Chapter 11

CD 제어와 계측

10장에서 초점과 노광량이 얼마나 흔들려도 되는지를 공정 윈도로 그렸다. 이제 반대쪽 질문이 남는다. 실제 웨이퍼 위에서 선폭은 얼마나 흔들리고 있는가, 그리고 그것을 어떻게 아는가. 14 nm 선에서 허용 오차 ±10%는 ±1.4 nm, 실리콘 원자 대여섯 개의 폭이다. 이 장은 먼저 "선폭"이라는 숫자가 무엇을 재는 것인지 따져 보고, 그 숫자를 만드는 두 계측기(CD-SEM과 산란 계측)를 직접 만져 본 다음, 웨이퍼 전체의 선폭 변동을 원인별로 쪼개고, 보정하고, 끝내 보정할 수 없는 거칠기라는 바닥에 닿는다.

레지스트 단면에서 CD가 측정 높이와 측정 방법에 따라 달라지는 이유를 설명한다.
CD-SEM 파형의 문턱, 프레임 평균, 레지스트 수축이 측정값을 어떻게 바꾸는지 말한다.
산란 계측이 스펙트럼을 모델에 맞춰 CD와 높이를 거꾸로 구하는 과정을 따라간다.
CD 균일도를 노광량·초점·마스크·트랙·무작위 성분으로 나누고 제곱합으로 합친다.
LER과 LWR을 PSD의 세 변수로 기술하고, 거칠기가 선폭과 함께 줄어들지 않는 이유를 설명한다.
EWMA 런투런 제어에서 게인이 지연과 잡음 증폭 사이의 절충임을 보인다.

CD라는 숫자는 어디를 잰 것인가

임계 치수(Critical dimension, CD)는 패턴에서 가장 중요한 폭, 보통 가장 좁은 선이나 간격의 폭을 가리킨다. 1장에서 피치와 함께 소개한 말이다. 설계 도면에서 선은 폭이 하나뿐인 직사각형이지만, 9장에서 본 대로 현상을 마친 레지스트 선은 측벽이 기울고 꼭대기가 둥근 입체다. 입체에는 폭이 하나가 아니다. 바닥에서 재면 넓고 꼭대기에서 재면 좁다.

그래서 "CD가 14 nm"라는 말은 "어느 높이에서, 어떤 방법으로 쟀을 때"라는 조건이 붙어야 완전하다. 흔히 쓰는 정의는 세 가지다. 바닥에서 잰 하부 CD(Bottom CD), 높이의 절반에서 잰 중간 CD, 꼭대기 가까이에서 잰 상부 CD. 다음 공정인 식각이 실제로 옮기는 폭은 대개 하부 CD에 가깝지만, 위에서 내려다보는 전자현미경은 가장 넓은 외곽만 본다.

아래 그림에서 가로 점선을 위아래로 끌어 보자. 같은 선인데 숫자가 바뀐다. 그다음 측벽 각도를 낮춰 본다.

SIMULATOR

측정 높이에 따라 달라지는 선폭

점선을 위아래로 끈다

측벽 각도 꼭대기 둥글기

이 높이의 CD—

하부 (0%)—

중간 (50%)—

상부 (90%)—

위에서 본 외곽 폭—

남은 높이—

해볼 것: ① 점선을 바닥에서 꼭대기까지 끌어 하부·중간·상부 CD의 차이를 본다. ② 각도를 77° 아래로 내리면 양쪽 측벽이 꼭대기에서 만나 선이 뾰족해지고 높이를 잃는다. ③ 90°를 넘기면(역경사) 위에서 본 외곽은 넓어지는데 하부 CD는 14 nm 그대로다. 위에서 보는 계측은 바닥을 볼 수 없다. (하부 폭 14 nm, 높이 30 nm, 피치 28 nm. 측벽은 직선, 꼭대기는 원호로 근사)

측벽 각도 86°에서 하부와 상부(90% 높이) CD는 4 nm 가까이 차이가 난다. 허용 오차가 ±1.4 nm인 선에서 정의 하나가 허용 오차의 세 배를 움직인다. 두 공장, 두 장비가 같은 웨이퍼를 재고 다른 숫자를 내놓는 일이 흔한 이유다. 계측에서 중요한 것은 절대값보다 같은 정의로 일관되게 재는 것이고, 절대값이 필요하면 단면 TEM 같은 기준 계측과 맞춰 보정한다.

선폭과 간격 피치가 고정된 격자에서는 선이 1 nm 굵어지면 간격이 1 nm 좁아진다. 이 책에서 LB-28은 "선 = 레지스트가 남는 곳"이다. 다마신 배선에서는 레지스트 사이 간격이 나중에 금속이 되므로, 레지스트 선폭의 오차는 그대로 금속 간격(절연)과 금속 폭(저항)의 오차가 된다. 이 이야기는 15장에서 이어진다.

CD-SEM: 밝은 가장자리 사이의 거리

양산에서 선폭을 재는 주력 장비는 CD-SEM(Critical dimension scanning electron microscope)이다. 수백 V로 가속한 가는 전자빔으로 웨이퍼를 위에서 훑고, 튀어나오는 2차 전자(Secondary electron)의 수를 밝기로 그린다. 가속 전압을 약 300~800 V로 낮게 쓰는 것은 레지스트 손상과 대전을 줄이기 위해서다.

이 영상에서 선의 가장자리는 밝은 띠로 나타난다. 2차 전자는 에너지가 낮아서 표면에서 수 nm 안쪽에서 생긴 것만 밖으로 빠져나온다. 빔이 평평한 면에 떨어지면 빠져나갈 표면이 위쪽 하나뿐이지만, 측벽이나 모서리에 떨어지면 옆면으로도 빠져나가므로 신호가 커진다. 이것을 가장자리 효과(Edge effect, edge bloom)라고 한다.

가장자리가 밝은 이유. 측벽에 떨어진 빔은 옆면으로도 2차 전자를 내보낸다. 영상에서 선의 양쪽 가장자리가 밝은 띠가 되고, CD-SEM은 두 띠 사이의 거리를 잰다.

문제는 "띠의 어디를 가장자리로 볼 것인가"다. 밝은 띠는 폭이 수 nm이고, 실제 측벽의 바닥은 그 바깥 기슭 어딘가에 있다. CD-SEM은 영상을 선 방향으로 평균해 선 주사 파형(Line scan)을 만들고, 봉우리의 최댓값과 바깥 바닥값 사이의 정해진 비율(문턱, 흔히 50%)을 지나는 위치를 가장자리로 삼는다.

아래 화면의 위쪽은 합성한 CD-SEM 영상, 아래쪽은 그 파형이다. 노란 문턱선을 위아래로 끌어 보자. 그다음 프레임 수를 1까지 내렸다가 64까지 올려 본다.

SIMULATOR

CD-SEM 파형과 문턱

파형 위에서 문턱선을 끈다

프레임 평균

측정 CD—

실제 하부 CD—

편향 (측정 − 실제)—

반복 정밀도 3σ—

전자빔 수축—

P/T (공차 ±1.4 nm)—

해볼 것: ① 문턱을 20%에서 80%까지 끌면 측정 CD가 수 nm나 움직인다. 선은 그대로다. ② 프레임을 1로 내리면 영상이 잡음에 묻히고 반복 정밀도가 무너진다. ③ 프레임을 64로 올리면 정밀도는 좋아지지만 전자를 많이 맞은 레지스트가 줄어들어 실제 선이 가늘어진다. (2차 전자 신호는 가장자리에서 지수적으로 줄어드는 봉우리 + 지름 약 2 nm 빔으로 근사. 수축은 최대 1.5 nm로 포화하는 지수 모델. 반복 정밀도는 잡음만 바꿔 40번 잰 값의 3σ)

세 가지를 봤다. 첫째, 문턱은 측정값에 일정한 편향(Bias)을 준다. 편향 자체는 문제가 아니다. 문턱을 고정하면 편향도 고정되므로 변화를 보는 데는 지장이 없다. 문제는 측벽 각도가 바뀌면 봉우리 모양이 바뀌어 편향도 함께 바뀐다는 점이다. CD-SEM은 선폭 변화와 측벽 변화를 깨끗이 구분하지 못한다.

둘째, 잡음은 프레임을 겹쳐 평균하면 $1/\sqrt{N}$로 줄어든다. 셋째, 그 대가가 레지스트 수축(Resist shrinkage, slimming)이다. 전자빔이 레지스트의 결합을 끊어 부피가 줄어든다. ArF 레지스트는 한 번 측정에 수 nm까지 줄어든 사례가 보고돼 있고, 얇은 EUV 레지스트도 1 nm 안팎으로 줄 수 있다. 같은 자리를 두 번 재면 두 번째 값이 더 작다. 그래서 양산에서는 전자 조사량을 정해 두고, 수축량을 따로 구해 빼거나, 측정한 자리를 다시 재지 않는다.

측정 상자 안에서 일어나는 일 CD-SEM의 한 측정은 선 방향으로 수십~수백 nm 길이의 상자 안을 평균한 값이다. 이 평균 길이가 측정값의 흔들림을 얼마나 바꾸는지는 뒤의 거칠기 절에서 직접 끌어 본다.

산란 계측: 보지 않고 맞춰서 잰다

CD-SEM은 선 몇 줄을 직접 본다. 산란 계측(Scatterometry, optical CD, OCD)은 정반대다. 수십 µm 크기의 격자 타깃에 넓은 파장의 빛을 비추고 반사된 빛의 스펙트럼만 잰다. 영상은 없다. 격자의 피치가 파장보다 훨씬 작으면 빛은 선 하나하나를 구분하지 못하고, 격자 전체를 굴절률이 방향에 따라 다른 하나의 얇은 막처럼 느낀다. 이것을 유효 매질 근사(Effective medium approximation)라고 한다.

$$\varepsilon_{\parallel} = f\,\varepsilon_r + (1-f), \qquad \frac{1}{\varepsilon_{\perp}} = \frac{f}{\varepsilon_r} + (1-f), \qquad f = \frac{\mathrm{CD}}{p}$$

$\varepsilon_r = n_r^2$는 레지스트의 유전율, $f$는 선이 차지하는 비율, $p$는 피치. $\parallel$은 전기장이 선과 나란한 편광(TE), $\perp$은 선에 수직인 편광(TM)이다.

선폭이 굵어지면 $f$가 커져 유효 굴절률이 올라가고, 높이가 바뀌면 막 두께가 바뀐다. 둘 다 박막 간섭 무늬를 옮긴다. 그러니 스펙트럼을 재고, 모델의 CD와 높이를 바꿔 가며 계산한 스펙트럼이 측정과 겹칠 때의 값을 답으로 삼으면 된다. 실제 장비는 엄밀 결합파 해석(RCWA)으로 미리 계산해 둔 수많은 스펙트럼의 라이브러리에서 가장 가까운 것을 찾는다.

아래에서 직접 해 보자. 점은 어떤 격자를 "측정"한 스펙트럼이고, 선은 슬라이더 값으로 계산한 모델이다. 아래 칸의 잔차가 0 근처의 잡음만 남도록 두 슬라이더를 맞춘다.

SIMULATOR

스펙트럼 맞추기

모델 선폭 모델 높이

TE (전기장 ∥ 선)TM (전기장 ⊥ 선)점: 측정, 선: 모델

잔차 RMS (반사율 ×10⁻³)—

판정—

유효 굴절률 TE / TM—

정답숨김

해볼 것: ① 선폭만 움직여 스펙트럼의 어느 파장대가 반응하는지 본다. TE와 TM이 다르게 움직인다. ② 높이만 움직여 본다. 비슷한 방향으로 움직이는 파장대가 있다. 이것이 두 변수의 상관이다. ③ 잔차를 잡음 수준(약 1.5 × 10⁻³)까지 낮춘 뒤 정답을 본다. (피치 28 nm 레지스트 격자 / 산화막 100 nm / 실리콘, 수직 입사. 격자는 유효 매질 한 층으로 보고 LT.tmm으로 계산한다. 레지스트 굴절률 1.6 고정, 측벽은 수직으로 가정)

맞춰 보면 선폭을 조금 키우고 높이를 조금 낮춰도 잔차가 비슷하게 유지되는 구간이 있다. 변수가 스펙트럼을 비슷한 방향으로 움직이면 둘을 따로 정하기 어렵다. 실제 모델에는 측벽 각도, 꼭대기 둥글기, 아래 막 두께까지 들어가므로 이 상관 문제가 훨씬 심해진다. 산란 계측의 성패는 "어떤 변수를 풀고 어떤 변수를 고정할 것인가"를 정하는 모델링에 달려 있다.

방법	보는 것	강점	약점
CD-SEM	선 몇 줄의 위에서 본 영상	실제 회로 안 어디든 잰다. 거칠기와 국부 변동을 본다	단면 정보가 약하다. 수축, 대전. 한 점에 수 초
산란 계측(OCD)	격자 타깃 전체의 평균 스펙트럼	빠르다(1초 미만). 높이·측벽 각도까지 준다. 비파괴. 수많은 선의 평균이라 반복 정밀도가 좋다	전용 격자 타깃이 필요하다. 모델에 의존한다. 국부 변동은 못 본다
CD-AFM	탐침으로 훑은 단면 윤곽	측벽 모양을 직접 잰다. 기준 계측	느리다. 탐침이 좁은 간격에 들어가지 못한다
단면 TEM	잘라 낸 단면	가장 직접적인 기준	파괴 검사. 시료 하나에 수 시간

양산에서는 둘을 나눠 쓴다. 웨이퍼 전체의 평균 선폭과 프로파일을 빠르게 훑는 일은 산란 계측이, 실제 회로 안의 취약한 자리와 거칠기를 보는 일은 CD-SEM이 맡는다.

계측기도 흔들린다: P/T 비

CD-SEM 시뮬레이터의 "반복 정밀도"는 같은 선을 여러 번 쟀을 때 측정값이 퍼지는 폭이다. 계측기가 흔들리면 공정이 가만히 있어도 측정값은 흔들린다. 우리가 보는 변동은 실제 공정 변동과 계측 변동이 제곱으로 더해진 것이다.

$$\sigma_{\text{관측}}^2 = \sigma_{\text{공정}}^2 + \sigma_{\text{계측}}^2, \qquad \sigma_{\text{계측}}^2 = \sigma_{\text{반복}}^2 + \sigma_{\text{재현}}^2$$

반복성(Repeatability)은 같은 장비·같은 조건에서 연달아 잰 흔들림, 재현성(Reproducibility)은 웨이퍼를 다시 올리거나 다른 날, 다른 장비로 쟀을 때의 흔들림이다.

계측기가 쓸 만한지는 흔들림의 절대값이 아니라 재려는 공차에 대한 비율로 판단한다. 이것이 정밀도 대 공차 비(Precision-to-tolerance ratio, P/T)다.

$$P/T = \frac{6\,\sigma_{\text{계측}}}{\mathrm{USL} - \mathrm{LSL}}$$

USL, LSL은 규격 상한과 하한. 흔히 0.1 이하면 충분하고 0.3을 넘으면 계측기가 규격을 판정할 자격이 없다고 본다.

공차 ±1.4 nm(폭 2.8 nm)에서 P/T 0.1을 지키려면 $6\sigma_{\text{계측}} \le 0.28$ nm, 즉 3σ로 0.14 nm다. 원자 지름(약 0.2~0.3 nm)보다 작다. 원자 하나보다 작은 정밀도가 가능한 것은 한 번의 측정이 긴 가장자리 위 수많은 점의 평균이기 때문이다. 위 시뮬레이터에서 프레임을 올려 P/T가 0.1 아래로 내려가는 지점을 찾아보면 64프레임 근처이고, 그때 선은 이미 1.4 nm쯤 수축해 있다. 정밀도와 손상은 같은 전자 수를 두고 다툰다.

CD 균일도: 변동을 원인별로 쪼갠다

한 점을 재는 법을 알았으니 웨이퍼 전체를 재 보자. 300 mm 웨이퍼 한 장에는 26 × 33 mm 노광 필드가 약 90개 들어가고, 필드마다 여러 점을 재면 수천 개의 선폭이 나온다. 이 값들의 3σ가 CD 균일도(CD uniformity, CDU)다. 규격은 3σ가 공차 안에 드는 것이다.

변동에는 원인마다 고유한 무늬가 있다.

원인	선폭으로 바뀌는 길	웨이퍼 위 무늬
노광량 오차	노광량 여유도의 역수. LB-28은 1%당 약 0.14 nm	필드마다 다른 값(펄스 에너지), 슬릿을 따라 휘는 곡선(조명 균일도)
초점 오차	보성 곡선의 곡률. 어느 쪽으로 어긋나도 같은 방향으로 변한다	웨이퍼 가장자리, 필드 기울기, 아래층 단차
마스크 CD 오차	(마스크 오차 ÷ 4) × MEEF	모든 필드에 똑같이 반복된다
트랙(도포·베이크·현상)	PEB 온도 1 °C당 수 nm까지(레지스트에 따라 다르다)	열판과 회전 현상이 남기는 동심원
무작위 성분	거칠기, 확률적 변동, 계측 잡음	무늬 없음

무늬가 다르다는 것이 열쇠다. 필드마다 평균을 내면 필드 간(Inter-field) 성분이 나오고, 모든 필드를 겹쳐 같은 자리끼리 평균을 내면 필드 내(Intra-field) 성분이 나온다. 둘을 빼고 남는 것이 잔차다. 원인들이 서로 독립이면 분산이 더해지므로 전체는 제곱합의 제곱근(Root sum of squares, RSS)으로 합친다.

$$3\sigma_{\text{전체}} = \sqrt{\sum_i \left(3\sigma_i\right)^2}$$

$i$는 노광량, 초점, 마스크, 트랙, 무작위 성분. 각 $3\sigma_i$는 그 원인 하나만 있을 때의 CD 3σ다.

아래에서 다섯 원인의 크기를 하나씩 움직여 보자. 먼저 네 개를 0으로 내리고 하나만 남겨 그 원인의 무늬를 확인한 다음, 전부 올려 합쳐 본다.

SIMULATOR

웨이퍼 CD 지도와 예산

노광량 오차 3σ 초점 오차 3σ 마스크 CD 3σ (마스크 위) 트랙 방사 성분 무작위 3σ

목표보다 굵다목표보다 가늘다±1.5 nm에서 색이 포화한다

전체 3σ—

평균 이동—

필드 간 3σ—

필드 내 3σ—

잔차 3σ—

규격 ±1.4 nm—

해볼 것: ① 하나만 남기고 나머지를 0으로 내려 원인별 무늬를 본다. 마스크는 모든 필드에 같은 무늬가 찍히고, 트랙은 동심원, 초점은 가장자리가 가늘어진다. ② "필드 간 / 필드 내 / 잔차"로 바꿔 어느 원인이 어디로 분류되는지 본다. ③ 초점 오차를 90 nm로 올리면 평균이 가는 쪽으로 밀리고, 막대의 RSS와 실제 합계가 어긋나기 시작한다. 초점은 제곱으로 작용해 분포가 한쪽으로 치우치기 때문이다. (감도: 노광량 0.14 nm/%, MEEF 1.5는 LB-28을 엔진으로 계산한 값. 초점은 ΔCD = −0.5 nm × (Δz/40 nm)²의 가상 고립 형상. 필드 26 × 33 mm, 필드당 5 × 5점)

기본값에서 가장 큰 막대는 무작위 성분과 마스크다. 제곱합에서는 큰 항이 결과를 지배한다. 0.9와 0.3을 합치면 0.95다. 작은 항을 절반으로 줄여도 전체는 거의 변하지 않는다. 예산 관리는 가장 큰 막대를 찾아 줄이는 일이다. 그리고 초점처럼 선폭에 제곱으로 작용하는 원인은 평균까지 옮긴다는 점을 봤다. 이런 항은 단순한 RSS에 넣기 전에 분포를 따로 봐야 한다.

노광량으로 지도를 편다

지도에 무늬가 있다는 것은 예측할 수 있다는 뜻이고, 예측할 수 있으면 미리 반대로 움직여 지울 수 있다. 선폭을 가장 쉽게 움직이는 손잡이는 노광량이다. 스캐너는 필드마다 노광량을 다르게 줄 수 있고, 필드 안에서도 슬릿 방향으로는 조명 세기 분포를, 스캔 방향으로는 펄스 에너지를 조절해 노광량 분포를 만들 수 있다. 장비사들은 이 기능을 노광량 지도 보정(dose mapper 계열)이라는 이름으로 제공한다.

중요한 점은 원인이 무엇이든 상관없다는 것이다. 마스크가 만든 무늬든, 열판이 만든 동심원이든, 심지어 뒤에 올 식각이 만들 무늬든, 선폭 지도에 반복해서 나타나기만 하면 노광량으로 미리 상쇄한다. 아래에서 두 보정을 켜고 끄며 지도와 분포가 어떻게 변하는지 보자.

SIMULATOR

필드별·필드 내 노광량 보정

필드별 노광량 보정 필드 내 보정 (슬릿·스캔 프로파일) 무작위 3σ

보정 전 3σ—

보정 후 3σ—

지운 계통 성분—

무작위 바닥—

쓴 노광량 범위—

해볼 것: ① 필드별 보정만 켠다. 필드마다 다르던 색이 고르게 되지만 필드 안의 반복 무늬는 남는다. ② 필드 내 보정까지 켠다. 분포가 좁아져 무작위 바닥 가까이 내려간다. 완전히 닿지 않는 것은 슬릿과 스캔 방향의 매끈한 프로파일로는 마스크의 점별 오차를 다 따라가지 못해서다. ③ 무작위 3σ를 2 nm 넘게 올리면 보정을 켜도 꺼도 거의 같다. 보정은 반복되는 것만 지운다. (계통 성분은 노광량 2%, 초점 30 nm, 마스크 2.4 nm, 트랙 1.0 nm로 고정. 보정은 측정한 지도에서 필드 평균과 필드 내 행·열 평균을 구해 0.14 nm/%로 환산한다)

보정 뒤에 남는 것은 두 가지다. 손잡이의 자유도가 따라가지 못하는 고주파 계통 성분과, 처음부터 예측할 수 없는 무작위 성분이다. 앞의 것은 더 정교한 손잡이로 줄일 수 있다. 뒤의 것은 다르다. 다음 절에서 그 정체를 본다.

보정은 공짜가 아니다 노광량으로 선폭을 맞추면 그 자리의 노광량이 공정 윈도 중심에서 벗어난다. 보정 범위가 수 %를 넘으면 노광량 여유도를 스스로 깎아 먹는다. 또 보정 지도는 측정에서 나오므로, 측정점이 적으면 무작위 잡음을 계통 성분으로 착각해 오히려 잡음을 새겨 넣는다. 보정할 무늬는 여러 웨이퍼에서 반복해 나타나는 것만 골라야 한다.

거칠기: 줄어들지 않는 바닥

선의 가장자리는 직선이 아니다. 고분자 사슬의 크기, 산의 무작위한 위치, 광자 수의 요동(14장)이 가장자리를 구불구불하게 만든다. 가장자리 하나가 평균 위치에서 벗어난 정도의 3σ를 선 가장자리 거칠기(Line edge roughness, LER), 두 가장자리 사이의 폭이 흔들리는 정도의 3σ를 선폭 거칠기(Line width roughness, LWR)라고 한다. 두 가장자리가 서로 무관하게 흔들리면

$$\sigma_{\mathrm{LWR}}^2 = 2\,\sigma_{\mathrm{LER}}^2\,(1-\rho) \;\;\Rightarrow\;\; \sigma_{\mathrm{LWR}} \approx \sqrt{2}\,\sigma_{\mathrm{LER}} \quad (\rho = 0)$$

$\rho$는 좌우 가장자리의 상관 계수. 선이 통째로 구불거리면($\rho \to 1$) LER은 커도 폭은 일정해 LWR은 작다.

거칠기를 숫자 하나로 말하는 것은 부족하다. 같은 3σ라도 잔물결처럼 촘촘히 떨리는 가장자리와 길게 굽이치는 가장자리는 전혀 다르게 작용한다. 그래서 거칠기를 공간 주파수별로 분해한 전력 스펙트럼 밀도(Power spectral density, PSD)로 기술한다. 실제 레지스트의 PSD는 세 변수로 잘 맞는다.

$$\mathrm{PSD}(f) = \frac{\mathrm{PSD}(0)}{\left[1 + (2\pi f \xi)^2\right]^{H + 1/2}}, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{PSD}(f)\,df = \sigma^2$$

$\sigma$는 거칠기의 크기, $\xi$는 상관 길이(이 거리 안의 점들은 함께 움직인다), $H$는 거칠기 지수(고주파가 얼마나 빨리 줄어드는가. 0.5~1). 낮은 주파수의 평평한 부분 PSD(0)는 대략 $\sigma^2 \xi$에 비례한다.

세 변수를 하나씩 움직여 가장자리가 어떻게 변하는지 보자.

SIMULATOR

PSD로 만드는 거친 가장자리

LER 크기 σ 상관 길이 ξ 거칠기 지수 H

LER 3σ—

LWR 3σ—

LWR / LER—

가장 가는 곳—

PSD(0)—

해볼 것: ① ξ를 3 nm에서 80 nm로 올린다. 3σ는 그대로인데 잔떨림이 긴 굽이로 바뀌고, PSD의 꺾이는 점이 왼쪽으로 간다. ② H를 낮추면 PSD의 기울기가 완만해져 가장자리에 잔가시가 돋는다. ③ σ를 4 nm 가까이 올리면 14 nm 선이 끊어진다(빨간 표시). (선 길이 512 nm, 1 nm 간격. 좌우 가장자리는 독립. PSD에 맞춘 진폭과 무작위 위상을 LT.fft로 역변환한다. 위 그림은 세로를 과장했다. 옅은 선은 이 한 줄의 실제 주기도)

LWR/LER 비가 1.41 근처를 맴도는 것, 그리고 ξ가 클수록 그 비가 흔들리는 것을 봤다. ξ가 크면 512 nm 안에 독립인 구간이 몇 개 안 들어가 통계가 부족해진다. 이것은 실제 측정에서도 똑같이 일어나는 문제다. 거칠기를 믿을 만하게 재려면 가장자리 수백 개를 평균해야 한다.

측정 상자의 길이가 숫자를 바꾼다

CD-SEM은 길이 $L$인 상자 안의 선폭을 평균해 "CD"라고 하고, 그 안의 흔들림을 "LWR"이라고 한다. 그런데 상자가 상관 길이보다 짧으면 그 안의 선폭은 거의 함께 움직여서, 상자 안은 매끈해 보이고 대신 상자마다 평균 선폭이 달라진다. 거칠기가 CD 변동으로 옮겨 간 것이다. 무한히 긴 선의 LWR은 이 둘로 정확히 나뉜다.

$$\sigma_{\mathrm{LWR}}^2(\infty) = \sigma_{\mathrm{LWR}}^2(L) + \sigma_{\mathrm{CDU}}^2(L)$$

$\sigma_{\mathrm{LWR}}(L)$은 길이 $L$인 상자 안에서 본 거칠기, $\sigma_{\mathrm{CDU}}(L)$은 상자 평균 선폭이 상자마다 달라지는 정도다.

아래에서 첫 상자의 오른쪽 끝을 끌어 길이를 바꿔 보자. 상자마다 평균 선폭이 굵으면 붉게, 가늘면 푸르게 칠해진다.

SIMULATOR

상자 길이와 거칠기의 분배

상자 끝을 좌우로 끈다

상관 길이 ξ

상자 안 LWR 3σ상자 사이 CD 3σ제곱합

상자 길이 L—

상자 안 LWR 3σ—

상자 사이 CD 3σ—

제곱합—

해볼 것: ① 상자를 10 nm까지 줄인다. LWR은 작게 나오지만 상자마다 색이 제각각이다. ② 1,000 nm까지 늘린다. 색이 모두 옅어지고 LWR이 전체 값에 닿는다. ③ ξ를 키우면 두 곡선이 만나는 길이가 오른쪽으로 간다. 제곱합은 어디서나 같다. (2,048 nm 선 네 줄, LER σ 0.9 nm, H 0.6. 세로는 과장)

여기서 실용적인 결론 두 가지가 나온다. LWR 값을 비교할 때는 측정 길이를 함께 말해야 한다. 그리고 트랜지스터 게이트나 짧은 비아처럼 소자의 길이가 수십 nm면, 그 소자가 느끼는 것은 LWR이 아니라 소자마다 다른 평균 선폭, 즉 국부 CD 균일도(Local CDU, LCDU)다. 거칠기의 저주파 성분이 CD 예산에 직접 들어온다.

선은 줄어도 거칠기는 줄지 않는다

거칠기는 레지스트 분자와 광자 수가 정한다. 선폭을 절반으로 줄인다고 분자가 절반으로 작아지지는 않는다. 지난 20년 동안 선폭은 열 배 가까이 줄었지만 LER 3σ는 약 2~4 nm 근처에 머물렀다. 과거 ITRS 로드맵이 요구한 LWR 3σ는 CD의 약 8%였는데, 이 요구는 해마다 미달로 표시됐다. 아래에서 LER을 고정한 채 선폭만 줄여 보자. 화면은 피치에 맞춰 확대된다.

SIMULATOR

같은 거칠기, 줄어드는 선

선폭 (피치의 절반) LER 3σ

LWR 3σ—

LWR / CD—

화면 안 끊긴 곳 / 붙은 곳—

배선 1 km의 예상 끊김—

해볼 것: ① 선폭을 45 nm에서 14 nm로 줄인다. 거칠기의 절대 크기는 같은데 선에 대한 비율이 세 배로 커진다. ② 계속 줄이면서 "배선 1 km의 예상 끊김"이 0에서 벗어나는 선폭을 찾는다. 화면 속 몇 줄은 멀쩡해 보여도 칩 전체에서는 이미 끊어진 곳이 있다. ③ 선폭 5 nm에서 LER을 5.5 nm 넘게 올리면 화면 안에서도 선이 끊긴다(빨간 표시). 반대로 1 nm로 낮추면 예상 끊김이 0으로 돌아간다. (ξ 15 nm, H 0.6. 가장자리마다 독립. 예상 끊김은 폭이 0 이하가 될 가우시안 확률 × 상관 길이 단위 구간 수. 가우시안 꼬리만 고려했으므로 실제 결함률은 14장의 확률 모델로 다뤄야 한다)

콘택트 홀의 국부 CD 균일도

선에서는 거칠기가 긴 가장자리에 퍼져 있지만, 콘택트 홀이나 비아는 구멍 하나가 통째로 하나의 측정 단위다. 바로 옆 구멍과 설계도, 노광량도, 초점도, 마스크 위치도 사실상 같은데 크기가 다르다. 이웃한 구멍들 사이의 크기 편차 3σ가 홀의 LCDU다. 원인은 선의 거칠기와 같다. 구멍 하나에 떨어지는 광자 수가 구멍마다 다르기 때문이다.

크기를 가늠하는 간단한 모델이 있다. 구멍 하나가 흡수하는 광자 수를 $N$이라 하면 노광량의 상대 요동은 $1/\sqrt{N}$이고, 노광량이 선폭으로 바뀌는 비율은 NILS가 정한다.

$$\frac{\sigma_{\mathrm{CD}}}{\mathrm{CD}} \approx \frac{2}{\mathrm{NILS}} \cdot \frac{1}{\sqrt{N}}, \qquad N = (\text{광자 수}/\mathrm{nm}^2) \times \text{흡수율} \times \frac{\pi\,\mathrm{CD}^2}{4}$$

광자만 센 하한이다. 실제로는 산 발생·확산·억제제의 요동이 더해져 이보다 크다.

SIMULATOR

구멍마다 다른 크기

노광량 홀 지름 NILS

홀당 흡수 광자—

LCDU 3σ—

3σ / CD—

±10% 밖 / 막힘—

해볼 것: ① 노광량을 60에서 15 mJ/cm²로 낮춘다. 광자가 1/4이 되면 LCDU는 두 배가 된다. ② 지름을 줄인다. 구멍 면적이 줄어 광자가 줄고, 같은 nm 편차가 차지하는 비율도 커진다. ③ 노광량 15 mJ/cm², 지름 10 nm에서 NILS를 1 아래로 내리면 빨간 테(±10% 밖)가 절반을 덮는다. 세 슬라이더를 모두 왼쪽 끝으로 밀면 막힌 구멍(×)이 나타난다. (EUV 13.5 nm, 흡수율 25%, LT.photons. 광자 산탄 잡음만의 하한 모델. 절반 미만으로 줄어든 구멍을 막힘으로 표시)

노광량을 올리면 LCDU가 좋아지지만 스캐너의 시간당 처리량이 떨어진다. 구멍 수십억 개 가운데 하나라도 막히면 칩이 죽으므로, 실제로 문제가 되는 것은 3σ가 아니라 7σ 바깥의 꼬리다. 이 꼬리가 가우시안보다 두껍다는 것이 EUV의 가장 큰 숙제이고, 14장의 주제다.

런투런 제어: 로트마다 조금씩 고친다

지금까지는 웨이퍼 한 장 안의 변동을 봤다. 시간 축에도 변동이 있다. 레지스트 병이 바뀌고, 광원이 늙고, 열판이 조금씩 달라지고, 장비 정비 뒤에는 값이 계단처럼 뛴다. 그래서 로트(웨이퍼 묶음)를 찍고 나면 선폭을 재고, 그 결과로 다음 로트의 노광량을 고친다. 이것이 런투런 제어(Run-to-run control)이고, 공장에서는 고급 공정 제어(Advanced process control, APC)라고 부른다.

가장 널리 쓰이는 방법은 지수 가중 이동 평균(Exponentially weighted moving average, EWMA)이다. 이번에 본 오차를 전부 믿지 않고 일부($\lambda$)만 반영한다.

$$\hat d_k = \lambda\,(y_k - T - c_k) + (1-\lambda)\,\hat d_{k-1}, \qquad c_{k+1} = -\hat d_k$$

$y_k$는 $k$번째 로트의 측정 CD, $T$는 목표, $c_k$는 그 로트에 넣은 보정(노광량으로 환산한 CD 변화), $\hat d_k$는 "공정이 스스로 벗어난 양"의 추정값, $\lambda$는 게인(0~1).

왜 전부 믿지 않는가. 측정값에는 진짜 표류와 로트마다 무작위로 튀는 잡음이 섞여 있다. 잡음은 다음 로트에 반복되지 않는데, 이것을 쫓아가면 없던 오차를 다음 로트에 만들어 넣게 된다. 아래에서 게인을 양 끝으로 움직여 보자. 40번째 로트에서 정비로 인한 계단 변화가 일어난다.

SIMULATOR

EWMA 제어기의 게인

게인 λ 표류 로트 간 잡음 3σ

제어 없음EWMA 제어보정량

제어 없음 3σ (목표 기준)—

제어 3σ—

잡음만의 3σ—

잡음 증폭 (이론)—

표류 지연 오차 (이론)—

해볼 것: ① 게인을 0.05로 내린다. 잡음에는 둔감하지만 표류를 따라가지 못해 계속 뒤처지고, 계단 변화에서 회복이 느리다. ② 게인을 1로 올린다. 계단은 한 로트 만에 잡지만 잡음이 √2배로 커진다. ③ 1.5를 넘기면 보정이 지그재그로 진동하고, 1.9에서는 제어 3σ가 잡음 자체의 몇 배로 커져 규격을 넘는다. (목표 14 nm, 80로트. 측정 지연 없음, 계측 잡음은 로트 간 잡음에 포함)

이론값 두 개가 절충을 요약한다. 흰 잡음에 대해 EWMA 제어의 출력 분산은 $\sigma^2 \cdot 2/(2-\lambda)$로 커지고, 로트당 $s$씩 표류하는 공정에서 남는 지연 오차는 $s/\lambda$다. 게인을 올리면 앞의 것이 커지고 뒤의 것이 작아진다. 실제 공장에서 게인은 보통 0.2~0.5 사이에 놓인다. 표류가 뚜렷한 공정에는 표류 속도까지 추정하는 이중 EWMA를 쓴다.

피드백과 피드포워드 위 제어는 결과를 보고 다음을 고치는 피드백이다. 원인을 미리 재서 고치는 피드포워드도 함께 쓴다. 아래 막 두께를 재서 반사율 변화를 노광량에 반영하거나, 노광 후 선폭을 재서 식각 트림 시간을 웨이퍼마다 바꾸는 것이 그 예다. 피드포워드는 지연이 없지만 모델이 틀리면 오차를 만들어 넣으므로, 피드백과 겹쳐 쓴다.

타깃 파일

TARGET LB-28타깃 파일 · 11장

±1.4 nm를 나눠 갖는다

LB-28의 선폭 14 nm에 ±10%를 허용하면 예산은 3σ로 ±1.4 nm다. 엔진으로 감도를 계산했다. 1D 격자(피치 28 nm, EUV 0.33 NA 쌍극 조명, 번짐 3 nm, 문턱 0.335)에서 노광량 1%는 선폭 약 0.14 nm를 움직이고(±5%에서 14.77 / 13.35 nm), 마스크 선폭을 웨이퍼 기준 ±0.5 nm 바꾸면 웨이퍼 선폭은 13.30 / 14.81 nm가 되어 MEEF는 약 1.5다. 밀집 선 자체는 대칭 쌍극 조명 덕분에 ±60 nm 초점 변화에도 0.01 nm 미만으로 움직이므로, 초점 몫은 5장에서 본 선 끝처럼 초점에 민감한 부위를 위해 남겨 둔다.

항목	가정	CD 3σ (nm)
노광량	±1.5% × 0.14 nm/%	0.21
초점	선 끝 등 민감 부위 몫	0.30
마스크	마스크 위 1.6 nm ÷ 4 × MEEF 1.5	0.61
거칠기(국부 CD 변동)	LWR의 저주파 성분	1.00
나머지(트랙·계측 등)	제곱합에서 남는 몫	0.67
제곱합		1.40

가장 큰 항은 거칠기다. 노광량과 초점을 아무리 잘 잡아도 전체는 거의 줄지 않는다. 그리고 계측기에 허락되는 몫은 P/T 0.1 기준으로 3σ 0.14 nm다.

이 장에서 정한 것CD 예산 ±1.4 nm의 배분. 노광량 0.21, 초점 0.30, 마스크 0.61, 거칠기 1.00, 나머지 0.67 nm.

아직 남은 문제선폭이 맞아도 위층이 제자리에 놓이지 않으면 연결되지 않는다.

다음 단계12장에서 이 14 nm 선 위에 비아를 겹친다.

핵심 정리

CD는 입체인 레지스트 선의 폭이므로 측정 높이와 방법을 함께 말해야 한다. 절대값보다 같은 정의로 일관되게 재는 것이 먼저다.
CD-SEM은 가장자리에서 밝아지는 2차 전자 파형에 문턱을 걸어 폭을 잰다. 문턱은 편향을, 프레임 수는 잡음을 정하고, 전자를 많이 쏘면 레지스트가 수축한다.
산란 계측은 격자의 반사 스펙트럼을 모델에 맞춰 CD와 높이를 거꾸로 구한다. 빠르고 정밀하지만 변수 사이의 상관과 모델 의존이 한계다.
계측기의 자격은 P/T = 6σ_계측 / 공차 폭으로 판단한다. 관측한 변동은 공정 변동과 계측 변동의 제곱합이다.
CD 균일도는 노광량·초점·마스크·트랙·무작위 성분의 제곱합이다. 가장 큰 항이 전체를 지배하고, 원인마다 필드 간·필드 내 무늬가 다르다.
반복되는 무늬는 필드별·필드 내 노광량 보정으로 지울 수 있다. 남는 것은 무작위 바닥이다.
거칠기는 σ, 상관 길이 ξ, 거칠기 지수 H의 PSD로 기술한다. 측정 상자가 짧으면 LWR이 상자 사이 CD 변동으로 옮겨 가며, 둘의 제곱합은 일정하다.
거칠기는 선폭과 함께 줄지 않는다. 선이 가늘수록 LWR/CD가 커지고, 홀에서는 LCDU가 광자 수의 제곱근에 반비례한다.
EWMA 런투런 제어의 게인은 표류를 따라가는 속도와 잡음 증폭 사이의 절충이다.

확인 퀴즈

CD-SEM에서 문턱을 50%에서 70%로 바꿨더니 모든 측정값이 0.8 nm쯤 작아졌다. 가장 알맞은 해석은?

문턱은 파형의 어느 높이를 가장자리로 볼지 정하는 약속이다. 문턱을 올리면 교차점이 봉우리 쪽(안쪽)으로 옮겨 가 모든 측정값이 일정하게 줄어든다. 실제 선폭은 변하지 않았다. 그래서 문턱을 포함한 측정 조건을 고정해야 값을 비교할 수 있다.

CD 변동의 원인별 3σ가 노광량 0.3, 마스크 0.4, 무작위 1.2 nm다. 큰돈을 들여 노광량 성분을 0으로 만들면 전체 3σ는 대략 얼마나 줄어드는가?

독립인 원인은 제곱으로 더한다. √(0.3² + 0.4² + 1.2²) = 1.30, 노광량을 없애면 √(0.4² + 1.2²) = 1.26 nm다. 큰 항이 지배하므로 작은 항을 없애도 효과가 거의 없다. 줄여야 할 것은 1.2 nm짜리 무작위 성분이다.

같은 선을 두 CD-SEM 조건으로 쟀다. A는 측정 상자 길이 20 nm, B는 500 nm다. 상관 길이가 약 20 nm일 때 옳은 것은?

상자가 상관 길이만큼 짧으면 그 안의 선폭은 함께 움직여 매끈해 보인다. 사라진 거칠기는 상자 평균 선폭의 편차(국부 CDU)로 나타난다. σ²_LWR(L) + σ²_CDU(L)은 일정하다. 상자가 길수록 LWR은 전체 값에 가까워지고 평균 CD는 고르게 나온다.

잡음이 크고 표류가 거의 없는 공정에 EWMA 게인 λ = 1을 쓰면 어떻게 되는가?

λ = 1이면 이번 로트의 오차를 전부 다음 로트에 반대로 넣는다. 잡음은 다음 로트에 반복되지 않으므로, 다음 로트는 자기 잡음에 지난 잡음의 반대 부호가 더해져 분산이 2/(2 − λ) = 2배, 표준편차는 √2배가 된다. 표류가 작다면 게인을 낮추는 것이 낫다.