Chapter 13

인버터와 PWM

배터리의 800 V 직류로 모터를 돌리려면 크기와 주파수를 마음대로 바꿀 수 있는 3상 교류가 필요하다. 인버터는 이것을 스위치 여섯 개로 만든다. 스위치는 켜짐과 꺼짐 두 상태밖에 모르므로, 출력은 언제나 0 V 아니면 800 V인 사각 펄스다. 펄스의 폭을 10 kHz로 조절해(PWM) 그 평균이 사인파를 따르게 하고, 모터 인덕턴스가 전류를 매끈하게 걸러 준다. 이 장은 PWM 파형과 고조파, 공간 벡터, 데드 타임을 계산하고, 10장의 스위칭 에너지와 8장·7장의 온저항·포화 전압을 써서 PW-800 트랙션 인버터의 손실과 효율을 구한다. 이 손실은 14장의 접합 온도 계산으로 그대로 넘어간다.

하프 브리지·풀 브리지·3상 2레벨 인버터의 스위칭 상태와 극 전압·상전압·선간 전압을 그릴 수 있다.
반송파 비교 사인파 PWM의 변조 지수·반송파 비와 고조파 위치, 과변조를 설명하고 선간 전압 THD를 계산할 수 있다.
공간 벡터 PWM의 체류 시간을 계산하고, 3고조파 주입·SVPWM이 선형 범위를 약 15 % 넓히는 이유를 보일 수 있다.
데드 타임이 만드는 전압 오차 $t_{dt} f_{sw} V_{dc}$ 와 그 부호가 전류 방향에 따라 바뀌는 원리를 설명할 수 있다.
사인파 PWM에서 스위치·다이오드의 전도 손실과 스위칭 손실을 변조 지수·역률·스위칭 주파수의 함수로 계산하고 SiC와 IGBT를 비교할 수 있다.
회생 제동의 전력 흐름, 3레벨(NPC·T형) 인버터의 장점, dv/dt와 케이블 반사파·공통 모드 전압의 영향을 정량적으로 설명할 수 있다.

하프 브리지와 풀 브리지

인버터의 기본 단위는 하프 브리지(half bridge, 레그)다. DC 링크 $V_{dc}$ 양단에 스위치 두 개를 직렬로 두고 가운데 점(극, pole)을 출력으로 꺼낸다. 위 스위치가 켜지면 극은 $+V_{dc}$ , 아래 스위치가 켜지면 0이다. 둘이 동시에 켜지면 DC 링크가 단락되므로(슛스루(shoot-through)) 언제나 한쪽만 켜고, 바꿀 때는 둘 다 끄는 짧은 데드 타임을 둔다. 각 스위치에는 역병렬 다이오드(SiC MOSFET은 바디 다이오드 또는 3사분면 채널 도통)가 있어서, 전류가 어느 방향이든 극 전압은 게이트 상태만으로 정해진다. 이것이 전압형 인버터(voltage-source inverter)의 핵심이다.

한 스위칭 주기 $T_s = 1/f_{sw}$ 동안 위 스위치가 켜진 비율을 듀티 $d$ 라 하면 극 전압의 주기 평균은 $d\,V_{dc}$ 이다. $d$ 를 천천히(기본파 주파수로) 사인파 모양으로 바꾸면 평균 전압이 사인파가 된다.

\langle v_{aN}\rangle_{T_s} = d(t)\,V_{dc},\qquad d(t) = \frac{1}{2}\big[1 + M\sin(\omega_1 t)\big]\;\Rightarrow\;\langle v_{a0}\rangle = M\,\frac{V_{dc}}{2}\sin\omega_1 t

v_{aN}

: 음극(N) 기준 극 전압,

v_{a0}

: DC 링크 중점 기준 극 전압,

M

: 변조 지수,

\omega_1 = 2\pi f_1

: 출력 기본파 각주파수. 하프 브리지 하나는

\pm V_{dc}/2

사이의 전압만 낸다.

풀 브리지(H-bridge)는 레그 둘을 써서 부하 양단 $v_{ab} = v_{aN} - v_{bN}$ 이 $+V_{dc}, 0, -V_{dc}$ 세 값을 갖게 한다. 두 레그를 반대 위상 기준파로 변조하는 유니폴라 PWM은 출력 펄스 주파수가 $2f_{sw}$ 가 되어 같은 스위칭 횟수로 리플이 절반으로 줄어든다. 단상 OBC·태양광 인버터·DC-DC의 위상 천이 풀 브리지가 이 구조다(12장).

그림 13-1. (a) 하프 브리지(레그): 위 스위치 S₁과 아래 스위치 S₂가 번갈아 켜지며 극 a를 P(V_dc) 또는 N(0)에 잇는다. 중점 0을 기준으로 하면 ±V_dc/2. (b) 풀 브리지: 두 레그의 차이로 부하에 +V_dc, 0, −V_dc 세 레벨을 건다. 스위치 기호는 MOSFET + 역병렬 다이오드로 그렸다(IGBT 모듈도 같은 자리에 프리휠 다이오드가 있다).

사인파 PWM: 반송파 비교와 변조 지수

가장 직관적인 PWM은 반송파 비교(carrier-based PWM)다. ±1 사이를 $f_{sw}$ 로 오르내리는 삼각파 $c(t)$ 와 기준파 $m(t) = M\sin\omega_1 t$ 를 비교기에 넣고, $m \gt c$ 이면 위 스위치를, $m \lt c$ 이면 아래 스위치를 켠다. 삼각파는 시간에 대해 선형이므로 한 반송파 주기 안의 켜짐 시간이 $m$ 에 비례하고, 위 식의 $d = (1+m)/2$ 가 저절로 구현된다.

M = \frac{\hat m}{\hat c},\qquad m_f = \frac{f_{sw}}{f_1},\qquad \hat V_{a0,1} = M\,\frac{V_{dc}}{2}\quad (M \le 1)

M

: 변조 지수(기준파 진폭/반송파 진폭),

m_f

: 반송파 비(주파수 변조비). 고조파는

m_f

m_f \pm 2

2m_f \pm 1

3m_f

, … 주변 측파대에 모인다.

m_f

가 3의 홀수 배이면 반송파 배수 고조파가 세 상에 동상으로 나타나 선간 전압에서 상쇄된다.

$M \gt 1$ 이면 기준파가 반송파 꼭대기를 넘는 구간에서 펄스가 사라져(펄스 누락) 극 전압이 $V_{dc}$ 에 붙는다. 이 과변조(overmodulation) 영역에서 기본파는 $M$ 에 비례해 늘지 않고, 5·7차 같은 저차 고조파가 생긴다. $M \to \infty$ 의 극한이 사각파(6스텝) 운전으로, 기본파 진폭은 $\frac{4}{\pi}\frac{V_{dc}}{2} \approx 1.27\,\frac{V_{dc}}{2}$ 가 최대다. 전기차는 고속 영역에서 전압이 모자랄 때 과변조·6스텝으로 가서 약계자 전류를 줄인다.

그림 13-2. 반송파 비교. 기준파(파랑)가 삼각 반송파(회색)보다 크면 위 스위치가 켜진다. 극 전압 펄스는 기준파가 클수록 넓어지고, 점선으로 그린 반송파 주기 평균(국부 평균)이

M\,V_{dc}/2

진폭의 사인파가 된다. 실제 PW-800은

f_1 = 200

Hz에서

m_f = 50

이다.

SIMULATOR

한 레그의 반송파 비교 PWM: 게이트 신호와 극 전압

변조 지수 M 반송파 비 m_f 반송파 주기 평균 표시

기본파 V̂₁ / (V_dc/2)—

V̂₁ (V_dc 800 V)—

주기당 펄스 수—

최대 저차 고조파 (h < m_f−2)—

영역—

극 전압

v_{a0}

을 기본파 한 주기 8192점으로 표본화해 푸리에 계수

\hat V_h = \frac{2}{N}\big|\sum v_{a0}[k]e^{-j2\pi hk/N}\big|

를 구했다. 커서가 기준파를 따라 움직이며 비교기 상태를 보여 준다. 해볼 것: M을 1 → 1.3 → 2로 올리면 펄스가 누락되고 V̂₁/(V_dc/2)가 M보다 덜 늘다가 4/π ≈ 1.27에 다가가며, 저차(5·7차) 고조파가 생긴다. m_f를 3으로 낮추면 측파대가 기본파에 붙는다.

3상 2레벨 인버터: 상전압·선간 전압·전류 리플

PW-800 트랙션 인버터는 레그 셋(스위치 여섯 개)으로 된 3상 2레벨 인버터다. 세 레그를 120° 위상차 기준파로 변조한다. 모터 중성점 n은 떠 있으므로 상전압은 세 극 전압에서 평균(공통 모드)을 뺀 값이다.

v_{an} = v_{aN} - v_{nN},\qquad v_{nN} = \frac{v_{aN}+v_{bN}+v_{cN}}{3},\qquad v_{ab} = v_{aN} - v_{bN}

\hat V_{ab,1} = \sqrt{3}\,M\frac{V_{dc}}{2},\qquad V_{LL,1,\text{rms}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt2}\,M\,V_{dc} \approx 0.612\,M\,V_{dc}

v_{nN}

: 공통 모드 전압(중성점 전위). 세 스위치 상태

(s_a, s_b, s_c) \in \{0,1\}^3

8가지 중 000과 111은 상전압이 0인 영벡터다. 상전압은

0, \pm V_{dc}/3, \pm 2V_{dc}/3

다섯 레벨, 선간 전압은

0, \pm V_{dc}

세 레벨이다. PW-800(800 V, M = 1)이면 선간 기본파 약 490 V rms.

그림 13-3. 3상 2레벨 전압형 인버터와 모터 한 상의 등가 회로(권선 저항 R, 인덕턴스 L, 역기전력 e). 오른쪽 표: 8가지 스위칭 상태의 a상 전압과 선간 전압. 영상태 000·111은 모터에 0 V를 걸지만 중성점 전위(공통 모드 전압)는 0 또는 V_dc로 크게 흔든다.

모터 권선 인덕턴스가 PWM 펄스를 거르므로 전류는 기본파 사인에 작은 톱니 모양 전류 리플이 얹힌 모양이다. 한 반송파 주기 동안 인덕턴스 양단에 걸리는 전압의 볼트-초가 리플을 정한다. 2레벨 인버터의 최대 피크-피크 리플은 대략

\Delta i_{pp} \approx \frac{V_{dc}}{k\,L\,f_{sw}},\qquad k \approx 6\text{–}8,\qquad \mathrm{THD} = \frac{\sqrt{\sum_{h\ge 2} V_h^2}}{V_1}

L

: 상 인덕턴스(PW-800 모터 약 250 µH로 가정),

k

는 변조 방식과

M

에 따라 달라지는 계수. 리플은

f_{sw}

와

L

에 반비례하고 부하 전류 크기와 무관하다. 리플 전류는 모터 철손·소음·토크 리플을 만들고, DC 링크 커패시터에는 스위칭 주파수 성분의 리플 전류가 흐른다.

DC 링크 전류는 $i_{dc} = s_a i_a + s_b i_b + s_c i_c$ 로 펄스 모양이고, 그 교류 성분은 거의 모두 필름 커패시터가 공급한다. 사인파 PWM에서 커패시터 리플 전류의 rms 값은 잘 알려진 해석식으로 $I_{C,\text{rms}} = I_{\text{rms}}\sqrt{2M\big[\tfrac{\sqrt3}{4\pi} + \cos^2\varphi\,(\tfrac{\sqrt3}{\pi} - \tfrac{9M}{16})\big]}$ 이다. PW-800 기준점(M 0.9, cosφ 0.9, 250 A rms)에서 약 140 A rms로, 커패시터 발열과 크기를 정하는 값이다.

SIMULATOR

3상 인버터 + R-L-역기전력 부하: 파형, 전류 리플, FFT·THD

변조 지수 M 기본파 f₁ 스위칭 f_sw 상 인덕턴스 L

변조

보기

선간 V₁ rms—

THD v_ab—

리플 Δi_pp—

THD i_a—

커패시터 리플 rms (시뮬 / 식)—

PW-800: V_dc 800 V, 상전류 기본파 250 A rms, cosφ 0.9로 두고 역기전력 페이저를

\mathbf E = \mathbf V_1 - (R + j\omega_1 L)\mathbf I_1

(R = 10 mΩ)로 맞춘 뒤, 각 상

L\,di/dt = v_{xn} - Ri - e_x

를 기본파 한 주기

N = 2^k

점(반송파 주기당 40점 이상, 최대 16384점)으로 적분했다(첫 주기로 직류 오프셋을 보정하고 둘째 주기를 기록).

m_f

는 동기 PWM이 되게

f_{sw}/f_1

을 정수로 반올림한다. 스펙트럼은 같은 표본의 FFT이며 막대 높이는 기본파 대비 %다. 해볼 것: f_sw를 2 → 20 kHz로 올리면 리플이 1/f_sw로 준다. 선간 전압 THD는 거의 그대로다(고조파가 높은 주파수로 옮겨 갈 뿐이다). 전류 THD가 주는 이유는 L이 고주파를 더 잘 거르기 때문이다. SVPWM으로 바꾸면 같은 M에서 리플이 약간 준다.

공간 벡터 PWM과 3고조파 주입: 15 % 더

사인파 PWM의 선간 전압 최대 진폭은 $\sqrt3\,V_{dc}/2 = 0.866\,V_{dc}$ 이다. DC 링크를 다 쓰지 못한다. 세 상에 같은 영상분(공통 모드) $v_z(t)$ 를 더하면 선간 전압과 모터 전류는 그대로인 채 기준파의 꼭대기를 낮출 수 있다. 기본파 진폭의 1/6만큼 3고조파를 더하는 3고조파 주입이 대표적이다. 그러면 기준파 최대값이 $\frac{\sqrt3}{2}M$ 이 되어 $M$ 을 $2/\sqrt3 \approx 1.155$ 까지 올려도 반송파를 넘지 않는다. 선형 범위가 15.5 % 넓어진다.

공간 벡터 PWM(SVPWM)은 같은 결과를 벡터로 본다. 세 상 전압을 복소 평면의 한 벡터로 묶으면 8가지 스위칭 상태는 육각형 꼭짓점의 능동 벡터 6개(크기 $\tfrac23 V_{dc}$ )와 원점의 영벡터 2개가 된다. 원하는 기준 벡터 $\mathbf v^*$ 를 이웃한 두 능동 벡터와 영벡터의 시간 평균으로 합성한다.

\mathbf v = \tfrac23\big(v_a + a\,v_b + a^2 v_c\big),\quad a = e^{j2\pi/3};\qquad T_1 = T_s\frac{\sqrt3\,|\mathbf v^*|}{V_{dc}}\sin(60^\circ - \theta),\quad T_2 = T_s\frac{\sqrt3\,|\mathbf v^*|}{V_{dc}}\sin\theta,\quad T_0 = T_s - T_1 - T_2

\theta

: 섹터 안에서의 각도(0–60°),

T_1, T_2

: 두 능동 벡터의 체류 시간,

T_0

: 영벡터 시간(000과 111에 나눔).

T_0 \ge 0

인 최대 원은 육각형 내접원 반지름

V_{dc}/\sqrt3

이고,

|\mathbf v^*| = M V_{dc}/2

이므로

M_{max} = 2/\sqrt3

. 7구간 대칭 배열(0-1-2-7-2-1-0)은 매 전이마다 스위치 하나만 바꾼다.

그림 13-4. 왼쪽: 공간 벡터 육각형. 기준 벡터 v*는 섹터 I에서 V₁(100)·V₂(110)·영벡터의 시간 평균으로 합성된다. 회전하는 v*의 끝이 내접원(반지름 V_dc/√3) 안에 있으면 선형 운전이고, 사인파 PWM은 반지름 V_dc/2 원까지만 쓴다(비 2/√3 = 1.155). 오른쪽: M = 1.15에서 사인파 기준은 ±1을 넘지만, 3고조파 주입과 SVPWM(최대·최소 평균을 빼는 영상분 주입)은 ±1 안에 머문다. 영상분은 선간 전압에서 사라진다.

SIMULATOR

공간 벡터 육각형: 회전 기준 벡터, 섹터와 체류 시간, 영상분 주입

변조 지수 M 회전 속도

오른쪽 기준파

섹터 / θ—

T₁/T_s—

T₂/T_s—

T₀/T_s—

선택 방식 기준파 최대—

아래 막대는 한 스위칭 주기

T_s

의 7구간 배열과 a·b·c 위 스위치 상태다. 오른쪽은 선택한 방식의 a상 기준파(영상분 포함)이며, 점은 현재 각도다. SVPWM 영상분은

v_z = -\tfrac12[\max(m_a,m_b,m_c) + \min(m_a,m_b,m_c)]

로, 반송파 비교에 더하면 위 체류 시간 식과 똑같은 펄스를 낸다. 해볼 것: M을 1.155 넘게 올리면

T_0

가 음수가 되어(빨강) 기준 벡터가 육각형 밖으로 나간다. 이때는

T_1, T_2

를

T_s

에 맞춰 줄이는 과변조가 된다. 사인파 방식은 M = 1에서 이미 ±1을 넘는다.

영상분은 선간 전압에 나타나지 않지만 공짜는 아니다. 중성점 전위가 3고조파 주파수로 흔들리고, 영벡터 000과 111의 배분을 바꾸면 스위칭 손실도 달라진다. 전류가 최대인 60° 구간 동안 한 레그를 P 또는 N에 고정해 스위칭하지 않는 불연속 PWM(DPWM)은 스위칭 횟수를 1/3 줄이고, 역률이 높을 때 스위칭 손실을 최대 약 50 % 줄인다. 대신 저부하에서 리플이 늘어나므로 고속·고부하에서만 DPWM으로 바꾸는 방식이 흔하다.

데드 타임과 전압 오차

위 스위치를 끄고 아래 스위치를 켤 때, 끄기 지연과 턴오프 시간 때문에 바로 켜면 잠깐 둘 다 도통해 슛스루가 난다. 그래서 게이트 드라이버는 한쪽을 끈 뒤 데드 타임 $t_{dt}$ 동안 둘 다 끈 상태로 둔다. PW-800은 SiC 200 ns, IGBT 1.5 µs다(11장). 이 시간 동안 극 전압은 게이트가 아니라 전류 방향이 정한다. 부하 전류가 레그 밖으로 흐르면( $i \gt 0$ ) 아래 다이오드가 도통해 극은 N(0)에 붙고, 안으로 흐르면( $i \lt 0$ ) 위 다이오드가 도통해 P에 붙는다.

그림 13-5. 데드 타임 동안 두 스위치가 모두 꺼져 있으면 부하 전류가 다이오드로 흘러 극 전압이 전류 부호로 정해진다. (a) i > 0이면 아래 다이오드가 켜져 극이 0에 머문다. 위 스위치 펄스가 앞쪽에서 t_dt만큼 줄어든다. (b) i < 0이면 위 다이오드가 켜져 펄스가 뒤쪽에서 t_dt만큼 늘어난다. (c) 게이트(S₁, S₂)와 두 경우의 극 전압. 음영이 데드 타임이다(실제보다 크게 그렸다).

매 스위칭 주기마다 $t_{dt}$ 만큼 펄스가 줄거나 늘어나므로, 주기 평균 극 전압에 크기가 일정하고 부호가 전류를 따르는 오차가 생긴다.

\Delta V = -\,t_{dt}\,f_{sw}\,V_{dc}\;\mathrm{sgn}(i)\qquad(\text{턴온, 턴오프 지연과 소자 강하 무시})

PW-800 SiC:

200\ \text{ns} \times 10\ \text{kHz} \times 800\ \text{V} = 1.6

V. IGBT:

1.5\ \mu\text{s} \times 8\ \text{kHz} \times 800\ \text{V} = 9.6

V. 기본파 진폭(M = 0.9에서 360 V)에 비하면 작지만, 저속(M이 작음)에서는 오차가 기준 전압의 수십 %가 된다. 오차는 전류와 같은 위상의 사각파이므로 5·7차 고조파 전류와 영점 부근의 전류 평탄화(zero-current clamping)를 만든다.

보상은 전류 부호를 보고 기준 전압에 $+\Delta V\,\mathrm{sgn}(i)$ 를 더해 주는 방식이 기본이다. 영점 근처에서는 리플 때문에 한 주기 안에서도 부호가 바뀌어 보상이 어긋나므로, 리플 진폭 안에서는 선형으로 줄이는 식으로 다듬는다. SiC는 데드 타임이 짧아 오차가 1/6 이하로 작다. 이것이 SiC 인버터의 저속 토크 리플이 작은 이유 가운데 하나다. 대신 SiC 바디 다이오드는 $V_{SD} \approx 3$ –4 V로 커서, 데드 타임 동안의 다이오드 도통 손실이 $V_{SD} \cdot 2t_{dt} f_{sw} \cdot \hat I/\pi$ 만큼 생긴다(PW-800에서 스위치당 약 1.6 W).

SIMULATOR

데드 타임 전압 오차: 전류 부호, 저속 왜곡, 보상

데드 타임 t_dt 스위칭 f_sw 기본파 f₁ (M ∝ f₁) 상전류 rms 전류 부호 보상

프리셋

ΔV = t_dt·f_sw·V_dc—

ΔV / V̂₁—

I₅ / I₁—

I₇ / I₁—

전류 THD (저차 h ≤ 25)—

위: 한 스위칭 주기의 게이트와 극 전압(i > 0, i < 0). 아래: 반송파 주기 평균의 a상 전압(이상: 점선, 오차 포함: 실선)과 a상 전류. 오차 전압은

-\Delta V\,g(i_x)

g(i) = \mathrm{clamp}\big(i/(\Delta i_{pp}/2), -1, 1\big)

(영점 부근에서 리플이 한 주기 안에 부호를 섞는 효과,

\Delta i_{pp} \approx V_{dc}/(6Lf_{sw})

)로 두고 세 상의 평균(중성점 전위)을 뺐다. 기본파 전류는 전류 제어기가 목표(cosφ 0.9)로 맞춘다고 보고, 오차의 고조파만 FFT로 나눠

I_h = V_h/(R + jh\omega_1 L)

로 전류에 더했다(L 250 µH, R 10 mΩ, M = 0.9 f₁/400 Hz). 저차 고조파까지 억누르는 전류 제어기의 이득은 넣지 않았으므로 개루프 상한으로 읽는다. 보상은 오차와 달리 기준 전류의 딱 떨어지는 부호

+\Delta V\,\mathrm{sgn}(i_{ref})

를 쓰므로 영점 부근에 잔차가 남는다. 해볼 것: IGBT 프리셋에서 f₁을 5 Hz로 낮추면 오차가 기준 전압과 비슷해지고 전류가 영점 근처에서 평평해진다. 보상을 켜면 5·7차가 크게 준다. SiC 프리셋은 보상 없이도 작다.

소자 손실 계산: 전도와 스위칭, 스위치와 다이오드

인버터 손실의 본진은 이 절이다. 한 레그의 위 소자 위치에 주목하자. 상전류 $i(t) = \hat I\sin(\omega_1 t - \varphi)$ 가 양(레그 밖으로)일 때는 위 스위치가 듀티 $d$ 동안 전류를 나르고, 꺼진 동안 아래 다이오드가 나른다. 전류가 음일 때는 위치가 바뀌어 위 다이오드(SiC는 3사분면 채널)가 나른다. 따라서 위 스위치는 전류의 양의 반주기에서, 다이오드는 음의 반주기에서 일한다. 두 반주기에서 듀티 $d = (1+M\sin\omega_1 t)/2$ 를 곱해 적분하면 사인파 PWM의 잘 알려진 평균 손실식이 나온다.

그림 13-6. 위 소자 위치의 손실 분담. 전류가 양인 반주기(주황 음영)에는 위 스위치가 듀티

d

만큼 전류를 나르고 스위칭 손실을 낸다. 음인 반주기(보라 음영)에는 위 다이오드가

d

만큼 나르고 역회복 손실을 낸다. 전압 기준과 전류가 같은 위상일수록(

M\cos\varphi

가 클수록)

d

가 큰 구간에서 스위치가 전류를 나르므로 스위치 전도 손실이 커지고 다이오드 몫은 준다.

P_{T,\text{cond}} = V_{CE0}\,\hat I\Big(\frac{1}{2\pi} + \frac{M\cos\varphi}{8}\Big) + r_{CE}\,\hat I^2\Big(\frac18 + \frac{M\cos\varphi}{3\pi}\Big),\qquad P_{D,\text{cond}} = V_{F0}\,\hat I\Big(\frac{1}{2\pi} - \frac{M\cos\varphi}{8}\Big) + r_F\,\hat I^2\Big(\frac18 - \frac{M\cos\varphi}{3\pi}\Big)

P_{sw} = f_{sw}\,(E_{on}+E_{off})\,\frac{\hat I}{\pi I_{ref}}\Big(\frac{V_{dc}}{V_{ref}}\Big)^{1.3},\qquad P_{rr} = f_{sw}\,E_{rr}\,\frac{\hat I}{\pi I_{ref}}\Big(\frac{V_{dc}}{V_{ref}}\Big)^{1.3}

IGBT:

V_{CE(sat)} = V_{CE0} + r_{CE} I_C

선형 근사(PW-800 150 °C: 0.9 V + 2.0 mΩ), 다이오드

0.9\ \text{V} + 1.8\ \text{m}\Omega

. 스위칭 에너지는 기준점

V_{ref} = 800

I_{ref} = 400

A의 데이터시트 값을 전류에 비례, 전압에 1.3제곱으로 늘린다(교육용 근사).

\hat I/\pi

는 반주기 동안

|i|

의 평균을

\hat I

로 나눈 값의

1/\pi

배, 곧 스위칭 이벤트 평균 전류다. SiC MOSFET은

V_{CE0} = 0

인 순수 저항이고, 역방향도 채널이 나르므로(동기 정류) 정·역방향 합이

R_{DS(on)}\hat I^2/4 = R_{DS(on)} I_{\text{rms}}^2/2

가 된다. 여기에 데드 타임 바디 다이오드 도통

V_{SD}\,2t_{dt}f_{sw}\hat I/\pi

를 더한다.

온도도 들어간다. PW-800 SiC 스위치는 $R_{DS(on)} = 2.0\ \text{m}\Omega\,[1 + 0.004\,(T_j - 25^\circ\text{C})]$ 로 25 °C 2.0 mΩ, 150 °C 3.0 mΩ, 175 °C 3.2 mΩ이다. IGBT는 $V_{CE0}$ 가 온도와 함께 약간 줄고 $r_{CE}$ 와 $E_{off}$ (꼬리 전류)가 는다. 손실이 온도를 올리고 온도가 손실을 올리는 이 결합은 14장에서 푼다.

SIMULATOR

인버터 손실 계산기: SiC MOSFET vs Si IGBT + 다이오드

상전류 rms 변조 지수 M 역률 cosφ 스위칭 f_sw 접합 온도 T_j DC 링크 V_dc

프리셋

SiC 스위치당 (정방향+역방향)—

IGBT / 다이오드 (각 1개)—

출력 |P|—

인버터 손실 SiC / IGBT—

효율 SiC / IGBT—

왼쪽 막대: 한 위치의 손실 분해(진한 색 전도, 옅은 색 스위칭·역회복). SiC는 같은 다이가 정방향(스위치 동작)과 역방향(동기 정류 + 데드 타임 바디 다이오드)을 다 나른다. 오른쪽: 인버터 전체 손실(6위치) vs f_sw, 세로 점선이 현재 f_sw. 출력

P = 3\,\frac{M V_{dc}}{2\sqrt2}\,I_{\text{rms}}\cos\varphi

. 같은 f_sw를 두 소자에 썼다(PW-800 실제 IGBT 비교는 8 kHz). 해볼 것: "회생"을 누르면 IGBT 손실이 다이오드 쪽으로 옮겨 간다. "정지 토크"(M ≈ 0)는 출력이 거의 0인데 손실은 크다. 효율이 의미 없는 영역이며, 온도 리플이 커진다(14장). f_sw를 올리면 IGBT 손실이 SiC보다 훨씬 가파르게 는다.

트랙션 인버터 기준 손실연속 기준점(800 V, 250 A rms →

\hat I = 354

A, cosφ 0.9, M 0.9, 10 kHz, 보수적으로

T_j = 150

°C의

R_{DS(on)} = 3.0

mΩ)에서 SiC 스위치 하나의 손실은 정방향 전도 약 79 W + 역방향(동기 정류) 전도 약 15 W + 스위칭

E_{on}+E_{off}

약 56 W + 역회복 약 3 W + 데드 타임 바디 다이오드 약 2 W ≈ 약 155 W다. 여섯 개를 합하면 약 0.93 kW, 출력 약 172 kW에 대해 효율 약 99.5 %(DC 링크·버스바·게이트 구동 손실을 더한 실제 피크 효율은 약 99 %). 같은 조건 IGBT(8 kHz)는 IGBT 약 330 W + 다이오드 약 85 W로 위치당 약 410 W, 인버터 약 2.5 kW, 효율 약 98.6 %다. 이 155 W에

R_{th,j-f} = 0.12

K/W를 곱하면 냉각수 65 °C 위로 약 19 K, 평균

T_j \approx 84

°C가 된다(14장). 스위칭 손실 비중이 IGBT보다 작으므로 SiC는 f_sw를 20 kHz로 올려도 손실이 약 215 W에 그친다.

손잡이	전도 손실	스위칭 손실	스위치/다이오드 분담
상전류 $I$ ↑	SiC $\propto I^2$ , IGBT $\propto aI + bI^2$	$\propto I$	거의 그대로
스위칭 주파수 ↑	그대로	$\propto f_{sw}$	IGBT는 다이오드 $E_{rr}$ 도 함께 ↑
$M\cos\varphi$ ↑ (고속·고역률 구동)	총합 거의 그대로	그대로	스위치 ↑, 다이오드 ↓
$\cos\varphi \lt 0$ (회생)	총합 그대로	그대로	다이오드 ↑, 스위치 ↓
$T_j$ ↑	SiC $R_{DS(on)}$ +50 % (25 → 150 °C)	SiC 거의 그대로, IGBT 꼬리 전류 ↑	—
$V_{dc}$ ↑	그대로(같은 전류)	$\propto V_{dc}^{1.3}$	—
DPWM(60° 클램프)	그대로	약 −33 … −50 %	—

모터 구동과 회생 제동

전압형 인버터는 전력 흐름 방향을 가리지 않는다. 전류 페이저를 전압 페이저에서 90° 넘게 돌리면( $\cos\varphi \lt 0$ ) 평균 전력 $P = 3V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}\cos\varphi$ 가 음이 되어 모터가 발전기가 되고, 에너지가 DC 링크와 배터리로 돌아온다. 이것이 회생 제동(regenerative braking)이다. 속도와 토크의 부호 조합으로 네 사분면 운전(전진 구동·전진 회생·후진 구동·후진 회생)이 모두 같은 회로로 된다. 회생 중에는 전류가 주로 다이오드(SiC는 역방향 채널)를 지나므로, 다이오드 열저항이 큰 IGBT 모듈(PW-800 다이오드 0.16 K/W vs IGBT 0.10 K/W)에서는 회생 때 다이오드가 먼저 뜨거워진다.

그림 13-7. 네 사분면 운전. 토크와 속도의 부호가 같으면 구동, 다르면 회생이다. 회생 전력은 DC 링크 전류를 음으로 만들어 배터리를 충전한다. DC 링크 커패시터(500 µF)가 800 V에서 850 V까지 오르며 받을 수 있는 에너지는

\tfrac12 C(850^2 - 800^2) \approx 21

J뿐이다.

SIMULATOR

구동 ↔ 회생: 전류 위상각, DC 링크 전류, 손실 분담

전류 위상각 φ 상전류 rms 변조 지수 M (속도) 배터리 충전 한계

모드—

P (3상)—

평균 i_dc—

IGBT / 다이오드 손실—

850 V 도달 시간—

왼쪽: 상전압(파랑)과 상전류(주황) 페이저, 그리고 세 상의 순시 전력 합

p = \sum v_x i_x

(일정). 오른쪽: φ에 따른 IGBT 모듈 위치당 IGBT·다이오드 손실과 SiC 위치 손실(10 kHz, 150 °C, 위 손실식). 점은 현재 φ. 회생 전력이 배터리 충전 한계를 넘으면 남는 전력이 커패시터를

dV/dt = \Delta P/(C V)

로 충전하므로 800 → 850 V까지

t = C(850^2-800^2)/(2\Delta P)

만 걸린다. 해볼 것: φ를 90°에 놓으면 전류는 그대로 흐르는데 평균 전력이 0이다(무효 전력만 오감). 손실은 남는다. 150°를 넘기면 다이오드 손실이 IGBT 손실보다 커진다. 배터리 한계를 0으로 두면(만충·저온) 수백 µs 만에 과전압이므로 회생 토크를 줄이고 기계식 브레이크로 넘겨야 한다.

3레벨 인버터: NPC와 T형

2레벨 레그는 극을 P와 N 사이에서 $V_{dc}$ 만큼 한 번에 흔든다. DC 링크를 커패시터 둘로 나누고 중점 0에도 이을 수 있게 하면 극 전압이 $+V_{dc}/2, 0, -V_{dc}/2$ 세 레벨이 된다. NPC(neutral-point clamped) 인버터는 레그마다 직렬 스위치 넷과 중점 클램프 다이오드 둘을 쓰고, 모든 소자가 $V_{dc}/2$ 만 막는다. T형(T-type, NPC2) 인버터는 2레벨 레그(소자가 $V_{dc}$ 를 막음)에 극과 중점을 잇는 양방향 스위치( $V_{dc}/2$ 급 두 개)를 더한다.

그림 13-8. (a) NPC 레그: S₁S₂ 켜짐 → +V_dc/2, S₂S₃ 켜짐 → 0(클램프 다이오드로 중점), S₃S₄ → −V_dc/2. 전류는 언제나 소자 두 개를 직렬로 지난다. (b) T형 레그: 바깥 스위치가 ±V_dc/2를, 가운데 양방향 스위치가 0을 만든다. ± 레벨에서는 소자 하나만 지나 전도 손실이 작다. (c) 극 전압은 0과 ±V_dc/2 사이만 오간다.

SIMULATOR

2레벨 vs 3레벨(NPC·T형): 파형, 리플, 소자 스트레스

토폴로지

변조 지수 M 스위칭 f_sw

THD v_ab—

리플 Δi_pp—

극 전압 계단—

스위칭 손실 (2레벨 = 1)—

평균 도통 소자 수—

3레벨은 위상 배치 두 반송파(PD-PWM: 0…1과 −1…0, 같은 위상)로 변조하고, 3상 전체를 앞 시뮬레이터와 같은 R-L-역기전력 부하(L 250 µH, 250 A rms, f₁ 200 Hz, SVPWM 영상분)로 적분했다. 스위칭 손실 비는 한 레그가 반송파 주기마다 한 번 전이하고

E \propto V^{1.3}

라고 본 근사로, 같은 소자 기술이면

(1/2)^{1.3} \approx 0.41

이다(실제로는 650 V 소자의 에너지가 더 작아 이득이 더 크다). 평균 도통 소자 수는 표본마다 전류 경로의 직렬 소자 수를 센 값이다. 해볼 것: 같은 f_sw에서 3레벨의 리플은 2레벨의 약 1/2 이하, 선간 THD도 크게 준다. NPC는 언제나 소자 2개를 지나 전도 손실이 늘지만, T형은 M이 클수록 1개에 가깝다.

	2레벨	3레벨 NPC	3레벨 T형
레그당 능동 소자	2 (1200 V)	4 (650 V) + 클램프 다이오드 2	2 (1200 V) + 2 (650 V)
극 전압 계단 (800 V)	800 V	400 V	400 V
전류 경로 직렬 소자	1	2	1 (±) / 2 (0)
같은 f_sw의 전류 리플	1	약 1/2 이하	약 1/2 이하
적합 영역	800 V EV 표준, 단순	1500 V 태양광·중전압	낮은–중간 f_sw, 고효율 UPS·태양광
과제	dv/dt, 큰 리플	중점 전위 균형, 내부 소자 손실 불균형	중점 균형, 바깥 소자 1200 V

dv/dt, 케이블 반사파, 공통 모드 전압

SiC는 스위칭이 빨라 손실이 작지만(10장), 그 대가로 출력 전압이 20–40 V/ns로 변한다. 이 빠른 펄스가 모터 쪽에 세 가지 문제를 만든다.

케이블 반사파: 케이블은 특성 임피던스 $Z_c$ (수십–100 Ω)의 전송선이고 모터 권선은 고주파에서 $Z_m$ (수백 Ω–수 kΩ)이다. 펄스가 모터 끝에서 반사 계수 $\Gamma_m$ 으로 되돌아오고, 인버터 끝(저임피던스, $\Gamma_s \approx -1$ )에서 다시 반사된다. 상승 시간 $t_r$ 이 왕복 시간 $2t_p$ 보다 짧으면 반사파가 다 쌓여 모터 단자 전압이 거의 $2V_{dc}$ 까지 오른다.
권선 절연: 가파른 파면은 권선 첫 몇 턴에 전압을 몰아 건다. 피크가 부분 방전 개시 전압(PDIV)을 넘으면 에나멜이 서서히 침식된다. 800 V 시스템에서 반사 피크 1.5 kV 이상은 절연 설계의 핵심 조건이다.
공통 모드 전압과 베어링 전류: $v_{nN}$ 는 스위칭마다 $V_{dc}/3$ 씩 뛴다. 고정자-회전자-프레임 기생 커패시턴스로 축 전압이 생기고, 베어링 윤활막이 방전되면(EDM) 베어링 표면이 패인다. 프레임 기생 커패시턴스 1 nF에 30 V/ns면 $C\,dv/dt = 30$ A의 공통 모드 전류 펄스가 흐른다. 이것이 EMI의 주원인이다.

\Gamma_m = \frac{Z_m - Z_c}{Z_m + Z_c},\qquad \hat V_m \approx (1+\Gamma_m)\,V_{dc}\quad (t_r \lt 2t_p),\qquad l_c = \frac{v\,t_r}{2},\qquad t_r = \frac{V_{dc}}{dv/dt}

v \approx 150

m/µs: 케이블 전파 속도(빛의 약 절반),

t_p = l/v

: 편도 시간,

l_c

: 반사파가 다 쌓이기 시작하는 임계 케이블 길이. PW-800: 30 V/ns, 800 V →

t_r \approx 27

ns,

l_c \approx 2

m. 모터 일체형 e-액슬은 케이블이 1 m 미만이라 완전한 2배는 피하지만, 산업용 드라이브(케이블 수십 m)는 SiC에서 거의 언제나

l \gg l_c

다.

그림 13-9. 케이블 반사파. 인버터 출력(회색)은 25 ns에 800 V로 오르지만, 7.5 m 케이블 끝의 모터 단자(파랑)에서는

\Gamma_m = 0.9

의 반사파가 겹쳐 약 1.5 kV까지 오르고, 왕복 주기

4t_p = 200

ns로 링잉하며 감쇠한다(인버터 쪽 실효 임피던스 약 4 Ω,

\Gamma_s \approx -0.9

가 링잉을 감쇠시킨다).

SIMULATOR

모터 케이블 반사파: dv/dt·케이블 길이·임피던스와 단자 피크

dv/dt 케이블 길이 모터 서지 임피던스 Z_m 케이블 Z_c

t_r—

임계 길이 l_c—

Γ_m—

모터 피크—

공통 모드 전류 (1 nF)—

위: 인버터 출력과 모터 단자 전압. 반사 격자(lattice) 합

v_m(t) = \tfrac{1-\Gamma_s}{2}(1+\Gamma_m)V_{dc}\sum_{k\ge0}(\Gamma_s\Gamma_m)^k\,u_r\big(t-(2k+1)t_p\big)

로 계산했다.

u_r

은 상승 시간

t_r

의 램프, 인버터 쪽 반사

\Gamma_s = (Z_s - Z_c)/(Z_s + Z_c)

(실효 출력 임피던스

Z_s \approx 4\ \Omega

), 발사 전압

V_{dc}(1-\Gamma_s)/2

이고 항은 최대 200개다. 정상 상태는 정확히

V_{dc}

로 수렴한다. 아래: 케이블 길이에 따른 피크(로그 축)와 현재 길이(점). 해볼 것: dv/dt를 5 V/ns(IGBT 수준)로 낮추면 l_c가 수 m로 늘어 같은 케이블에서 피크가 크게 준다. Z_m을 Z_c에 가깝게(종단 필터) 두면 Γ_m이 0으로 가고 반사가 사라진다.

모터 쪽 dv/dt 예산PW-800 SiC 턴오프 dv/dt는 약 20–40 V/ns다. 일체형 e-액슬(버스바·짧은 케이블 약 0.5 m)에서는

l \lt l_c \approx 2

m라 반사 피크가 약 1.1–1.3

V_{dc}

에 머물지만, 모터 권선 첫 턴의 전압 집중과 공통 모드 전류(프레임 수 nF × 30 V/ns ≈ 수십 A 펄스)는 남는다. 대책: 게이트 저항으로 dv/dt를 약 10–20 V/ns로 제한(스위칭 손실 증가와 맞바꿈, 11장), 공통 모드 초크, 축 접지 링·절연 베어링, 권선 절연 등급(PDIV) 상향. 3레벨 인버터는 계단이 400 V라 이 모두를 줄인다.

핵심 정리

하프 브리지의 극 전압은 0 또는 $V_{dc}$ 이고, 주기 평균은 $dV_{dc}$ 이다. 듀티를 $d = (1+M\sin\omega_1 t)/2$ 로 바꾸면 평균이 사인파가 된다. 전압형 인버터의 극 전압은 전류 방향과 무관하게 게이트가 정한다(데드 타임 제외).
사인파 PWM: $\hat V_{a0,1} = M V_{dc}/2$ ( $M \le 1$ ), 고조파는 $m_f$ 의 배수 주변 측파대. $M \gt 1$ 과변조는 저차 고조파를 만들고 사각파 극한은 $4/\pi$ .
3상 2레벨: 선간 기본파 $0.612\,M V_{dc}$ rms, 상전압 다섯 레벨, 공통 모드 전압 $v_{nN}$ 은 영벡터에서 0 또는 $V_{dc}$ . 전류 리플 $\propto V_{dc}/(Lf_{sw})$ .
3고조파 주입·SVPWM은 영상분을 더해 선형 범위를 $M = 2/\sqrt3 \approx 1.155$ 까지 15 % 넓힌다. SVPWM 체류 시간 $T_{1,2} = T_s\sqrt3|\mathbf v^*|/V_{dc}\cdot\sin(\cdot)$ . DPWM은 스위칭 손실을 더 줄인다.
데드 타임 오차 $\Delta V = t_{dt} f_{sw} V_{dc}\,\mathrm{sgn}(i)$ : SiC 1.6 V, IGBT 9.6 V. 저속에서 상대 오차가 커져 5·7차 고조파와 영점 평탄화를 만들고, 전류 부호 보상으로 줄인다.
손실: 스위치 전도 $\propto (1/8 + M\cos\varphi/3\pi)$ , 다이오드 $\propto (1/8 - M\cos\varphi/3\pi)$ , 스위칭 $\propto f_{sw}(E_{on}+E_{off})\hat I/\pi$ . PW-800 SiC 기준점 스위치당 약 155 W, 인버터 약 0.93 kW, 효율 약 99.5 %. IGBT는 약 2.5 kW, 약 98.6 %.
회생( $\cos\varphi \lt 0$ )은 같은 회로로 전력을 되돌리고 손실을 다이오드 쪽으로 옮긴다. DC 링크 커패시터는 수십 J만 버티므로 배터리 충전 한계가 회생 토크를 정한다.
3레벨 NPC·T형은 계단을 $V_{dc}/2$ 로 줄여 리플·THD·dv/dt·스위칭 손실을 낮춘다. NPC는 전도 경로가 길고, T형은 바깥 소자가 $V_{dc}$ 를 막는다.
SiC의 20–40 V/ns는 케이블 반사파( $l \gt l_c = vt_r/2$ 이면 최대 $(1+\Gamma_m)V_{dc}$ ), 권선 절연 스트레스, 공통 모드 전류와 베어링 전류를 만든다.

확인 퀴즈

1. V_dc = 800 V인 3상 2레벨 인버터를 사인파 PWM, M = 0.9로 운전한다. 선간 전압 기본파 rms는 약 얼마인가?

V_{LL,1,\text{rms}} = \frac{\sqrt3}{2\sqrt2}MV_{dc} = 0.612 \times 0.9 \times 800 \approx 441

V. 255 V는 상전압 rms(

MV_{dc}/(2\sqrt2)

)다.

2. 3고조파 주입이나 SVPWM으로 선형 범위가 약 15 % 넓어지는 이유로 옳은 것은?

영상분은 중성점이 떠 있는 3상 부하의 상전압·선간 전압에 나타나지 않는다. 기준파 최대가

\tfrac{\sqrt3}{2}M

로 줄어

M = 2/\sqrt3 = 1.155

까지 선형이다. 육각형 내접원 반지름

V_{dc}/\sqrt3

와 사인파 PWM 원

V_{dc}/2

의 비와 같다.

3. IGBT 인버터(t_dt = 1.5 µs, f_sw = 8 kHz, V_dc = 800 V)의 데드 타임 평균 전압 오차는?

\Delta V = t_{dt} f_{sw} V_{dc} = 1.5\times10^{-6}\times 8000 \times 800 = 9.6

V. 전류가 레그 밖으로 흐르면 펄스가 줄고(−), 안으로 흐르면 늘어난다(+). 저속에서 기준 전압이 작을 때 상대 오차가 커진다.

4. 같은 상전류에서 구동(cosφ = +0.9)에서 회생(cosφ = −0.9)으로 바뀌면 IGBT 모듈의 손실 분담은?

손실식에서

M\cos\varphi

항의 부호가 바뀐다. 스위치

1/8 + M\cos\varphi/(3\pi)

, 다이오드

1/8 - M\cos\varphi/(3\pi)

. 다이오드 열저항이 더 큰 모듈에서는 회생 때 다이오드 접합 온도가 한계를 정할 수 있다.

5. PW-800 SiC 인버터를 10 kHz에서 20 kHz로 바꾸면(다른 조건 같음) 스위치당 손실은 대략?

전도 손실(약 94 W)은 f_sw와 무관하고, 스위칭·역회복·데드 타임 손실(약 61 W)만 주파수에 비례한다. 약 94 + 122 ≈ 216 W. IGBT는 스위칭 비중이 커서 같은 변경으로 손실이 훨씬 크게 는다.

6. SVPWM 섹터 I에서 θ = 30°, M = 2/√3일 때 영벡터 시간 T₀/T_s는?

\sqrt3|\mathbf v^*|/V_{dc} = \sqrt3 M/2 = 1

T_1/T_s = \sin 30^\circ = 0.5

T_2/T_s = \sin 30^\circ = 0.5

T_0 = 0

. 기준 벡터 끝이 육각형 변의 가운데(내접원과 닿는 점)에 있다.

7. 3레벨 NPC 인버터가 같은 800 V 2레벨 인버터보다 유리한 점이 아닌 것은?

NPC는 모든 레벨에서 전류가 소자 두 개를 직렬로 지난다. 전도 경로가 짧은 것은 T형의 ± 레벨이다(소자 하나).

8. dv/dt 40 V/ns로 800 V를 스위칭하고 케이블 전파 속도가 150 m/µs이다. 반사파가 다 쌓이기 시작하는 임계 케이블 길이는?

t_r = 800/40 = 20

ns,

l_c = vt_r/2 = 150\ \text{m}/\mu\text{s} \times 20\ \text{ns}/2 = 1.5

m. 이보다 긴 케이블에서는 모터 단자 전압이

(1+\Gamma_m)V_{dc}

에 가까워진다.