Chapter 08

패턴 의존성과 평탄화

블랭킷 웨이퍼(패턴 없는 막)에서는 프레스턴 식 하나로 제거량이 맞는다. 그러나 실제 웨이퍼 위에는 배선과 트렌치가 빽빽한 곳, 텅 빈 곳, 수십 µm짜리 넓은 패드가 섞여 있다. 같은 압력으로 눌러도 튀어나온 곳(업 영역)은 빨리, 들어간 곳(다운 영역)은 늦게 깎이고, 패드는 수 mm 범위에서 휘어 주변 패턴의 영향을 함께 받는다. 그 결과 CMP가 끝난 뒤에도 두께는 레이아웃을 닮은 지도로 남는다. 이 장에서는 단차가 사라지는 과정을 압력 분배로 계산하고, 패드의 탄성 응답을 커널로 바꾸어 칩 전체의 두께 지도를 예측하며, 디싱·이로전과 더미 필까지 한 줄의 모델로 이어 본다.

업 영역과 다운 영역의 압력 분배 $\rho P_{\text{up}} + (1-\rho)P_{\text{down}} = P$로부터 단차 감소 속도를 유도하고, 비접촉·접촉 영역과 지수 감쇠를 설명할 수 있다.
평탄화 길이(planarization length)의 뜻과 패드 경도·두께와의 관계를 설명하고, 레이아웃 밀도에 커널을 컨볼루션해 유효 밀도를 구할 수 있다.
스타인·오우마 패턴 밀도 모델로 다이 안의 CMP 후 두께 지도와 다이 내 불균일(WIDNU)을 계산할 수 있다.
디싱과 이로전을 구분하고, 선폭·패턴 밀도·선택비·오버폴리시 시간에 따라 어떻게 커지는지 추정할 수 있다.
더미 필과 밀도 규칙(최소·최대 밀도, 윈도우, 이격 거리)이 왜 필요한지, CMP 모델이 DFM 핫스팟 검출에 어떻게 쓰이는지 설명할 수 있다.

단차는 어디서 오나: 국부 평탄과 전역 평탄

금속 배선 위에 산화막(ILD)을 CVD로 쌓으면 막은 아래 모양을 거의 그대로 따라간다. 높이 $h$인 배선 위는 솟고, 배선 사이는 꺼져 단차(step height)가 생긴다. 배선 간격이 막 두께의 두 배보다 좁으면 양쪽 벽에서 자란 막이 만나 골짜기가 메워지므로, 촘촘한 배선 묶음 위는 넓은 고원(plateau)처럼 보이고, 외딴 배선 위에는 작은 언덕이 생긴다. 이렇게 솟은 부분을 업 영역(up area), 꺼진 부분을 다운 영역(down area)이라 부른다.

그림 8-1. CMP 전후의 단면(개념도, 세로 과장). ① 증착 직후에는 배선 높이 $h$만큼의 단차가 있다. ② CMP로 수십 µm 범위의 국부 단차는 사라지지만, 밀집 영역은 업 영역이 넓어 더 천천히 깎이므로 mm 범위에서 두께 차 $\Delta z$가 남는다.

평탄화를 두 단계로 나눠 보면 이해가 쉽다. 국부 평탄화(local planarization)는 수 µm~수십 µm 범위의 단차를 없애는 것이고, 전역 평탄화(global planarization)는 칩 전체(수 mm~수십 mm)에서 표면 높이를 맞추는 것이다. SOG나 리플로 같은 옛 평탄화 기술도 국부 평탄은 해냈지만 전역 평탄은 못 했다. CMP가 다층 배선의 표준이 된 이유는 패드가 수 mm 범위의 높낮이를 '느끼고' 높은 곳을 먼저 깎기 때문이다. 하지만 패드도 완전히 딱딱하지 않으므로 전역 평탄은 늘 불완전하다. 노광의 초점 심도(DOF)가 100 nm 안팎까지 줄어든 지금(1장), 이 잔여 두께 차가 이 장의 주제다.

지표	뜻	대략적 크기
단차 (step height, SH)	같은 위치 근처 업·다운 영역의 높이 차	증착 직후 100–800 nm → CMP 후 수 nm–수십 nm
다이 내 불균일 (WIDNU)	한 다이 안 두께의 최대−최소(또는 σ)	수십 nm(산화막), 공정 노드가 작을수록 엄격
웨이퍼 내 불균일 (WIWNU)	웨이퍼 전체 두께 산포(1σ/평균)	CP-300 목표 3 % 이하(3장)
디싱·이로전	금속·STI CMP에서 패턴 안이 주변보다 더 파인 깊이	수 nm–수십 nm

WIWNU는 헤드 압력 분포와 운동학이 정하고, WIDNU·디싱·이로전은 레이아웃이 정한다. 같은 공정이라도 제품(칩 설계)이 바뀌면 WIDNU가 달라지는 이유다.

업 영역과 다운 영역의 압력 분배

패드가 패턴 위를 누른다고 하자. 배선이 차지하는 면적 비율, 즉 패턴 밀도(pattern density)를 $\rho$라 하면 업 영역 면적 비율은 $\rho$, 다운 영역은 $1-\rho$다. 헤드가 거는 평균 압력 $P$는 두 영역이 나눠 받는다.

$$\rho\,P_{\text{up}} + (1-\rho)\,P_{\text{down}} = P$$

힘의 평형이다. 국부 제거율은 프레스턴 식 $RR = k_p P_{\text{local}}\, v$를 따른다고 본다(2장). 블랭킷 제거율을 $K = k_p P v$로 쓴다.

그림 8-2. 단차 $H$가 패드가 휘어 들어갈 수 있는 깊이 $h_c$(접촉 높이)보다 크면 패드는 업 영역만 누른다(왼쪽, 패드와 다운 영역 사이의 빈 틈). $H$가 $h_c$보다 작아지면 다운 영역도 압력을 받고, 업·다운 압력 차는 단차에 비례해 줄어든다(오른쪽).

패드를 국부적으로 스프링(윙클러 기초)처럼 보면, 업·다운 압력 차는 패드가 얼마나 더 눌렸는가, 즉 단차에 비례한다. 다운 영역 압력이 정확히 0이 되는 단차를 접촉 높이(contact height, $h_c$)라 하면 두 영역은 이렇게 정리된다(MIT 보닝 그룹의 단차 모델과 같은 꼴).

$$H \ge h_c:\quad P_{\text{up}}=\frac{P}{\rho},\;\; P_{\text{down}}=0 \;\;\Rightarrow\;\; \frac{dH}{dt} = -\frac{K}{\rho}$$ $$H \lt h_c:\quad P_{\text{down}}=P\left(1-\frac{H}{h_c}\right),\;\; P_{\text{up}}=P_{\text{down}}+\frac{P}{\rho}\frac{H}{h_c} \;\;\Rightarrow\;\; \frac{dH}{dt} = -\frac{K}{\rho\,h_c}\,H$$

$H = z_{\text{up}}-z_{\text{down}}$는 단차, $K=k_pPv$는 블랭킷 제거율이다. 비접촉 영역에서는 단차가 직선으로 줄고, 접촉 영역에서는 시간 상수 $\tau = \rho h_c/K$로 지수 감쇠한다: $H(t) = h_c\,e^{-(t-t_c)/\tau}$.

두 식이 말하는 바는 분명하다. ① 밀도 $\rho$가 작을수록(업 영역이 좁을수록) 압력이 집중돼 단차가 빨리 사라진다. ② 단차가 $h_c$ 아래로 내려가면 다운 영역도 깎이기 시작해 단차 제거가 느려지고, 단차를 0으로 만들려면 이론적으로 무한한 시간이 든다. ③ $h_c$가 작을수록(패드가 딱딱할수록) 접촉 영역이 늦게 시작되어 평탄화 효율이 좋다. 경질 상부 패드를 쓰는 이유다(4장).

SIMULATOR

단차가 깎이는 단면 애니메이션

패턴 밀도 ρ 초기 단차 H₀ 접촉 높이 h_c 압력 P 재생 속도

경과 시간—

단차 H—

영역—

업 / 다운 제거율—

모델: $K = k_pPv$(CP-300: $k_p=1.0\times10^{-13}$ Pa⁻¹, $v=1.75$ m/s), 위 압력 분배식을 시간 적분. 해볼 것: ① ρ = 0.2와 0.8에서 단차가 $h_c$에 닿는 시간을 비교하자. ② $h_c$를 300 nm로 키우면(무른 패드) 처음부터 다운 영역이 깎여 단차가 잘 안 줄어든다. ③ 오른쪽 위 작은 그래프에서 직선 구간 → 지수 꼬리로 바뀌는 순간을 찾아보자.

단차를 얼마나 줄이려면 막을 얼마나 깎아야 할까? 이것이 공정 설계자가 실제로 묻는 질문이다. 비접촉 구간에서는 업 영역만 깎이므로 업 영역 제거량 $z$와 단차 감소가 1:1이다. 접촉 구간에서는 위 식을 적분하면 업 영역 누적 제거량이 닫힌 꼴로 나온다.

$$z_{\text{up}}(H) = (H_0 - H_s) + \rho\,h_c\ln\frac{H_s}{H} + (1-\rho)(H_s - H),\qquad H_s=\min(H_0,h_c)$$

첫 항은 비접촉 구간의 1:1 제거, 둘째 항은 블랭킷 제거율로 흘러간 양($K\,\Delta t$), 셋째 항은 업 영역이 받은 추가 압력 몫이다. 평탄화 효율(planarization efficiency)을 $\eta = (H_0-H)/z_{\text{up}}$로 정의하면 이상적인 평탄화기는 $\eta=1$이다.

SIMULATOR

단차 대 제거량 곡선과 평탄화 효율

패턴 밀도 ρ 초기 단차 H₀ 접촉 높이 h_c 목표 잔여 단차

필요 업 영역 제거량—

CP-300 연마 시간(3 psi)—

평탄화 효율 η—

다운 영역 제거량—

점선은 ρ = 0.2, 0.5, 0.8의 비교 곡선, 굵은 선이 현재 설정이다. 해볼 것: ① 목표 단차를 20 nm에서 5 nm로 줄이면 제거량이 얼마나 느는가? 지수 꼬리라 '마지막 몇 nm'가 비싸다. ② $h_c$가 H₀보다 크면 처음부터 접촉 영역이라 효율이 크게 떨어진다.

3 psi 산화막 ILD 단차 제거CP-300 산화막 조건(3 psi = 20.7 kPa, 1.75 m/s)의 블랭킷 제거율은 $K \approx 217$ nm/min이다. ρ = 0.5, H₀ = 500 nm, $h_c$ = 100 nm라면 비접촉 구간 400 nm를 걷어 내는 데 $\rho(H_0-h_c)/K \approx 0.9$분, 이어서 단차를 10 nm로 줄이는 데 $\rho h_c \ln 10/K \approx 0.5$분, 합쳐 약 86초가 걸린다. 업 영역은 약 560 nm, 다운 영역은 약 70 nm 깎인다. 그래서 ILD 증착 두께는 '최종 목표 두께 + 단차 제거에 드는 업 영역 손실 + 여유'로 정한다.

그림 8-3. 단차-시간 곡선의 두 구간. 밀도가 3배인 영역은 직선 구간 기울기가 1/3이고, 지수 꼬리의 시간 상수도 3배다. 밀집 영역과 성긴 영역이 한 칩 안에 있으면 평탄화되는 시점이 다르다.

평탄화 길이: 패드는 어디까지 '느끼나'

앞 절의 $\rho$는 '어느 범위에서 잰 밀도'인가? 패드가 무한히 딱딱하면 웨이퍼 전체 평균 밀도 하나로 압력이 정해지고, 무한히 무르면 각 배선 하나하나가 따로 논다. 현실의 패드는 그 사이여서, 한 지점의 압력은 주변 수 mm 안의 레이아웃에 의해 정해진다. 이 영향 범위를 평탄화 길이(planarization length, PL)라 부른다. 산화막 CMP에서 보고된 값은 경질 패드에서 대략 2–7 mm, 연질 패드나 적층 패드는 그보다 짧다. 패드가 두껍고 단단할수록(굽힘 강성 $\propto E t^3$), 하부 패드가 단단할수록 길어진다.

그림 8-4. 패드는 칩 위에서 판처럼 휜다(세로 크게 과장). 밀집 블록 위의 표면은 주변보다 높게 남고, 높이 변화는 평탄화 길이 정도의 거리에 걸쳐 완만하게 이어진다. L보다 훨씬 작은 구조는 '평균 밀도'로만 보이고, L보다 큰 구조는 따로 깎인다.

이 영향을 계산에 넣는 표준 방법이 MIT의 스타인·오우마 등이 정리한 유효 밀도(effective density) 개념이다. 레이아웃에서 잰 국부 밀도 $\rho_0(x,y)$에 패드 응답을 나타내는 가중 함수(커널) $f$를 컨볼루션한다.

$$\rho_{\text{eff}}(x,y) = \iint \rho_0(x',y')\, f(x-x',\,y-y')\,dx'\,dy',\qquad \iint f = 1$$

커널 모양은 여러 가지가 쓰인다. 이 장에서는 같은 길이 $L$로 맞춰 ① 정사각 창(한 변 $L$), ② 가우시안($\sigma = L/4$, 즉 ±2σ = L), ③ 타원형 $f \propto \sqrt{1-(2r/L)^2}$($r \lt L/2$)을 비교한다. 오우마는 탄성층에 점하중을 줄 때의 변형 모양에서 타원형 커널을 끌어냈고, 실험 데이터 맞춤에서는 모양보다 길이 $L$이 훨씬 중요하다고 보고했다.

그림 8-5. 평탄화 길이 $L$이 같은 세 커널(1차원 단면). 정사각 창은 경계에서 값이 뚝 끊기고, 가우시안은 꼬리가 길며, 타원형은 반지름 $L/2$에서 0이 된다. 어떤 모양이든 '$L$ 범위의 가중 평균 밀도'를 구한다는 생각은 같다.

SIMULATOR

커널이 레이아웃을 훑는다: 유효 밀도와 두께

평탄화 길이 L

커널 모양

레이아웃

제거량(블랭킷 환산) 커널 훑기 애니메이션

ρ_eff 범위—

CMP 후 두께 범위—

남은 최대 단차—

위: 레이아웃 밀도(막대)와 유효 밀도(곡선), 훑고 지나가는 커널. 아래: 스타인 모델로 계산한 CMP 후 배선 위 산화막 두께(배선 높이 400 nm, 증착 1000 nm). 해볼 것: ① L을 0.2 mm로 줄이면 ρ_eff가 레이아웃을 그대로 따라가 두께가 계단처럼 변한다. ② L을 키우면 두께 지도는 매끄러워지지만, 국부 밀도가 높은 곳의 단차가 늦게 사라진다. ③ '좁은 빈칸'에서 L보다 좁은 빈 공간은 두께에 거의 흔적을 남기지 않는다.

스타인·오우마 패턴 밀도 모델

유효 밀도를 알면 각 지점이 언제 평탄화되고 얼마나 두께가 남는지 계산할 수 있다. 1997년 스타인(B. Stine) 등이 제안한 산화막 CMP 밀도 모델은 위의 비접촉 영역 식을 그대로 쓴다: 단차가 남아 있는 동안은 업 영역만 $K/\rho_{\text{eff}}$로 깎이고, 단차가 사라진 뒤에는 블랭킷처럼 $K$로 깎인다.

$$z(x,y,t) = \begin{cases} z_0 - \dfrac{K t}{\rho_{\text{eff}}(x,y)}, & t \lt \dfrac{\rho_{\text{eff}}\, z_1}{K}\\[2ex] z_0 - z_1 - K t + \rho_{\text{eff}}\, z_1, & t \ge \dfrac{\rho_{\text{eff}}\, z_1}{K} \end{cases}$$

$z_0$는 증착 직후 업 영역 표면 높이, $z_1$은 초기 단차(대략 배선 높이), $K$는 블랭킷 제거율이다. 단차가 사라지는 시각 $t_p = \rho_{\text{eff}} z_1/K$는 밀도에 비례한다. 평탄화 뒤 두께는 $\rho_{\text{eff}} z_1$만큼 '덜 깎인 채로' 남는다.

둘째 줄에서 바로 중요한 결론이 나온다. 칩 안 두 지점의 유효 밀도 차가 $\Delta\rho_{\text{eff}}$이면, 둘 다 평탄화된 뒤 두께 차는 시간과 무관하게 $\Delta z = z_1\,\Delta\rho_{\text{eff}}$로 고정된다. 즉 오래 연마해도 WIDNU는 줄지 않는다. 배선 높이 400 nm, 유효 밀도가 0.2와 0.7인 영역이 공존하면 두께 차는 200 nm다. 이것을 줄이는 길은 ① $L$을 키워(경질 패드) $\rho_{\text{eff}}$를 고르게 하거나, ② 레이아웃 자체의 밀도를 고르게(더미 필) 하는 것뿐이다. 접촉 높이까지 넣은 확장 모델에서는 지수 꼬리 동안 다운 영역도 깎여 차이가 약간 줄지만 큰 그림은 같다.

SIMULATOR

밀집 영역 vs 성긴 영역: 평탄화 시점과 남는 두께 차

영역 A ρ_eff 영역 B ρ_eff 초기 단차 z₁ 최대 연마 시간

시간—

A 평탄화 시점—

B 평탄화 시점—

현재 두께 차 (A−B)—

아래 그래프: 실선은 업 영역, 점선은 다운 영역 표면 높이(K = 217 nm/min). 위: 같은 순간의 두 영역 단면. 해볼 것: 시간이 B 평탄화 시점을 지나면 두께 차가 늘다가, A까지 평탄화된 뒤에는 $z_1|\rho_A-\rho_B|$에서 멈춘다. 두 밀도를 같게 하면 차이는 0이 된다(더미 필의 원리).

칩 하나를 격자로 나누어 각 칸의 밀도를 구하고, 커널을 컨볼루션한 뒤 위 식을 칸마다 적용하면 칩 전체의 CMP 후 두께 지도가 나온다. 레이아웃 추출 격자는 보통 수십~수백 µm, 칩은 수 mm~수십 mm다. 이것이 상용 CMP 시뮬레이터와 파운드리 DFM 키트가 하는 일의 뼈대다. 아래 시뮬레이터에서 직접 칩을 그려 보자.

SIMULATOR

레이아웃을 그리면 CMP 후 두께 지도가 나온다

붓 밀도

붓 크기 평탄화 길이 L 제거량(블랭킷 환산) 핫스팟 기준 |Δz| 더미 필 적용(국부 밀도 30 % 미만 → 30 %)

평균 잔막(배선 위)—

WIDNU (최대−최소)—

σ—

남은 최대 단차—

핫스팟 칸—

왼쪽 그림(12 mm × 12 mm 다이, 칸 0.25 mm)에 마우스·손가락으로 밀도를 칠한다. 오른쪽은 가우시안 커널(σ = L/4)로 구한 유효 밀도에 스타인 모델을 적용한 배선 위 잔막 두께 지도(배선 높이 400 nm, 증착 1000 nm)이고, 중앙값에서 기준 이상 벗어난 칸은 테두리로 표시된다. 해볼 것: ① 'SoC 예'에서 L을 0.5 mm와 5 mm로 바꿔 지도 모양을 비교하자. ② 빈 영역이 핫스팟이 될 때 더미 필을 켜 보자. ③ 제거량을 줄이면 밀집 블록에 단차가 남는다(남은 최대 단차).

모델의 계보밀도 모델은 스타인(1997)의 산화막 모델에서 시작해, 오우마가 커널 모양과 평탄화 길이 추출법을 정리했고, 이후 접촉 높이를 넣은 단차 모델, 패드 돌기 분포까지 넣은 접촉 역학 모델(보닝 그룹의 '패드 거칠기' 모델), 구리·STI용 2단계 재료 모델로 확장되었다. 공정 엔지니어 입장에서는 $L$, $h_c$, $K$ 세 숫자를 테스트 패턴 웨이퍼로 뽑아(캘리브레이션) 제품 레이아웃에 적용하는 것이 표준 흐름이다.

디싱과 이로전

지금까지는 한 가지 재료(산화막)만 깎았다. 구리 다마신(10장)이나 STI(9장)처럼 두 재료가 동시에 드러나는 단계에서는 패턴 의존성이 다른 얼굴로 나타난다. 금속을 깨끗이 걷어 내려고 오버폴리시를 하는 동안, 제거율이 큰 재료(구리)가 주변보다 더 깎인다.

그림 8-6. 디싱(dishing)은 넓은 금속 배선 하나의 가운데가 주변 산화막보다 오목하게 파이는 것, 이로전(erosion)은 촘촘한 배선 배열 영역의 산화막이 통째로 주변 필드보다 내려앉는 것이다. 배선 두께 손실은 두 값의 합(이로전 + 디싱)이다. 이 손실이 배선 저항을 늘리고 다음 층에 단차를 넘겨준다.

디싱의 메커니즘. 패드는 넓은 배선 안으로 휘어 들어갈 수 있다. 오버폴리시 동안 주변 산화막은 천천히($K_{\text{ox}}$), 구리는 빨리($K_{\text{cu}}$) 깎이므로 구리 면이 내려간다. 구리 면이 내려갈수록 패드가 그 안까지 따라 내려가기 어려워져 구리에 걸리는 압력이 줄고, 결국 구리와 산화막이 같은 속도로 내려가는 정상 상태에서 디싱이 포화한다. 패드가 폭 $w$의 홈에 휘어 들어갈 수 있는 최대 깊이를 $d_c(w)$라 하면

$$\frac{dd}{dt} = K_{\text{cu}}\left(1-\frac{d}{d_c(w)}\right) - K_{\text{ox}},\qquad d_c(w) = d_\infty \frac{w^2}{w^2+w_0^2}$$ $$\Rightarrow\; d(t) = d_c\left(1-\frac{1}{S}\right)\left(1-e^{-K_{\text{cu}}t/d_c}\right),\qquad S = K_{\text{cu}}/K_{\text{ox}}$$

$d$는 디싱 깊이, $S$는 구리:산화막 선택비, $w_0$는 패드 굽힘이 의미 있어지는 폭(수~수십 µm, 패드가 단단할수록 큼), $d_\infty$는 아주 넓은 패턴에서의 포화 깊이다. 좁은 선($w \ll w_0$)은 $d_c \propto w^2$라 디싱이 거의 없고, 넓은 패드(본딩 패드, 수십 µm 이상)는 깊게 파인다. 교육용 단순 모델이다.

이로전의 메커니즘. 금속 밀도 $\rho$인 배열에서 구리가 살짝 디싱되어 내려가면 하중은 남은 산화막 기둥(면적 비율 $1-\rho$)이 받는다. 그래서 배열 안 산화막 압력은 $P/(1-\rho)$ 가까이 올라가고 필드보다 빨리 깎인다. 배열 폭 $W$가 평탄화 길이보다 작으면 패드가 주변 필드에 걸쳐 있어 이 효과가 약해진다.

$$\frac{dE}{dt} = K_{\text{ox}}\left[\frac{1}{1-\rho\,\phi(W)} - 1\right],\qquad \phi(W) = 1-e^{-W/\ell}$$

$E$는 이로전 깊이, $\phi$는 배열이 패드 하중을 '자기 혼자' 받는 정도, $\ell$은 배열 폭의 결합 길이(여기서는 300 µm로 둔 교육용 값)다. 밀도 0.5에서 이로전 속도는 대략 $K_{\text{ox}}$, 밀도 0.9에서는 약 $9K_{\text{ox}}$다. 선택비가 높을수록($K_{\text{ox}}$가 작을수록) 이로전은 줄지만 디싱은 커진다.

그림 8-7. 같은 오버폴리시라도 구조에 따라 결과가 다르다. 디싱은 선폭이 패드 굽힘 길이에 견줄 만할 때, 이로전은 금속 밀도가 높고 배열이 넓을 때 커진다.

SIMULATOR

오버폴리시 동안 자라는 디싱과 이로전

테스트 구조

Cu:산화막 선택비 S 패드 굽힘 폭 w₀ 최대 오버폴리시

오버폴리시 시간—

디싱 @ 10 µm—

이로전 @ 50 %—

필드 산화막 손실—

$K_{\text{cu}}$ = 300 nm/min(클리어 단계), $K_{\text{ox}} = K_{\text{cu}}/S$, $d_\infty$ = 100 nm, 배열 폭 1 mm. 단면의 세로 크기는 과장했고 가로 폭은 로그 눈금 느낌으로 그렸다. 해볼 것: ① S를 200으로 올리면 이로전은 거의 사라지지만 넓은 선의 디싱은 더 깊어진다. ② w₀를 키우면(단단한 패드) 같은 선폭에서 디싱이 줄어든다.

SIMULATOR

디싱-선폭, 이로전-밀도 곡선과 CP-300 목표

오버폴리시 시간 Cu:산화막 선택비 S 패드 굽힘 폭 w₀ 배열 폭 W

디싱 @ 10 µm—

이로전 @ 50 %—

판정—

위: 디싱 대 선폭(로그 축), 아래: 이로전 대 금속 밀도. 가로 점선은 CP-300 목표(디싱 20 nm @ 10 µm, 이로전 15 nm @ 50 %). 해볼 것: 오버폴리시를 0에서 늘리면 디싱은 수십 초 안에 포화하지만 이로전은 시간에 비례해 계속 자란다. 두 목표를 동시에 만족하는 S와 오버폴리시 시간의 창을 찾아보자.

디싱·이로전 목표를 만족하는 창CP-300의 구리 목표는 디싱 20 nm 이하(10 µm 배선), 이로전 15 nm 이하(밀도 50 %)다. 위 모델에 클리어 단계 $K_{\text{cu}}$ = 300 nm/min, 선택비 30, $w_0$ = 20 µm를 넣으면 10 µm 배선의 디싱은 약 19 nm에서 포화하고, 50 % 배열의 이로전은 오버폴리시 60초에 약 9 nm다. 오버폴리시를 120초로 늘리면 디싱은 그대로지만 이로전이 약 19 nm로 목표를 넘는다. 그래서 오버폴리시는 '웨이퍼 전체에서 잔류 구리가 없어지는 최소 시간 + 여유'로 짧게 잡고, 종점 검출(12장)로 웨이퍼마다 조정한다.

산화막 손실. 금속 CMP에서 '산화막 손실'은 보통 필드 영역에서 오버폴리시와 배리어 단계 동안 깎인 산화막 두께(필드 손실)에 이로전을 더한 값으로 관리한다. ILD CMP에서는 목표 두께 대비 잔막 편차가 곧 산화막 손실 관리다. 어느 쪽이든 손실량은 배선 높이(저항), 층간 정전 용량, 다음 층 리소의 초점 여유로 이어지므로 설계 규칙과 공정 목표가 함께 정해진다.

더미 필과 밀도 규칙

스타인 모델이 말하듯 WIDNU의 근원은 유효 밀도의 차이다. 공정만으로 $L$을 무한히 키울 수는 없으니, 설계 쪽에서 밀도 자체를 고르게 만드는 것이 가장 강력한 처방이다. 전기적으로 아무 역할이 없는 작은 금속(또는 활성 영역) 조각을 빈 곳에 채워 넣는 것을 더미 필(dummy fill), 반대로 지나치게 넓은 금속 판에 구멍을 내 밀도를 낮추는 것을 슬로팅(slotting, cheesing)이라 한다.

그림 8-8. 더미 필 평면도(개념도). 실제 배선(주황) 주변에는 정전 용량 결합을 줄이기 위해 이격 거리를 두고, 남은 빈 곳에 작은 사각형(빨간 테두리)을 격자로 채운다. 필 조각은 보통 전기적으로 떠 있거나(floating) 접지에 묶는다.

파운드리 설계 규칙에는 밀도 규칙이 들어 있다. 칩을 일정 크기의 윈도우(예: 수십~수백 µm 정사각형)로 나누고, 윈도우를 겹쳐 가며 움직이면서 각 윈도우의 금속 밀도가 최솟값 이상, 최댓값 이하인지 검사한다. 층과 공정에 따라 다르지만 최소 대략 10–30 %, 최대 70–85 % 정도가 흔하고, 이웃 윈도우 사이 밀도 차(그레이디언트) 규칙이 더해지기도 한다. 필 조각에는 크기·간격·배선과의 이격 거리 규칙이 붙는다.

필 방식	방법	장점	단점
규칙 기반(rule-based)	빈 곳에 고정 패턴 격자를 채움	빠르고 단순	필요 없는 곳까지 채워 정전 용량·데이터량 증가
모델 기반(model-based)	CMP 모델로 두께를 예측하며 필 양 최적화	WIDNU 최소, 필 최소	계산량 큼, 모델 캘리브레이션 필요
타이밍 인지(timing-aware)	민감한 넷 주변 필 억제	성능 영향 최소	규칙 복잡

SIMULATOR

윈도우 밀도 규칙 검사와 더미 필 효과

최소 밀도 규칙 최대 밀도 규칙 필 목표 밀도 이격으로 못 쓰는 빈 면적 평탄화 길이 L 더미 필 적용 최대 밀도 초과 윈도우 슬로팅

규칙 위반 윈도우—

추가된 필 면적—

두께 범위: 필 전 → 후—

12 mm 길이를 250 µm 윈도우 48개로 나눈 1차원 칩. 위: 원래 밀도(주황)와 필(빨강) 막대, 규칙선. 아래: 필 전(점선)·후(실선)의 CMP 후 두께(스타인 모델, 제거량 650 nm). 해볼 것: ① 이격 면적을 80 %로 키우면 필을 넣고 싶어도 못 넣는 윈도우가 생긴다. ② 필 목표를 칩 평균 밀도 근처로 맞출 때 두께 범위가 가장 작아진다. ③ 최대 밀도 위반은 필로 고칠 수 없다. 슬로팅을 켜 보자.

필은 공짜가 아니다. 금속 필은 이웃 배선과의 정전 용량을 늘려 신호 지연·누화를 키우고, 마스크 데이터량과 검증 시간을 늘린다. 그래서 '많이'보다 '필요한 곳에 필요한 만큼' 넣는 모델 기반 필이 첨단 공정의 주류가 되었다. 활성 영역(STI) 층에도 같은 원리로 더미 활성 영역을 넣는데, 이때는 STI 디싱과 질화막 잔막 산포를 줄이는 것이 목적이다(9장).

DFM을 위한 CMP 모델링과 핫스팟

칩 설계가 끝나고 마스크를 만들기 전에 CMP 결과를 미리 계산해 문제 지점(핫스팟)을 찾아내는 것이 CMP 분야의 DFM(Design for Manufacturability)이다. 흐름은 이 장의 시뮬레이터를 그대로 키운 것이다.

그림 8-9. CMP DFM 흐름. 레이아웃을 격자로 나눠 밀도·선폭을 추출하고, 캘리브레이션된 모델로 층마다 두께·디싱·이로전 지도를 만든 뒤, 리소의 초점 여유·배선 저항·잔류 금속 위험 기준을 넘는 지점을 핫스팟으로 표시한다.

핫스팟의 종류는 대략 세 가지다. ① 초점 여유 초과: 다음 층 리소에서 표면 높이 편차가 DOF 예산을 넘는 곳(LithoBook). ② 저항 초과: 디싱·이로전으로 배선 두께가 너무 얇아진 넓은 배선·밀집 버스. ③ 잔류: 주변보다 높게 남은 영역이라 오버폴리시가 끝나도 금속이나 산화막이 다 걷히지 않아 단락을 일으키는 곳. 특히 다층 배선에서는 아래층의 토포가 위층으로 누적되므로 층별 모델을 연쇄해서 돌린다. 이 결과가 수율 모델로 이어지는 과정은 YieldBook에서 다룬다.

테스트 패턴으로 모델 뽑기모델 캘리브레이션용 마스크에는 밀도가 0–100 %로 단계적으로 바뀌는 블록, 같은 밀도에서 선폭·피치가 다른 블록, 크기가 다른 빈 공간과 고밀도 블록을 붙여 놓은 '스텝 밀도' 구조 등이 들어간다. 연마 시간을 바꿔 가며 여러 장을 연마하고 프로파일러·광학 두께 측정기로 측정한 뒤, 모델 곡선을 맞춰 $L$과 $h_c$를 뽑는다. 스텝 밀도 구조에서 두께가 경계 너머 얼마나 멀리까지 변하는지가 곧 평탄화 길이다.

핵심 정리

증착된 막은 아래 패턴을 따라가 단차를 만든다. 국부 평탄화는 µm 범위 단차 제거, 전역 평탄화는 mm 범위 높이 맞춤이다. CMP 후 남는 패턴 의존 편차가 WIDNU·디싱·이로전이다.
압력 평형 $\rho P_{\text{up}}+(1-\rho)P_{\text{down}}=P$. 단차가 접촉 높이 $h_c$보다 크면 업 영역만 $K/\rho$로 깎여 단차가 직선으로 줄고, 작아지면 시간 상수 $\rho h_c/K$로 지수 감쇠한다.
패드는 평탄화 길이(경질 패드 수 mm) 범위의 레이아웃을 함께 느낀다. 유효 밀도 $\rho_{\text{eff}} = \rho_0 \otimes f$로 이를 표현하며, 커널 모양보다 길이 $L$이 중요하다.
스타인 모델: 평탄화 시점 $t_p = \rho_{\text{eff}} z_1/K$, 평탄화 후 두께 차 $\Delta z = z_1\Delta\rho_{\text{eff}}$는 연마를 더 해도 줄지 않는다.
디싱은 넓은 금속 배선 안으로 패드가 휘어 들어가 생기며 선폭에 따라 커지고 오버폴리시 중 포화한다. 이로전은 밀집 배열의 산화막 기둥에 하중이 몰려 생기며 밀도·배열 폭·오버폴리시 시간에 따라 커진다.
선택비를 올리면 이로전은 줄지만 디싱은 커진다. 오버폴리시는 잔류 제거에 필요한 최소로, 종점 검출로 조정한다.
더미 필과 슬로팅은 레이아웃 밀도를 고르게 해 WIDNU의 근원을 줄인다. 밀도 규칙은 윈도우별 최소·최대 밀도와 이격 거리로 정해지며, 정전 용량 부담 때문에 모델 기반 필이 쓰인다.
CMP DFM은 레이아웃 → 특징 추출 → 캘리브레이션된 모델 → 두께 지도 → 핫스팟(초점·저항·잔류) → 필·설계 수정의 반복이다.

확인 퀴즈

1. 패턴 밀도 ρ = 0.25인 영역에서 단차가 접촉 높이보다 클 때, 업 영역의 국부 압력은 평균 압력의 몇 배인가?

비접촉 영역에서는 다운 영역 압력이 0이므로 $\rho P_{\text{up}} = P$, 곧 $P_{\text{up}} = P/\rho = 4P$다. 그래서 업 영역은 블랭킷의 4배 속도로 깎인다.

2. 단차가 접촉 높이 $h_c$보다 작아진 뒤 단차의 시간 변화는?

$dH/dt = -(K/\rho h_c)H$이므로 지수 감쇠다. 밀도가 크고 $h_c$가 클수록(무른 패드) 느리다. 마지막 몇 nm를 없애는 데 많은 제거량이 드는 이유다.

3. 스타인 모델에서 유효 밀도가 0.3과 0.6인 두 영역이 모두 평탄화된 뒤의 두께 차는? (초기 단차 z₁ = 500 nm)

평탄화 후 $z = z_0 - z_1 - Kt + \rho_{\text{eff}}z_1$이므로 두 영역 차는 $z_1\Delta\rho = 500\times0.3 = 150$ nm로 시간과 무관하다. 줄이려면 평탄화 길이를 키우거나 밀도를 고르게 해야 한다.

4. 평탄화 길이를 늘리는(전역 평탄도를 높이는) 방향은?

패드의 굽힘 강성은 대략 $E t^3$에 비례하므로 두껍고 단단할수록 넓은 범위를 함께 느낀다. 대신 웨이퍼 자체의 휨·두께 변화를 따라가지 못해 WIWNU가 나빠질 수 있어, 경질 상부 + 연질 하부의 적층 패드로 절충한다.

5. 구리 CMP에서 Cu:산화막 선택비를 크게 높였을 때 예상되는 변화는?

산화막이 덜 깎이니 배열 이로전은 줄지만, 디싱의 포화 깊이 $d_c(1-1/S)$는 S가 클수록 커진다. 그래서 배리어 단계 슬러리는 오히려 선택비를 1 근처로 낮춰 디싱을 되돌리기도 한다.

6. 더미 필로 해결할 수 없는 문제는?

필은 밀도를 올리는 수단이다. 밀도가 너무 높은 넓은 금속 판은 슬로팅(구멍 내기)으로 밀도를 낮춰야 한다.

7. 밀도 50 % 배열에서 구리가 디싱되어 하중을 받지 않는다고 할 때, 배열 안 산화막의 이로전 속도는 대략?

하중을 산화막 기둥(면적 50 %)만 받으면 압력이 $P/(1-\rho)=2P$가 되어 산화막이 필드보다 $K_{\text{ox}}$만큼 더 빨리 깎인다. 밀도 90 %라면 압력 10배, 추가 속도 약 $9K_{\text{ox}}$다.