Chapter 09

연산 증폭기 설계

지금까지 트랜지스터 하나, 전류 미러, 차동 쌍, 주파수 응답, 피드백을 따로 배웠다. 이 장에서는 그것들을 한 회로에 모은다. 사양서 한 장(이득 70 dB, GBW 20 MHz, 위상 여유 60°, 부하 2 pF, 전력 300 µW 이하)에서 출발해 커패시터 하나, 전류 둘, 트랜지스터 폭 몇 개를 손으로 정하고, 브라우저 SPICE로 맞는지 확인한다. 결과물은 AB-1 칩의 모든 블록 밑바닥에 들어가는 2단 밀러 OTA(Two-Stage Miller OTA)다.

연산 증폭기 사양서의 항목(이득, GBW, PM, SR, 스윙, ICMR, 오프셋, 잡음, PSRR, 전력)이 각각 어떤 시험 회로로 재는 값인지 말한다.
70 dB를 얻으려면 왜 두 단이 필요한지, 2단 밀러 OTA의 소자 M1~M8과 $C_c$·$R_z$·$C_L$이 각각 무엇을 맡는지 설명한다.
$A_0 = g_{m1}(r_{o2}\parallel r_{o4})\,g_{m6}(r_{o6}\parallel r_{o7})$, $\mathrm{GBW} = g_{m1}/2\pi C_c$, $g_{m6} \ge 2.2\,(C_L/C_c)\,g_{m1}$로 손 설계를 하고 엔진 값과 비교한다.
시스템적 오프셋을 없애는 크기 조건 $(W/L)_6/(W/L)_4 = 2\,(W/L)_7/(W/L)_5$을 유도한다.
슬루율 $I_{tail}/C_c$과 출력 스윙의 한계를 과도 해석으로 확인한다.
텔레스코픽·폴디드 캐스코드·2단 구조, 완전 차동과 CMFB, 전력과 속도의 맞바꿈을 비교한다.

사양서 읽기

연산 증폭기를 설계한다는 말은 "사양서의 숫자를 모두 만족하는 크기와 전류를 찾는다"는 뜻이다. 그런데 사양서의 숫자는 저마다 다른 시험 회로에서 잰 값이다. 개루프 이득은 출력이 레일로 달아나지 않게 직류만 잡아 둔 채 AC로 재고, 슬루율은 단위 이득 버퍼에 큰 계단을 넣어 재고, PSRR은 전원에 작은 신호를 얹어 잰다. 숫자의 뜻을 알려면 그 숫자를 잰 회로를 알아야 한다.

아래 카드는 AB-1 OTA의 사양서다. 왼쪽 열은 AB-1 시스템이 요구하는 값, 오른쪽 열은 이 장에서 설계할 회로를 엔진으로 잰 값이다. 항목 위에 마우스를 올리거나 누르면 그 항목을 재는 시험 회로가 오른쪽에 그려진다.

SIMULATOR

사양서의 숫자는 어떤 회로에서 재는가

항목에 마우스를 올리거나 누른다

선택한 항목—

엔진 측정값—

사양—

해볼 것: ① 개루프 이득·GBW·PM이 모두 같은 개루프 AC 시험 회로에서 나온다는 것을 본다. ② 슬루율과 정착은 단위 이득 버퍼에 계단을 넣어 잰다. 큰 신호 사양이다. ③ PSRR은 입력 대신 V_DD에 신호를 넣는다. (엔진: AN.ota2Open() 개루프 AC, AN.ota2(…, "follower") 과도 해석, c.noise 잡음 해석. 랜덤 오프셋은 12장의 몬테카를로에서, 여기서는 시스템적 오프셋만 잰다.)

표에는 서로 다투는 숫자들이 함께 있다. 이득을 올리려면 전류를 줄이거나 L을 키우고, GBW를 올리려면 전류를 늘리고, 스윙을 넓히려면 소자를 덜 쌓고, 잡음을 줄이려면 입력 소자 $g_m$을 키우고, 전력은 줄여야 한다. 설계는 이 줄다리기의 균형점을 찾는 일이다. 이 장의 나머지는 그 균형점을 손으로 찾고 엔진으로 확인하는 과정이다.

OTA와 연산 증폭기교과서의 연산 증폭기(Op Amp)는 출력 저항이 낮아 저항 부하를 직접 몰 수 있는 증폭기를 말한다. 칩 안의 증폭기는 대부분 커패시터만 몰기 때문에 출력 버퍼 단을 생략한다. 출력이 전류원처럼 행동하는(출력 저항이 큰) 이 증폭기를 OTA(Operational Transconductance Amplifier)라 부른다. 이 책에서 "연산 증폭기"는 대개 OTA를 가리킨다.

왜 2단인가: 2단 밀러 OTA의 구조

3장에서 본 대로 L = 1 µm 소자의 고유 이득 $g_m r_o$는 약 125(42 dB)다. 6장의 5트랜지스터 OTA는 출력 저항이 $r_{o2}\parallel r_{o4}$라서 이득이 그 절반쯤인 약 102(40 dB)에 머문다. 70 dB를 얻는 길은 둘이다. 소자를 위로 쌓아(캐스코드) 출력 저항을 $g_m r_o$배 키우거나, 이득 단을 하나 더 옆으로 붙여 이득을 곱하는 것이다.

1.8 V 전원에서는 쌓는 길이 금방 막힌다. 소자 하나가 포화를 유지하려면 $V_{DS,sat}$ ≈ 0.2 V가 필요하고, 캐스코드 OTA는 전원과 접지 사이에 소자 5개를 쌓는다. 출력이 움직일 자리가 1 V도 남지 않는다. 2단 OTA는 두 번째 단을 공통 소스 하나(소자 2개)로 만들어, 출력이 $V_{DS,sat7}$에서 $V_{DD}-V_{SD,sat6}$까지 거의 레일 근처까지 움직인다. 1단이 이득과 낮은 잡음을, 2단이 이득과 넓은 출력 스윙을 맡는 분업이다.

그림 9-1. AB-1 2단 밀러 OTA. 1단(M1~M5)은 6장의 5T OTA 그대로다. 1단 출력 y가 2단 공통 소스 M6의 게이트를 몬다. M7은 M8 다이오드의 미러로 2단 전류를 흘린다. $R_z$와 $C_c$가 두 단 사이를 다리처럼 잇는 밀러 보상(Miller Compensation)이다. M2가 붙은 쪽이 비반전 입력 v+다(M2 → y 반전, M6 → out 반전, 두 번 뒤집힌다).

소자	AB-1 크기·값	맡은 일	잘못 정하면
M1·M2	NMOS 10/1 µm, 각 10 µA	입력 쌍. $g_{m1}$이 GBW와 입력 잡음을 정한다	작으면 GBW가 부족하고 잡음이 커진다
M3·M4	PMOS 6/1 µm	능동 부하 미러. 차동을 단일 출력으로	크면 미러 극점이 내려와 PM이 줄어든다
M5	NMOS 4/1 µm, 20 µA	꼬리 전류원. 슬루율 $I_{tail}/C_c$	포화를 벗어나면 ICMR·CMRR이 무너진다
M6	PMOS 24/0.5 µm, 80 µA	2단 공통 소스. $g_{m6}$이 둘째 극점을 정한다	폭이 조건에서 벗어나면 시스템적 오프셋
M7	NMOS 16/1 µm(M8의 4배)	2단 전류원 겸 출력 쪽 내려 끌기	작으면 음의 슬루와 부하 구동이 약하다
M8 + I_B	NMOS 4/1 µm, 20 µA	바이어스 기준(5장)	—
C_c, R_z	1 pF, 2 kΩ	밀러 보상. 첫 극점을 내리고 둘째 극점을 밀어낸다	작으면 발진 직전, 크면 느리다
C_L	2 pF	부하(다음 단의 샘플링 커패시터 등)	커질수록 PM이 준다

소신호로 보면 두 단의 이득이 곱해지고, 밀러 커패시터 $C_c$가 2단 이득만큼 커 보여 1단 출력 y에 아주 낮은 주파수의 첫 극점을 만든다(7장의 밀러 효과). 그 결과 단위 이득 주파수는 1단의 $g_{m1}$과 $C_c$만으로 정해진다.

$$A_0 = \underbrace{g_{m1}(r_{o2}\parallel r_{o4})}_{\approx\,102}\cdot\underbrace{g_{m6}(r_{o6}\parallel r_{o7})}_{\approx\,38},\qquad \mathrm{GBW} \approx \frac{g_{m1}}{2\pi C_c},\qquad p_2 \approx \frac{g_{m6}}{2\pi C_L},\qquad z = \frac{1}{2\pi C_c\,(1/g_{m6}-R_z)}$$

$g_{m1}$ ≈ 169 µS, $r_{o2}\parallel r_{o4}$ ≈ 0.61 MΩ, $g_{m6}$ ≈ 761 µS, $r_{o6}\parallel r_{o7}$ ≈ 50 kΩ → $A_0$ ≈ 3,900(71.8 dB). GBW 손 계산 169 µS / (2π·1 pF) ≈ 26.9 MHz(엔진 23.5 MHz), $p_2$ ≈ 761 µS/(2π·2 pF) ≈ 61 MHz. $R_z$ = 0이면 영점 $z$ ≈ 121 MHz가 우반면에 생긴다. $R_z > 1/g_{m6}$ ≈ 1.3 kΩ이면 영점이 좌반면으로 넘어간다.

살아 있는 2단 OTA

식은 손잡이가 넷이라고 말한다. 꼬리 전류는 $g_{m1}$을, 2단 전류는 $g_{m6}$과 $r_{o6}\parallel r_{o7}$을, $C_c$는 GBW와 슬루율을, M6 폭은 2단의 동작점을 움직인다. 아래 회로도는 AB-1 OTA를 엔진이 푼 그대로다. 손잡이를 돌릴 때마다 엔진이 동작점을 다시 풀고(출력이 0.9 V에 오도록 입력 오프셋을 맞춘다), 개루프 AC 해석으로 이득·GBW·PM을, 버퍼 과도 해석으로 슬루율을 잰다. 손 계산 값이 옆에 함께 나온다.

SIMULATOR

AB-1 OTA: 손잡이 넷, 숫자 여섯

소자를 누르거나 마우스를 올린다

꼬리 전류 2단 전류 I2 보상 Cc M6 폭 W6

소자를 눌러 보자

M1~M8을 누르면 그 소자의 영역, 전류, g_m, g_m/I_D, r_o, 포화 여유 V_DS − V_DS,sat와 맡은 일이 나온다.

A₀ 엔진 / 손—

GBW 엔진 / 손 g_m1/2πC_c—

PM 엔진 / 손—

SR 엔진 / 손 I_tail/C_c—

전력(V_DD·I_DD)—

시스템적 오프셋—

해볼 것: ① C_c를 0.3 pF로 줄인다. GBW는 50 MHz를 넘지만 PM이 35° 아래로 떨어진다. 둘째 극점 $g_{m6}/C_L$은 그대로인데 첫 극점만 올라갔기 때문이다. ② 2단 전류를 20 µA로 줄이면 $g_{m6}$이 줄어 PM이 무너지고, 240 µA로 늘리면 PM은 오르지만 전력이 두 배가 넘는다. ③ 꼬리 전류를 70 µA 이상으로 올리면 꼬리 마디가 내려가 M5가 선형 영역으로 빠진다(빨강). ④ M6 폭을 조건값 24 µm에서 벗어나게 하면 시스템적 오프셋이 mV 단위로 생긴다. (엔진: AN.ota2Open(o) 개루프 AC 10 Hz~10 GHz, 출력 0.9 V에 맞춘 동작점. SR은 AN.ota2(o, "follower")에 0.6 V 계단을 넣은 과도 해석의 최대 기울기. 손 계산 PM = 90° − atan(GBW/p₂) − atan(GBW/z), 미러 극점은 무시. 전류 점의 빠르기는 가지 전류에 비례.)

보았듯이 손 계산 GBW는 엔진보다 10~15 % 크게 나온다. 손 계산은 $|A(f)| = \mathrm{GBW}/f$로 보고 단위 이득점을 구하지만, 실제로는 둘째 극점 $p_2$가 그 근처에서 크기를 이미 깎고 있기 때문이다. 이득 $A_0$는 두 단의 $g_m r_o$ 곱이어서 손 계산과 엔진이 거의 같다. 위상 여유는 손 계산이 몇 도 낙관적이다. 손 계산이 빠뜨린 미러 극점($g_{m3}/C_x$)이 위상을 조금 더 깎는다.

AB-1 기본값(C_c 1 pF, R_z 2 kΩ, C_L 2 pF)	손 계산	엔진	차이의 원인
1단 이득 · 2단 이득	102.5 · 38.2	합 71.8 dB	엔진 $g_m$·$r_o$를 쓰면 거의 같다
GBW	26.9 MHz	23.5 MHz	$p_2$ ≈ 61 MHz가 단위 이득점 근처에서 크기를 깎는다
PM(R_z = 0)	≈ 54°	51.1°	우반면 영점 121 MHz + 미러 극점
PM(R_z = 2 kΩ)	≈ 73°	67.5°	영점이 좌반면으로 넘어가 위상을 되돌려 준다
슬루율	20 V/µs	≈ 18 V/µs	$C_c$ 외에 마디 y의 기생 커패시턴스도 충전한다
전력	1.8 V × 120 µA = 216 µW	218 µW	미러 비가 λ 때문에 조금 어긋난다

손 설계: 사양에서 크기까지

이제 거꾸로 간다. 사양(GBW 20 MHz, $C_L$ 2 pF, PM 60°)이 주어졌을 때 크기와 전류를 정하는 순서는 교과서마다 조금씩 다르지만 뼈대는 같다. 위상 여유가 먼저 $C_c$와 $g_{m6}$의 관계를 정하고, GBW가 $g_{m1}$을 정하고, $g_m/I_D$ 선택이 전류와 폭을 정한다.

$$\text{1. } C_c \ge 0.22\,C_L \quad \text{2. } g_{m1} = 2\pi\,\mathrm{GBW}\,C_c \quad \text{3. } I_{tail} = 2\,\frac{g_{m1}}{g_m/I_D} \quad \text{4. } g_{m6} \ge 2.2\,\frac{C_L}{C_c}\,g_{m1} \quad \text{5. } I_2 = \frac{g_{m6}}{(g_m/I_D)_6}$$

④는 둘째 극점을 GBW의 2.2배 위에($p_2 \ge 2.2\,\mathrm{GBW}$) 두는 조건이다. 둘째 극점만 있으면 PM = 90° − atan(1/2.2) ≈ 66°이고, 우반면 영점(10·GBW 가정)이 약 6°를 더 깎아 약 60°가 된다. GBW 20 MHz, $C_c$ 1 pF면 $g_{m1}$ ≈ 126 µS, $g_m/I_D$ = 17에서 $I_D$ ≈ 7.4 µA. $g_{m6}$ ≥ 2.2 × 2 × 126 µS ≈ 553 µS, $(g_m/I_D)_6$ = 9.3에서 $I_2$ ≈ 59 µA.

아래 마법사는 이 다섯 단계를 차례로 밟는다. 단계마다 "다음"을 누르면 그 단계의 식과 숫자가 채워지고, 마지막 단계에서 정한 크기를 그대로 엔진에 넣어 보드 선도로 검증한다. 사양을 바꾸면 처음부터 다시 계산한다.

SIMULATOR

손 설계 마법사: 다섯 걸음과 검증

목표 GBW 부하 CL Cc / CL 비

Rz = 1.5/gm6 넣기

단계—

GBW 목표 / 엔진—

PM 목표 / 엔진—

A₀ · 전력—

해볼 것: ① "다음 단계"를 다섯 번 눌러 GBW 20 MHz, C_L 2 pF, PM 60° 설계를 끝낸다. 엔진 GBW는 목표보다 약 10 % 모자란다(둘째 극점 탓). 다음 설계에서는 GBW를 10 % 넉넉히 잡는다. ② R_z 없이 엔진 PM이 목표보다 낮은지 본다. 손 규칙이 가정한 "영점은 10·GBW 위"가 $C_c$가 크면 성립하지 않는다. R_z를 넣으면 영점이 좌반면으로 넘어가 PM이 오른다(10장). ③ C_c/C_L을 0.15로 줄이면 $g_{m6}$ 요구가 커져 2단 전류가 치솟는다. 1.0으로 키우면 $g_{m1}$과 1단 전류가 커진다. 전력이 가장 작은 비를 찾아본다. (손 계산: M1 L = 1 µm, g_m/I_D = 17, M6 L = 0.5 µm, g_m/I_D ≈ 9.3, 폭은 AN.gmidLookup의 전류 밀도. M3·M4 6/1, M5·M8 4/1 고정, M6 폭은 시스템적 오프셋 조건으로. 검증: AN.ota2Open.)

손 설계의 결과는 출발점이다. 엔진은 손 계산이 버린 것(둘째 극점이 단위 이득점에 미치는 영향, 미러 극점, 기생 커패시턴스, 약반전 쪽의 $g_m$)을 모두 넣고 푼다. 차이를 보고 목표를 조금 넉넉히 다시 잡아 한두 번 더 돌리면 된다. 이 설계 루프가 실제 설계 흐름과 같다. AB-1 OTA는 GBW에 여유를 두려고 $I_{tail}$ = 20 µA($g_{m1}$ ≈ 169 µS), $I_2$ = 80 µA로 잡았다.

시스템적 오프셋: M6 폭의 조건

두 입력을 똑같이 0.9 V에 두면 출력도 0.9 V 근처여야 한다. 그런데 소자가 완벽히 정합되어도 출력이 레일로 달려가는 일이 생긴다. 이것이 시스템적 오프셋(Systematic Offset)이다. 원인은 크기를 잘못 정한 데 있다.

입력이 같으면 1단은 대칭이고, 대칭이면 M4의 드레인 y는 M3의 드레인 x와 같은 전압이어야 한다. $V_y = V_x$이면 M6의 $V_{SG6}$은 M3·M4의 $V_{SG}$와 같다. 같은 $V_{SG}$에서 M6이 흘리는 전류는 크기 비만큼이다. 이 전류가 M7이 요구하는 전류와 정확히 맞아야 2단이 균형을 이룬다.

$$I_6 = \frac{(W/L)_6}{(W/L)_4}\cdot\frac{I_{tail}}{2},\quad I_7 = \frac{(W/L)_7}{(W/L)_5}\cdot I_{tail}\quad\Longrightarrow\quad \frac{(W/L)_6}{(W/L)_4} = 2\,\frac{(W/L)_7}{(W/L)_5}$$

AB-1: $(W/L)_4$ = 6, $(W/L)_7/(W/L)_5$ = 16/4 = 4 → $(W/L)_6$ = 2 × 6 × 4 = 48 → L = 0.5 µm에서 W = 24 µm. 조건이 깨지면 2단 전류의 차이를 메우려고 $V_y$가 $V_x$에서 벗어나야 하고, 그 차이를 1단 이득으로 나눈 값이 입력 환산 오프셋이 된다.

SIMULATOR

정합된 소자로도 오프셋이 생긴다

그래프를 좌우로 끌어도 된다

M6 폭 W6 M7 폭(2단 전류)

(W/L)₆ / 조건 2(W/L)₄(W/L)₇/(W/L)₅—

입력이 같을 때 출력—

V_x / V_y—

시스템적 오프셋(입력 환산)—

해볼 것: ① W₆를 24 µm에서 20 µm로 줄인다. 출력이 0.36 V로 떨어지고, 28 µm로 늘리면 1.5 V 위로 올라 M6이 선형으로 빠진다(빨간 구간). 정합은 완벽한데도 그렇다. ② 출력을 0.9 V로 되돌리는 입력(오프셋)은 0.1~0.4 mV로 작다. 이득이 3,900배라 출력 오차가 커 보일 뿐이다. ③ M7 폭(2단 전류)을 바꾸면 곡선이 옆으로 움직이고, "조건대로 맞추기"를 누르면 W₆가 다시 조건 위로 온다. (엔진: AN.ota2(o, "open") 동작점, 두 입력 모두 0.9 V. 오프셋은 AN.ota2Open의 이분법. λ 때문에 조건값에서도 오프셋이 0.06 mV쯤 남는다.)

출력이 크게 흔들려 보이는 것은 이득이 커서다. 입력으로 환산한 시스템적 오프셋은 W₆가 15 % 어긋나도 0.2 mV 안팎이다. 하지만 이것은 무작위 오프셋(12장, 수 mV)과 달리 모든 칩에 같은 방향으로 더해지므로 설계에서 반드시 없앤다. 조건은 전류 비가 아니라 크기 비로 쓰여 있어서, 공정이 흔들려 전류가 함께 변해도 맞는 상태가 유지된다.

큰 신호: 슬루율과 출력 스윙

지금까지는 신호가 작다고 가정했다. 계단 입력이 크면 입력 쌍의 $v_{id}$가 순간적으로 수백 mV가 되어 6장에서 본 완전 전환이 일어난다. 꼬리 전류 전부가 한쪽으로 몰리고, 1단은 더 이상 증폭기가 아니라 $\pm I_{tail}$을 내는 전류원이 된다. 이 전류가 $C_c$를 충전하는 속도가 출력 전압이 변할 수 있는 최대 기울기, 슬루율(Slew Rate)이다.

$$\mathrm{SR} = \frac{I_{tail}}{C_c}\quad\left(\text{2단 쪽 한계 } \frac{I_2}{C_c+C_L}\right)$$

AB-1: 20 µA / 1 pF = 20 V/µs. 2단이 $C_c + C_L$을 몰 수 있는 한계는 80 µA / 3 pF ≈ 27 V/µs라 1단이 먼저 한계에 닿는다. 엔진은 마디 y의 기생 커패시턴스까지 충전하므로 약 18 V/µs. $\mathrm{SR}/\mathrm{GBW} = I_{tail}/C_c \cdot 2\pi C_c/g_{m1} = 2\pi\,(I_{tail}/g_{m1}) = 4\pi/(g_m/I_D)_1$이므로, 입력 쌍을 약반전 쪽에 둘수록 같은 GBW에서 슬루율이 나빠진다.

SIMULATOR

작은 계단은 휘고, 큰 계단은 미끄러진다

보상 Cc 꼬리 전류 선형 응답 예측(점선)

입력 계단출력(엔진)선형 모델 예측

최대 기울기(엔진) 상승 / 하강—

손 계산 I_tail/C_c—

1 % 정착 시간(상승)—

해볼 것: ① 20 mV 계단에서는 출력(하늘)이 선형 예측(분홍 점선)과 겹친다. 기울기는 계단 크기에 비례한다. ② 0.6 V로 키우면 출력이 직선 경사로 올라가며 선형 예측보다 한참 늦다. 기울기가 약 18 V/µs에서 더 늘지 않는다. ③ C_c를 2 pF로 키우면 경사가 눕고(약 9~14 V/µs), 꼬리 전류를 40 µA로 늘리면 다시 선다(약 33~42 V/µs). 0.9 V 계단에서도 최대 기울기는 18~22 V/µs 근처에 머물고 경사 구간만 길어진다. (엔진: AN.ota2(o, "follower", AN.wave.pulse(…)), 0.9 V 중심 ± 계단/2, 상승·하강 1 ns, dt 0.5 ns 과도 해석. 선형 예측은 폐루프 대역 GBW의 1차 응답.)

큰 계단의 응답은 두 구간으로 나뉜다. 처음에는 기울기 SR로 미끄러지는 슬루 구간, 목표 근처에서 $v_{id}$가 다시 작아지면 지수로 다가가는 선형 정착 구간이다. 15장의 샘플러처럼 반 주기 안에 정착해야 하는 회로에서는 두 구간의 시간을 모두 예산에 넣어야 한다. 슬루를 빠르게 하려면 꼬리 전류를 늘리거나 $C_c$를 줄여야 하는데, 앞의 것은 전력을, 뒤의 것은 위상 여유를 쓴다.

출력 스윙

2단 출력이 움직일 수 있는 범위는 M6과 M7이 포화를 유지하는 범위다. 아래로는 $V_{DS,sat7}$ ≈ 0.21 V, 위로는 $V_{DD} - V_{SD,sat6}$ ≈ 1.57 V. 그 밖으로 나가면 해당 소자가 선형으로 빠져 2단 이득이 급히 줄고, 피드백 루프 이득이 줄어든 만큼 오차가 커져 파형이 일그러진다. 부하가 저항이면 또 하나의 한계가 생긴다. M7은 정해진 80 µA까지만 끌어 내릴 수 있다(A급 출력단).

SIMULATOR

사인을 키우면 어디서 잘리나

출력 진폭(목표)

가상 접지 오차 ×100 보기

입력 v_in출력 v_outv− − 0.9 V (×100)

출력 최대 / 최소—

THD(엔진 FFT)—

포화 한계 V_DS,sat7 ~ V_DD−V_SD,sat6—

해볼 것: ① 진폭을 0.5 V에서 0.8 V로 올린다. 출력 봉우리가 점선(포화 한계) 밖으로 나가는 순간 가상 접지 오차(분홍)에 뾰족한 바늘이 서고 THD가 −90 dB에서 −60 dB로 나빠진다. ② 5 kΩ 부하를 달면 출력이 0.9 V − 80 µA × 5 kΩ = 0.5 V 아래로 내려가지 못하고 평평하게 잘린다. 위쪽은 M6이 얼마든지 밀어 주므로 멀쩡하다. ③ 진폭을 0.88 V로 끝까지 밀어 본다. (엔진: AB-1 OTA를 직접 넷리스트로, R₁ = R₂ = 100 kΩ 반전 증폭기, v+ = 0.9 V, 100 kHz 사인 10주기 과도 해석, 마지막 5주기 256점 FFT. 부하는 0.9 V에 연결.)

스윙을 넓히려면 $V_{DS,sat}$(곧 $V_{ov}$)를 줄여야 하고, 이는 같은 전류에서 폭을 키우는 일이라 기생 커패시턴스가 늘어 2단이 느려진다. 저항 부하나 큰 전류 부하를 몰아야 하면 M7을 고정 전류원이 아닌 신호에 따라 움직이는 소자로 바꾼 AB급 출력단(Class-AB Output)을 쓴다. AB-1의 OTA는 커패시터 부하만 몰기 때문에 A급으로 충분하다.

다른 구조들: 캐스코드와 완전 차동

2단 밀러 OTA가 유일한 답은 아니다. 출력 저항을 캐스코드로 키워 한 단으로 70 dB 가까이 얻는 구조가 둘 있다. 텔레스코픽 캐스코드(Telescopic Cascode)는 5T OTA의 모든 소자 위에 캐스코드 소자를 하나씩 얹는다. 폴디드 캐스코드(Folded Cascode)는 입력 쌍의 전류를 반대 극성 캐스코드로 "접어" 내려보내 입력과 출력의 직류 전압을 떼어 놓는다.

그림 9-2. 출력 마디 위아래로 쌓인 소자 수. 상자 높이는 그 소자가 포화를 지키는 데 필요한 전압을 대략 나타낸다. 쌓은 소자마다 $V_{ov}$(0.15~0.25 V)씩 출력이 움직일 자리를 잃는다. 대신 쌓을수록 출력 저항이 $g_mr_o$배씩 커져 한 단으로 큰 이득을 얻는다.

셋을 몇 가지 축에서 비교하면 성격이 분명해진다. 아래 레이더 그림의 점수는 같은 공정·같은 전류에서의 상대적인 '약' 값이다. 전원 전압을 바꾸면 쌓는 구조의 스윙 점수가 어떻게 무너지는지 함께 본다.

SIMULATOR

세 구조의 성격표

축 이름에 마우스를 올린다

전원 VDD 소자당 Vov

텔레스코픽폴디드 캐스코드2단 밀러

차동 출력 스윙(텔레/폴디드/2단)—

이득(약)—

고른 축—

해볼 것: ① "셋 다"에서 텔레스코픽(파랑)이 속도·잡음·전력에서 가장 넓고 스윙에서 가장 좁은 것을 본다. ② V_DD를 1.2 V로 내리면 텔레스코픽의 스윙이 0에 가까워지고 2단만 남는다. 저전압 공정에서 2단 구조가 흔한 이유다. ③ 축 이름에 마우스를 올려 각 점수의 근거를 읽는다. (가정: 점수는 교과서적 비교의 '약' 값 1~5. 스윙만 V_DD − k·V_ov(k = 5, 4, 2)로 계산하고 차동 출력이면 2배. 이득은 L 1 µm에서 텔레스코픽·폴디드 $(g_mr_o)^2/2$ 안팎, 2단 $(g_mr_o)^2/4$ 안팎.)

구조	이득(약)	출력 스윙(1.8 V)	속도·전력	보상	주로 쓰는 곳
텔레스코픽	~ 70~80 dB	~ 0.8 V(한쪽)	가지 하나라 가장 빠르고 아낀다	지배 극점이 출력에, 쉬움	고속 SC 회로, 스윙이 작아도 될 때
폴디드 캐스코드	~ 65~75 dB	~ 1.0 V	가지 둘이라 전류 약 2배, 잡음 조금 더	쉬움($C_L$이 보상)	ICMR이 넓어야 하는 입력 단, 범용
2단 밀러	~ 70~80 dB	~ 1.4 V	2단 전류와 $C_c$가 추가	$C_c$·$R_z$ 필요, $C_L$에 민감	저전압, 큰 스윙, 범용(AB-1)

캐스코드 구조의 장점 하나는 보상이 간단하다는 것이다. 높은 저항의 마디가 출력 하나뿐이므로 부하 $C_L$ 자체가 지배 극점을 만들고, $C_L$이 클수록 오히려 안정해진다. 2단 OTA는 반대로 $C_L$이 커지면 둘째 극점 $g_{m6}/C_L$이 내려와 불안정해진다. 이득이 더 필요하면 두 생각을 합쳐 1단을 폴디드 캐스코드로, 2단을 공통 소스로 만든 구조(90 dB 이상)도 흔하다.

완전 차동과 공통 모드 피드백

2단 OTA를 출력도 두 개인 완전 차동(Fully Differential)으로 만들면 출력 스윙이 두 배가 되고(두 출력이 반대로 움직이므로) 전원 잡음과 짝수 고조파가 빼기에서 지워진다. 스위치드 커패시터 회로와 ADC 앞단은 거의 언제나 완전 차동이다. 대신 새로운 문제가 생긴다. 차동 피드백은 두 출력의 차이만 잡아 줄 뿐, 두 출력의 평균(출력 공통 모드)은 누구도 정하지 않는다.

출력 마디의 직류 전압은 위 PMOS 전류원이 밀어 넣는 전류와 아래 NMOS가 빼는 전류의 균형으로 정해진다. 두 전류는 서로 다른 미러에서 오므로 1 %만 어긋나도, 남는 전류가 높은 출력 저항(수백 kΩ) 위에서 수 V의 오차가 되어 출력이 한쪽 레일에 붙는다. 그래서 출력 공통 모드를 감지해 기준값과 비교하고 전류원 하나를 조정하는 공통 모드 피드백(CMFB, Common-Mode Feedback) 회로를 둔다.

SIMULATOR

떠다니는 공통 모드를 붙잡는다

CMFB 켜기 전류 부정합 ΔI CMFB 루프 이득

v_o+v_o−공통 모드 (v_o++v_o−)/2기준 V_CM,ref 0.9 V

출력 공통 모드—

정상 상태 오차 ΔI/G_cm—

차동 출력 진폭—

해볼 것: ① CMFB를 끈 채로 둔다. ΔI = 1 µA의 남는 전류가 출력 커패시턴스를 충전해 공통 모드(분홍)가 위 레일로 올라가고, 두 출력이 함께 잘려 차동 신호가 사라진다. ② CMFB를 켜면 공통 모드가 기준 0.9 V로 당겨지고 차동 신호가 되살아난다. ③ 루프 이득을 1로 낮추면 정상 상태 오차가 커지고 되돌아오는 속도도 느리다. ΔI의 부호를 바꾸면 아래 레일로 간다. (행동 모델: 각 출력 마디 2 pF, 출력 저항 2 MΩ, 차동 신호 ±0.3 V 1 MHz, 공통 모드 마디 dV/dt = (ΔI − G_cm(V_cm − 0.9 V) − V_cm'/R_o)/C, G_cm = 루프 이득 × 20 µS, 출력은 0.15~1.65 V에서 잘린다. 시간은 실제의 50만분의 1로 느리게.)

CMFB 회로는 두 출력의 평균을 저항이나 스위치드 커패시터로 감지하고, 작은 차동 쌍으로 기준과 비교해 꼬리 전류나 부하 전류원의 바이어스를 조정한다. 이것도 피드백 루프이므로 자기 나름의 대역폭과 위상 여유가 있어야 하고, 감지 회로가 출력에 부하를 주지 않아야 한다. 2단 완전 차동 OTA에서는 두 단 모두에 공통 모드를 정해 줘야 해서 CMFB가 둘 필요할 때도 있다.

전력과 속도의 맞바꿈

GBW는 $g_{m1}/C_c$이고 $g_{m1}$은 전류로 산다. 같은 $g_m/I_D$에서 $g_m$은 전류에 비례하므로, PM을 지키려고 2단 전류도 같은 비로 늘리면 GBW와 전력이 함께 비례해서 커진다. 잡음은 $1/\sqrt{g_{m1}}$로 줄고, 이득은 $r_o \propto 1/I$ 때문에 오히려 준다. 공짜는 없다. 그래서 증폭기끼리 비교할 때는 속도를 전력으로 나눈 성능 지표를 쓴다.

$$\mathrm{FoM}_S = \frac{\mathrm{GBW}\cdot C_L}{I_{DD}}\quad[\mathrm{MHz\cdot pF/mA}]$$

AB-1: 23.5 MHz × 2 pF / 0.121 mA ≈ 390 MHz·pF/mA. 2단 밀러 OTA의 대표값은 수백 MHz·pF/mA '약' 수준이다. 바이어스 가지(M8의 20 µA)는 이득에 기여하지 않고 전력만 쓰므로, 실제 칩에서는 여러 증폭기가 바이어스 가지 하나를 나눠 쓴다.

SIMULATOR

전류를 두 배로 쓰면 무엇을 얻나

그래프를 좌우로 끌어 꼬리 전류를 고른다

AB-1 사양선 보기

꼬리 / 전체 전류—

GBW · PM—

전력 · A₀—

입력 잡음 @1 MHz—

FoM_S—

해볼 것: ① 커서를 20 µA(AB-1)에 두고 사양선(GBW 20 MHz, 전력 300 µW)과 비교한다. 둘 다 만족하는 꼬리 전류 창은 약 16~27 µA로 좁다. ② 80 µA로 가면 GBW는 2.5배쯤, 전력은 4배가 된다. 전류가 늘면 g_m/I_D가 내려가 g_m이 전류보다 느리게 늘기 때문이다. FoM이 낮은 전류 쪽에서 더 좋다. ③ C_c를 0.5 pF로 바꾸면 같은 전력에서 GBW가 크게 오르지만 PM이 떨어진다. (엔진: 꼬리 전류 4~80 µA 12점, I₂ = 4·I_tail, 크기는 AB-1 그대로. 점마다 AN.ota2Open + c.noise. 잡음은 1 MHz 입력 환산 열잡음 위주.)

그래프에서 보듯 GBW는 전류에 비례보다 느리게 늘고, 잡음은 전류의 제곱근으로만 준다. 높은 GBW가 필요할 때 전류만 늘리는 것은 비싼 방법이다. $C_c$를 줄이는 쪽이 싸지만 위상 여유가 그 대가다. 결국 전력·속도·안정도는 한 삼각형의 세 꼭짓점이고, 10장의 보상 기법은 같은 전력에서 이 삼각형을 넓히는 방법이다.

전력 예산은 위에서 내려온다AB-1의 OTA 전력 사양 300 µW는 칩 전체 전력에서 OTA 개수(PGA, 샘플러, ADC 기준 버퍼, LDO 오차 증폭기)로 나눠 받은 몫이다. OTA 하나가 넘치면 다른 블록이 줄여야 한다. 설계는 "가장 빠른 OTA"가 아니라 "사양을 만족하는 가장 싼 OTA"를 찾는 일이다.

AB-1에 적용: OTA 전체 설계

이 장의 방법으로 AB-1 OTA 전체를 정하고 엔진으로 검증한다. 1단은 6장의 5T OTA, 바이어스는 5장의 미러, 주파수 응답은 7장의 2극점 모델 그대로이고, 이 장에서 2단·보상·크기 조건·큰 신호 성능을 더했다.

TARGET AB-1타깃 파일 · 9장

2단 OTA: 71.8 dB, 23.5 MHz, 약 218 µW, SR 약 18 V/µs

엔진(AN.ota2Open())으로 잰 AB-1 OTA는 개루프 이득 71.8 dB(1단 약 102배 × 2단 약 38배), 단위 이득 주파수 23.5 MHz, 위상 여유 67.5°, 전원 전류 약 121 µA로 전력 약 218 µW다. 단위 이득 버퍼의 0.6 V 계단에서 슬루율은 약 18 V/µs(손 계산 $I_{tail}/C_c$ = 20 V/µs). 동작점에서 M1의 $g_m$ ≈ 169 µS($g_m/I_D$ ≈ 17), M6의 $g_m$ ≈ 761 µS($g_m/I_D$ ≈ 9.3)이고 모든 소자가 포화다. M6 폭 24 µm는 시스템적 오프셋 조건 $(W/L)_6/(W/L)_4 = 2(W/L)_7/(W/L)_5$에서 나왔고 남은 시스템적 오프셋은 약 0.06 mV다. 출력 스윙은 약 0.21~1.57 V. 그런데 $R_z$를 빼면(AN.ota2Open({rz: 0})) 위상 여유가 약 51°로 사양 60°를 밑돈다.

이 장에서 정한 것2단 밀러 구조, 꼬리 20 µA·2단 80 µA, M6 24/0.5 µm(오프셋 조건), C_c 1 pF. A₀ 71.8 dB, GBW 23.5 MHz, 218 µW, SR 약 18 V/µs로 이득·GBW·전력·슬루 사양을 만족.

아직 남은 문제R_z 없이는 PM 약 51°. 우반면 영점이 위상을 깎는다. 부하가 늘면 더 나빠질 것이다. 입력 잡음과 무작위 오프셋은 아직 따져 보지 않았다.

다음 단계우반면 영점과 위상 여유를 다루는 주파수 보상(10장).

핵심 정리

사양서의 숫자는 저마다 다른 시험 회로에서 잰다. 이득·GBW·PM은 개루프 AC, 슬루율·정착은 버퍼 계단, PSRR은 전원 주입, 잡음은 입력 환산.
L 1 µm 소자 한 단으로는 40 dB 안팎이라 70 dB에는 두 단이 필요하다. 2단 밀러 OTA는 1단이 이득과 낮은 잡음을, 2단이 이득과 넓은 출력 스윙을 맡는다.
$A_0 = g_{m1}(r_{o2}\parallel r_{o4})g_{m6}(r_{o6}\parallel r_{o7})$, GBW ≈ $g_{m1}/2\pi C_c$, $p_2$ ≈ $g_{m6}/2\pi C_L$. PM 60°의 손 규칙은 $C_c \ge 0.22C_L$, $g_{m6} \ge 2.2(C_L/C_c)g_{m1}$. 손 계산 GBW는 엔진보다 약 10~15 % 크다.
시스템적 오프셋을 없애는 조건은 $(W/L)_6/(W/L)_4 = 2(W/L)_7/(W/L)_5$. 조건을 어기면 정합된 소자로도 출력이 레일로 간다.
큰 계단에서는 1단이 $\pm I_{tail}$ 전류원이 되어 SR = $I_{tail}/C_c$로 미끄러진다(AB-1 약 18 V/µs). 출력 스윙은 $V_{DS,sat7}$ ~ $V_{DD}-V_{SD,sat6}$, 저항 부하에서는 A급 전류 한계가 먼저 온다.
캐스코드 구조는 빠르고 보상이 쉽지만 스윙이 좁다. 완전 차동은 스윙이 두 배지만 CMFB가 반드시 필요하다. GBW·전력·잡음은 함께 움직이므로 FoM으로 비교한다.

확인 퀴즈

1. 2단 밀러 OTA의 꼬리 전류가 30 µA, $C_c$가 1.5 pF이다. 2단은 충분히 강하다고 할 때 손 계산 슬루율은?

큰 계단에서 입력 쌍이 완전히 전환되면 1단은 꼬리 전류 전부로 $C_c$를 충전한다. SR = 30 µA / 1.5 pF = 20 V/µs. 한 가지 전류(15 µA)로 계산하면 10 V/µs가 되어 틀린다. 미러가 있어 출력 쪽에는 $I_{tail}$ 전체가 흐른다.

2. GBW 30 MHz, $C_c$ = 1 pF가 목표다. 입력 쌍의 $g_m/I_D$를 15로 잡으면 꼬리 전류는 약 얼마가 필요한가?

$g_{m1} = 2\pi\cdot30\,\mathrm{MHz}\cdot1\,\mathrm{pF}$ ≈ 188 µS, $I_{D1} = 188/15$ ≈ 12.6 µA, 꼬리 전류는 두 가지의 합이라 약 25 µA. 엔진에서는 둘째 극점 탓에 GBW가 10 % 남짓 모자라므로 실제로는 조금 더 잡는다.

3. AB-1 OTA에서 M7의 폭을 16 µm에서 20 µm로 키워 2단 전류를 늘렸다. M3·M4(6/1 µm), M5(4/1 µm)는 그대로다. 시스템적 오프셋이 없으려면 M6(L = 0.5 µm)의 폭은?

$(W/L)_6 = 2(W/L)_4(W/L)_7/(W/L)_5 = 2\times6\times(20/4) = 60$, L = 0.5 µm이므로 W = 30 µm. M6이 $V_{SG}$가 M4와 같은 상태에서 M7이 요구하는 5배의 전류(한 가지 전류의 10배)를 흘려야 한다.

4. 2단 밀러 OTA의 부하 $C_L$이 2 pF에서 6 pF로 늘었다. $C_c$와 전류는 그대로다. 가장 먼저 나빠지는 것은?

GBW는 $g_{m1}/C_c$라 $C_L$과 거의 무관하고, DC 이득도 그대로다. 둘째 극점 $g_{m6}/2\pi C_L$이 61 MHz에서 약 20 MHz로 내려와 단위 이득 주파수 근처까지 오므로 위상 여유가 크게 준다. 캐스코드 단일단 OTA와 반대 성질이다. 2단 쪽 슬루 한계 $I_2/(C_c+C_L)$는 나빠지지만 1단의 $I_{tail}/C_c$는 그대로다.

5. 완전 차동 OTA에 CMFB가 꼭 필요한 이유로 가장 알맞은 것은?

출력 공통 모드는 PMOS 전류원이 밀어 넣는 전류와 NMOS가 빼는 전류의 균형으로 정해진다. 1 % 부정합도 수백 kΩ의 출력 저항 위에서 수 V가 되어 출력이 레일에 붙는다. CMFB는 출력 평균을 감지해 기준과 비교하고 전류원 하나를 조정하는 별도의 피드백 루프다.

소자	AB-1 크기·값	맡은 일	잘못 정하면
M1·M2	NMOS 10/1 µm, 각 10 µA	입력 쌍. \(g_{m1}\)이 GBW와 입력 잡음을 정한다	작으면 GBW가 부족하고 잡음이 커진다
M3·M4	PMOS 6/1 µm	능동 부하 미러. 차동을 단일 출력으로	크면 미러 극점이 내려와 PM이 줄어든다
M5	NMOS 4/1 µm, 20 µA	꼬리 전류원. 슬루율 \(I_{tail}/C_c\)	포화를 벗어나면 ICMR·CMRR이 무너진다
M6	PMOS 24/0.5 µm, 80 µA	2단 공통 소스. \(g_{m6}\)이 둘째 극점을 정한다	폭이 조건에서 벗어나면 시스템적 오프셋
M7	NMOS 16/1 µm(M8의 4배)	2단 전류원 겸 출력 쪽 내려 끌기	작으면 음의 슬루와 부하 구동이 약하다
M8 + I_B	NMOS 4/1 µm, 20 µA	바이어스 기준(5장)	—
C_c, R_z	1 pF, 2 kΩ	밀러 보상. 첫 극점을 내리고 둘째 극점을 밀어낸다	작으면 발진 직전, 크면 느리다
C_L	2 pF	부하(다음 단의 샘플링 커패시터 등)	커질수록 PM이 준다