Chapter 02

프레스턴 방정식과 재료 제거

1927년 유리 렌즈를 닦던 F. W. Preston은 “깎이는 두께는 누르는 압력과 미끄러진 거리에 비례한다”는 경험식을 남겼다. 거의 100년이 지난 지금도 CMP 엔지니어가 레시피를 바꿀 때 가장 먼저 꺼내는 식이 바로 이것, $RR = k_p P V$다. 이 장에서는 이 단순한 식이 왜 성립하는지(연마입자 하나가 파내는 부피), 언제 깨지는지(문턱 압력, 화학 율속, 온도), 그리고 그 뒤에 숨어 있는 접촉 역학(헤르츠 압입, 활성 입자 수)을 시뮬레이터로 하나씩 열어 본다.

프레스턴 식 $RR = k_p P V$로 압력·속도·계수에서 제거율과 연마 시간을 계산하고, $k_p$의 단위(Pa⁻¹)와 재료별 크기를 말할 수 있다.
아카드(Archard) 마모식에서 프레스턴 식을 유도하고 $k_p \approx K/H$의 물리적 뜻을 설명할 수 있다.
블랭킷 웨이퍼 실험 데이터를 원점 통과 직선·절편 직선·거듭제곱 모델로 맞추고, 잔차로 모델을 고를 수 있다.
문턱 압력, $P^{a}V^{b}$형 모델(Tseng–Wang, Shi–Zhao)이 등장한 이유와 실무적 의미를 설명할 수 있다.
화학 연화층 모델로 기계 율속과 화학 율속 영역을 구분하고, 온도(아레니우스)가 제거율을 어떻게 바꾸는지 계산할 수 있다.
헤르츠 접촉으로 연마입자 하나의 압입 깊이를 구하고, 활성 입자 수가 압력에 따라 어떻게 달라지는지(Luo–Dornfeld) 설명할 수 있다.

압력 × 속도: 프레스턴 식

회전형 CMP에서 웨이퍼는 막이 아래를 향하도록 뒤집혀 헤드에 붙들린 채 회전하는 패드 위에 눌린다. 패드와 웨이퍼 사이에는 연마입자가 섞인 슬러리가 얇게 깔린다. 막이 깎이는 속도, 곧 제거율(removal rate, RR)을 정하는 가장 큰 두 손잡이는 웨이퍼를 누르는 압력 P와 웨이퍼 표면이 패드에 대해 미끄러지는 상대 속도 V다.

그림 2-1. CMP 단면 개념도(두께 과장). 웨이퍼는 막 쪽이 아래를 향한다. 헤드가 압력 P로 누르고, 패드는 웨이퍼에 대해 속도 V로 미끄러진다. 실제로 하중을 받는 것은 패드 돌기 끝과 그 사이에 낀 일부 입자뿐이다(5절).

$$RR = \frac{dh}{dt} = k_p\,P\,V$$

여기서 $RR$은 제거율(m/s, 보통 nm/min 또는 Å/min으로 표기), $P$는 공칭 압력(Pa = 하중/웨이퍼 면적), $V$는 웨이퍼 표면과 패드의 상대 속도(m/s), $k_p$는 프레스턴 계수(Preston coefficient)다. 단위를 맞춰 보면 $[k_p] = \dfrac{\text{m/s}}{\text{Pa}\cdot\text{m/s}} = \text{Pa}^{-1} = \text{m}^2/\text{N}$.

식은 “압력을 두 배로 하거나 속도를 두 배로 하면 제거율이 두 배”라는 말이다. 시간으로 적분하면 $\Delta h = k_p \int P V\,dt = k_p P s$, 즉 깎인 두께는 압력과 미끄러진 거리 $s$의 곱에 비례한다. 화학·슬러리·패드·온도의 효과는 모두 $k_p$ 하나에 접혀 들어가 있다. 그래서 프레스턴 식은 “물리 법칙”이라기보다 압력과 속도의 영향을 나머지와 분리해 주는 정리 도구로 이해하는 편이 정확하다.

CP-300 기준점 계산산화막 레시피: $P$ = 3 psi = 20.7 kPa, 정반 93 rpm·웨이퍼 중심 거리 0.18 m에서 $V = 2\pi\cdot 93/60 \cdot 0.18 \approx 1.75$ m/s, $k_p \approx 1.0\times10^{-13}$ Pa⁻¹. 그러면 $RR = 10^{-13}\times 20{,}700 \times 1.75 \approx 3.6\times10^{-9}$ m/s ≈ 217 nm/min. 산화막 500 nm를 걷어 내는 데 약 2분 18초가 걸린다. Cu 벌크 단계(2 psi, 약 700 nm/min)를 거꾸로 풀면 $k_p \approx 700\,\text{nm/min} / (13.8\,\text{kPa}\times 1.75\,\text{m/s}) \approx 4.8\times10^{-13}$ Pa⁻¹로 산화막의 약 5배다.

SIMULATOR

프레스턴 평면 탐색기

재료·슬러리

압력 P 상대 속도 V 제거 목표

프리셋

k_p—

P·V—

제거율 RR—

목표까지 시간—

그림을 클릭하면 운전점이 옮겨진다. 색은 RR, 점선은 RR이 같은 등고선($PV$ = 일정인 쌍곡선)이다. 해볼 것: ① 압력을 3→1.5 psi로 반으로 줄이고 속도를 1.75→3.5 m/s로 두 배 하면 같은 쌍곡선 위에 있다(실제로는 속도 상한·윤활 때문에 그렇게 되지 않는다—7장). ② 재료를 바꾸면 $k_p$만 바뀌고 등고선 모양은 같다. 선택비는 $k_p$의 비다.

대표적인 프레스턴 계수

$k_p$는 재료만의 값이 아니라 막 + 슬러리 + 패드 + 컨디셔닝 + 온도 조합의 값이다. 같은 산화막도 세리아 슬러리를 쓰면 실리카 슬러리보다 몇 배 빨리 깎이고, 같은 질화막도 세리아 슬러리에서는 거의 깎이지 않는다. 아래 표는 문헌에서 흔히 보는 범위를 이 책의 기준 공정에 맞게 정리한 교육용 값이다.

막 / 슬러리	대표 압력	RR (약)	$k_p$ (Pa⁻¹, 약)	비고
산화막(TEOS) / 흄드 실리카 pH 11	3 psi	150–300 nm/min	0.7–1.4 × 10⁻¹³	CP-300 기준 1.0 × 10⁻¹³
산화막 / 세리아(STI)	3 psi	300–600 nm/min	2–3 × 10⁻¹³	화학 결합(Ce–O–Si)이 큰 몫
질화막 / 세리아 + 첨가제	3 psi	5–15 nm/min	~5 × 10⁻¹⁵	정지막, 선택비 30–100
Cu / 콜로이달 실리카 + H₂O₂ + BTA	2 psi	600–800 nm/min	~4–5 × 10⁻¹³	산화·착화로 무른 층이 생김
W / 실리카 + 철 촉매 + H₂O₂	4 psi	250–400 nm/min	~1–1.5 × 10⁻¹³	WO₃ 산화층 제거
Ta/TaN 배리어 / 배리어 슬러리	1.5 psi	50–100 nm/min	~0.3–0.6 × 10⁻¹³	선택비 조정용 첨가제

단위 감각: 1 psi = 6.895 kPa, 1 nm/min = 1.67 × 10⁻¹¹ m/s. 미국식 자료에서 흔한 Å/min은 nm/min의 10배 숫자다. 압력을 psi, 속도를 m/s, RR을 nm/min으로 쓰면 $RR\,[\text{nm/min}] \approx 4.14\times10^{14}\, k_p\,P_{\text{psi}}\,V$이다.

왜 P × V인가: 연마입자가 파내는 부피

프레스턴 식은 마모 이론의 아카드 식(Archard wear equation)과 같은 꼴이다. 단단한 돌기(여기서는 연마입자)가 하중 $F$를 받으며 무른 표면을 거리 $s$만큼 긁으면, 돌기는 표면에 깊이 $\delta$만큼 박혀 홈을 판다. 소성 압입이라면 돌기 아래 접촉 면적은 $A_c = F/H$ (H: 표면 경도)이고, 파인 홈의 단면적은 접촉 반경에 비례한다. 결국 파인 부피는 하중과 거리에 비례하고 경도에 반비례한다.

그림 2-2. 연마입자 하나가 파는 홈(크기 과장). 소성 압입에서 $F = H\pi a^2$, 구형 입자(지름 d)라면 $\delta \approx a^2/d$. 홈 단면적 $\approx \tfrac{4}{3}a\delta$에 미끄러진 거리를 곱하면 깎인 부피가 된다.

$$\frac{\text{깎인 부피}}{\text{시간}} = K\,\frac{F_N\,v}{H}\quad\Longrightarrow\quad RR = \frac{1}{A}\frac{dV_{\text{rem}}}{dt} = \frac{K}{H}\,\frac{F_N}{A}\,v = \underbrace{\frac{K}{H}}_{k_p}\,P\,V$$

여기서 $K$는 무차원 마모 계수(접촉한 돌기 중 실제로 재료를 떼어 내는 비율과 홈 모양을 뭉뚱그린 값), $H$는 표면 경도, $F_N$은 전체 수직 하중, $A$는 웨이퍼 면적이다. 산화막 $H\approx 9$ GPa에 $k_p = 10^{-13}$ Pa⁻¹을 넣으면 $K\approx 9\times10^{-4}$로, 3체 연마 마모에서 보고되는 범위(10⁻⁴–10⁻²)와 맞는다.

여기서 중요한 직관이 두 가지 나온다. 첫째, 제거율은 “표면이 얼마나 단단한가”에 반비례한다. 슬러리 화학이 표면을 무르게 만들면($H$ 감소) 같은 압력·속도에서 훨씬 빨리 깎인다. 이것이 CMP의 “C”가 하는 일이다(4절). 둘째, 식의 비례 관계는 하중을 나눠 받는 입자 수가 압력에 비례한다는 가정 위에 서 있다. 압력이 두 배가 되었을 때 입자 수가 두 배가 되면 입자 하나의 하중은 그대로이고 홈 크기도 그대로이므로 RR이 정확히 두 배가 된다. 입자 하나의 하중이 커지는 쪽으로 가면 $P$에 대한 의존성이 비선형이 된다(3절, 5절).

SIMULATOR

막 두께가 깎여 나가는 단면

막

압력 P 상대 속도 V 초기 두께 목표 잔막 초기 과도(패드 온도·젖음) 포함

경과 시간—

현재 RR—

남은 막—

목표 도달 예상—

모델: $dh/dt = -k_p P V\,[1 - 0.3\,e^{-t/\tau}]$ ($\tau$ = 15 s, 초기 과도 선택 시). 처음 수십 초는 패드가 데워지고 슬러리가 퍼지는 동안 RR이 정상값보다 낮다. 그래서 연마 시간을 $\Delta h / RR_{\text{ss}}$로만 정하면 조금 덜 깎인다. 해볼 것: 초기 과도를 켜고 끈 상태의 목표 도달 시간을 비교해 보자. 차이는 약 $0.3\tau$ ≈ 4.5 s다.

블랭킷 웨이퍼 실험과 계수 맞추기

$k_p$는 계산하는 값이 아니라 재는 값이다. 패턴이 없는 블랭킷 웨이퍼(blanket wafer)에 막을 고르게 입히고, 연마 전후 두께를 여러 점에서 재서 평균 제거량을 연마 시간으로 나눈다. 압력과 속도를 몇 단계씩 바꾼 행렬 실험을 하면 $RR$–$PV$ 그래프가 나오고, 그 기울기가 $k_p$다.

그림 2-3. 블랭킷 제거율 실험의 흐름. 점선 원은 가장자리 제외(EE 3 mm) 경계다. 평균 제거율과 함께 웨이퍼 안 산포(WIWNU)를 같이 기록한다(3장). 측정 원리는 ProcessBook 계측 장을 참고.

실험 데이터에 직선을 맞출 때는 어떤 모델을 맞추는지부터 정해야 한다. 원점을 지나는 직선 $RR = k_p PV$는 프레스턴 식 그대로이고, 절편이 있는 직선 $RR = k_p PV + R_0$은 패드가 닿지 않아도 화학적 용해로 깎이는 몫($R_0\gt 0$) 또는 일정 압력 아래에서는 깎이지 않는 문턱($R_0\lt 0$)을 표현한다. 거듭제곱 모델 $RR = k P^{a} V^{b}$는 로그를 취하면 선형 회귀가 된다.

$$\text{원점 직선: } k_p = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2},\qquad \ln RR = \ln k + a\ln P + b\ln V\ \ (\text{최소제곱}),\qquad R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i-\hat y_i)^2}{\sum (y_i-\bar y)^2}$$

여기서 $x_i = P_iV_i$, $y_i = RR_i$. 원점 직선의 $R^2$는 정의에 따라 음수가 될 수도 있다. 모델 선택은 $R^2$보다 잔차 그래프에 구조가 남는지로 판단하는 편이 안전하다.

SIMULATOR

RR–PV 데이터 맞추기

숨은 “진짜” 거동

맞출 모델

측정 잡음(1σ) 고압점(5 psi) 포함

맞춘 식—

R²—

RMSE—

잔차 판정—

실험 행렬: 압력 1–5 psi × 속도 0.9/1.3/1.75/2.2 m/s(점 색은 속도). 아래 띠는 잔차다. 해볼 것: ① “화학 절편”이나 “문턱” 진실에 원점 직선을 맞추면 잔차가 저압에서 한쪽으로 몰린다. ② “비선형”(진짜 $a$=0.67, $b$=0.85)에 $P^aV^b$ 모델을 맞추면 지수가 되살아나는지 보자. ③ 잡음을 키우면 모델 구별이 어려워진다. 실험 점 수와 압력 범위가 왜 중요한지 느껴 보자.

현장 요령레시피를 조금 바꿀 때(압력 ±20 % 이내)는 프레스턴 비례로 새 RR을 예측해도 대개 몇 % 안에서 맞는다. 범위를 크게 벗어나거나, 새 슬러리·새 패드로 바꿀 때는 반드시 행렬 실험을 다시 한다. 또 “모니터 웨이퍼”의 RR은 패드 수명과 컨디셔닝 상태에 따라 하루에도 몇 % 흔들리므로, 일정 간격으로 재서 시간 보정(런투런 제어, 12장)에 쓴다.

프레스턴 식이 휘는 곳: 문턱과 거듭제곱

실제 데이터는 넓은 범위에서 직선에서 벗어난다. 대표적인 어긋남은 세 가지다. ① 압력이 아주 낮으면 거의 깎이지 않다가 어떤 문턱 압력(threshold pressure)을 넘어서야 깎이기 시작한다. ② 압력에 대한 증가가 덜 가파르다(지수 $a\lt 1$). ③ 속도가 커지면 슬러리 막이 두꺼워져(수막 현상) 접촉이 줄어 속도 의존성이 약해진다($b\lt 1$, 7장 스트리벡 곡선).

그림 2-4. 제거율–압력 관계의 대표 모양(개념도). 화학 절편은 압력 없이도 슬러리가 막을 녹이는 몫(Cu, W 슬러리에서 정적 식각률 수 nm/min), 문턱은 패드가 연마입자를 충분히 밀어 넣지 못하는 저압 영역, 아래로 휜 곡선은 입자당 하중이 압력에 따라 늘어나는 접촉 모델에서 나온다.

이런 어긋남을 설명하려고 여러 모델이 제안되었다. Tseng과 Wang(1997)은 입자 압입과 패드 탄성 변형을 조합해 $RR \propto P^{5/6}V^{1/2}$를 얻었고, Shi와 Zhao(1998)는 패드–웨이퍼 접촉을 헤르츠 접촉으로 보아 $RR \propto P^{2/3}V$를, 이어 Zhao와 Shi(2000)는 문턱 압력을 넣어 $RR = k'\,(P^{2/3} - P_{\text{th}}^{2/3})\,V$를 제안했다. 공정 엔지니어는 대개 이들을 하나로 묶은 경험형을 쓴다.

$$RR = k\,P^{a}\,V^{b} + R_0,\qquad \frac{\partial \ln RR}{\partial \ln P} = a\;(\text{국소 기울기})$$

프레스턴 식은 $a=b=1,\ R_0=0$인 특수한 경우다. 보고된 지수는 대략 $a$ = 0.5–1, $b$ = 0.5–1 범위다. 지수가 1보다 작다는 것은 “압력을 올려 얻는 이득이 줄어든다”는 뜻이고, 이는 압력으로 균일도를 조정할 때(멀티존 헤드, 3장) 감도가 예상보다 작아진다는 실무적 결과로 이어진다.

SIMULATOR

비선형 제거율 모델 비교

가로축

고정 속도 V 고정 압력 P 문턱 P_th 일반형 지수 a 일반형 지수 b

3→2 psi 시 RR 비 (프레스턴)—

같은 비 (P^2/3)—

같은 비 (문턱)—

같은 비 (일반형)—

모든 곡선은 CP-300 기준점(3 psi, 1.75 m/s)에서 217 nm/min을 지나도록 계수를 맞췄다. 그러므로 기준점 근처의 작은 변화에서는 비슷하지만, 압력을 크게 바꿀수록 갈라진다. 해볼 것: 문턱을 올리면 저압 쪽 RR 비가 프레스턴보다 더 크게 떨어진다. 즉 문턱이 있는 공정에서는 “압력 조금 내려 RR 조금 줄이기”가 생각보다 세게 듣는다.

화학과 기계의 시너지: 연화층 모델

CMP가 단순 연마보다 수십 배 빠르고 표면이 매끄러운 이유는 화학이 먼저 표면을 무른 층으로 바꾸고, 기계가 그 층만 걷어 내기 때문이다. 산화막은 pH 10–11의 알칼리 슬러리에서 표면 Si–O–Si 결합이 수화되어 Si–OH가 많은 무른 층이 되고, Cu는 H₂O₂에 산화되어 CuO/Cu₂O와 BTA 착물로 된 얇은 층을 만든다. 이 층은 본래 막보다 경도가 몇 배 낮아($H$ 감소 → $k_p$ 증가) 연마입자가 쉽게 긁어 낸다. 걷어 내면 새 표면이 드러나 다시 반응한다.

그림 2-5. 연화층(소프트 레이어) 모델. 제거는 “층이 만들어지는 속도”와 “층을 긁어 내는 속도” 두 단계가 직렬로 이어진 과정이다. 직렬 과정의 전체 속도는 느린 쪽이 정한다.

이 두 단계를 가장 간단하게 모형화해 보자. 표면의 한 점은 평균 간격 $\Delta t$마다 활성 입자에 한 번씩 긁힌다. 그 사이 연화층은 $h(t) = h_s(1 - e^{-k_c t})$로 자라다가(포화 두께 $h_s$, 반응 속도 상수 $k_c$), 긁힐 때 통째로 걷힌다. 긁히는 빈도 $f = 1/\Delta t$는 활성 입자 수와 속도에 비례하므로 $f = \beta P V$라 두면 정상 상태 제거율은

$$RR = h_s\,f\,\bigl(1 - e^{-k_c/f}\bigr),\qquad f = \beta P V$$

$f \ll k_c$ (드물게 긁힘): 매번 층이 다 자라 있으므로 $RR \approx h_s\beta PV$ — 기계 율속, 프레스턴 식 그대로이고 $k_p = h_s\beta$. $f \gg k_c$ (자주 긁힘): 층이 자랄 틈이 없어 $RR \to h_s k_c$ — 화학 율속, 압력·속도를 올려도 RR이 포화된다.

SIMULATOR

연화층 2단계 반응과 율속 전환

압력 P 속도 V 반응 속도 상수 k_c 포화 층 두께 h_s 애니메이션 속도

긁힘 빈도 f—

긁힐 때 층 두께—

제거율 RR—

율속 영역—

위: 한 점의 단면(연화층 두께를 크게 과장). 입자가 지나갈 때마다 층이 걷힌다. 가운데: 층 두께 $h(t)$의 톱니파. 아래: RR–PV 곡선(로그 축)과 두 점근선(기계 율속 $h_s\beta PV$, 화학 율속 $h_s k_c$). $k_c$ 슬라이더는 로그 눈금(1–100 s⁻¹)이고, 기본값은 Cu 벌크(2 psi)에서 약 700 nm/min이 나오도록 맞췄다. 해볼 것: 압력을 7 psi까지 올려 RR이 포화되는 것을 보고, 그 상태에서 $k_c$를 올리면(산화제 농도·온도 증가) 다시 압력이 듣기 시작하는 것을 확인하자.

그림 2-6. Cu CMP의 화학–기계 시너지(대략값, 교육용). 정적 식각률과 산화제 없는 연마율을 더해도 CMP 제거율의 수 %에 불과하다. 두 작용이 서로를 돕는다: 기계는 반응이 멈춘(부동태) 층을 걷어 내 반응을 이어 가게 하고, 화학은 기계가 쉽게 걷을 무른 층을 만든다. 정적 식각률이 크면 디싱·부식이 커지므로 BTA로 일부러 낮춘다(10장).

그림 2-7. 율속 영역 지도. 기계 율속에서는 RR이 압력·속도·입자 농도에 민감하고 온도에는 덜 민감하다. 화학 율속에서는 반대로 산화제 농도·pH·온도에 민감하고 압력에 둔하다. 공정이 어느 영역에 있는지 알면 “무엇을 바꿔야 RR이 움직이는지”가 보인다.

직렬 저항 꼴로 보기지수 함수를 일차 근사하면 $1/RR \approx 1/(h_s\beta PV) + 1/(2h_s k_c)$처럼 두 “저항”의 합에 가까워진다. 전기 회로에서 직렬 저항 중 큰 것이 전류를 정하듯, 느린 단계가 전체 속도를 정한다. 문헌의 많은 CMP 모델(예: Paul의 Cu CMP 모델, Borst의 저유전막 모델)이 이 “반응 + 제거” 직렬 구조를 공유한다. 세부 반응식은 6장(슬러리 화학)과 10장(Cu CMP)에서 다룬다.

온도와 아레니우스

화학 반응 속도 상수는 온도에 지수적으로 민감하다. 연마 중 패드 표면 온도는 마찰열 때문에 슬러리 온도보다 10–20 °C 높아지는 일이 흔하다. 마찰 계수 $\mu$에서 단위 면적당 마찰 발열은 $q = \mu P V$이고, 이 열이 패드·웨이퍼·슬러리로 빠져나가며 정상 온도가 정해진다.

$$k_c(T) = A\,\exp\!\left(-\frac{E_a}{R\,T}\right),\qquad T_{\text{pad}} \approx T_{\text{slurry}} + c\,\mu P V$$

$E_a$는 활성화 에너지(Cu 산화·용해 계열은 보고값이 대략 15–60 kJ/mol), $R$ = 8.314 J/(mol·K), $c$는 열 배출 조건을 뭉뚱그린 상수(교육용으로 $c \approx 1.0\times10^{-3}$ K·m²/W). CP-300 산화막 조건에서 $\mu$ = 0.4이면 $q$ ≈ 14.5 kW/m², $\Delta T$ ≈ 15 °C다.

그림 2-8. 마찰열의 흐름(개념도). 폴리우레탄 패드의 열전도율은 약 0.2–0.3 W/(m·K)로 실리콘(약 150)보다 수백 배 작다. 패드 표면 온도는 적외선 온도계로 인시투로 잴 수 있어 종점·이상 감지 신호로도 쓴다(7장, 12장).

온도는 연화층 모델의 $k_c$만 바꾼다고 하자. 기계 율속 영역에서는 RR이 $k_c$와 거의 무관하므로 온도의 영향이 작고, 화학 율속 영역에서는 RR ≈ $h_s k_c(T)$이므로 아레니우스 그대로 오른다. 게다가 압력·속도를 올리면 온도도 오르므로 화학 율속 공정에서는 RR이 $PV$에 대해 초선형처럼 보이기도 한다. 겉보기 활성화 에너지(아레니우스 그래프의 기울기)는 율속 영역에 따라 0에서 $E_a$ 사이의 값이 나온다.

SIMULATOR

온도와 제거율: 아레니우스 + 마찰 발열

그래프

활성화 에너지 E_a 슬러리 온도 마찰 계수 μ 압력 P 속도 V

마찰 발열 q—

패드 온도—

k_c(T)—

RR—

겉보기 E_a—

모델: 앞 시뮬레이터의 연화층 식 + $k_c(T) = k_{c,0}\exp[-\tfrac{E_a}{R}(\tfrac1T - \tfrac1{T_0})]$, $T_0$ = 37 °C에서 $k_{c,0}$ = 12.5 s⁻¹, $T_{\text{pad}} = T_{\text{slurry}} + 10^{-3}\mu PV$. RR–PV 그래프의 실선은 발열 포함, 점선은 온도 고정(슬러리 온도)이다. 아레니우스 그래프는 슬러리 온도를 10–50 °C로 바꿀 때의 $\ln RR$–$1000/T_{\text{pad}}$이며 기울기에서 겉보기 $E_a$를 읽는다. 해볼 것: 압력을 0.5 psi로 낮추면(기계 율속) 겉보기 $E_a$가 작아지고, 7 psi로 올리면(화학 율속) 설정한 $E_a$에 다가간다.

슬러리 온도 관리CP-300은 슬러리를 공급 탱크에서 약 22 ± 1 °C로 관리한다. Cu 벌크 단계처럼 화학 율속에 가까운 단계는 1 °C 차이가 RR 약 2–4 %로 이어질 수 있어, 첫 장의 웨이퍼(“콜드 스타트”)가 덜 깎이는 현상을 막으려고 더미 연마나 패드 예열을 한다. 슬러리 공급·온도 제어는 InfraBook 케미컬 공급 장을 참고.

접촉 역학: 입자 하나와 활성 입자 수

프레스턴 식 안의 “기계”를 한 단계 더 열어 보자. 연마입자 하나가 막에 눌릴 때 접촉 반경과 압입 깊이는 헤르츠 접촉(Hertzian contact) 이론으로 계산한다. 반지름 $R = d/2$인 구가 하중 $F$로 평면에 눌리면

$$a = \left(\frac{3FR}{4E^{*}}\right)^{1/3},\qquad \delta = \frac{a^2}{R},\qquad p_0 = \frac{3F}{2\pi a^2},\qquad \frac{1}{E^{*}} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

$a$는 접촉 반경, $\delta$는 두 물체의 접근량(탄성), $p_0$는 최대 접촉 압력, $E^*$는 유효 탄성률이다. $p_0$가 약 $1.6Y$ ($Y \approx H/3$, 즉 약 $0.53H$)를 넘으면 표면 아래에서 항복이 시작되고, 하중이 더 크면 완전 소성 압입 $F \approx H\pi a^2$으로 넘어간다. 탄성 접촉만으로는 영구적인 홈이 남지 않는다.

그림 2-9. 헤르츠 접촉의 기하(크기 과장). 압입 깊이는 원자 몇 층(0.1–1 nm) 수준이다. CMP 제거가 원자 층 단위로 매끄럽게 일어나는 이유이자, 표면이 무른 층(연화층)이어야 실제로 깎이는 이유다.

SIMULATOR

연마입자 하나의 헤르츠 압입과 긁기

입자

표면

입자 지름 d 입자당 하중 F

접촉 반경 a—

압입 깊이 δ—

최대 압력 p₀ / 0.53H—

상태—

홈 단면적—

217 nm/min에 필요한 활성 입자—

애니메이션: 입자가 내려와 하중 F로 눌린 뒤 오른쪽으로 미끄러진다. 세로 방향은 크게 과장했다(눈금 참고). 소성 상태라면 $a = \sqrt{F/(\pi H)}$, $\delta = a^2/d$인 홈이 남고, 마지막 칸은 $RR = n\cdot\tfrac43 a\delta\cdot V$로 CP-300 산화막 RR을 내려면 mm²당 몇 개의 활성 입자가 필요한지 계산한다. 하중 슬라이더는 로그 눈금(1–1000 nN). 해볼 것: 같은 하중에서 “산화막”과 “수화층”을 바꿔 보자. 표면이 무르면 탄성 → 소성으로 넘어가 홈이 생긴다.

활성 입자는 몇 개인가

슬러리 1 mm²에는 수천만 개의 입자가 떠 있지만, 실제로 하중을 받아 막을 긁는 활성 입자(active abrasive)는 극히 일부다. 패드는 거친 돌기들로 이루어져 있어 웨이퍼와 실제로 닿는 면적(실접촉 면적)이 공칭 면적의 0.1–1 % 수준에 불과하고, 그 접촉점 안에서도 패드와 웨이퍼 사이 틈보다 큰 입자만 끼어서 눌린다. Greenwood–Williamson(GW) 돌기 모델에 따르면 실접촉 면적은 하중에 거의 비례하고 돌기 하나의 평균 압력은 하중과 무관하게 일정하다. 즉 압력을 올리면 “접촉점이 더 세게 눌리는” 것이 아니라 “접촉점 수가 늘어난다”.

그림 2-10. 패드–입자–웨이퍼의 3체 접촉(개념도, 크기 과장). 돌기 끝 접촉점 안에서 틈 $g$보다 큰 입자만 눌려 막을 긁는다. 압력이 오르면 패드가 더 눌려 $g$가 줄고, 더 작은 입자까지 활성이 된다. 큰 입자 꼬리(LPC, 6장)가 스크래치를 만드는 이유도 여기에 있다.

Luo와 Dornfeld(2001)는 이 그림을 정량화했다. 입자 크기가 정규 분포를 따르고, 패드 돌기의 탄성 변형이 $P^{1/3}$에 비례해 틈을 줄인다고 보면, 활성 입자 비율은 $1 - \Phi(3 - C_2 P^{1/3})$ 꼴이 된다($\Phi$: 표준 정규 누적 분포). 여기에 입자당 압입 깊이를 곱하면 제거율이 대략 $\sqrt{P}\,V$에 활성 비율 항을 곱한 꼴로 나온다. 압력에 대해 프레스턴보다 완만하고, 입자 크기 분포와 농도에 민감하다는 결론이다. 아래 몬테카를로는 같은 생각을 단순화해 직접 세어 본다.

$$\frac{A_r}{A} = \frac{P}{\kappa E_a},\quad g = d_{99} - L_a\left(\frac{P}{E_a}\right)^{1/3},\quad f_i = s\cdot\tfrac43 E_a\sqrt{d_i/2}\,(d_i - g)^{3/2}\ (d_i\gt g),\quad RR = C\,n_s\frac{A_r}{A}\sum_{\text{활성}}\tfrac43 a_i\delta_i\,V$$

$E_a$는 패드 돌기의 유효 탄성률, $\kappa$ = 0.5(GW 상수), $n_s = 6\phi_v/(\pi \bar d^{2})$는 접촉점 안 입자 면밀도(부피 분율 $\phi_v$의 단층 가정), $d_{99}$는 크기 분포의 상위 1 % 지름, $L_a$ = 600 nm는 돌기 변형 길이 척도, $f_i$는 패드가 입자를 미는 힘이다. 모양은 헤르츠 식을 따르되, 배율 $s$는 입자들이 받는 힘의 합이 돌기 압력 $\kappa E_a$의 일부 $\chi$가 되도록 정한다(나머지는 패드가 막에 직접 닿아 받는다. $\chi$는 입자가 많을수록 커져 최대 2 %로 포화한다고 가정). $a_i,\delta_i$는 그 힘으로 연화층(경도 1 GPa)에 판 홈의 크기다. 보정 상수 $C$는 기본 설정에서 217 nm/min이 되도록 맞췄다.

SIMULATOR

활성 연마입자 몬테카를로

압력 P 평균 입자 지름 크기 분포 폭 σ_ln 고형분 돌기 탄성률 E_a

실접촉 면적—

틈 g—

활성 / 전체 (창 안)—

평균 입자당 힘—

활성 입자 밀도—

예측 RR (log 기울기)—

왼쪽: 돌기 접촉점 하나 안의 4 µm × 2.4 µm 창을 위에서 본 모습. 회색은 떠 있는 입자, 색칠한 입자는 틈 $g$보다 커서 눌린 활성 입자(진할수록 힘이 큼). 오른쪽 위: 입자 크기 분포와 틈 $g$. 오른쪽 아래: 압력별 예측 RR(기대값)과 프레스턴 직선 비교. 해볼 것: ① 분포 폭을 넓히면(큰 입자 꼬리) 활성 입자 수는 줄지만 입자당 힘은 커진다—스크래치 위험. ② 압력을 올리면 활성 입자는 늘지만 입자당 힘은 줄어, 압력 지수(log 기울기)가 1보다 작은 약 0.6–0.7이 된다. Luo–Dornfeld의 $\sqrt{P}$에 가까운 결론이다. ③ 고형분을 올리면 RR이 늘다가 포화한다.

모델의 한계이 장의 접촉 모델은 모두 “평균적인 한 점”을 본다. 실제 웨이퍼는 패드가 휘고, 가장자리에서 압력이 몰리고(3장), 패턴이 있으면 높은 곳이 더 세게 눌린다(8장). 또 패드 돌기는 컨디셔닝으로 계속 새로 만들어지고 사용 중 납작해진다(4–5장). 프레스턴 계수가 웨이퍼마다, 시간마다 조금씩 움직이는 이유다.

핵심 정리

프레스턴 식 $RR = k_p P V$: 제거율은 압력과 상대 속도의 곱에 비례하고, 깎인 두께는 압력 × 미끄러진 거리에 비례한다. $k_p$의 단위는 Pa⁻¹이며 막·슬러리·패드·온도의 효과가 모두 들어 있다. CP-300 산화막($k_p$ = 10⁻¹³ Pa⁻¹, 3 psi, 1.75 m/s)은 약 217 nm/min이다.
아카드 마모식에서 $k_p \approx K/H$: 표면이 무를수록(화학이 경도를 낮출수록) 잘 깎인다. 비례 관계는 “압력이 오르면 하중을 받는 입자 수가 비례해서 늘고 입자당 하중은 일정”이라는 가정에서 나온다.
$k_p$는 블랭킷 웨이퍼 행렬 실험(P × V)으로 잰다. 원점 직선·절편 직선·$P^aV^b$ 중 무엇을 맞출지는 잔차의 구조로 판단한다.
실제 공정은 문턱 압력, 화학 절편(정적 식각), 지수 $a,b\lt 1$ 같은 비선형을 보인다(Tseng–Wang $P^{5/6}V^{1/2}$, Shi–Zhao $P^{2/3}V$). 기준점 근처에서는 비슷해도 압력을 크게 바꾸면 예측이 갈린다.
연화층 모델 $RR = h_s f(1-e^{-k_c/f})$, $f = \beta PV$: 긁힘이 드물면 기계 율속(프레스턴), 잦으면 화학 율속($RR \to h_s k_c$, 압력에 둔감). 화학과 기계는 서로를 도와 각각의 합보다 수십 배 빠르다.
반응 속도는 아레니우스 $k_c \propto e^{-E_a/RT}$를 따르고, 마찰 발열 $q = \mu PV$로 패드 온도가 10–20 °C 오른다. 화학 율속일수록 온도에 민감하며 겉보기 활성화 에너지가 커진다.
입자 하나의 압입은 헤르츠 접촉으로 0.1–1 nm 수준이다. 실접촉 면적은 공칭의 0.1–1 %이고 그 안에서도 틈보다 큰 입자만 활성이다(Luo–Dornfeld). 압력이 오르면 접촉점과 활성 입자 수가 늘어난다.

확인 퀴즈

1. $k_p = 1.0\times10^{-13}$ Pa⁻¹, 압력 4 psi, 상대 속도 1.5 m/s일 때 제거율은 약 얼마인가?

$P$ = 4 × 6.895 = 27.6 kPa. $RR = 10^{-13}\times 27{,}580 \times 1.5 = 4.14\times10^{-9}$ m/s = 248 nm/min. 3 psi·1.75 m/s(PV = 36.2 kPa·m/s)의 217 nm/min과 비교하면 PV가 41.4 kPa·m/s로 약 14 % 크다.

2. 프레스턴 계수 $k_p$의 SI 단위로 옳은 것은?

$k_p = RR/(PV)$ = (m/s)/(Pa·m/s) = 1/Pa. 아카드 식에서 $k_p = K/H$ (무차원 마모 계수 ÷ 경도)라는 것도 같은 단위를 준다.

3. 블랭킷 실험 데이터에 원점 직선을 맞췄더니 저압 점들의 잔차가 모두 음(예측보다 실제가 낮음)이고 고압 점은 양이었다. 가장 그럴듯한 해석은?

저압에서 실제가 예측보다 낮고 고압에서 높다면 데이터는 원점보다 오른쪽에서 x축을 자르는 직선(음의 절편)에 가깝다. 이것이 문턱 압력의 모양이다. 화학 절편이라면 반대로 저압에서 실제가 더 높다. 무작위 잡음이라면 잔차에 이런 구조가 생기지 않는다.

4. 연화층 모델에서 공정이 화학 율속 영역에 있을 때, 제거율을 올리는 데 가장 효과적인 방법은?

화학 율속에서는 $RR \approx h_s k_c$로 포화되어 있어 $f = \beta PV$를 키우는 압력·속도·입자 농도는 거의 듣지 않는다. 느린 단계인 반응 속도 $k_c$(또는 포화 층 두께 $h_s$)를 키워야 한다.

5. 활성화 에너지 35 kJ/mol인 반응의 패드 온도가 37 °C에서 52 °C로 올랐다. 화학 율속이라면 RR은 대략 몇 배가 되는가?

$\exp[\tfrac{E_a}{R}(\tfrac1{310} - \tfrac1{325})] = \exp[4210 \times 1.49\times10^{-4}] = e^{0.627} \approx 1.87$. 15 °C 상승으로 거의 두 배. 화학 율속 공정에서 슬러리·패드 온도 관리가 중요한 이유다.

6. 지름 100 nm 실리카 입자가 산화막을 50 nN으로 누를 때 헤르츠 압입 깊이는 대략 어느 정도인가?

$E^* \approx 37$ GPa, $R$ = 50 nm에서 $a = (3FR/4E^*)^{1/3} \approx 3.7$ nm, $\delta = a^2/R \approx 0.27$ nm. 원자 한두 층 깊이다. 그래서 CMP 제거는 원자 층 단위로 매끄럽고, 실제 제거는 화학으로 무른 층이 만들어질 때 효율적으로 일어난다.

7. Greenwood–Williamson 돌기 접촉 모델에 따르면, 공칭 압력을 두 배로 올렸을 때 일어나는 일로 가장 알맞은 것은?

GW 모델에서 실접촉 면적은 하중에 거의 비례하고 돌기 평균 압력은 $\sim\kappa E_a$로 하중과 무관하다. 그래서 하중을 받는 입자 수가 압력에 비례해 늘고, 프레스턴 식의 선형성이 상당 부분 설명된다. 다만 틈이 줄어 입자당 힘도 조금 변하므로 완전한 선형은 아니다.