안정도와 주파수 보상
8장에서 피드백이 이득을 정확하게 만든다는 것을 봤고, 9장에서 이득 71.8 dB짜리 2단 OTA를 설계했다. 그런데 그 OTA의 출력을 입력에 그대로 묶으면, 신호가 루프를 한 바퀴 도는 동안 늦어지는 시간 때문에 빼야 할 신호가 더해질 수 있다. 그러면 증폭기는 발진기가 된다. 이 장은 루프가 얼마나 위험한지를 재는 눈금(위상 여유, 이득 여유, 나이퀴스트 선도)을 익히고, 밀러 커패시터 \(C_c\)와 영점 저항 \(R_z\)로 AB-1 OTA를 길들인다.
- 루프를 한 바퀴 돈 신호가 180° 늦으면 음의 피드백이 양의 피드백이 되는 이유와 바크하우젠 조건을 설명한다.
- 위상 여유(PM)에서 감쇠비 ζ와 계단 응답 오버슈트를 어림하고, PM 60°가 흔한 목표인 이유를 말한다.
- 나이퀴스트 선도에서 −1 점과의 거리로 위상 여유·이득 여유를 읽는다.
- 밀러 보상의 극점 분리 \(f_{p1} \approx 1/(2\pi g_{m6}R_1R_2C_c)\), \(f_{p2} \approx g_{m6}/(2\pi C_L)\)를 계산하고 엔진과 비교한다.
- 우반면 영점 \(g_{m6}/C_c\)가 위상을 깎는 이유와, 영점 저항 \(R_z\)가 영점을 무한대 너머 좌반면으로 옮기는 원리를 안다.
- AB-1 OTA의 \(C_c\), \(R_z\), \(C_L\)을 바꿔 PM과 단위 이득 버퍼 계단 응답을 직접 맞춘다.
- 루프를 끊지 않고 루프 이득을 재는 미들브룩 주입법을 이해한다.
피드백 증폭기는 왜 발진하나
음의 피드백 증폭기는 출력의 일부를 입력에서 뺀다. 출력이 너무 크면 빼는 양이 커져 출력을 끌어내리고, 그래서 이득이 정확하고 안정해진다. 이 논리는 되돌아온 신호가 입력과 같은 시각에 도착한다는 가정 위에 서 있다. 실제 증폭기 안의 극점들은 신호를 늦춘다. 사인파로 보면 늦음은 위상 지연이다.
루프 이득을 \(L(j\omega) = A(j\omega)\beta\)라 하자. 어떤 주파수에서 \(L\)의 위상 지연이 정확히 180°이면, 빼기(−)와 180° 지연(−1배)이 겹쳐 되돌아온 신호가 입력에 더해진다. 그 주파수에서 \(|L| \ge 1\)이면 한 바퀴 돌 때마다 신호가 줄지 않고, 입력이 없어도 스스로 유지된다. 이것이 발진이고, 조건 \(L = -1\)(크기 1, 위상 −180°)을 바크하우젠 조건(Barkhausen criterion)이라 한다.
아래 시뮬레이터는 한 주파수의 사인 신호가 루프를 한 바퀴씩 도는 모습을 페이저(회전 벡터)로 보여 준다. 매 바퀴 되돌아온 페이저를 앞의 것 끝에 이어 붙이면, 그 합이 합산점 뒤의 오차 신호가 된다. 지연 φ를 180°로 끌어 보라.
되돌아온 신호가 180° 늦으면 빼기가 더하기가 된다
본 것을 식으로 정리하면 폐루프 이득은 \(A/(1+A\beta)\)이고, 분모 \(1 + L\)이 0에 가까워질수록 폐루프 이득이 커진다. 안정도는 결국 "\(L(j\omega)\)가 −1에서 얼마나 멀리 떨어져 지나가는가"의 문제다. 그 거리를 위상으로 잰 것이 위상 여유, 크기로 잰 것이 이득 여유다.
위상 여유와 계단 응답
루프 이득의 크기가 1(0 dB)이 되는 주파수 \(f_u\)에서 위상 지연이 180°에 얼마나 못 미치는지를 위상 여유(Phase margin, PM)라 한다. 위상 지연이 180°가 되는 주파수 \(f_{180}\)에서 \(|L|\)이 0 dB보다 몇 dB 아래인지를 이득 여유(Gain margin, GM)라 한다.
AN.ota2Open()).PM은 숫자 하나지만 시간 영역에서 뜻이 분명하다. 극점 둘짜리 루프를 단위 귀환으로 닫으면 폐루프는 2차 시스템이 되고, PM이 작을수록 폐루프 극점이 허수축에 다가가 계단 응답이 울린다. 아래에서 두 번째 극점 \(p_2\)를 끌어 PM을 바꿔 보라.
위상 여유를 끌어내리면 계단 응답이 울린다
극점 둘짜리 루프에서 PM, 폐루프 감쇠비, 오버슈트는 일대일로 묶인다. 아래 표는 엔진의 AN.pmToZeta와 AN.overshoot로 만든 것이다. 아날로그 설계에서 PM 60°를 흔한 목표로 잡는 이유가 보인다. 오버슈트 10% 아래, 울림 한두 번이면서 너무 느리지 않은 지점이다.
| 위상 여유 | 감쇠비 ζ | 계단 오버슈트 | 느낌 |
|---|---|---|---|
| 30° | 0.27 | 42% | 오래 울린다 |
| 40° | 0.37 | 29% | AB-1의 Cc 0.6 pF·Rz 0 |
| 45° | 0.42 | 23% | 최소 허용선으로 자주 인용 |
| 50° | 0.48 | 18% | Rz 없는 AB-1(51°) |
| 60° | 0.61 | 8.8% | 흔한 설계 목표 |
| 65° | 0.70 | 4.7% | 빠른 정착(약 0.7) |
| 70° | 0.80 | 1.4% | AB-1 최종(67.5°) 근처 |
| 76° | 0.99 | 0% | 임계 감쇠, 다소 느림 |
어림으로는 \(\zeta \approx \text{PM}/100\)(PM 70° 아래)이 쓸 만하다. 실제 OTA는 극점이 둘보다 많고 영점도 있어 표와 몇 % 어긋난다. 그래서 마지막에는 늘 과도 해석으로 확인한다.
나이퀴스트 선도와 −1 점
보드 선도는 크기와 위상을 두 장에 나눠 그린다. 나이퀴스트 선도(Nyquist plot)는 주파수를 0에서 ∞까지 올리며 \(L(j\omega)\)의 실수부와 허수부를 한 평면 위에 찍는다. 이 그림에서 안정도 판정은 한 문장이다. 궤적이 −1 점을 감싸지 않으면 폐루프는 안정하다(개루프가 안정할 때).
PM과 GM도 이 평면에서 바로 보인다. 단위원(\(|L| = 1\))과 궤적이 만나는 점이 −1에서 원호를 따라 몇 도 떨어져 있는지가 PM이고, 궤적이 음의 실수축을 지나는 점 \(-1/\text{GM}\)이 −1에서 얼마나 안쪽인지가 GM이다. 아래에서 루프 이득 K를 올려 궤적을 −1 쪽으로 부풀려 보라.
궤적이 −1을 감싸면 발산한다
궤적과 −1 사이 최소 거리의 역수 \(1/\min|1+L|\)는 감도 함수 \(S=1/(1+L)\)의 최대 크기 \(M_s\)다. 단위 귀환의 출력 전달함수는 \(T=L/(1+L)\)이므로 출력 이득 피킹은 분자까지 포함해 따로 계산한다. 그래서 나이퀴스트 선도는 PM·GM 두 숫자가 놓치는 "그 사이 주파수"의 위험까지 보여 준다. 실무에서는 보드 선도로 설계하고, 극점·영점이 얽혀 판단이 애매할 때 나이퀴스트로 확인한다.
밀러 보상: 극점 분리
7장에서 본 대로 보상 없는 AB-1 OTA는 두 고임피던스 마디(1단 출력 y, 2단 출력 out)의 극점이 수 MHz 근처에 붙어 있어 PM이 음수다. 해결책은 두 극점을 떼어 놓는 것이다. 하나는 아주 낮게 내려 지배 극점(Dominant pole)으로 만들고, 다른 하나는 단위 이득 주파수보다 높이 올린다. 2단 사이에 거는 밀러 커패시터 \(C_c\)가 이 두 일을 동시에 한다.
그림의 회로를 풀면 분모는 2차식이고, 두 극점이 멀리 떨어져 있다고 가정하면 각각을 따로 쓸 수 있다. \(C_c\)는 1단 출력에서 밀러 효과로 \(C_c(1 + g_{m6}R_2)\) ≈ 39 \(C_c\)처럼 보여 \(p_1\)을 끌어내린다. 높은 주파수에서는 \(C_c\)가 M6의 게이트와 드레인을 묶어 M6을 다이오드처럼 만들므로 출력 저항이 \(1/g_{m6}\)로 떨어지고 \(p_2\)가 올라간다.
아래 시뮬레이터는 가로축이 s 평면의 실수축(로그 눈금, 왼쪽이 좌반면), 세로축이 \(C_c\)다. 각 \(C_c\)에서 극점 두 개와 (\(R_z\) = 0일 때의) 영점이 어디 있는지 한 줄씩 찍었으므로, 위아래로 끌면 극점이 갈라지는 자취(근궤적)를 따라 움직인다.
Cc를 키우면 두 극점이 갈라진다
결론은 두 개의 비율이다. \(f_{p2}\)는 \(g_{m6}/C_L\)에서 막히고, \(f_u\)는 \(g_{m1}/C_c\)로 내려간다. PM 60° 근처를 얻으려면 대략 \(f_{p2} \ge 2.2 f_u\), 즉 \(C_c \ge 2.2\,(g_{m1}/g_{m6})\,C_L\)가 필요하다. AB-1에서는 \(C_c \ge\) 약 1 pF다. 2단의 \(g_{m6}\)를 크게(전류를 많이) 잡는 이유가 여기 있다.
우반면 영점과 영점 저항 Rz
극점 분리만으로는 끝나지 않는다. 그림 10-1의 빨간 경로를 보자. 신호는 M6을 지나 출력으로 가는 길(이득 \(-g_{m6}\), 반전)과 \(C_c\)를 지나 곧장 가는 길(비반전) 두 갈래로 간다. 분자의 두 경로는 \(-g_{m6}+sC_c\)로 합쳐지며 복소 주파수 \(s=+g_{m6}/C_c\)에서 상쇄된다. 실제 사인파 응답 \(s=j\omega\)에서는 두 성분이 직교하므로 \(\omega=g_{m6}/C_c\)에서도 출력이 0이 되는 노치는 생기지 않는다. 이 양의 실수축 영점이 우반면 영점(Right-half-plane zero)이다.
직렬 저항 \(R_z\)는 \(C_c\)를 지나는 앞먹임 전류를 \(v_y/(R_z + 1/sC_c)\)로 바꾼다. 영점 조건 \(g_{m6} = 1/(R_z + 1/sC_c)\)를 풀면 위 식이 나온다. 아래에서 \(R_z\)를 위로 끌어 올리면서 빨간 영점이 오른쪽 끝(+∞)으로 사라졌다가 왼쪽 끝(−∞)에서 다시 들어오는 모습을 보라.
Rz로 영점을 무한대 너머 좌반면으로 옮긴다
\(R_z\)를 쓰는 대신 영점의 원인인 앞먹임 경로 자체를 끊는 방법도 있다. \(C_c\)와 출력 사이에 단위 이득 버퍼(소스 팔로워)를 넣거나, 1단 캐스코드의 저임피던스 마디로 \(C_c\) 전류를 되돌리는 방법이다. 뒤의 "다른 보상" 상자에서 다시 짚는다.
부하 커패시터가 PM을 무너뜨린다
보상은 부하 \(C_L\)을 가정하고 맞춘다. \(f_{p2} \approx g_{m6}/(2\pi C_L)\)이므로 \(C_L\)이 커지면 \(p_2\)가 내려오고, \(f_u \approx g_{m1}/(2\pi C_c)\)는 거의 그대로여서 둘의 비 \(f_{p2}/f_u\)가 줄어든다. 스위치드 커패시터 회로나 ADC 구동처럼 OTA가 큰 커패시터를 몰아야 하는 자리에서는 이것이 가장 흔한 사고다. 아래 곡선의 점을 끌어 \(C_L\)을 바꿔 보라.
CL을 2 pF에서 20 pF로 늘리면
곡선이 보여 주듯 \(C_L\)이 열 배가 되면 PM은 40° 가까이 떨어진다. 그래서 OTA 사양서에는 "PM ≥ 60° @ \(C_L\) = 2 pF"처럼 부하 조건이 항상 붙는다. 이 조건 밖에서 쓰면 사양은 아무 의미가 없다.
AB-1 보상 실험실
이제 세 손잡이를 한꺼번에 쥔다. \(C_c\)는 지배 극점과 GBW를, \(R_z\)는 영점 위치를, \(C_L\)은 \(p_2\)를 정한다. 위쪽 회로도는 2단과 보상망이고, 오른쪽 스코프는 OTA를 단위 이득 버퍼로 묶고 0.85 V → 0.95 V 계단을 넣은 엔진 과도 해석이다. 목표는 AB-1 사양 PM ≥ 60°, GBW ≥ 20 MHz(\(C_L\) = 2 pF)다.
AB-1 OTA 보상 실험실: Cc · Rz · CL
실험실에서 얻는 감각은 이렇다. \(R_z\)는 전력도 면적도 거의 들지 않으면서 PM을 15° 이상 사 오는 가장 싼 손잡이다. \(C_c\)를 줄이면 빠르지만 울리고, 키우면 안정하지만 GBW와 슬루율(꼬리 전류/\(C_c\))을 잃는다. \(C_L\)은 설계자가 고를 수 없는 경우가 많으므로, 최악의 부하에서 PM을 확인해야 한다.
루프 이득을 재는 법, 그리고 다른 보상
지금까지는 개루프 OTA의 이득을 보고 루프 이득이라 불렀다. 그런데 이득 4,000배짜리 증폭기의 루프를 끊으면 입력 오프셋 1 mV가 출력에서 4 V가 되어 출력이 전원 레일에 붙는다. 엔진의 AN.ota2Open은 이분법으로 입력 오프셋을 맞춰 이 문제를 피했지만, 실제 회로나 큰 시스템 시뮬레이션에서는 그럴 수 없다. 미들브룩 주입법(Middlebrook's method)은 루프를 끊지 않는다. 루프 안의 한 지점에 작은 AC 전압원 \(v_t\)를 직렬로 넣고, 그 양쪽 전압의 비로 루프 이득을 읽는다.
아래 시뮬레이터에서 입력 오프셋(소자 부정합의 흉내)을 넣고 세 가지 방법을 비교해 보라. 루프를 그냥 끊으면 오프셋 1 mV만으로 출력이 레일로 가서 M6이나 M7이 선형 영역에 빠지고, 엉뚱한 이득과 PM이 나온다. 미들브룩 주입은 오프셋과 무관하게 같은 곡선을 준다.
루프를 끊지 않고 루프 이득 재기
엔진으로 재면 미들브룩 주입의 PM은 67.5°로 오프셋을 맞춘 개루프 값과 0.1° 안에서 일치한다. SPICE의 루프 이득 해석(stb 같은 기능)도 같은 생각으로, 전압 주입과 전류 주입을 함께 써서 양방향 부하 효과까지 지운다.
Rz = 2 kΩ로 우반면 영점을 옮겨 PM 67.5°, 버퍼 오버슈트 약 2%
9장 설계(\(C_c\) = 1 pF, \(R_z\) = 0)는 PM 약 51°로 사양 60°에 못 미쳤다. 원인은 우반면 영점 \(g_{m6}/2\pi C_c\) ≈ 121 MHz가 \(f_u\)에서 약 11°를 빼앗는 것이다. 엔진(AN.ota2Open)으로 \(R_z\)를 훑으면 1 kΩ에서 PM 59.4°, 1/gm6 ≈ 1.31 kΩ에서 영점이 무한대로 가고, 2 kΩ에서 영점이 좌반면 약 232 MHz로 넘어와 PM 67.5°, GM 52 dB, GBW 23.5 MHz가 된다. 단위 이득 버퍼에 0.1 V 계단을 넣은 과도 해석에서 오버슈트는 약 2.4%, 1% 정착은 약 30 ns다(Rz = 0이면 13%). 반대로 \(R_z\) = 0에서 \(C_c\)를 0.6 pF로 줄이면 GBW는 35 MHz로 빨라지지만 PM 약 40°, 오버슈트 약 25%로 울린다. 부하가 \(C_L\) = 5 pF로 늘면 기본 보상에서도 PM 약 50°(오버슈트 약 14%), 20 pF면 약 28°로 무너진다.
핵심 정리
- 루프 이득 L의 위상 지연이 180°가 되면 음의 피드백이 양의 피드백이 된다. 그 주파수에서 |L| ≥ 1이면 발진한다(바크하우젠 조건 L = −1).
- 위상 여유는 fu에서 180°까지 남은 위상, 이득 여유는 f180에서 0 dB까지 남은 이득이다. 극점 둘짜리 루프에서 PM 45° ≈ 오버슈트 23%, 60° ≈ 9%, 76° ≈ 0%.
- 개루프가 안정하고 허수축 극점이 없을 때, 완전 나이퀴스트 궤적이 −1을 감싸지 않고 지나지도 않으면 폐루프가 안정하다. 일반적으로는 개루프 우반면 극점 수 P와 −1의 반시계 방향 감쌈 수 N으로 폐루프 우반면 극점 수 Z = P − N을 판정한다. −1까지의 최소 거리의 역수는 감도 함수의 최대 크기 Mₛ다.
- 밀러 커패시터 Cc는 p1 ≈ 1/(2πgm6R1R2Cc)를 내리고 p2 ≈ gm6/(2πCL)로 올린다(극점 분리). fu ≈ gm1/(2πCc).
- Cc의 앞먹임 경로는 우반면 영점 gm6/(2πCc)를 만든다. Rz = 1/gm6면 영점이 ∞로, 더 크면 좌반면으로 간다. AB-1: Rz 0 → 51°, 1 kΩ → 60°, 2 kΩ → 68°.
- CL이 커지면 p2가 내려와 PM이 무너진다(AB-1: 2 pF 68° → 5 pF 50° → 20 pF 28°). PM 사양에는 늘 부하 조건이 붙는다.
- 미들브룩 주입은 루프를 직류로 닫아 둔 채 AC 루프 이득을 잰다. 고이득 루프를 끊으면 오프셋 때문에 동작점이 무너진다.
확인 퀴즈
1. 극점 둘짜리 루프를 단위 귀환으로 닫았더니 위상 여유가 45°였다. 계단 응답의 오버슈트에 가장 가까운 것은?
2. AB-1 OTA의 2단 gm6 ≈ 761 µS다. 밀러 보상의 우반면 영점을 무한대로 보내려면 Cc와 직렬로 넣는 Rz는 약 얼마여야 하나?
3. 2단 밀러 OTA에서 Cc를 두 배로 키웠다(Rz = 0). 맞는 설명은?
4. 나이퀴스트 선도에서 궤적이 음의 실수축을 −0.25에서 지난다(개루프는 안정). 이 루프에 대한 설명으로 맞는 것은?
5. AB-1 OTA(Cc 1 pF, Rz 2 kΩ)의 부하가 2 pF에서 5 pF로 늘어 PM이 약 68°에서 50°로 떨어졌다. 가장 직접적인 원인은?