Chapter 04

전자 에너지 분포

3장은 전자가 맥스웰 분포를 따른다고 가정하고 k(Te)k(T_e)를 계산했다. 실제 공정 플라즈마의 전자는 그렇게 얌전하지 않다. 전기장이 전자를 데우고, 11.55 eV 위에서는 여기 충돌이 꼬리를 깎아 내고, 저압에서는 전자가 챔버 전체를 무충돌로 오가며 분포가 위치마다 따로 놀지 않는다. 문턱 반응은 꼬리가 정하므로, 평균 에너지가 같아도 분포 모양에 따라 이온화 속도가 열 배, 백 배 달라진다. 이 장은 분포를 그리는 법(EEPF와 로그 축)부터 시작해, 2항 볼츠만 방정식을 직접 풀어 E/N이 만드는 분포를 계산하고, 전자-전자 충돌·비국소 효과·장비 손잡이가 분포를 어떻게 바꾸는지 본다.

EEDF와 EEPF: 무엇을 그리는가

전자 밀도 nen_e 가운데 에너지가 ε\varepsilon과 ε+dε\varepsilon + d\varepsilon 사이인 비율을 f(ε) dεf(\varepsilon)\,d\varepsilon이라 하자. 이 ff가 전자 에너지 분포 함수(electron energy distribution function, EEDF)다. 속도 공간이 등방이면 에너지 ε\varepsilon에 해당하는 속도 껍질의 부피가 4πv2dv∝ε dε4\pi v^2dv \propto \sqrt\varepsilon\,d\varepsilon이므로 EEDF에는 언제나 ε\sqrt\varepsilon 인수가 붙는다. 그 "상태 밀도"를 떼어 낸 것이 전자 에너지 확률 함수(electron energy probability function, EEPF)다.

∫0∞f(ε) dε=1,F(ε)=f(ε)ε  [eV−3/2],⟨ε⟩=∫0∞εf dε,Teff≡23⟨ε⟩\int_0^\infty f(\varepsilon)\,d\varepsilon = 1,\qquad F(\varepsilon) = \frac{f(\varepsilon)}{\sqrt\varepsilon}\ \ [\text{eV}^{-3/2}],\qquad \langle\varepsilon\rangle = \int_0^\infty \varepsilon f\,d\varepsilon,\qquad T_{eff} \equiv \tfrac23\langle\varepsilon\rangle
맥스웰 분포: fM=2πTe−3/2ε e−ε/Tef_M = \frac{2}{\sqrt\pi}T_e^{-3/2}\sqrt\varepsilon\,e^{-\varepsilon/T_e}, FM=2πTe−3/2e−ε/TeF_M = \frac{2}{\sqrt\pi}T_e^{-3/2}e^{-\varepsilon/T_e}. 따라서 ln⁡FM=상수−ε/Te\ln F_M = \text{상수} - \varepsilon/T_e — 로그 EEPF는 기울기 −1/Te-1/T_e인 직선이다. 최빈 에너지는 Te/2T_e/2, 평균은 1.5 Te1.5\,T_e. 랭뮤어 탐침의 드루이베스테인 법은 I-V 곡선의 2차 미분으로 EEPF를 바로 잰다(15장).

왜 굳이 EEPF를 로그로 그릴까. 반응을 일으키는 것은 문턱(11.55, 15.76 eV) 위의 전자인데, 그 비율은 많아야 몇 %, 대개 10−310^{-3}–10−510^{-5}이다. 선형 EEDF 그래프에서 꼬리는 축에 붙어 보이지 않는다. 로그 EEPF에서는 맥스웰이 직선이 되므로 직선에서 벗어난 곳이 곧 비맥스웰 부분이고, 꺾인 곳의 에너지가 그 원인(여기 문턱, 램사우어 최소, 벽 전위)을 알려 준다.

속도 공간의 껍질 v 두께 dv 부피 4πv²dv ∝ √ε dε (ε ∝ v²) 같은 분포의 세 얼굴 f(v) 속력 분포∫ f(v) dv = 1, v² e^(−mv²/2kT) f(ε) EEDF∫ f dε = 1, √ε · e^(−ε/Tₑ) — 봉우리 Tₑ/2 F(ε) = f/√ε EEPFe^(−ε/Tₑ) — 로그 축에서 직선 K = √(2e/m) ∫ σ(ε) ε F(ε) dε : EEPF로 쓰면 반응 속도 식이 가장 단순해진다 탐침 2차 미분 d²I/dV² ∝ F(eV) : 실험도 EEPF를 직접 준다
그림 4-1. 등방 분포에서 에너지 ε\varepsilon 근처의 상태 수는 속도 껍질의 부피 ∝ε\propto\sqrt\varepsilon이다. EEDF는 "상태 수 × 점유 확률", EEPF는 점유 확률만이다.
선형 EEDF: 둘이 거의 같아 보인다 11.55 eV ε 11.55 eV 로그 EEPF: 맥스웰 = 직선, 기울기 −1/Tₑ 꼬리 고갈이 한눈에 ln F ε
그림 4-2. 같은 두 분포(맥스웰, 빨간 점선 = 여기 문턱 위가 깎인 분포)를 선형 EEDF와 로그 EEPF로 그렸다. 문턱 위 전자는 전체의 1 %도 안 되어 선형 그래프에서는 차이가 보이지 않지만, 이온화 속도는 그 꼬리가 정한다.
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EEDF와 EEPF: 같은 분포, 다른 그래프

오른쪽 그래프
평균 ⟨ε⟩ = 1.5Tₑ—
최빈 에너지—
문턱 위 비율 (맥스웰)—
문턱 위 비율 (드루이베스테인)—
왼쪽: 선형 EEDF f(ε)f(\varepsilon). 오른쪽: EEPF. 칠한 부분이 표시 문턱 위의 전자다. 해볼 것: ① 오른쪽을 "EEPF 로그"로 두면 맥스웰은 직선, 드루이베스테인(F∝e−cε2F \propto e^{-c\varepsilon^2})은 아래로 굽은 포물선이다. ② Tₑ = 3 eV, 문턱 15.76 eV에서 맥스웰은 약 1.5 %, 같은 평균 에너지의 드루이베스테인은 약 0.06 %가 문턱을 넘는다. 선형 그래프에서는 두 곡선이 거의 겹친다.

분포의 가족: 맥스웰, 드루이베스테인, 두 온도

실제 EEPF는 몇 가지 모양으로 요약된다. 하나의 매개변수 xx로 묶는 일반 지수 분포가 편리하다.

Fx(ε)=c1exp⁡ ⁣[−(εε0)x],ε0=⟨ε⟩ Γ(3/2x)Γ(5/2x),x=1: 맥스웰,x=2: 드루이베스테인F_x(\varepsilon) = c_1\exp\!\left[-\left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\right)^{x}\right],\qquad \varepsilon_0 = \langle\varepsilon\rangle\,\frac{\Gamma(3/2x)}{\Gamma(5/2x)},\qquad x = 1:\ \text{맥스웰},\quad x = 2:\ \text{드루이베스테인}
c1c_1은 ∫εF dε=1\int\sqrt\varepsilon F\,d\varepsilon = 1이 되게 정한다. 드루이베스테인 분포(Druyvesteyn distribution)는 평균 자유 행로가 일정하고 탄성 손실만 있는 기체에서 높은 E/N일 때 나온다. 전기장에서 얻는 에너지(eEλeE\lambda)에 비해 충돌 한 번에 잃는 에너지(2m/M⋅ε2m/M\cdot\varepsilon)가 에너지에 비례해 커지므로 꼬리가 맥스웰보다 빨리 떨어진다. 1<x<21 \lt x \lt 2는 그 사이, x<1x \lt 1은 꼬리가 더 두꺼운 분포다.

두 온도 분포(bi-Maxwellian)는 차가운 무리(TcT_c)와 뜨거운 무리(ThT_h, 비율 β\beta)의 합이다. 저압 CCP에서 자주 보인다. 시스 가장자리에서 확률 가열된 뜨거운 전자와, 램사우어 최소 근처 에너지라 벌크 전기장에 거의 가열되지 못하는 차가운 전자가 따로 존재하기 때문이다(그림 4-7).

Fbi=(1−β) FM(ε;Tc)+β FM(ε;Th),Teff=23⟨ε⟩=(1−β)Tc+βTh,Tslope(ε)=−(dln⁡Fdε)−1F_{bi} = (1-\beta)\,F_M(\varepsilon; T_c) + \beta\,F_M(\varepsilon; T_h),\qquad T_{eff} = \tfrac23\langle\varepsilon\rangle = (1-\beta)T_c + \beta T_h,\qquad T_{slope}(\varepsilon) = -\left(\frac{d\ln F}{d\varepsilon}\right)^{-1}
"전자 온도"라는 말은 분포가 맥스웰일 때만 하나로 정해진다. 비맥스웰 분포에서는 평균 에너지로 정한 TeffT_{eff}와 EEPF의 국소 기울기로 정한 Tslope(ε)T_{slope}(\varepsilon)가 다르다. 탐침의 전자 지연 영역(낮은 에너지)에서 읽은 Tₑ는 TcT_c 쪽, 이온화를 정하는 것은 ThT_h 쪽이다.
ln EEPF ε 맥스웰 (직선) 드루이베스테인 (아래로 굽음) 두 온도 (위로 꺾임: 뜨거운 꼬리) 꼬리 고갈 (문턱 위 급락) 여기 문턱 램사우어·차가운 무리
그림 4-3. 로그 EEPF에서 읽는 분포의 모양. 아래로 굽으면(드루이베스테인·꼬리 고갈) 이온화가 맥스웰 가정보다 느리고, 위로 꺾이면(두 온도) 저에너지에서 잰 Tₑ로 예측한 것보다 빠르다.
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일반 지수 분포: 모양 지수 x와 "온도"들

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T_eff = ⅔⟨ε⟩—
T_slope (2 eV)—
T_slope (15 eV)—
ε > 15.76 eV 비율 / 맥스웰—
위: 로그 EEPF(실선)와 같은 평균 에너지의 맥스웰(점선). 아래: 국소 기울기 온도 Tslope(ε)T_{slope}(\varepsilon). 맥스웰이면 수평선 Tslope=TeffT_{slope} = T_{eff}이다. 해볼 것: ① x = 2(드루이베스테인), ⟨ε⟩ = 4.5 eV: 저에너지 기울기 온도는 TeffT_{eff}보다 높고 15 eV에서는 1 eV 남짓으로 떨어진다. 이온화 문턱 위 비율은 맥스웰의 약 1/25다. ② x < 1이면 반대로 꼬리가 두꺼워져 기울기 온도가 에너지와 함께 커진다.
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두 온도 분포: 소수의 뜨거운 전자가 이온화를 맡는다

예
T_eff = ⅔⟨ε⟩—
K_iz (두 온도)—
K_iz (맥스웰, T_eff)—
이온화 중 뜨거운 무리 몫—
탐침식 Tₑ (0–3 eV 기울기)—
Kiz=2e/m∫σiz εF dεK_{iz} = \sqrt{2e/m}\int\sigma_{iz}\,\varepsilon F\,d\varepsilon(3장 Ar 근사 단면적). 점선은 두 성분, 실선은 합. 해볼 것: ① 기본값(TcT_c = 0.6 eV, ThT_h = 3.5 eV, β = 10 %)에서 TeffT_{eff}는 약 0.9 eV이지만, 이온화는 거의 전부 뜨거운 10 %가 하고 KizK_{iz}는 TeffT_{eff} 맥스웰 값보다 10만 배 넘게 크다. ② 탐침의 저에너지 기울기만 보고 Tₑ ≈ 0.6–0.7 eV라고 하면 이온화를 완전히 잘못 예측한다.

2항 볼츠만 근사: E/N이 분포를 정한다

분포를 가정하지 않고 계산하려면 볼츠만 방정식을 풀어야 한다. 약하게 이온화된 기체에서 전자는 거의 등방이고, 전기장 방향으로 조금 치우쳐 있을 뿐이다. 그래서 속도 분포를 등방 부분 f0f_0와 비등방 부분 f1f_1로 전개하는 2항 근사(two-term approximation)가 잘 맞는다.

f(v)=f0(v)+f1(v)cos⁡θ,∣f1∣≪f0,EN [Td],  1 Td=10−21 V m2f(\mathbf v) = f_0(v) + f_1(v)\cos\theta,\qquad |f_1| \ll f_0,\qquad \frac{E}{N}\ [\text{Td}],\ \ 1\ \text{Td} = 10^{-21}\ \text{V}\,\text{m}^2
θ\theta는 속도와 전기장 사이 각. f1f_1이 전류(표류)를, f0f_0가 에너지 분포를 준다. 정상 상태에서 f1f_1을 소거하면 f0f_0(곧 EEPF FF)에 대한 에너지 공간의 1차원 방정식이 남는다. 전기장 EE와 기체 밀도 NN은 환산 전기장(reduced field) E/NE/N의 조합으로만 나타난다. 전자가 자유 비행 한 번(∝1/N\propto 1/N)에 전기장에서 얻는 에너지가 E/NE/N에 비례하기 때문이다.
f₀: 등방 + + − f₁ cosθ: 표류(전류) = E 전기장 반대로 조금 밀린 구름
그림 4-4. 2항 전개. 충돌이 잦아 전자 방향이 금방 뒤섞이므로, 속도 분포는 등방 구(f0f_0)가 전기장 반대 방향으로 조금 밀린 모양이다. 밀린 정도(f1f_1)가 표류 속도, 구의 반지름 분포(f0f_0)가 EEDF다.

EEPF F(ε)F(\varepsilon)에 대한 정상 상태 방정식은 "에너지 공간의 흐름" G(ε)G(\varepsilon)의 보존 법칙으로 쓸 수 있다(Hagelaar–Pitchford 형식, γ=2e/m\gamma = \sqrt{2e/m}).

dGdε=∑k[(ε+uk) σk(ε+uk) F(ε+uk)−ε σk(ε) F(ε)],G=−13(EN)2εσmdFdε⏟전기장 가열  −  2mM ε2σm(F+TgdFdε)⏟탄성 냉각\frac{dG}{d\varepsilon} = \sum_k \Big[(\varepsilon + u_k)\,\sigma_k(\varepsilon + u_k)\,F(\varepsilon + u_k) - \varepsilon\,\sigma_k(\varepsilon)\,F(\varepsilon)\Big],\qquad G = \underbrace{-\frac13\Big(\frac{E}{N}\Big)^2\frac{\varepsilon}{\sigma_m}\frac{dF}{d\varepsilon}}_{\text{전기장 가열}}\;\underbrace{-\;\frac{2m}{M}\,\varepsilon^2\sigma_m\Big(F + T_g\frac{dF}{d\varepsilon}\Big)}_{\text{탄성 냉각}}
양변을 γN\gamma N으로 나눈 꼴이다. 가열 항은 에너지 공간의 확산(분포를 위로 펼침), 탄성 항은 아래로의 표류, 오른쪽은 비탄성 충돌로 uku_k만큼 아래로 "뛰는" 전자(손실 −εσkF-\varepsilon\sigma_kF, 위에서 떨어져 들어오는 이득)다. 경계 조건 G(0)=G(∞)=0G(0) = G(\infty) = 0. RF 전기장이면 (EN)21σm→(ErmsN)2σmσm2+(ω/Nγ)2/ε\big(\frac{E}{N}\big)^2\frac{1}{\sigma_m} \to \big(\frac{E_{rms}}{N}\big)^2\frac{\sigma_m}{\sigma_m^2 + (\omega/N\gamma)^2/\varepsilon}로 바꾼다. 전자가 충돌 한 번 사이에 장의 방향이 여러 번 바뀌면(νm≪ω\nu_m \ll \omega) 가열이 약해진다.
0511.5515.7620 eV 비탄성 손실 구역 전기장 가열 (위로 확산) 탄성 (2m/M, 아주 작음) 여기: 11.55 eV 아래로 점프 이온화: 15.76 eV 잃음 정상 상태: 아래에서 위로 올라가는 흐름 G(ε) = 위에서 떨어지는 전자 수. 문턱 위에서는 전자가 오래 머물지 못해 꼬리가 고갈된다.
그림 4-5. 에너지 공간의 흐름. 전자는 전기장에 데워져 천천히 위로 올라가고, 11.55 eV를 넘자마자 여기 충돌로 아래로 떨어진다. 그래서 EEPF는 문턱 위에서 급격히 꺾인다. Ar은 2m/M2m/M이 작아 문턱 아래에서는 거의 손실이 없으므로 평균 에너지가 높고 분포가 평평하다.
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2항 볼츠만 풀이기: Ar 속 전자의 EEPF

전기장
⟨ε⟩—
K_iz (볼츠만)—
K_iz (맥스웰, 같은 ⟨ε⟩)—
K_ex (볼츠만)—
표류 속도 v_d (DC)—
위 방정식을 εmax\varepsilon_{max}(G=0G = 0, FF ≈ 0)에서 0까지 4차 룽게-쿠타로 내려가며 적분한다. 이득 항 F(ε+u)F(\varepsilon + u)는 이미 계산한 위쪽 값이므로 한 번에 풀린다. 단면적은 3장 Ar 근사(탄성·여기 11.55 eV·이온화 15.76 eV, 이온화로 생긴 2차 전자는 무시). 점선은 같은 평균 에너지의 맥스웰. 해볼 것: ① 100 Td DC: ⟨ε⟩ ≈ 6.5 eV, KizK_{iz}는 같은 평균 에너지 맥스웰 값의 약 1/50 — 꼬리 고갈이다. 3장 몬테카를로 결과와 비교해 보자. ② 비탄성 손실을 끄면 꼬리가 살아나 평균 에너지가 치솟는다. ③ E/N = 30 Td, 13.56 MHz에서 압력을 30 → 3 mTorr로 낮추면 같은 Erms/NE_{rms}/N인데도 νm≪ω\nu_m \ll \omega가 되어 가열이 약해지고 ⟨ε⟩가 약 4.6 → 1.5 eV로 떨어진다. 저압 RF 방전에 무충돌(확률) 가열이 필요한 이유다.

꼬리가 반응 속도를 정한다

3장에서 문턱 반응의 KK가 e−Eth/Tee^{-E_{th}/T_e}로 Tₑ에 민감하다는 것을 보았다. 같은 이유로 평균 에너지가 같아도 꼬리 모양에 민감하다. 반응마다 보는 에너지 구간이 다르기 때문이다. 문턱이 평균 에너지 근처인 반응(O₂ 해리성 부착 4.4 eV, 해리 6 eV)은 분포 모양에 둔감하고, 문턱이 평균의 서너 배인 반응(Ar 이온화)은 꼬리에 크게 좌우된다.

Kk[F]Kk[FM]=∫σk εF dε∫σk εFM dε(같은 ⟨ε⟩),KdissKiz는 꼬리가 깎일수록 커진다\frac{K_k[F]}{K_k[F_M]} = \frac{\int\sigma_k\,\varepsilon F\,d\varepsilon}{\int\sigma_k\,\varepsilon F_M\,d\varepsilon}\quad(\text{같은 }\langle\varepsilon\rangle),\qquad \frac{K_{diss}}{K_{iz}} \text{는 꼬리가 깎일수록 커진다}
이 비가 공정 화학의 손잡이다. 꼬리를 깎는 조건(높은 압력, 분자 기체 첨가)은 래디컬 대 이온 비를 키우고, 꼬리를 살리는 조건(낮은 압력, 높은 전력 밀도, 펄스 켜짐 순간)은 이온화를 키운다(13장, 12장).
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반응 속도 민감도: 평균 에너지는 같고 꼬리만 다를 때

O₂ 부착 K/K_M—
O₂ 해리 K/K_M—
Ar 여기 K/K_M—
Ar 이온화 K/K_M—
해리/이온화 비 변화—
위: 선택한 분포의 각 반응 K/KMK/K_M(맥스웰 대비 배수, 로그 막대). 아래: 모양 지수 x에 따른 K/KMK/K_M 곡선(현재 x는 세로선). 단면적은 3장 근사. 해볼 것: ① ⟨ε⟩ = 4.5 eV, x = 2: Ar 이온화는 맥스웰의 약 1/100, Ar 여기는 약 1/9, O₂ 부착은 오히려 약 1.4배로 커진다(평균 근처 전자가 많아진다). ② O₂ 해리 대 Ar 이온화 비는 x = 1 → 2에서 약 70배 커진다. ③ ⟨ε⟩를 10 eV로 올리면 문턱이 상대적으로 낮아져 모양 민감도가 크게 준다(x = 2에서 이온화 약 1/2).

전자-전자 충돌: 이온화도가 높으면 맥스웰로

전자끼리의 쿨롱 충돌은 질량이 같아 에너지를 효율적으로 나눈다(3장 δ=1/2\delta = 1/2). 이 충돌이 비탄성 손실보다 잦으면 분포는 맥스웰로 다가간다. 쿨롱 단면적은 에너지가 높을수록 작아(∝ε−2\propto\varepsilon^{-2}) 꼬리 전자일수록 맥스웰화가 느리다.

νee(ε)≈2.9×10−12 neln⁡Λ  ε−3/2  [s−1; ne in m−3, ε in eV],νeeνin=2.9×10−12ln⁡Λ ε−3/2σin v⋅neN\nu_{ee}(\varepsilon) \approx 2.9\times10^{-12}\,n_e\ln\Lambda\;\varepsilon^{-3/2}\ \ [\text{s}^{-1};\ n_e\ \text{in m}^{-3},\ \varepsilon\ \text{in eV}],\qquad \frac{\nu_{ee}}{\nu_{in}} = \frac{2.9\times10^{-12}\ln\Lambda\,\varepsilon^{-3/2}}{\sigma_{in}\,v}\cdot\frac{n_e}{N}
ln⁡Λ≈10\ln\Lambda \approx 10. 비는 이온화도 ne/Nn_e/N로 정해진다. 15 eV에서 이 비는 약 40 ne/N40\,n_e/N으로 1보다 훨씬 작지만, 꼬리 전자는 수가 워낙 적어서 ne/N∼10−4n_e/N \sim 10^{-4}–10−310^{-3}만 되어도 e-e 충돌이 꼬리를 눈에 띄게 다시 채운다. 볼츠만 방정식에서는 GG에 Gee=−3aneNA1F−2aneN(A2+ε3/2A3)dFdεG_{ee} = -3a\frac{n_e}{N}A_1F - 2a\frac{n_e}{N}\left(A_2 + \varepsilon^{3/2}A_3\right)\frac{dF}{d\varepsilon}를 더한다. 여기서 A1=∫0εu1/2F duA_1 = \int_0^\varepsilon u^{1/2}F\,du, A2=∫0εu3/2F duA_2 = \int_0^\varepsilon u^{3/2}F\,du, A3=∫ε∞F duA_3 = \int_\varepsilon^\infty F\,du, a=e2γln⁡Λ/(24πε02)a = e^2\gamma\ln\Lambda/(24\pi\varepsilon_0^2). 맥스웰이면 이 흐름이 정확히 0이다.

PL-300 기준점으로 보면, IC 모듈(Ar 10 mTorr, ne≈4×1017n_e \approx 4\times10^{17} m⁻³)은 ne/N≈1.2×10−3n_e/N \approx 1.2\times10^{-3}으로 e-e 충돌이 중요하다. 고밀도 ICP의 EEPF가 CCP보다 맥스웰에 가까운 한 이유다. CP 모듈(30 mTorr, 5×10165\times10^{16} m⁻³)은 5×10−55\times10^{-5}, PE 모듈 PECVD(3 Torr)는 10−710^{-7} 수준으로 e-e 효과가 거의 없다.

IC 모듈 EEPF와 전역 모델의 TₑIC 모듈 기준점(Ar 10 mTorr, 1.5 kW)의 전역 모델 Tₑ = 2.5 eV는 맥스웰 분포를 가정한 값이다. 이 장의 볼츠만 풀이기에서 등가 E/N 약 12 Td, ne/N=1.25×10−3n_e/N = 1.25\times10^{-3}으로 두면 평균 에너지는 약 3.6 eV(Teff≈2.4T_{eff} \approx 2.4 eV)로 비슷하지만, KizK_{iz}는 같은 평균 에너지 맥스웰 값의 약 1/20이다. 실제 장비에서 탐침으로 잰 EEPF는 이보다 맥스웰에 가깝다. 저압 ICP에서는 전자가 표피층의 강한 장과 벌크를 무충돌로 오가며(비국소), 국소 E/N 모델보다 꼬리가 덜 깎이기 때문이다. 전역 모델의 Tₑ는 "이온화 속도가 맞도록 고른 등가 온도"로 읽어야 한다.
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전자-전자 충돌과 맥스웰화: 이온화도 손잡이

PL-300 프리셋
⟨ε⟩ (e-e 포함)—
K_iz e-e 없음—
K_iz e-e 포함—
K_iz 맥스웰(같은 ⟨ε⟩)—
ν_ee/ν_in (15 eV)—
2항 볼츠만 풀이기에 위의 e-e 흐름 GeeG_{ee}을 넣고, A1,A2,A3A_1, A_2, A_3를 직전 해로 계산해 수렴할 때까지 반복한다. 실선 = e-e 포함, 회색 점선 = e-e 없음, 가는 점선 = 같은 평균 에너지의 맥스웰. 해볼 것: ① IC 프리셋: 꼬리가 e-e 없음보다 몇 자릿수 올라가 KizK_{iz}가 수백만 배 커진다. 그래도 맥스웰보다는 낮다. ② PE 프리셋(10−710^{-7})은 e-e를 넣어도 거의 그대로다. ③ 이온화도를 10−210^{-2} 근처까지 올리면 문턱 아래 분포가 맥스웰 직선으로 펴진다.

저압의 비국소 EEDF: ICP와 CCP

지금까지는 분포가 그 자리의 전기장(국소 E/N)으로 정해진다고 보았다(국소 근사). 이 근사는 전자가 에너지를 주고받으며 이동하는 거리, 곧 에너지 완화 길이 λε\lambda_\varepsilon가 장치보다 짧을 때만 맞다. 탄성 충돌만 있는 에너지 구간에서 λε≈λmM/6m≈110 λm\lambda_\varepsilon \approx \lambda_m\sqrt{M/6m} \approx 110\,\lambda_m(Ar)이다. IC 모듈 10 mTorr의 λm≈3\lambda_m \approx 3 cm이면 λε\lambda_\varepsilon은 수 m — 챔버(높이 0.1 m)보다 훨씬 길다. 전자는 에너지를 잃기 전에 챔버를 수십 번 왕복한다.

εt=ε+eϕ(r)=일정⟹F(ε,r)=F0(ε+eϕ(r)),λε≫L\varepsilon_t = \varepsilon + e\phi(\mathbf r) = \text{일정}\quad\Longrightarrow\quad F(\varepsilon, \mathbf r) = F_0\big(\varepsilon + e\phi(\mathbf r)\big),\qquad \lambda_\varepsilon \gg L
비국소 근사(nonlocal approach): 전자의 총에너지 εt\varepsilon_t(운동 + 양극성 퍼텐셜 에너지 eϕe\phi, 벽 쪽으로 커짐)가 보존되므로 EEPF는 총에너지 하나만의 함수 F0(εt)F_0(\varepsilon_t)다. 위치 r\mathbf r에서는 그 함수를 eϕ(r)e\phi(\mathbf r)만큼 잘라 낸 것을 본다. 맥스웰이면 모양은 같고 밀도만 볼츠만 인수 e−eϕ/Tee^{-e\phi/T_e}로 줄지만, 비맥스웰이면 위치마다 모양이 달라진다. 벽 전위보다 총에너지가 큰 전자는 벽으로 빠져나가므로 F0F_0는 eΦwe\Phi_w 위에서 고갈된다.
eφ(r): 중심에서 0, 시스 가장자리·벽으로 갈수록 커짐 eΦ_w: 이보다 높으면 벽으로 탈출 갇힌 전자 (총에너지 일정, 챔버 전체를 오감) 중심: 모든 전자를 봄 가장자리: 총에너지 큰 전자만 국소 근사F(ε, r) ← E(r)/N 비국소 근사F(ε, r) = F₀(ε + eφ(r))
그림 4-6. 비국소 그림. 저압에서는 전자가 양극성 퍼텐셜 우물 안을 무충돌로 오가며 가열 영역(ICP 표피층, CCP 시스 가장자리)에서 얻은 에너지를 챔버 전체에 나눈다. 분포는 국소 전기장이 아니라 공간 평균 가열과 총에너지로 정해진다.
CCP (13.56 MHz, Ar) 저압 (~30 mTorr): 두 온도 고압 (~300 mTorr): 드루이베스테인형 차가운 무리: 램사우어로 가열 안 됨 ε ICP (13.56 MHz, Ar) H 모드: 맥스웰 + 문턱 위 고갈 고밀도: e-e로 더 직선 11.55 eV ε
그림 4-7. 측정으로 알려진 경향의 정성도(Godyak 등). 저압 Ar CCP는 시스 가장자리에서 확률 가열된 뜨거운 전자와 벌크에 갇혀 램사우어 최소 때문에 거의 가열되지 못하는 차가운 전자로 나뉜 두 온도 분포다. 압력을 올리면 충돌 가열로 바뀌어 차가운 무리가 데워지고 꼬리가 깎인 드루이베스테인형이 된다(α–γ 전이 포함은 9장). ICP의 H 모드는 밀도가 높아 e-e 충돌이 분포를 맥스웰에 가깝게 만들고, 여기 문턱 위만 고갈된다(10장).
SIMULATOR

비국소 EEPF: 위치마다 잘라 보는 하나의 분포

중심 분포 F₀(ε_t)
n(r)/n(0)—
국소 ⟨ε⟩—
중심 ⟨ε⟩—
국소 탐침식 Tₑ (0–3 eV)—
왼쪽: 퍼텐셜 eϕ(r)=eϕ(R)(r/R)2e\phi(r) = e\phi(R)(r/R)^2(벌크의 양극성 퍼텐셜을 포물선으로 근사)과 선택한 위치. 오른쪽: 중심 EEPF(점선)와 위치 r의 EEPF F0(ε+eϕ)F_0(\varepsilon + e\phi)(실선), 가로축은 그 자리의 운동 에너지. 해볼 것: ① 맥스웰이면 실선이 점선과 평행이다(모양 같음, 밀도만 볼츠만 인수). ② 두 온도면 가장자리로 갈수록 차가운 무리가 사라져 국소 ⟨ε⟩와 탐침식 Tₑ가 커진다. 저압 CCP에서 탐침 위치에 따라 Tₑ가 달라 보이는 이유다. ③ 드루이베스테인이면 반대로 가장자리 분포가 더 가파르다.

분포를 바꾸는 손잡이

장비 엔지니어가 EEDF를 직접 정하지는 않지만, 손잡이마다 분포가 움직이는 방향은 분명하다. 아래 표는 이 장의 계산과 측정 경향을 요약한 것이다.

손잡이 (조건)분포에 일어나는 일결과
압력 ↑ (CCP 30 → 300 mTorr)충돌 가열 지배, 국소화, 문턱 위 꼬리 고갈 심해짐평균 에너지·Tₑ ↓, 해리/이온화 비 ↑, 두 온도 → 드루이베스테인형
압력 ↓ (ICP 10 → 2 mTorr)비국소, 무충돌 가열, 벽 탈출로 eΦwe\Phi_w 위 고갈Tₑ ↑(입자 균형, 8장), 위치에 따른 분포 차이 ↓
전력 ↑ (같은 압력)밀도 ↑ → 이온화도 ↑ → e-e 충돌로 맥스웰화Tₑ는 거의 그대로, 꼬리가 채워져 KizK_{iz}가 맥스웰 값에 가까워짐
주파수 ↑ (CCP 13.56 → 60 MHz)같은 전력에서 밀도 ↑, 시스 전압 ↓, 확률 가열 비중 변화e-e 효과 ↑, 저에너지 차가운 무리 줄어듦
분자 기체 첨가 (Ar → Ar/O₂, CF₄)진동·해리 손실이 1–10 eV에 생김(램사우어 골도 메움)평균 에너지 ↓, 차가운 무리 가열, 문턱 높은 반응 억제
펄스 켜짐 직후 / 꺼짐(잔광)켜짐: 오버슈트로 뜨거운 꼬리, 꺼짐: 꼬리 수 µs 안에 소멸시간 평균 화학 조절(12장)
CP 모듈에서 압력을 바꿀 때CP 모듈(30 mTorr, 60 MHz 1 kW, ne≈5×1010n_e \approx 5\times10^{10} cm⁻³, Tₑ ≈ 3 eV)에서 압력을 100 mTorr 이상으로 올리면 EEPF의 뜨거운 꼬리가 줄어 Ar 이온화와 C₄F₈의 해리성 이온화가 해리보다 더 많이 준다. 같은 전력에서 플루오로카본 래디컬 대 이온 플럭스 비가 커지고 고분자 증착 경향이 커진다. 반대로 압력을 낮추면 꼬리가 살아나 이온 비중이 커진다. 레시피의 압력 손잡이는 이온 에너지만이 아니라 EEDF를 통해 화학 조성을 돌린다.
더 읽을거리Hagelaar & Pitchford(2005)의 2항 볼츠만 풀이와 공개 풀이기, Godyak의 저압 ICP·CCP EEPF 측정, Kolobov–Godyak의 비국소 전자 동역학 리뷰가 이 장의 배경이다. 탐침으로 EEPF를 재는 법은 15장, 공정 관점의 플라즈마 화학은 EtchBook 플라스마 장에 있다.

핵심 정리

  1. EEDF f(ε)f(\varepsilon)에는 상태 밀도 ε\sqrt\varepsilon이 붙고, 이를 뗀 EEPF F=f/εF = f/\sqrt\varepsilon를 로그로 그리면 맥스웰은 기울기 −1/Te-1/T_e인 직선이다. 직선에서 벗어난 곳이 비맥스웰 부분이다.
  2. 일반 지수 분포 F∝e−(ε/ε0)xF \propto e^{-(\varepsilon/\varepsilon_0)^x}: x = 1 맥스웰, x = 2 드루이베스테인. 두 온도 분포는 차가운 무리와 뜨거운 꼬리의 합이다. 비맥스웰 분포에서는 Teff=23⟨ε⟩T_{eff} = \frac23\langle\varepsilon\rangle와 기울기 온도가 다르다.
  3. 2항 볼츠만 근사는 에너지 공간의 흐름 균형(전기장 가열 = 탄성 냉각 + 비탄성 점프)이며, 분포는 E/N(Td)으로 정해진다. Ar에서는 11.55 eV 위 꼬리가 깎여 KizK_{iz}가 같은 평균 에너지 맥스웰보다 훨씬 작다.
  4. RF에서는 νm\nu_m과 ω의 비가 가열 효율을 정한다. 저압(νm≪ω\nu_m \ll \omega)에서는 충돌 가열이 약하다.
  5. 평균 에너지가 같아도 문턱이 높은 반응일수록 꼬리 모양에 민감하다. 해리/이온화 비는 꼬리를 깎을수록 커진다.
  6. 이온화도 ne/N≳10−3n_e/N \gtrsim 10^{-3}이면 전자-전자 충돌이 꼬리를 채워 맥스웰로 다가간다(IC 모듈 약 1.2×10−31.2\times10^{-3}).
  7. 저압에서는 λε≫L\lambda_\varepsilon \gg L이라 EEPF가 총에너지의 함수 F0(ε+eϕ)F_0(\varepsilon + e\phi)인 비국소 분포가 된다. 저압 CCP는 두 온도, ICP H 모드는 맥스웰 + 문턱 위 고갈이 대표 모양이다.

확인 퀴즈

1. 로그 축 EEPF에서 맥스웰 분포는 어떤 모양인가?

FM∝e−ε/TeF_M \propto e^{-\varepsilon/T_e}이므로 ln⁡F\ln F는 ε\varepsilon의 1차 함수다. 아래로 굽은 포물선은 드루이베스테인 분포다.

2. 평균 에너지가 4.5 eV로 같은 맥스웰과 드루이베스테인 분포에서 Ar 이온화 속도 계수의 비 K_Druyvesteyn/K_Maxwell은 대략?

드루이베스테인은 꼬리가 e−cε2e^{-c\varepsilon^2}로 빨리 떨어져 15.76 eV 위 전자가 훨씬 적다. 근사 단면적으로 적분하면 약 1/100이다(문턱 위 전자 수는 약 1/25, 그 안에서도 높은 에너지 쪽이 더 줄어든다). 평균 에너지만으로는 이온화 속도를 정할 수 없다.

3. 2항 볼츠만 방정식에서 E와 N이 E/N 조합으로만 나타나는 이유로 가장 알맞은 것은?

충돌 단위로 보면 얻는 에너지(eEλ∝E/NeE\lambda \propto E/N)와 잃는 에너지(충돌당)가 모두 N과 같은 방식으로 바뀐다. 그래서 E와 N을 같이 두 배로 하면 분포가 같다. e-e 충돌·RF 주파수·벽 손실이 들어오면 이 닮음이 깨진다.

4. 같은 E_rms/N에서 13.56 MHz 방전의 압력을 30 mTorr에서 3 mTorr로 낮추면 국소 볼츠만 모델의 평균 전자 에너지는?

RF 가열은 νm/(νm2+ω2)\nu_m/(\nu_m^2 + \omega^2)에 비례한다. 압력을 낮추면 νm\nu_m이 ω보다 작아져 충돌 가열이 약해진다. 실제 저압 방전은 시스·표피층의 무충돌 가열로 이를 메운다.

5. 저압 Ar CCP의 EEPF가 두 온도(차가운 무리 + 뜨거운 꼬리) 모양이 되는 주된 이유는?

충돌 가열은 νm\nu_m에 비례하는데 Ar의 램사우어 최소(약 0.24 eV) 근처 전자는 거의 부딪히지 않아 가열되지 않는다. 시스까지 갈 에너지가 없는 차가운 전자는 확률 가열도 받지 못한다. 압력을 올리면 사라진다.

6. 전력을 올려 nₑ/N이 10⁻⁵에서 10⁻³으로 커졌다. EEPF와 이온화 속도는 어떻게 되는가?

e-e 충돌 주파수는 nₑ에 비례하고 같은 질량끼리라 에너지를 잘 나눈다. 이온화도 10−310^{-3} 근처부터 문턱 위 꼬리를 다시 채워 KizK_{iz}가 크게 오른다. 고밀도 ICP가 맥스웰에 가까운 이유다.

7. 비국소 근사에서 맥스웰 중심 분포를 가진 플라즈마의 가장자리(eφ = 2Tₑ) EEPF는?

F(ε,r)=F0(ε+eϕ)=F0(ε)e−eϕ/TeF(\varepsilon, r) = F_0(\varepsilon + e\phi) = F_0(\varepsilon)e^{-e\phi/T_e}. 맥스웰만 이 성질(볼츠만 관계)을 가진다. 비맥스웰이면 위치마다 모양이 달라진다.