CMP는 “얼마나 깎을지”보다 “어디서 멈출지”가 더 어렵다. 들어오는 막 두께는 웨이퍼마다 다르고, 제거율은 패드가 닳고 컨디셔너가 무뎌지면서 조금씩 변한다. 같은 시간만 돌리면 어떤 웨이퍼는 덜 깎이고(잔류막·잔류 Cu) 어떤 웨이퍼는 너무 깎인다(디싱·이로전·정지막 손실). 그래서 연마기는 연마 도중 막의 변화를 직접 “듣고 보는” 센서를 단다. 정반 모터의 토크, 패드 창을 통해 본 반사 스펙트럼, 코일이 느끼는 와전류다. 이 장에서는 각 센서가 무엇을 재는지 물리부터 계산하고, 잡음 속에서 종점을 판정하는 신호 처리, 그리고 웨이퍼·로트 단위로 레시피를 고치는 런투런(R2R) 제어와 다중 구역 프로파일 제어까지 시뮬레이터로 돌려 본다.
시간 연마의 최종 두께 산포 \(\sigma_f^2 = \sigma_{\text{in}}^2 + t^2\sigma_{\text{RR}}^2\)를 계산하고, 종점 검출이 무엇을 줄이는지 설명할 수 있다.
막이 바뀔 때 마찰 계수가 변해 정반 모터 토크(전류)가 바뀌는 원리와, 이동 평균·미분·문턱·지속 시간 조건으로 종점을 판정하는 법, 오검출의 원인을 말할 수 있다.
박막 간섭의 에어리 식으로 반사율 \(R(\lambda,d)\)을 계산하고, 스펙트럼 피팅으로 잔막 두께를 추정하는 인시투 광학 종점을 이해한다.
와전류 센서의 표피 깊이 \(\delta = 1/\sqrt{\pi f\mu\sigma}\)와 얇은 금속막 응답을 계산해 Cu 두께 측정에 맞는 주파수를 고를 수 있다.
EWMA 런투런 제어기의 갱신식, 지연 오차 \(\approx \delta/\lambda\)와 안정 조건 \(0 \lt \lambda\xi \lt 2\)를 유도하고, 피드포워드·피드백의 역할을 구분할 수 있다.
다중 구역 헤드의 영향 함수 행렬로 구역 압력을 최소 제곱 보정하는 폐루프 프로파일 제어를 설명할 수 있다.
왜 시간으로 멈추면 안 되는가
가장 단순한 CMP 레시피는 시간 연마(timed polish)다. 기준 제거율(RR)을 재 두고, 깎을 양을 RR로 나눈 시간만큼 돌린다. 산화막 ILD처럼 남는 두께에 여유가 있는 공정에서는 지금도 쓴다. 문제는 두 가지 변동이다. 첫째, 들어오는 두께(incoming thickness)가 다르다. 증착 장비의 챔버 차이, 로트 간 산포, 아래층 패턴 밀도 때문에 같은 레시피로 쌓아도 수십 nm씩 다르다. 둘째, 제거율이 표류(RR drift)한다. 패드가 닳아 그루브가 얕아지고, 컨디셔너 다이아몬드가 무뎌지고, 슬러리 로트가 바뀌면 RR이 수 %에서 십여 %까지 움직인다.
그림 12-1. 시간 연마와 종점 연마. 옅은 부분은 들어온 산화막, 진한 부분은 연마 후 남은 막이다. 시간 연마는 들어온 두께 산포를 그대로 결과에 넘기고, RR이 표류하면 산포가 더 커진다. 종점 연마는 막을 직접 재서 웨이퍼마다 다른 시간에 멈춘다.
시간 연마의 최종 두께는 \(h_f = h_{\text{in}} - \text{RR}\cdot t\)다. 두 변동이 서로 독립이라면 분산은 그대로 더해진다.
여기서 \(h_{\text{in}}\)은 들어온 두께, \(t\)는 연마 시간, \(\sigma_{\text{RR}}\)은 RR의 웨이퍼 간 표준편차, \(\sigma_{\text{EPD}}\)는 종점 검출기의 두께 판정 오차다. RR이 패드 수명에 따라 한 방향으로 움직이면(표류) 평균 자체가 목표에서 벗어난다. 종점 연마는 이 두 항을 센서 오차 하나로 바꾼다.
예를 들어 들어온 두께의 σ가 25 nm, RR 산포가 3 %(t = 136 s에서 약 15 nm)면 시간 연마의 σ는 약 29 nm다. 종점 검출기가 ±5 nm로 판정하면 σ는 5 nm 근처로 내려간다. 다만 종점 검출은 웨이퍼 평균(또는 센서가 지나는 궤적)을 맞출 뿐, 웨이퍼 안 균일도(WIWNU)는 그대로 남는다. 그것을 잡는 것이 이 장 후반의 다중 구역 제어다.
SIMULATOR
패드 수명 1,200장: 시간 연마 vs 종점 연마
시간 연마 σ—
시간 연마 규격 밖—
종점 연마 σ—
종점 연마 평균 시간 변화—
모델: 목표 잔막 500 nm, 들어온 두께 평균 1,000 nm, 시작 RR 220 nm/min(CP-300 산화막 3 psi). 시간 연마는 새 패드에서 잰 RR로 시간을 고정한다. RR은 패드 수명 동안 선형으로 떨어진다. 규격은 500 ± 30 nm(음영). 해볼 것: ① 표류를 0으로 두고 σin만 키워 보자. 시간 연마 σ는 거의 σin을 따라간다. ② 표류를 20 %로 키우면 시간 연마 점들이 패드 후반으로 갈수록 위로 올라간다(덜 깎임). ③ 종점 연마는 표류를 시간을 늘려 흡수한다. 그 대가로 처리량이 줄어든다.
RR 1 % = 몇 nm?CP-300 산화막 레시피는 3 psi, 1.75 m/s에서 약 220 nm/min(3.7 nm/s)이다. 500 nm를 깎는 데 약 136 s가 걸리므로 RR이 1 % 변하면 잔막이 약 5 nm 바뀐다. 패드 수명(1,000–1,500장) 동안 RR이 10 % 떨어지면 시간 연마로는 50 nm가 덜 깎인다. 반대로 종점 판정이 1 s 늦으면 3.7 nm, Cu 벌크 단계(약 700 nm/min)에서는 1 s에 약 12 nm가 더 깎인다. 그래서 금속 CMP일수록 판정 지연을 짧게 잡는다.
연마기는 무엇으로 막을 “느끼나”
웨이퍼는 연마 중 얼굴을 패드 쪽으로 향하고(face-down) 헤드에 붙어 돌아간다. 사람 눈으로는 볼 수 없으니, 장비는 간접 신호를 쓴다. 대표적인 것은 네 가지다.
모터 토크·전류(motor current / torque): 막이 바뀌면 마찰 계수가 바뀌고, 정반·헤드를 같은 속도로 돌리는 데 필요한 토크가 변한다. 센서를 따로 달 필요가 없어 가장 오래된 방법이다.
광학 인시투(in-situ optical, spectral reflectometry): 패드에 낸 투명 창을 통해 빛을 쏘고 반사 스펙트럼을 받는다. 투명막(산화막·질화막)의 남은 두께를 직접 잴 수 있다.
와전류(eddy current): 정반 안 코일이 만든 교류 자기장이 금속막에 와전류를 유도한다. 금속의 면저항, 곧 두께를 잰다. Cu·W 벌크 단계에 쓴다.
열·음향(thermal / acoustic emission): 마찰열과 반응열로 바뀌는 패드 온도(적외선 센서), 마찰 진동의 음향 방출을 쓴다. 보조 신호로 쓰는 경우가 많다.
그림 12-2. 종점 센서의 위치(개념도). 광학 창과 와전류 코일은 정반에 박혀 있어 정반이 한 바퀴 돌 때마다 웨이퍼 아래를 한 번 지나며 웨이퍼의 한 줄기 궤적을 잰다. 모터 토크는 웨이퍼 전체 마찰의 합을 연속으로 본다. 웨이퍼는 얼굴을 아래로 향하므로 광학 센서는 슬러리막을 사이에 두고 막을 아래에서 본다.
방법
재는 양
잘 맞는 공정
장점
약점
모터 토크·전류
웨이퍼 전체 마찰력
Cu 클리어, W, STI(산화막→질화막)
추가 하드웨어 없음, 연속 신호
변화가 작고 패드 온도·상태에 흔들림, 두께를 직접 못 잼
광학(스펙트럼 반사)
투명막 두께, 금속 노출 면적
ILD·STI 잔막, Cu·배리어 클리어
절대 두께 추정, 반경별 측정 가능
패드 창 마모·슬러리 산란, 아래 패턴의 영향
와전류
금속막 면저항(두께)
Cu·W 벌크, 잔여 금속 두께
금속 두께를 직접, 슬러리에 무관
얇은 배리어·고저항 금속에 둔감, 리프트오프(패드 두께) 보정 필요
열(적외선)
패드 표면 온도
Cu 클리어, 반응열이 큰 공정
비접촉, 전체 면적
시간 상수가 길어 느림
음향 방출
마찰 진동 스펙트럼
보조 신호, 이상 감지
빠름, 스크래치·이상 마찰 검출
해석이 어렵고 잡음 많음
모터 토크: 막이 바뀌면 마찰이 바뀐다
정반을 일정한 회전수로 돌리는 모터는 마찰 토크만큼 전류를 더 끌어 쓴다. 웨이퍼와 패드 사이 마찰력은 \(F_f = \mu F_n\)이고, 웨이퍼 중심이 정반 중심에서 \(r_c\) 떨어져 있으면 정반 토크는 대략 다음과 같다.
여기서 \(P\)는 압력, \(A_w\)는 웨이퍼 면적(0.0707 m²), \(\mu\)는 마찰 계수(7장), \(f_{\text{Cu}}\)는 Cu가 아직 덮고 있는 면적 비율, \(\mu_{\text{B}}\)는 드러난 배리어·산화막의 마찰 계수, \(K_t\)는 모터 토크 상수, \(I_0\)는 무부하 전류다. 막이 바뀌는 동안 \(f_{\text{Cu}}\)가 1에서 0으로 줄면서 토크가 한 수준에서 다른 수준으로 옮겨 간다.
Cu 클리어 단계를 보자. 처음에는 웨이퍼 전체가 Cu로 덮여 있다. 웨이퍼 안 균일도 때문에 가장 빨리 깎이는 반경에서 먼저 배리어가 드러나고, 드러난 면적이 넓어지면서 평균 마찰 계수가 바뀐다. 마지막 섬(Cu island)까지 사라지면 신호는 새 수준에서 다시 평평해진다. 종점은 보통 이 평평해지는 순간으로 잡고, 그 뒤에 정해진 과연마(over-polish)를 더한다. 변화의 방향(커지는지 작아지는지)과 크기는 슬러리·패드·막 조합에 따라 다르며, 수 %에서 수십 % 정도다.
그림 12-3. Cu 클리어 단계의 단면과 모터 토크(개념). 웨이퍼 안 두께 불균일 때문에 배리어는 한꺼번에 드러나지 않고 몇 초에 걸쳐 드러난다. 토크 곡선의 전이 폭은 곧 WIWNU의 시간 환산이다. 종점은 곡선이 새 수준에서 평평해지는 점으로 잡고 과연마를 더한다.
잡음 속에서 종점을 판정하기
실제 토크 신호는 깨끗한 계단이 아니다. 헤드 회전(87 rpm ≈ 1.45 Hz)과 스윕에 따른 주기 성분, 패드 온도가 오르며 생기는 느린 표류, 컨디셔너 접촉이나 큰 입자가 만드는 순간 튐(spike), 전기 잡음이 섞인다. 그래서 판정 로직은 보통 다음 단계를 거친다.
여기서 \(s_k\)는 샘플(Δt = 0.1 s), \(m_k\)는 길이 \(N\)의 이동 평균, \(d_k\)는 이동 평균의 기울기, \(\theta\)는 기울기 문턱, \(M\)은 지속 샘플 수다. 연마 시작 직후의 과도 구간은 판정하지 않는다(hold-off, 여기서는 10 s). 전이를 감지한 뒤 기울기가 거꾸로 \(+\theta\)를 넘으면(곧 원래 수준으로 돌아오면) 순간 튐으로 보고 취소한다. 또 전이 전 수준 \(m_{\text{ref}}\)에서 최소 하강량 \(\Delta_{\text{min}}\)(여기서 12 %)만큼 내려와야 종점으로 인정한다. 이동 평균 창이 헤드 한 바퀴(약 7 샘플)를 덮으면 주기 성분이 거의 상쇄되지만, 창이 길수록 판정이 약 \(N\Delta t\)만큼 늦어진다.
SIMULATOR
모터 토크 종점: 필터·문턱·오검출
실제 클리어 시각—
판정 종점—
판정 오차—
판정—
모델: 토크 \(s = 100\,[0.7 + 0.3 f_{\text{Cu}}(t)] + 0.05t + 3\sin(2\pi\cdot1.45t) + \text{잡음} + \text{튐}\). Cu가 덮은 면적 비율 \(f_{\text{Cu}} = 1-\Phi\bigl((t-t_0)/\sigma_t\bigr)\), \(t_0\)는 웨이퍼마다 50–62 s, \(\sigma_t = 0.06\,t_0\)(WIWNU 6 %에 해당). 실제 클리어는 \(f_{\text{Cu}}\) = 1 %가 되는 순간. 위: 원신호(옅게)와 이동 평균, 아래: 기울기와 ±θ. 판정 로직은 본문의 상태 기계(반등 시 취소, 최소 하강량 12 %)를 그대로 쓴다. 해볼 것: ① N을 4 이하로 줄이면 기울기 잡음이 커서 “평평함”을 끝내 확인하지 못하고 최대 시간 경보가 난다. ② 튐 빈도를 6–8회/분으로 올리고 M = 1로 두면 전이 전에 엉뚱한 종점(조기 = 잔류 Cu)이 자주 잡힌다. M을 5 이상으로 올려 비교하자. ③ N = 30, M = 15처럼 극단적으로 안전하게 잡으면 오검출은 사라지지만 판정이 수 초 늦어진다(Cu 클리어 RR 약 7 nm/s로 환산한 과연마량을 보자). ④ 잡음 σ를 5 % 이상으로 올리면 어떤 설정도 완벽하지 않다 — 센서 자체의 신호 대 잡음비가 한계다.
토크 방식의 근본적인 한계는 “웨이퍼 전체의 평균”만 본다는 점이다. 웨이퍼 가장자리에 남은 작은 Cu 섬은 전체 마찰에 거의 기여하지 않아 신호에 보이지 않는다. 그래서 토크 종점 뒤에는 일정한 과연마를 두거나, 광학 센서로 마지막 잔류를 확인한다. 또 패드가 새것일 때와 수명 끝일 때 토크의 절대 수준이 달라지므로, 판정은 절대값이 아니라 변화(기울기, 기준 대비 비율)로 한다.
광학 인시투: 박막 간섭으로 두께를 읽는다
투명한 산화막 위에 빛을 비추면, 막 윗면에서 반사된 빛과 막을 지나 아래 계면에서 반사된 빛이 겹친다. 두 빛의 경로 차가 \(2nd\)이므로, 파장에 따라 보강·상쇄가 번갈아 생겨 반사 스펙트럼에 줄무늬가 생긴다. 산화막이 깎여 \(d\)가 줄면 줄무늬가 파장 축을 따라 미끄러진다. 이것이 비눗방울과 기름막의 색이 변하는 원리이고, 광학 종점 센서의 원리다.
그림 12-4. 인시투 광학 측정(개념도, 두께 과장). CMP 중 웨이퍼는 아래를 향하므로 빛은 패드 창과 슬러리막을 거쳐 막의 “바닥”으로 들어간다. 슬러리/산화막 계면 반사 \(r_{01}\)과 산화막/실리콘 계면 반사 \(r_{12}\)가 위상 \(2\delta\)만큼 어긋나 간섭한다. 한 파장만 보면 반사율은 두께에 대해 주기 \(\lambda/2n_1\)로 반복되어 “몇 번째 봉우리인지” 모호하다. 그래서 여러 파장(스펙트럼)을 함께 본다.
단일 막의 반사율은 두 계면의 프레넬 반사 계수를 위상과 함께 더한 에어리 식(Airy formula)으로 정확히 계산된다(수직 입사).
여기서 \(N = n - ik\)는 복소 굴절률(실리콘·구리는 흡수가 있어 \(k \gt 0\)), 0은 슬러리(물), 1은 산화막, 2는 기판이다. \(\delta\)는 막을 한 번 지날 때의 위상 두께다. 산화막의 \(n_1(\lambda)\)는 \(1.458 + 0.00354/\lambda^2\)(λ는 µm)로 근사했다. 보강 간섭 조건은 대략 \(2n_1 d = m\lambda\)(기판 반사의 위상에 따라 반 정수 이동)이다.
SIMULATOR
반사 스펙트럼 R(λ, d) 계산기
바깥 매질
아래층
R @ 선택 파장—
400–800 nm 봉우리 수—
한 주기 Δd—
보이는 색(근사)—
위: 반사 스펙트럼(실선 = 현재 d, 점선 = 비교 두께), 아래: 선택한 파장에서 두께에 따른 반사율과 현재 d. 해볼 것: ① d를 줄이면 줄무늬가 짧은 파장 쪽으로 미끄러지고 봉우리 수가 준다. 1,000 nm 이상에서는 봉우리가 여러 개, 100 nm 이하에서는 거의 평평하다. ② 아래 그래프에서 R이 같은 두께가 여러 개 있다는 점(모호성)을 확인하자. 스펙트럼 전체 모양은 두께마다 달라 모호성이 풀린다. ③ 아래층을 Cu로 바꾸면 반사가 훨씬 강해지고 위상도 달라진다. 광학 상수는 문헌값을 근사한 교육용 값이다.
스펙트럼 피팅과 실시간 종점
센서는 정반이 한 바퀴 돌 때마다(CP-300에서 약 0.65 s) 웨이퍼 아래를 지나며 스펙트럼 몇 장을 얻는다. 장비는 미리 계산한 스펙트럼 라이브러리(library)에서 측정값과 가장 비슷한 두께를 찾는다. 가장 단순한 방법은 오차 제곱합 최소화다.
$$\hat d = \arg\min_{d}\ \sum_{j}\bigl[R_{\text{meas}}(\lambda_j) - R_{\text{model}}(\lambda_j, d)\bigr]^2,\qquad \hat d(t) \approx d_0 - \widehat{\text{RR}}\,t\ \ (\text{최근 }K\text{점 직선 맞춤})$$
여기서 \(\lambda_j\)는 분광기 파장 채널, \(R_{\text{model}}\)은 에어리 식(실제로는 아래 패턴층까지 넣은 다층 모델)이다. 한 번 잰 \(\hat d\)는 잡음이 크므로 최근 \(K\)개 점에 직선을 맞춰 현재 두께와 RR을 함께 추정하고, 직선이 목표 두께에 닿는 시각을 종점으로 예측한다. 실제 웨이퍼에는 아래 배선·STI 패턴이 섞여 반사 스펙트럼이 복잡하므로, 라이브러리를 실측 데이터로 학습한 모델(주성분, 신경망 등)로 대신하기도 한다.
SIMULATOR
실시간 광학 종점: 반사율 트레이스와 스펙트럼 피팅
경과 시간—
추정 두께—
실제 최종 두께—
목표 대비 오차—
흐름: 정반 한 바퀴(0.645 s)마다 실제 두께에서 41채널(400–800 nm) 스펙트럼을 계산하고 잡음을 더한 뒤, 0–1,600 nm 라이브러리(2 nm 간격)에서 최소 제곱 두께를 찾는다. 위: 세 파장(450·600·750 nm)의 반사율 트레이스 — 한 파장만 보면 봉우리를 세야 하지만 스펙트럼은 두께를 바로 준다. 가운데: 추정 두께(점), 실제 두께(옅은 선), 목표. 아래: 현재 측정 스펙트럼(점)과 맞춘 모델(선). 시간은 약 15배 빠르게 흐른다. 해볼 것: ① 잡음을 0.05로 올리고 직선 맞춤을 끄면 판정이 출렁여 일찍 멈추는 일이 생긴다. ② RR을 바꿔도(패드 표류) 종점 오차는 거의 변하지 않는다 — 종점 검출의 존재 이유다. ③ 목표를 150 nm로 내리면 스펙트럼이 평평해져 두께 감도가 떨어진다.
STI와 금속 클리어에서의 광학 신호STI CMP(9장)에서는 질화막이 드러나는 순간 반사 스펙트럼이 산화막 단일층 모양에서 산화막/질화막 혼합 모양으로 바뀐다. Cu 클리어에서는 반사율이 높은 Cu가 사라지고 반사율이 낮은 배리어·산화막이 드러나 반사율이 급히 떨어진다. 이때는 두께보다 “금속이 덮은 면적 비율”을 읽는 셈이다. 어느 경우든 센서가 웨이퍼의 한 궤적을 반경별로 훑으므로, 반경별 두께 지도를 얻어 다중 구역 압력을 실시간으로 조정하는 데도 쓴다.
와전류: 금속막의 면저항을 잰다
광학 센서는 두꺼운 금속을 투과하지 못한다. Cu 벌크 단계처럼 1 µm 안팎의 금속이 얼마나 남았는지는 와전류 센서(eddy current sensor)로 잰다. 정반 안 코일에 수 MHz 교류를 흘리면 교류 자기장이 패드를 통과해 금속막에 닿고, 패러데이 법칙에 따라 막 안에 원형 전류(와전류)가 유도된다. 와전류는 다시 코일 자기장을 거스르는 자기장을 만들어 코일의 임피던스(유효 저항과 인덕턴스)를 바꾼다. 막이 두꺼울수록(면저항이 낮을수록) 변화가 크다.
그림 12-5. 와전류 센서(개념도, 비율 과장). 교류 자기장이 도체에 들어가면 전류가 표면에서 깊이에 따라 \(e^{-z/\delta}\)로 줄어든다. Cu의 표피 깊이는 MHz에서도 수십 µm라 1 µm 막은 “얇은 판”이다. 이때 신호는 막의 면 전도도 \(\sigma t\)에 비례해 커지다가 포화한다.
여기서 \(f\)는 코일 주파수(\(\omega = 2\pi f\)), \(\sigma\)는 금속의 전기 전도도(박막 Cu 약 \(5\times10^7\) S/m, 박막 W 약 \(1\times10^7\) S/m, β-Ta 약 \(6\times10^5\) S/m), \(t\)는 막 두께, \(a\)는 코일 반경(여기서 5 mm), \(g\)는 리프트오프(코일-막 거리, 대부분 패드 두께), \(S\)는 포화값으로 정규화한 신호다. \(\beta\)는 얇은 도체판의 응답 변수로, \(\beta \approx 1\)일 때 두께 변화에 가장 민감하다. 교육용 근사 모델이다.
계산해 보면 Cu 1 µm, 코일 반경 5 mm, 1 MHz에서 \(\beta \approx 1\)이다. 즉 MHz 대역이 Cu 벌크 두께를 재기에 알맞다. 반면 배리어 Ta는 전도도가 Cu의 1/80 정도라 수십 nm 막은 거의 보이지 않는다. 와전류 신호가 “0”이 되었다는 것은 Cu가 사라졌다는 뜻이지 배리어가 사라졌다는 뜻이 아니다. 또 리프트오프 \(g\)가 패드 마모로 줄면 신호 크기가 커지므로, 패드 수명에 따라 이득을 보정한다.
SIMULATOR
와전류 신호 vs 금속 두께와 주파수
금속
표피 깊이 δ—
β (현재 t)—
신호 S—
두께 분해능 (잡음 0.1 %)—
곡선은 f/3, f, 3f에서의 정규화 신호. 점은 현재 두께. 해볼 것: ① Cu, t = 800 nm에서 주파수를 0.1 → 20 MHz로 올려 보자. 낮은 주파수에서는 신호가 두께에 거의 비례하지만 작고, 너무 높으면 얇은 막에서도 포화해 두께 차이를 못 가린다. 분해능이 가장 좋은 주파수가 있다. ② 금속을 Ta로 바꾸면 같은 두께에서 신호가 거의 0이다(배리어는 와전류로 보기 어렵다). ③ g를 2 → 1.5 mm로 줄이면(패드 마모) 같은 두께에서 신호가 커진다. 보정하지 않으면 “Cu가 더 남았다”고 잘못 읽는다.
열과 소리, 그리고 센서 융합
연마 중 패드에 들어가는 마찰 동력은 \(q = \mu P v\)(단위 면적당)이고, Cu 슬러리에서는 산화 반응열도 더해진다. 패드 표면 온도는 이 열원과 슬러리·정반으로의 열 손실이 균형을 이루는 지점에서 정해지며, 시간 상수 수 초~수십 초로 따라간다(7장). 막이 바뀌어 \(\mu\)나 반응열이 바뀌면 온도가 새 평형으로 이동하므로, 적외선 센서로 패드 온도를 보면 종점을 볼 수 있다.
$$\tau_{\text{th}}\frac{dT}{dt} = (T_{\text{ss}}(\mu) - T),\qquad T_{\text{ss}} = T_0 + \frac{\mu P v + q_{\text{chem}}}{h_{\text{eff}}}$$
여기서 \(\tau_{\text{th}}\)는 열 시간 상수, \(h_{\text{eff}}\)는 유효 열전달 계수, \(q_{\text{chem}}\)은 반응열이다. 시간 상수가 길어 신호가 둥글게 늦어지므로 단독 종점보다는 토크·광학을 확인하는 보조 신호로 쓴다.
음향 방출(acoustic emission, AE)은 마찰과 미세 파괴가 내는 수십 kHz~MHz 탄성파다. 막이 바뀌면 진동 스펙트럼의 특정 대역 세기가 바뀌고, 큰 입자가 긁고 지나가면 짧은 버스트가 나타난다. 그래서 AE는 종점보다 스크래치·패드 이상 감지에 더 유용하다(13장).
실제 장비는 여러 신호를 함께 쓴다. 예를 들어 Cu 다단계 공정에서 1단계(벌크)는 와전류로 잔여 Cu가 약 수백 nm가 될 때 멈추고, 2단계(클리어)는 광학 반사율·토크로 배리어 노출을 보고, 3단계(배리어)는 시간 또는 광학 잔막 두께로 끝낸다. 한 센서가 이상하면 다른 센서와 어긋나므로 교차 확인이 오검출을 줄인다.
그림 12-6. 종점 판정 신호 처리의 일반 흐름. 필터는 잡음을 줄이는 대신 지연을 만든다. 문턱은 낮을수록 빨리 잡지만 오검출이 늘고, 지속 조건은 순간 튐을 걸러 내는 대신 판정을 \(M\Delta t\)만큼 늦춘다. 이 세 가지의 균형이 레시피 엔지니어의 일이다. 판정이 끝내 안 나면 최대 시간에서 멈추고 경보를 낸다(안전 장치).
오검출의 흔한 원인① 연마 시작 직후 패드-웨이퍼 접촉이 자리 잡는 과도 구간(그래서 hold-off). ② 컨디셔너 스윕이 웨이퍼 근처를 지나며 생기는 주기적 토크 변화. ③ 슬러리 공급 중단·기포, 패드 창의 긁힘과 슬러리 고임(광학). ④ 아래층 패턴이 다른 제품(라이브러리 불일치). ⑤ 리프트오프 변화(와전류). 대부분 “신호는 정상인데 기준이 바뀐” 경우이므로 장비는 제품·패드 수명별로 판정 기준을 따로 둔다.
통합 계측과 런투런 제어
종점 검출이 한 웨이퍼 안에서 멈출 때를 정한다면, 런투런 제어(Run-to-Run control, R2R)는 웨이퍼·로트 사이에서 레시피(시간, 압력, 구역 압력)를 고친다. 연마 직후 장비 안에서 두께를 재는 통합 계측(integrated metrology, IM)이 있으면 바로 다음 웨이퍼에 결과를 반영할 수 있다. 공정 앞단에서 들어온 두께를 재 레시피에 미리 반영하는 것이 피드포워드(feed-forward, FF), 결과를 보고 모델을 고치는 것이 피드백(feedback, FB)이다. 둘을 묶어 APC(Advanced Process Control)라 부른다.
그림 12-7. CMP APC의 구조. 피드포워드는 들어온 두께처럼 “이번 웨이퍼가 다를 것”을 미리 알려 주고, 피드백은 RR 표류처럼 “장비가 변하고 있음”을 결과에서 배운다. 인시투 종점은 그 사이의 마지막 안전망이다.
EWMA 제어기
R2R 제어에서 가장 널리 쓰는 것은 지수 가중 이동 평균, EWMA(Exponentially Weighted Moving Average) 제어기다. 제거량을 시간에 대한 직선으로 모델링하고, 절편(모델 오차)을 매 웨이퍼 결과로 조금씩 고친다.
여기서 \(R_k\)는 실제 제거량, \(\beta\)는 실제 RR, \(b\)는 모델 RR, \(\alpha_k\)는 패드 마모 등으로 천천히 변하는 외란, \(\varepsilon_k\)는 백색 잡음, \(\lambda\)(0~1)는 가중치, \(R^*\)은 목표 제거량(들어온 두께 − 목표 잔막)이다. \(\lambda\)가 크면 최신 결과를 많이 믿고, 작으면 과거 평균을 많이 믿는다.
모델 이득이 틀렸다고 하자(\(\xi = \beta/b \ne 1\)). 외란과 잡음을 빼고 오차 \(e_k = R_k - R^*\)의 동역학을 계산하면 \(e_{k+1} = (1 - \lambda\xi)\,e_k\)가 된다. 따라서
$$\text{안정 조건: } 0 \lt \lambda\xi \lt 2,\qquad \text{표류 }\alpha_k = -\delta k\text{일 때 정상 상태 지연 오차} \approx \frac{\delta}{\lambda\xi},\qquad \text{잡음 증폭: } \operatorname{Var}(e) = \frac{2}{2-\lambda\xi}\,\sigma_\varepsilon^2$$
\(\lambda\)를 키우면 표류는 빨리 따라잡지만(지연 오차 감소) 잡음을 다음 웨이퍼로 옮겨 증폭하고, 이득 오차가 크거나 계측 지연이 있으면 진동·발산한다. 작게 하면 잡음엔 둔하지만 표류에 늦다. 실무에서는 대개 0.1–0.5 사이를 쓴다. 표류가 크면 기울기까지 추정하는 이중 EWMA(d-EWMA, PCC)를 쓴다.
SIMULATOR
EWMA 런투런 제어: 100로트와 λ의 선택
λξ—
잔막 RMS 오차—
이론 지연 오차 δ/λξ—
안정성—
모델: 목표 잔막 500 nm, 들어온 두께 1,000 nm, β = 3.67 nm/s(220 nm/min). 표류 \(\alpha_k = -\delta k\)(nm), 패드 교체 시 0으로 복귀. 위: 로트별 잔막(진한 점 = EWMA, 옅은 선 = 제어 없음), 음영 ±15 nm. 아래: 같은 조건에서 λ만 바꿔 12번 반복한 RMS 오차(주황 점선 = 이론 안정 한계 2/ξ). 해볼 것: ① λ = 0.05: 표류에 늦어 잔막이 한쪽으로 치우친다. ② λ = 1.0: 잡음을 그대로 다음 로트에 옮겨 출렁인다. RMS 곡선의 바닥이 최적 λ다. ③ ξ = 1.6에서 λ를 1.3 이상으로 올리면 진동하며 발산한다. ④ 계측 지연을 2–3로트로 늘리면 안정 범위가 훨씬 좁아진다.
피드포워드와 피드백은 서로 다른 것을 고친다
들어온 두께가 웨이퍼마다 무작위로 다르면 피드백은 이를 고칠 수 없다. 이번 웨이퍼의 오차는 이전 웨이퍼 결과에 없기 때문이다. 이것은 피드포워드가 맡는다. 반대로 RR 표류는 들어온 두께를 아무리 잘 재도 알 수 없고, 결과를 봐야만 배운다. 이것은 피드백이 맡는다. 들어온 두께를 재는 계측 자체에도 오차 \(\sigma_m\)이 있으므로 FF의 효과에는 바닥이 있다.
FF는 \(\hat h_{\text{in}}\)에 측정값을 쓰고, FB는 RR 추정치 \(\hat b\)를 EWMA로 갱신한다. 둘 다 끄면 시간 연마와 같다.
SIMULATOR
네 가지 전략: 고정 · 피드백 · 피드포워드 · 둘 다
고정 σ—
FB만 σ—
FF만 σ—
FF+FB σ—
같은 200장(같은 난수)에 네 전략을 적용한 잔막 분포. 막대 위 숫자는 평균 편차. 웨이퍼 간 RR 잡음 2 % 포함. 해볼 것: ① 표류 0, σin 40: FB는 거의 효과가 없고 FF가 산포를 크게 줄인다. ② σin 0, 표류 20 %: 이번엔 FF가 소용없고 FB가 평균을 목표로 되돌린다. ③ σm을 20 nm로 키우면 FF의 이득이 계측 오차에 묻힌다 — 계측 장비의 정밀도가 곧 제어 성능이다.
CP-300의 제어 구성교육용 가정: 산화막 ILD는 IM 전·후 측정 + 시간 레시피 + EWMA(λ ≈ 0.3) 피드백, Cu는 1단계 와전류로 잔여 Cu 약 300 nm에서 정지, 2단계(1.2 psi) 광학·토크로 클리어 판정 후 과연마 약 10 %, 3단계 배리어(1.5 psi)는 광학 잔막 두께 기준. 패드 교체(약 1,000–1,500장) 직후에는 EWMA 상태를 새 패드 기본값으로 초기화하고 처음 몇 장은 모니터 웨이퍼로 확인한다.
다중 구역 폐루프 프로파일 제어
평균 두께를 맞춰도 웨이퍼 안 모양이 휘어 있으면 소용없다. CP-300 헤드는 멤브레인 뒤의 압력실을 네 구역(중심·중간·외곽·가장자리)으로 나누어 반경별로 다른 압력을 줄 수 있다(3장). 구역 하나의 압력을 올리면 그 구역 반경의 제거율이 오르는데, 멤브레인이 연속체라 경계에서 효과가 부드럽게 번진다. 반경 \(r\)에서 구역 \(j\) 압력 1 psi가 만드는 제거량을 영향 함수(influence function) \(G_j(r)\)라 하면, 제거 프로파일은 선형 합으로 쓸 수 있다.
그림 12-8. 4구역 멤브레인 헤드의 반경 단면(위)과 구역별 영향 함수(아래, 개념). 각 구역의 영향은 경계에서 수 mm 폭으로 번지고 이웃 구역과 겹친다. 가장자리 구역은 폭이 좁고 리테이너 링 압력과 함께 가장자리 제거율을 조절한다. 실제 영향 함수는 블랭킷 웨이퍼에 구역 압력을 하나씩 바꿔 가며 연마해 측정한다.
$$R(r_i) = t\sum_{j=1}^{4} G_j(r_i)\,P_j \;\Longleftrightarrow\; \mathbf R = \mathbf S\,\mathbf P,\qquad \Delta\mathbf P = \eta\,(\mathbf S^{\mathsf T}\mathbf S + \rho\,\mathbf I)^{-1}\mathbf S^{\mathsf T}\,(\mathbf h_{\text{post}} - T)$$
여기서 \(r_i\)는 측정 반경(수십 점), \(\mathbf S\)는 감도 행렬(nm/psi), \(\mathbf h_{\text{post}}\)는 측정한 연마 후 두께 프로파일, \(T\)는 목표, \(\eta\)는 보정 이득(0~1), \(\rho\)는 압력이 지나치게 튀지 않게 하는 정칙화 항이다. 두꺼운 곳(양의 오차)에 해당하는 구역 압력이 올라간다. 압력은 장비 범위(여기서 0.5–6 psi)로 자른다. 인시투 광학 센서가 반경별 두께를 주면 같은 계산을 연마 도중에도 반복할 수 있다.
SIMULATOR
4구역 압력 폐루프: 웨이퍼마다 프로파일 보정
들어온 막 모양
웨이퍼—
잔막 범위 (max−min)—
WIWNU (1σ)—
P₁ / P₂ / P₃ / P₄—
모델: 모든 구역 3 psi에서 120 s 동안 약 440 nm 제거(73 nm/min/psi). 영향 함수는 경계 폭 7 mm의 시그모이드, 가장자리 5 mm에는 고유 빠름(+8 %), 패드 마모로 이 가장자리 효과가 웨이퍼마다 조금씩 커진다. 들어온 막은 평균 1,000 nm에 모양 진폭 ±40 nm(웨이퍼마다 ±20 % 흔들림). 목표 잔막 560 nm(가장자리 제외 3 mm). 위: 잔막 프로파일(진한 선 = 현재, 옅은 선 = 이전 웨이퍼들), 아래 왼쪽: 구역 압력, 아래 오른쪽: 웨이퍼별 범위. 해볼 것: ① 제어를 끄면 들어온 모양이 그대로 남는다. ② η = 1.5 이상이면 과보정으로 압력이 진동한다. ③ ρ = 0이고 잡음이 크면 이웃 구역 압력이 서로 반대로 크게 움직인다(정칙화가 필요한 이유). ④ 구역 경계보다 좁은 모양(W 모양의 가운데 굴곡)은 4구역으로 완벽히 지울 수 없다.
다중 구역 제어에는 두 가지 근본 한계가 있다. 하나는 공간 분해능이다. 구역이 넷이면 프로파일에서 고칠 수 있는 모양도 넷 정도뿐이다. 구역 경계 폭보다 좁은 굴곡이나 가장자리 수 mm의 급한 변화는 리테이너 링 압력과 패드·컨디셔닝 설계로 다룬다. 다른 하나는 패턴 의존성이다. 다이 안의 패턴 밀도 차이에서 오는 두께 차이(8장)는 반경 압력으로 고칠 수 없다. 제어기는 웨이퍼 수준의 모양만 고친다.
핵심 정리
시간 연마의 잔막 산포는 \(\sigma_f^2 = \sigma_{\text{in}}^2 + t^2\sigma_{\text{RR}}^2\)이고, 패드 수명에 따른 RR 표류는 평균까지 옮긴다. 종점 검출은 두 항을 센서 판정 오차 하나로 바꾼다(대신 연마 시간이 웨이퍼마다 달라진다).
모터 토크(전류)는 막이 바뀔 때 마찰 계수 변화 \(\tau \approx \mu P A r_c\)로 종점을 본다. 추가 하드웨어가 없지만 웨이퍼 평균만 보며, 전이 폭은 WIWNU의 시간 환산이다.
판정 로직은 저역 통과 → 미분 → 문턱 + 지속 조건 → 상태 기계 → 과연마 순이다. 필터와 지속 조건은 오검출을 줄이는 대신 지연(약 \(N\Delta t + M\Delta t\))을 만든다.
광학 인시투는 에어리 식 \(r = (r_{01} + r_{12}e^{-2i\delta})/(1 + r_{01}r_{12}e^{-2i\delta})\)로 계산한 라이브러리와 측정 스펙트럼을 맞춰 투명막 잔막을 직접 추정한다. 단일 파장은 주기 \(\lambda/2n\)로 모호하고, 스펙트럼이 모호성을 푼다.
와전류는 금속막의 면 전도도를 본다. Cu의 표피 깊이는 MHz에서 수십 µm로 막보다 훨씬 두꺼워, 신호가 \(\sigma t\)에 비례하다 포화한다. 고저항 배리어는 거의 보이지 않고, 리프트오프(패드 두께) 보정이 필요하다.
피드포워드는 들어온 두께처럼 웨이퍼마다 무작위인 변동을, 피드백은 RR 표류처럼 천천히 변하는 장비 상태를 고친다. FF의 바닥은 전 측정의 정밀도다.
다중 구역 제어는 영향 함수 행렬 \(\mathbf S\)로 \(\Delta\mathbf P = \eta(\mathbf S^\mathsf T\mathbf S + \rho\mathbf I)^{-1}\mathbf S^\mathsf T\mathbf e\)를 풀어 반경 프로파일을 고친다. 구역 수보다 세밀한 모양과 패턴 의존 두께 차이는 고칠 수 없다.
확인 퀴즈
1. 시간 연마에서 들어온 두께 σ = 20 nm, 연마 시간 150 s, RR의 웨이퍼 간 표준편차가 0.1 nm/s라면 잔막 σ는 약 얼마인가?
\(t\sigma_{\text{RR}} = 150\times0.1 = 15\) nm. \(\sigma_f = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\) nm. 독립 변동의 표준편차는 그냥 더하지 않고 제곱합의 제곱근으로 더한다.
2. 모터 토크 종점에서 이동 평균 창 N을 크게 늘렸다. 가장 직접적인 결과는?
이동 평균은 잡음을 \(1/\sqrt N\)로 줄이지만 약 \(N\Delta t/2\)~\(N\Delta t\)의 지연을 만든다. 토크는 여전히 웨이퍼 전체 평균만 보므로 작은 잔류 섬은 필터와 상관없이 보이지 않는다.
3. 물(n₀ = 1.33) 속 산화막(n₁ = 1.46)을 600 nm 단일 파장으로 볼 때, 반사율이 한 주기 반복되는 두께 변화는?
위상 두께 \(\delta = 2\pi n_1 d/\lambda\)에서 반사율은 \(2\delta\)에 대해 \(2\pi\) 주기이므로 \(\Delta d = \lambda/(2n_1) = 600/2.92 \approx 205\) nm. 바깥 매질 굴절률은 주기가 아니라 줄무늬의 진폭에 영향을 준다.
4. 와전류 센서가 Cu 벌크 두께는 잘 재지만 TaN/Ta 배리어 잔막은 거의 보지 못하는 주된 이유는?
얇은 막의 와전류 응답은 \(\beta \propto \omega\mu_0\sigma t\)로 면 전도도에 비례한다. β-Ta의 전도도는 Cu의 약 1/80이고 두께도 수십 nm라, 1 µm Cu에 비해 σt가 수천 배 작다. 그래서 배리어 단계는 광학·시간으로 판정한다.
5. EWMA 제어기에서 실제 RR이 모델 RR의 1.5배(ξ = 1.5)이고 계측 지연이 없다. 안정하려면 λ는?
오차 동역학 \(e_{k+1} = (1-\lambda\xi)e_k\)에서 \(|1-\lambda\xi| \lt 1\), 즉 \(0 \lt \lambda \lt 2/\xi = 1.33\). 실무 λ(0.1–0.5)는 충분히 안쪽이지만, 계측 지연이 있으면 한계가 더 낮아진다.
6. 들어온 산화막 두께가 웨이퍼마다 무작위로 ±30 nm 흔들리고, RR은 안정적이다. 잔막 산포를 줄이는 데 가장 효과적인 것은?
웨이퍼마다 무작위인 변동은 이전 결과(피드백)로는 예측할 수 없다. λ = 1은 오히려 이전 웨이퍼의 잡음을 다음 웨이퍼로 옮긴다. 변동을 미리 아는 FF나 직접 보는 인시투 종점이 답이다.
7. 다중 구역 폐루프 제어로 고치기 어려운 것은?
구역 압력은 반경 방향의 수 cm 단위 모양만 바꾼다. 다이 안(수 mm 이하)의 패턴 밀도 효과는 같은 반경의 모든 다이에 똑같이 나타나므로 압력으로 지울 수 없다. 이는 더미 필·슬러리 선택비·패드 경도로 다룬다(8장).