 배, Tₑ 그대로. ③ 압력 2 mTorr → Tₑ ≈ 3.6 eV, 50 mTorr → 약 1.9 eV. ④ 질량을 131로(Xe 흉내) 올리면 u_B가 줄어 손실이 줄고 Tₑ가 내려간다. 범위 끝(1 mTorr, 작은 챔버)에서는 Tₑ가 8 eV 가까이 오른다 — 그런 조건은 실제로 방전 유지가 어렵다.

IC 모듈 기준점Ar 10 mTorr(

n_g

= 3.2×10²⁰ m⁻³), R = 0.25 m, L = 0.10 m, 흡수 전력 1.5 kW. 입자 균형:

\lambda_i

= 3.1 mm,

h_L

= 0.197,

h_R

= 0.087,

d_{\text{eff}}

= 0.215 m → Tₑ = 2.48 eV,

u_B

= 2.44 km/s. 전력 균형:

\mathcal{E}_c

= 83 eV,

\mathcal{E}_T

= 83 + 5.0 + 12.8 ≈ 100 eV,

A_{\text{eff}}

= 0.091 m² →

n_0

= 4.2×10¹¹ cm⁻³. 웨이퍼 이온 플럭스

h_L n_0 u_B

≈ 2.0×10²⁰ m⁻²s⁻¹(약 3.2 mA/cm²). 코일에 넣은 전력의 약 85 %가 흡수된다고 보면 발생기 출력은 약 1.75 kW(10장). 모두 PL-300 표와 맞는다.

스케일링: 손잡이를 돌리면

두 균형에서 바로 나오는 스케일링 규칙은 다음과 같다. ① Tₑ는 $n_g d_{\text{eff}}$ 의 약한(로그) 함수다 — 압력을 10배 올리면 Tₑ가 약 1 eV 내려간다(IC 모듈 기하, 3 → 30 mTorr에서 3.2 → 2.0 eV). ② $n_0 \propto P_{\text{abs}}$ . ③ 압력이 오르면 Tₑ가 내려가 $\mathcal{E}_T$ 는 커지지만 $h$ 가 작아져 벽 손실 면적이 더 크게 줄어들므로, 같은 전력에서 중심 밀도는 압력과 함께 오른다. 그러나 벽 전체로 나가는 이온 수는 $n_0u_BA_{\text{eff}} = P/(e\mathcal{E}_T)$ , 곧 "전력 ÷ 이온당 비용"이므로 $\mathcal{E}_T$ 가 커지는 고압에서 웨이퍼 이온 플럭스는 오히려 준다. 플럭스를 원하면 저압·고전력, 래디컬을 원하면 고압이다.

SIMULATOR

스케일링 그래프: Tₑ–압력, n₀–전력

압력 전력 반지름 R

Tₑ (L = 0.1 m)—

n₀—

n₀ / P—

웨이퍼 Γᵢ / P—

왼쪽: 압력 1–100 mTorr에 대한 Tₑ, 챔버 높이 L = 0.05 / 0.10 / 0.20 m. 오른쪽: 전력 0–3 kW에 대한 n₀(실선)과 웨이퍼 이온 플럭스(같은 색 점선, 각자 최댓값으로 정규화), 압력 3 / 10 / 30 mTorr. 해볼 것: ① 직선 n₀(P)는 원점을 지난다(전역 모델의

n_0 \propto P

). 실제 ICP는 낮은 전력에서 E 모드로 떨어져 이 직선에서 벗어난다(10장). ② 30 mTorr 선이 n₀는 가장 높지만 Γᵢ는 가장 낮다.

SIMULATOR

조건 → 결과: 손잡이 하나를 두 배로

바꿀 손잡이

방향

기준—

변경 후—

기준은 PL-300 IC 모듈(Ar 10 mTorr, 1.5 kW, R 0.25 m, L 0.10 m). 막대는 변경 후/기준 비(로그 축, 1이 그대로)다. 질량 ×2는 Ar 단면적을 둔 채 질량만 80 u로 바꾼다. 해볼 것: 전력 ×2는 n₀·Γᵢ만 두 배, 압력 ×2는 Tₑ↓·n₀↑·Γᵢ↓, 반지름 ×2(전력 고정)는 부피가 4배라 밀도가 크게 준다 — 300 mm에서 450 mm로 갈 때 전력을 얼마나 키워야 하는지 감을 잡아 보자.

손잡이 (조건)	Tₑ	n₀	웨이퍼 Γᵢ	이유
흡수 전력 ↑	그대로	∝ P	∝ P	입자 균형에 n₀가 없다
압력 ↑	↓ (로그)	↑ (같은 P)	↓	$n_g d_{\text{eff}}$ ↑, $\mathcal{E}_c$ ↑, h↓
챔버 크기 ↑ (같은 P)	↓ 약간	↓ (∝ 1/A_eff)	↓	손실 면적 증가
이온 질량 ↑	↓	↑ (u_B ↓)	≈	느린 이온 = 느린 손실
이온화 문턱 ↓ (Ar → Kr, Xe)	↓	↑	↑	$\mathcal{E}_c$ ↓
전기 음성 기체 첨가	↑	nₑ ↓	≈ 또는 ↓	부착이 전자를 없앤다 (6절)

전기 음성 플라즈마: 음이온이 있을 때

O₂, Cl₂, CF₄, SF₆ 같은 식각 기체는 전자를 붙잡아 음이온을 만든다(해리 부착, e + O₂ → O⁻ + O). 음이온은 플라즈마 전위보다 몇 Tₑ 낮은 벽 앞 전위 장벽에 갇혀 벽에 거의 닿지 못하고, 부피에서 양이온과의 이온-이온 재결합(O⁻ + O₂⁺ → O + O₂)이나 탈리(O⁻ + O → O₂ + e)로만 사라진다. 그 결과 음이온 밀도가 전자보다 많아지기도 한다. 전기 음성도 $\alpha = n_-/n_e$ , 준중성 $n_+ = n_e + n_-$ .

\underbrace{K_{att}n_{g}n_e}_{\text{생성}} = \underbrace{K_{rec}n_+n_- + K_{det}n_{d}\,n_-}_{\text{손실}},\qquad \underbrace{(K_{iz} - K_{att})n_g + K_{det}n_d\,\alpha}_{\text{전자 순생성 / 전자}} = \frac{u_B}{d_{\text{eff}}}

첫 식(음이온 균형)은

n_e

가 주어지면

\alpha

의 2차식이다:

K_{rec}n_e\alpha^2 + (K_{rec}n_e + \nu_{det})\alpha - K_{att}n_{\text{분자}} = 0

. 둘째 식(전자 균형)에는 근사가 하나 있다: 음이온은 벽에 못 가고 벽 근처는 거의 전기 양성이므로, 벽으로 가는 양이온 플럭스를 전자 밀도와 전기 양성 h 인자로

h\,n_e u_B

라 둔다(가운데 음이온이 많아도 가장자리 프로파일은 전자가 정한다는 Lieberman의 근사). 전력 균형에는 부착·해리·여기 손실을 더한다. 반응 속도는 대표 근사식(O₂:

K_{iz} = 2.34\times10^{-15}T_e^{1.03}e^{-12.29/T_e}

K_{att} = 1.07\times10^{-15}T_e^{-1.39}e^{-6.26/T_e}

K_{rec}

≈ 1.4×10⁻¹³ m³/s; Cl₂는 부착이 Tₑ에 거의 무관하고 훨씬 크다)이며, 정밀 계산은 LXCat 단면적을 쓴다.

두 가지 결과가 중요하다. ① 부착이 전자를 없애므로 같은 압력에서 Tₑ가 부착이 없을 때보다 높아진다(전자 손실이 하나 더 생겼으니 생성도 더 해야 한다). ② 재결합 손실이 $n_e$ 에 비례하므로 전력을 올리면 α가 줄고, 압력을 올리면(부착 ∝ $n_g$ ) α가 커진다. α가 수십을 넘으면 전자가 거의 없는 이온-이온 플라즈마가 되는데, 펄스 잔광에서 일부러 만들어 음이온을 웨이퍼로 끌어내 대전을 줄이기도 한다(12장).

그림 8-5. 전기 음성 방전의 층상 구조(stratification). 음이온은 가운데 코어에 모이고(포물선 형), 가장자리는 전기 양성 플라즈마처럼 보인다. 이 그림이 전역 모델에서 "벽 플럭스는 전자로 정한다"는 근사의 근거다. α가 매우 크면 코어가 벽까지 넓어지고 근사가 나빠진다.

SIMULATOR

전기 음성 전역 모델: O₂ · Cl₂ ICP

기체

압력 흡수 전력 원자 몰분율(해리)

Tₑ—

nₑ—

n₋ / n₊—

α = n₋/nₑ—

음이온 손실 (재결합 : 탈리)—

같은 조건 Ar의 Tₑ—

IC 모듈 기하(R 0.25 m, L 0.10 m). 원자 몰분율

x

는 해리 정도로, 부착 대상 분자를

(1-x)n_g

로 줄이고 원자에 의한 탈리

\nu_{det} = K_{det}x\,n_g

를 켠다. 왼쪽: 압력에 따른 α(현재 전력). 오른쪽: 전력에 따른 nₑ(파랑), n₋(청록), n₊(주황). 해볼 것: ① O₂ 10 mTorr 1.5 kW에서 α ≈ 0.2, 300 W로 내리면 약 0.5 — 전력↓ → α↑. ② Cl₂로 바꾸면(기본 해리 50 %) α ≈ 3–4, 해리를 10 %로 줄이면 α가 9 근처까지 오른다. ③ 압력을 올리면 α가 커지고 nₑ가 줄어든다. 근사식이므로 숫자는 경향만 믿자.

IC 모듈에서 Cl₂로 바꾸면같은 10 mTorr, 1.5 kW라도 Cl₂ ICP의 전자 밀도는 Ar보다 몇 배 낮다(이 모델로 약 9×10¹⁰ cm⁻³, 해리 50 %). 양이온 밀도는 nₑ(1 + α)라 크게 줄지 않으므로, 웨이퍼 이온 플럭스는 덜 떨어진다. 탐침이나 헤어핀 탐침으로 잰 nₑ만 보고 "플라즈마가 약해졌다"고 판단하면 안 되는 이유다(15장). 해리율은 전력과 함께 오르므로 Cl₂ ICP의 α는 전력에 이중으로 민감하다.

혼합 기체: 희석과 페닝 이온화

실제 공정 기체는 거의 항상 혼합물이다(Ar/C₄F₈/O₂, He/O₂, Ar/Cl₂). 전역 모델로는 각 성분의 생성 속도를 몰분율로 더하면 된다. 이온종이 여럿이면 각자의 보옴 속도로 빠져나가므로, 입자 균형은 "모든 이온종의 밀도 합 = 전자 밀도"가 된다.

\sum_j \frac{\nu_{iz,j}}{u_{B,j}} = \frac{1}{d_{\text{eff}}},\qquad \nu_{iz,j} = x_j n_g K_{iz,j}(T_e),\qquad \nu_{P} = x_{\text{He}}n_gK_{m,\text{He}}\cdot\frac{k_P x_{\text{Ar}}n_g}{k_P x_{\text{Ar}}n_g + D_m/\Lambda^2}

\nu_P

는 페닝 이온화(Penning ionization)로 만들어지는 Ar⁺: He 준안정 원자(19.8 eV)가 Ar(이온화 15.76 eV)과 부딪혀 Ar을 이온화한다(He* + Ar → He + Ar⁺ + e).

K_{m}

은 준안정 생성 속도(He 여기 속도의 절반으로 가정),

k_P

≈ 7×10⁻¹⁷ m³/s, 준안정 손실은 확산

D_m/\Lambda^2

(

D_m p

≈ 0.047 m²s⁻¹·Torr). He 반응 속도는 대표 근사(

K_{iz} = 2.5\times10^{-14}T_e^{0.68}e^{-24.6/T_e}

K_{ex} = 2.1\times10^{-14}T_e^{0.31}e^{-19.8/T_e}

그림 8-6. 페닝 이온화. 준안정 준위는 빛으로 쉽게 빠져나가지 못해 오래 살고(수 ms), 이온화 에너지가 그보다 낮은 원자를 만나면 에너지를 넘겨 이온화한다. 보통 He 방전에서 여기로 버려지던 에너지가 이온 생성에 쓰이므로

\mathcal{E}_c

가 준다.

SIMULATOR

He/Ar 혼합 전역 모델: 희석과 페닝

Ar 몰분율 압력 페닝 이온화 포함

Tₑ—

실효 𝓔_c—

nₑ (1.5 kW)—

이온 중 Ar⁺—

Ar⁺ 중 페닝 몫—

IC 모듈 기하, 흡수 전력 1.5 kW. 위: Ar 몰분율(0 = 순수 He, 1 = 순수 Ar)에 따른 Tₑ, 아래: nₑ. 실선은 페닝 포함, 점선은 미포함. 해볼 것: ① 순수 He의 Tₑ는 Ar보다 훨씬 높다(이온화 24.6 eV, 가벼운 이온의 빠른 손실). Ar을 몇 %만 섞어도 Tₑ가 Ar 쪽으로 크게 떨어진다 — 이온화가 쉬운 소수 성분이 방전을 "장악"한다. ② 페닝을 켜면 몇 % Ar에서 nₑ가 눈에 띄게 오른다. ③ 압력을 올리면 준안정이 확산으로 사라지기 전에 Ar을 만날 확률이 커져 페닝 몫이 커진다.

시간 의존 전역 모델: 전력 계단과 펄스

전력이 갑자기 바뀌면 두 변수는 서로 다른 속도로 따라간다. 입자 수와 전자 에너지에 대한 부피 평균 방정식은

\frac{dn}{dt} = K_{iz}n_g n - \frac{u_B}{d_{\text{eff}}}n,\qquad \frac{d}{dt}\left(\frac32 n T_e\right) = \frac{P_{\text{abs}}(t)}{eV} - n\,n_g\left(K_{iz}\mathcal{E}_{iz} + K_{ex}\mathcal{E}_{ex} + K_{el}\frac{3m}{M}T_e\right) - \frac{u_B}{d_{\text{eff}}}n\,(2T_e + \mathcal{E}_i)

정상 상태에서는 둘째 식이 전력 균형, 첫째 식이 입자 균형이 된다. 에너지 완화 시간

\tau_E \sim \tfrac32 T_e/(n_gK_{iz}\mathcal{E}_c)

는 IC 모듈에서 수 µs, 밀도 응답 시간

\tau_n \sim d_{\text{eff}}/u_B

는 약 90 µs다. 그래서 Tₑ가 먼저, n은 나중에 따라온다. 전력을 켜면 밀도가 아직 낮아 전자 하나당 전력이 커서 Tₑ가 정상값보다 높게 치솟고(오버슈트), 끄면 Tₑ가 µs 안에 떨어진 뒤 밀도가 천천히 감쇠한다(잔광).

그림 8-7. 펄스 전력에 대한 응답. Tₑ는 수 µs 안에 전력을 따라가며 켤 때 오버슈트, 끌 때 급랭하고, 밀도는

\tau_n

로 느리게 오르내린다. 펄스 주파수가

1/\tau_n

보다 높으면 밀도는 거의 일정하고 Tₑ만 출렁인다. 이 차이를 공정에 쓰는 방법이 12장의 주제다.

SIMULATOR

시간 의존 전역 모델: n(t), Tₑ(t) 적분

전력 파형

켜짐 전력 펄스 주파수 듀티 / 계단 전 전력비 압력(Ar)

τₙ = d_eff/u_B (정상)—

τ_E (정상)—

Tₑ 최대 / 최소—

n 최대 / 최소—

시간 평균 n / 평균 전력 정상 n—

위 두 식을 적응형 RK2(한 단계에 Tₑ·n이 2 % 넘게 변하지 않게)로 적분한다. 펄스 모드는 12주기를 돌려 주기 정상 상태에 이른 뒤 마지막 3주기를 그린다. 계단 모드는 "계단 전 전력비 × 켜짐 전력"에서 켜짐 전력으로 올린다. Tₑ는 12 eV로 상한을 두었다(실제로는 밀도가 낮을 때 소스가 그만큼 전력을 흡수하지 못한다). 해볼 것: ① 5 kHz 50 %에서 밀도는 ±25 % 정도만 출렁이고 Tₑ는 크게 오르내린다. ② 1 kHz 10 %로 바꾸면 긴 잔광에서 Tₑ가 1 eV 아래로 떨어지고, 켜는 순간 큰 오버슈트가 생긴다. ③ 시간 평균 n은 평균 전력의 정상 n보다 크다(5 kHz 50 %에서 약 1.4배, 1 kHz 10 %에서 3배 이상) — 잔광에서 Tₑ가 떨어지면

u_B

가 줄어 손실이 느려지기 때문이다. 같은 평균 전력으로 더 많은 이온을 붙잡아 두는 셈이다(실제로는 확산 냉각·준안정 등이 이 효과를 줄인다). ④ 압력을 올리면

d_{\text{eff}}

가 커져 τₙ가 길어진다.

전역 모델은 어디까지 믿을까

전역 모델은 "평균"만 맞힌다. 다음 경우에는 다른 장의 도구가 필요하다.

빠진 것	언제 문제인가	대신 쓰는 것
비맥스웰 EEDF(꼬리 고갈, 두 온도)	저압 ICP 비국소 가열, 고압 CCP	2항 볼츠만·측정 EEDF로 K 다시 계산 (4장)
공간 균일도	300 mm 웨이퍼 플럭스 ±3 % 같은 사양	유체·하이브리드 2D 모델 (16장)
전력 흡수 기구	E-H 전환, 표피 효과, 정상파	소스 모델 (9장·10장)
다단계 이온화·준안정·기체 가열	고밀도·고압, 해리가 심한 분자 기체	준안정 방정식 추가, 반응 네트워크 (13장)
기체 고갈(바탕 n_g 감소)	전리도 ≳ 1 %, 고전력 ICP	중성 가열·펌핑까지 넣은 전역 모델

실무에서 쓰는 법새 조건의 "상대 변화"를 예측하는 데 가장 강하다. 기준점(측정된 nₑ, Tₑ)에 맞춰 흡수 효율이나

h

를 한 번 보정하면, 압력·전력·기체 변화의 방향과 크기는 대개 20–30 % 안에서 맞는다. EtchBook의 공정 관점 요약은 EtchBook 플라스마 장에 있다.

핵심 정리

전역 모델은 플라즈마를 상자 하나로 보고, 공간 구조는 가장자리 비 $h_L, h_R$ 로만 남긴다. $d_{\text{eff}} = V/A_{\text{eff}}$ .
입자 균형 $K_{iz}(T_e)n_g d_{\text{eff}} = u_B$ 가 Tₑ를 정한다. 전력과 무관하고, 압력·크기가 줄면 Tₑ가 오른다(로그로 약하게).
전력 균형 $P = en_0u_BA_{\text{eff}}\mathcal{E}_T$ , $\mathcal{E}_T = \mathcal{E}_c + 2T_e + \mathcal{E}_i$ 가 $n_0 \propto P$ 를 준다. Tₑ가 낮으면 $\mathcal{E}_c$ 가 급증한다(2 eV 127 eV, 3 eV 62 eV).
PL-300 IC(Ar 10 mTorr, 1.5 kW): Tₑ ≈ 2.5 eV, $\mathcal{E}_T$ ≈ 100 eV(이온화 16 %, 여기 66 %), n₀ ≈ 4×10¹¹ cm⁻³, 웨이퍼 플럭스 ≈ 2×10²⁰ m⁻²s⁻¹.
압력↑: Tₑ↓, n₀↑, 웨이퍼 Γᵢ↓. 전력↑: n₀·Γᵢ ∝ P. 크기↑(같은 P): 밀도↓.
전기 음성 기체는 부착으로 전자를 없애 Tₑ를 올리고 nₑ를 낮춘다. α는 전력↑에 줄고 압력↑에 는다. 음이온은 벽에 못 가 부피에서만 재결합·탈리로 사라진다.
혼합 기체에서는 이온화가 쉬운 소수 성분이 Tₑ를 정하고, 페닝 이온화가 준안정 에너지를 재활용한다. 전력 변화에는 Tₑ가 µs, n이 수십–100 µs로 응답한다.

확인 퀴즈

1. Ar ICP의 흡수 전력을 1 kW에서 2 kW로 올렸다(압력·기하 고정). 전역 모델의 예측은?

입자 균형

K_{iz}(T_e)/u_B = 1/(n_gd_{\text{eff}})

에는 밀도가 없으므로 Tₑ는 전력과 무관하다. 전력 균형

P = en_0u_BA_{\text{eff}}\mathcal{E}_T

에서 나머지가 고정이므로

n_0 \propto P

2. 압력을 올리면 Tₑ가 내려가는 이유로 가장 알맞은 것은?

생성

K_{iz}n_g

는 압력에 비례하고, 손실

u_B/d_{\text{eff}}

는

h

가 작아져 오히려 준다. 균형을 맞추려면

K_{iz}

가 작아져야 하고, 그러려면 Tₑ가 내려간다.

3. Tₑ = 3 eV Ar 플라즈마에서 $\mathcal{E}_c$ ≈ 62 eV이다. 부유 벽 기준 $\mathcal{E}_T$ 에 가장 가까운 값은?

2T_e

= 6 eV,

\mathcal{E}_i

≈ 5.2 × 3 = 15.5 eV. 62 + 6 + 15.5 ≈ 84 eV.

4. 같은 전력에서 챔버 반지름만 두 배로 키웠다(높이·압력 고정, 납작한 챔버). 중심 밀도는 대략?

납작한 챔버의

A_{\text{eff}}

는 위·아래 면

2\pi R^2h_L

이 지배하므로 R²에 비례해 약 4배가 된다. Tₑ는

d_{\text{eff}}

가 거의 그대로라 비슷하고,

n_0 \propto 1/A_{\text{eff}}

≈ 1/4. 웨이퍼가 커지면 같은 플럭스를 위해 전력이 면적에 비례해 커져야 한다.

5. O₂ ICP에서 전력을 낮추면 전기 음성도 α = n₋/nₑ는?

음이온 생성(부착)은

n_e

에 비례하지만 손실(이온-이온 재결합)은

n_+n_-

에 비례한다. 정리하면

\alpha

는 대략

K_{att}n_g/(K_{rec}n_e)

이므로 nₑ가 줄면 α가 커진다.

6. He 방전에 Ar을 몇 % 섞었더니 같은 전력에서 전자 밀도가 올라갔다. 그 이유로 맞지 않는 것은?

Ar은 전자 친화도가 없어 음이온을 만들지 않는다. 나머지 세 가지(희석, 페닝, 느린 이온)는 모두

\mathcal{E}_T

나 손실을 줄여 같은 전력에서 밀도를 높인다.

7. 펄스 ICP(10 kHz, 듀티 50 %)에서 펄스를 끈 직후 일어나는 일의 순서로 옳은 것은? (τₙ ≈ 90 µs)

에너지 완화 시간(수 µs)이 입자 손실 시간(약 90 µs)보다 훨씬 짧다. 끈 시간 50 µs는 τₙ보다 짧아 밀도는 수십 %만 줄어든다. 오버슈트는 켤 때 생긴다.