Chapter 11

잡음

입력을 0으로 묶어도 증폭기 출력은 가만있지 않다. 저항 속 전자의 열운동, 채널을 지나는 전하의 요동, 산화막 계면의 포획과 방출이 끊임없이 작은 전압을 만든다. 이 잡음(Noise)은 회로가 구별할 수 있는 가장 작은 신호를 정한다. 오프셋은 보정할 수 있지만 잡음은 무작위라 빼낼 수 없다. 줄이는 방법은 전류(전력), 면적, 대역폭을 내주는 것뿐이다.

잡음을 rms($\sigma$)와 파워 스펙트럼 밀도(PSD)로 기술하고, 피크-피크 약 6.6σ의 뜻을 안다.
저항 열잡음 $4kTR$(1 kΩ에서 약 4 nV/√Hz)과 대역폭에 따른 rms를 계산한다.
kT/C 잡음이 R과 무관한 이유를 PSD의 넓이로 설명하고, 1 pF의 64 µV를 12비트 LSB와 비교한다.
MOSFET 열잡음 $4kT\gamma g_m$과 1/f 잡음 $K_f/(C_{ox}WLf)$, 코너 주파수를 엔진으로 확인한다.
AB-1 OTA의 입력 환산 잡음을 소자별로 나눠 보고, $g_{m1}$과 미러 기여 $(g_{m3}/g_{m1})$를 설계 손잡이로 쓴다.
잡음 대역폭, 초핑, 잡음과 전력의 교환 비율(잡음 절반 = 전류 4배)을 써서 AB-1 신호 사슬의 SNR 예산을 세운다.

잡음은 무작위 신호다

잡음 전압은 매 순간 값을 예측할 수 없다. 그러나 오래 지켜보면 통계는 일정하다. 회로 잡음은 수많은 독립적인 작은 사건(전자 하나하나의 충돌과 이동)이 더해진 결과라서, 중심 극한 정리에 따라 값의 분포가 가우시안(Gaussian, 정규 분포)이 된다. 평균은 0이고, 크기는 표준 편차 $\sigma$ 하나로 말한다. 평균이 0이므로 $\sigma$가 곧 rms 값이다.

아래 오실로스코프에 잡음이 흐르고, 오른쪽에는 지나간 표본이 히스토그램으로 쌓인다. 맨 오른쪽은 같은 신호를 FFT로 본 파워 스펙트럼 밀도(Power spectral density, PSD)다. 대역을 바꿔 보면 파형과 PSD는 달라지는데 히스토그램은 그대로인 것을 본다.

SIMULATOR

잡음 파형, 히스토그램, PSD

rms σ

측정 rms—

화면 피크-피크—

±3.3σ 밖 표본—

PSD 넓이의 √—

표본 수—

해볼 것: ① 표본이 수천 개 쌓이면 히스토그램이 점선 가우시안에 붙고 측정 rms가 σ에 수렴한다. ② ±3.3σ 밖 표본 비율이 약 0.1%로 간다. 그래서 피크-피크를 약 6.6σ로 잡는다. ③ "저역 50 kHz"로 바꾸면 파형이 느리게 출렁이고 PSD가 낮은 주파수로 몰리지만, 히스토그램과 rms(PSD 넓이의 √)는 같다. (표본화 1 MS/s 가정, 백색 가우시안 난수, 저역은 1차 IIR로 σ를 유지, PSD는 256점 Hann 창 평균)

rms와 히스토그램은 "얼마나 큰가"만 말하고 "얼마나 빠른가"는 말하지 않는다. 그것은 PSD가 말한다. PSD $S_v(f)$는 1 Hz 폭마다 들어 있는 잡음 전력(V²/Hz)이고, 그 제곱근을 nV/√Hz로 적는다. 전체 rms는 PSD를 대역 전체에 걸쳐 적분한 값의 제곱근이다.

$$v_{n,\mathrm{rms}}^2 = \sigma^2 = \int_{f_1}^{f_2} S_v(f)\,df,\qquad v_{pp} \approx 6.6\,\sigma$$

$S_v$ 단측 PSD(V²/Hz). 백색이면 $v_{n,\mathrm{rms}} = \sqrt{S_v}\cdot\sqrt{B}$. 예: 10 nV/√Hz × √(10 kHz) = 1 µV rms. 가우시안 값이 ±3.3σ를 넘을 확률이 약 0.1%라서 피크-피크를 6.6σ로 잡는다(오래 보면 더 큰 값도 가끔 나온다)

잡음을 rms로 적는 이유는 신호 대 잡음비(SNR)가 전력의 비이기 때문이다. 사인파 진폭 $A$의 rms는 $A/\sqrt2$이고, $\mathrm{SNR} = 20\log_{10}(v_{s,\mathrm{rms}}/v_{n,\mathrm{rms}})$이다. 이 장의 모든 숫자는 결국 이 비 하나로 모인다.

잡음은 오프셋, 간섭과 다르다. 오프셋은 일정한 직류 오차라 한 번 재서 빼면 된다(12장). 전원·클록에서 새어 드는 간섭은 결정적이라 차폐나 차동 구조로 줄인다. 이 장의 잡음은 소자 자체의 물리에서 나오는 무작위 신호다. 평균을 내거나 대역을 좁히는 것 말고는 빼낼 방법이 없다.

저항의 열잡음 4kTR

저항 속 전자는 온도에 따라 마구 움직인다. 순간마다 한쪽으로 몰리는 전자가 조금씩 달라서 양 끝에 무작위 전압이 생긴다. 1928년 Johnson이 재고 Nyquist가 설명한 이 열잡음(Thermal noise, Johnson–Nyquist noise)은 주파수에 무관한 백색이고, 크기는 온도와 저항만으로 정해진다.

$$\overline{v_n^2} = 4kTR\,\Delta f,\qquad \overline{i_n^2} = \frac{4kT}{R}\,\Delta f$$

$k$ = 1.38×10⁻²³ J/K, $T$ = 300 K → $4kT$ ≈ 1.66×10⁻²⁰ J. 1 kΩ → 4.07 nV/√Hz, 5 kΩ(AB-1 센서 브리지) → 9.1 nV/√Hz, 10 kΩ → 12.9 nV/√Hz. $\sqrt{R}$에 비례하므로 "1 kΩ ≈ 4 nV/√Hz"만 외우면 된다

잡음원 모형. 잡음 있는 저항은 잡음 없는 저항에 직렬 전압원(4kTR) 또는 병렬 전류원(4kT/R)을 붙여 그린다. MOSFET의 채널 잡음은 드레인–소스 전류원이고, $g_m^2$으로 나누면 게이트에 직렬로 단 전압원 하나가 된다. 화살표나 극성은 표식일 뿐 무작위 신호에는 방향이 없다.

아래에서 저항과 온도, 측정 대역폭을 바꿔 본다. 밀도는 $\sqrt{R}$과 $\sqrt{T}$에, rms는 거기에 $\sqrt{B}$를 곱한 값에 비례한다. 엔진(c.noise)이 같은 저항을 풀어 손 계산과 맞는지도 확인한다.

SIMULATOR

저항 열잡음: 높이는 R·T, 넓이는 B

호버하면 값

저항 R 온도 T 대역폭 B

√(4kTR) 손 계산—

엔진 c.noise—

√(4kT/R)—

rms = √(4kTRB)—

피크-피크 ≈ 6.6σ—

해볼 것: ① 1 kΩ, 300 K에서 4.07 nV/√Hz를 확인하고 R을 100배(100 kΩ)로 올려 밀도가 10배인 것을 본다. ② 대역폭을 10 kHz에서 10 MHz로 넓히면 rms가 √1000 ≈ 32배가 된다. ③ T를 4 K(액체 헬륨)로 내리면 약 1/9이 된다. 극저온 수신기가 쓰는 방법이다. (이상적 저항, 단측 PSD, 엔진은 저항 하나짜리 회로에서 c.noise를 푼다)

대역폭이 rms를 정한다는 점이 중요하다. 같은 1 kΩ이 10 kHz 대역에서는 0.4 µV rms지만 1 GHz에서는 129 µV다. 그래서 잡음을 말할 때는 언제나 밀도와 대역을 함께 적는다. 센서 인터페이스처럼 신호 대역이 좁은 회로는 필요 없는 대역을 잘라 내는 것만으로 잡음을 크게 줄인다.

잡음은 제곱으로 더한다

독립된 잡음원 둘은 서로 아무 관계가 없다. 한쪽이 위로 갈 때 다른 쪽은 아무 방향으로나 간다. 그래서 진폭이 아니라 전력(제곱)이 더해진다. 그림으로는 서로 직각인 두 화살표의 빗변이다. 아래에서 세 잡음원의 크기를 바꿔 본다.

SIMULATOR

잡음 더하기: 직각으로 잇는다

잡음원 A 잡음원 B 잡음원 C 완전 상관(같은 원천)

제곱합 √(A²+B²+C²)—

선형 합 A+B+C—

가장 큰 항의 전력 비중—

C를 없애면—

해볼 것: ① 기본값(브리지 9.1, OTA 14, 저항 4 nV/√Hz)의 제곱합은 17.2로 선형 합 27.1보다 훨씬 작다. ② C를 0으로 내려도 전체는 약 3%밖에 줄지 않는다. 가장 큰 잡음의 1/3인 잡음원은 전체를 약 5%만 키운다. ③ "완전 상관"을 켜면 화살표가 일직선으로 서서 선형 합이 된다. 같은 원천의 잡음(예: 같은 전원 잡음이 두 경로로 들어온 것)만 이렇게 더한다. (단위 nV/√Hz, 독립 잡음원은 상관 계수 0)

제곱합의 결론은 설계에서 아주 실용적이다. 잡음 예산에서는 가장 큰 항 하나만 공략하면 된다. 작은 항을 반으로 줄이는 노력은 전체에 거의 보이지 않는다. 반대로 여러 항이 비슷한 크기라면 하나를 줄여도 효과가 작으니 구조를 바꿔야 한다.

kT/C: 저항이 사라지는 잡음

저항 R과 커패시터 C로 된 저역 통과 회로를 보자. 저항은 $4kTR$의 백색 잡음을 내고, RC 필터는 $f_c = 1/(2\pi RC)$ 위를 깎는다. 커패시터 양단에 남는 잡음은 얼마일까. R을 키우면 PSD 높이는 R에 비례해 높아지지만 대역은 1/R로 좁아진다. 둘이 정확히 상쇄되어 넓이가 R과 무관해진다.

$$v_{n,\mathrm{rms}}^2 = \int_0^\infty \frac{4kTR}{1+(2\pi fRC)^2}\,df = 4kTR\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2\pi RC} = \frac{kT}{C}$$

$\tfrac{\pi}{2}f_c$가 1차 RC의 잡음 대역폭(다음 소절). $C$ = 1 pF → $\sqrt{kT/C}$ ≈ 64 µV rms, 0.1 pF → 204 µV, 10 pF → 20 µV. 온도와 C만 남는다

아래에서 R을 바꾸거나 자동 스윕을 켜 본다. 위 그래프는 선형 축 PSD라 칠해진 넓이가 곧 잡음 전력이다. 아래 그래프는 0부터 f까지 누적한 rms이고, 엔진이 R마다 회로를 다시 풀어 끝값이 늘 같은 높이에 닿는 것을 보여 준다.

SIMULATOR

높이 × 대역 = kT/C

저항 R 커패시터 C R 자동 스윕

PSD 높이 √(4kTR)—

fc = 1/2πRC—

√(kT/C) 손 계산—

엔진 nz.total—

12비트 LSB(293 µV) 대비—

해볼 것: ① 자동 스윕을 보며 높이가 오르면 폭이 좁아지고, 아래 누적 rms의 끝값은 꼼짝하지 않는 것을 본다. ② 스윕을 끄고 C를 1 pF로 두면 64 µV, LSB의 약 0.22배다. ③ C를 0.1 pF로 줄이면 204 µV로 LSB에 육박한다. 작은 커패시터로는 정밀한 샘플링을 할 수 없다. (이상적 R, C, 300 K, 엔진 AN.circuit 잡음 해석, fc의 10⁻⁴~10⁴배 구간 적분, 위 그래프 가로축은 R = 1 kΩ의 fc 4배까지만 보인다)

kT/C는 스위치드 커패시터 회로의 바닥이다. 스위치가 닫혀 있을 때 그 저항 Ron이 커패시터에 잡음을 채우고, 스위치가 열리는 순간 그 값이 커패시터에 얼어붙는다(15장). Ron을 아무리 줄여도 소용없다. 줄이는 방법은 C를 키우는 것뿐이고, C를 키우면 구동하는 OTA의 전류가 는다. 12비트 1.2 V ADC의 양자화 잡음 $\mathrm{LSB}/\sqrt{12}$ ≈ 85 µV와 같아지는 C가 약 0.6 pF다.

잡음 대역폭

앞 식에서 $\tfrac{\pi}{2}f_c$가 나왔다. 실제 필터는 $f_{-3\mathrm{dB}}$에서 칼같이 자르지 않고 그 위로 꼬리를 남긴다. 그 꼬리까지 포함한 넓이와 같은 넓이의 직사각형 필터 폭을 잡음 대역폭(Equivalent noise bandwidth, ENBW)이라 한다. 1차 필터는 꼬리가 길어 −3 dB 대역의 1.57배이고, 차수가 오를수록 1에 가까워진다.

SIMULATOR

잡음 대역폭은 −3 dB 대역보다 넓다

세로선을 끌어 적분 상한을 옮긴다

f−3dB

ENBW / f−3dB—

ENBW—

상한까지 넓이 비율—

14 nV/√Hz의 rms—

해볼 것: ① 1차 RC에서 ENBW/f−3dB = π/2 ≈ 1.571을 확인한다. ② 세로선을 f−3dB에 두면 넓이의 50%밖에 들어오지 않는다. 1차 필터의 꼬리가 길다. ③ 2차 버터워스로 바꾸면 1.111로 줄어든다. (|H|²를 AN.pz로 계산해 f−3dB의 1000배까지 수치 적분, 가로축은 f/f−3dB, 백색 잡음 입력 가정)

백색 잡음이 필터를 지나면 rms는 $\sqrt{S_v\cdot\mathrm{ENBW}}$다. AB-1의 10 kHz 신호 대역을 1차 필터로 자르면 잡음은 15.7 kHz만큼 들어온다. 1/f 잡음처럼 백색이 아닌 잡음에는 이 규칙을 그대로 쓰지 못하고 PSD 모양대로 적분해야 한다.

MOSFET의 잡음: 열잡음과 1/f

포화된 MOSFET의 채널도 저항처럼 열잡음을 낸다. 다만 채널은 위치마다 전하가 달라 계수가 붙는다. 드레인 전류 잡음은 $4kT\gamma g_m$이고, 긴 채널 강반전에서 $\gamma$ = 2/3이다(약반전은 약 1/2, 짧은 채널은 1보다 크기도 하다). 게이트로 환산하면 $g_m^2$으로 나눠 $4kT\gamma/g_m$이 된다. $g_m$이 클수록 조용하다.

낮은 주파수에서는 다른 잡음이 올라온다. 게이트 산화막과 실리콘 계면의 결함이 채널 전자를 붙잡았다 놓으면서 전류가 깜빡인다. 결함마다 시간 상수가 달라 이들을 더하면 PSD가 $1/f$ 꼴이 된다. 이것이 1/f 잡음(Flicker noise)이다. 게이트 면적이 클수록 많은 결함이 평균되어 작아진다.

$$\overline{v_{n,g}^2} = \frac{4kT\gamma}{g_m} + \frac{K_f}{C_{ox}WL}\cdot\frac{1}{f},\qquad f_{c} = \frac{K_f\,g_m}{4kT\gamma\,C_{ox}WL}$$

AB180 $K_f$: NMOS 1×10⁻²⁵ V²·F, PMOS 3×10⁻²⁶ V²·F(PMOS가 약 3배 조용하다). $C_{ox}$ = 8.5 fF/µm². NMOS 10/1 µm, $g_m$ ≈ 581 µS → 열잡음 4.4 nV/√Hz, 1/f는 1 kHz에서 34 nV/√Hz, 코너 $f_c$ ≈ 60 kHz

두 잡음이 같아지는 주파수가 1/f 코너(Flicker corner)다. 아래 공통 소스 증폭기(4장)를 엔진으로 풀어 입력 환산 잡음 PSD를 로그-로그로 그린다. 전류는 62 µA로 고정하고 W와 L을 바꾼다.

SIMULATOR

MOSFET 잡음 스펙트럼과 1/f 코너

호버하면 값

W L

gm / gm·ID⁻¹—

열잡음 @1 MHz (엔진 / 손)—

1/f @1 kHz (엔진 / 손)—

1/f 코너—

게이트 면적 WL—

해볼 것: ① 10/1 µm에서 코너 약 60 kHz를 확인한다. 1 kHz 잡음은 열잡음의 약 8배다. ② W·L을 키우면(예: 40/4 µm) 1/f 선이 통째로 내려가고 코너가 수 kHz로 온다. 대신 게이트 커패시턴스가 16배다. ③ PMOS로 바꾸면 같은 크기에서 1/f가 낮다. 정밀 입력단에 PMOS를 즐겨 쓰는 이유다. (ID 62 µA 고정 → VGS를 엔진으로 다시 구함, 부하 RD = 0.9 V/ID, 엔진 AN.circuit 잡음 해석: 채널 4kTγgm(γ = 2/3) + Kf·gm²/(CoxWLf), 점선은 손 계산)

열잡음 바닥은 $g_m$으로만 정해진다. 같은 전류에서 W를 키우면 $g_m/I_D$가 올라 $g_m$이 조금 커지고 열잡음이 조금 준다. 1/f 잡음은 면적 WL에 반비례하므로 W와 L 모두 효과가 있다. 다만 L을 키우면 같은 전류에서 $g_m$이 줄어 열잡음이 오르고, 커패시턴스가 늘어 느려진다. 정밀 저주파 증폭기의 입력 쌍이 수십~수백 µm² 면적을 쓰는 이유다.

1/f 잡음은 공정마다 크게 다르다. $K_f$는 산화막 품질과 계면 결함 밀도로 정해져 같은 노드에서도 파운드리·소자 종류마다 몇 배씩 다르다. 이 책의 AB180 값은 교육용 가상 값이다. 실제 설계에서는 PDK의 잡음 모델과 측정 데이터를 써야 한다. 매몰 채널 PMOS가 표면 채널 NMOS보다 조용한 경향은 일반적이다.

입력 환산 잡음

증폭기 안의 잡음원은 여러 곳에 흩어져 있다. 이들을 출력에서 모두 더한 뒤 이득으로 나누면, 잡음 없는 증폭기 앞에 붙은 전압원 하나로 바꿀 수 있다. 이것이 입력 환산 잡음(Input-referred noise)이다. 신호도 입력에 있으므로 SNR을 바로 비교할 수 있다.

AB-1 OTA(9장)에서 1단의 이득이 크면 2단 잡음은 1단 이득의 제곱으로 나뉘어 사라진다. 남는 것은 입력 쌍 M1·M2와 능동 부하 M3·M4다. 부하 잡음은 자기 $g_m$으로 전류가 되고, 그 전류를 입력 쌍의 $g_m$으로 다시 전압으로 바꾸므로 $(g_{m3}/g_{m1})^2$배로 들어온다.

$$\overline{v_{n,in}^2} \approx 2\cdot\frac{4kT\gamma}{g_{m1}}\left(1+\frac{g_{m3}}{g_{m1}}\right) + \frac{2K_{f,n}}{C_{ox}W_1L_1 f}\left(1+\frac{K_{f,p}}{K_{f,n}}\frac{g_{m3}^2}{g_{m1}^2}\frac{W_1L_1}{W_3L_3}\right)$$

앞의 2는 차동 쌍의 두 소자. AB-1: $g_{m1}$ ≈ 169 µS, $g_{m3}$ ≈ 89 µS($g_{m3}/g_{m1}$ ≈ 0.53) → 열잡음 손 계산 14.1 nV/√Hz, 엔진 14.2 nV/√Hz @1 MHz

아래 종합 시뮬레이터는 AB-1 OTA 전체(AN.ota2, 개루프, 입력 Vp)의 잡음을 엔진으로 풀어, 위에는 입력 환산 PSD를, 옆에는 커서 주파수에서 소자별 기여를 막대로 보여 준다. 입력 쌍의 W를 키워 $g_{m1}$을 올리거나, 부하의 L을 키워 $g_{m3}$을 낮춰 본다.

SIMULATOR

AB-1 OTA 입력 환산 잡음: 누가 범인인가

PSD 위를 끌면 주파수 커서 · 막대를 누르면 설명

M1·M2 W M3·M4 L 꼬리 전류

막대를 누르면 그 소자의 잡음이 어떻게 입력으로 환산되는지 보여 준다.

gm1 / gm3—

@1 kHz—

@1 MHz (엔진 / 손)—

1/f 코너—

1 Hz~10 kHz rms—

해볼 것: ① 기본값에서 1 MHz 14.2 nV/√Hz, 1 kHz 약 54 nV/√Hz, 막대의 대부분이 M1·M2(약 65%)와 M3·M4(약 34%)인 것을 본다. ② 커서를 1 MHz에 두고 M3·M4 L을 4 µm로 키우면 gm3가 절반으로 줄어 부하 몫이 준다. 1 kHz에서는 PMOS 면적이 늘어 1/f도 준다. ③ 꼬리 전류를 60 µA로 올리면 열잡음은 줄지만 W를 그대로 두면 gm/ID가 떨어져 기대만큼 줄지 않는다. W를 함께 키워 본다. (AN.ota2 개루프, 출력이 vcm이 되도록 입력 오프셋을 맞춘 동작점, γ = 2/3, M3·M4 W 6 µm 고정, 2단·바이어스 소자도 모두 포함)

막대가 말하는 설계 규칙은 셋이다. 첫째, 입력 쌍의 $g_m$을 키운다. 같은 전류에서 $g_m/I_D$를 올리는(약반전 쪽으로 W를 키우는) 것이 가장 싸다. AB-1 입력 쌍이 $g_m/I_D$ ≈ 17을 고른 이유가 이것이다. 둘째, 부하의 $g_m$을 낮춘다. 부하는 $V_{OV}$를 크게(L을 길게) 잡는다. 셋째, 1/f 영역에서는 면적이 답이다.

잡음 해석의 함정: 입력 환산 잡음 전류. MOS 입력은 게이트 전류가 거의 0이라 입력 환산 잡음 전류를 흔히 무시한다. 그러나 고주파에서는 $C_{gs}$를 통해 흐르는 잡음 전류가 생기고, 소스 임피던스가 크면 무시할 수 없다. AB-1의 센서 브리지(5 kΩ)와 10 kHz 대역에서는 전압 잡음만 보면 충분하다.

1/f를 피하는 법: 초핑

AB-1의 OTA는 1 MHz에서 14 nV/√Hz로 조용하지만, 센서 신호가 사는 10 kHz 아래에서는 1/f 잡음이 그 몇 배다(코너 약 14 kHz). 면적을 키우는 것도 한계가 있다. 다른 방법은 신호를 1/f가 없는 높은 주파수로 옮겨 증폭하고 다시 내리는 것이다. 이것이 초핑(Chopping, chopper stabilization)이다.

초퍼 증폭기. 첫 번째 곱셈기가 신호를 $f_{ch}$로 올린다. 증폭기는 거기서 신호를 키우고 자기 오프셋과 1/f 잡음을 DC 근처에 더한다. 두 번째 곱셈기는 신호를 DC로 되돌리면서 오프셋과 1/f 잡음을 $f_{ch}$로 올려 보낸다. 저역 통과 필터가 그것을 걸러 낸다. 곱셈기는 실제로 교차 스위치 네 개다.

아래는 행동 모델이다. 2 kHz, 20 µV 신호가 오프셋 150 µV와 AB-1 OTA 수준의 잡음(14 nV/√Hz 백색, 코너 14 kHz)을 가진 증폭기를 지난다. 단계를 바꾸면 FFT 스펙트럼이 그 단계로 옮겨 가며 바뀐다.

SIMULATOR

초핑으로 1/f 잡음을 치운다

보는 단계

초핑 주파수 fch

보는 단계초핑 없는 증폭기 출력(기준)신호 대역 10 kHz

0.25~10 kHz 잡음 rms—

초핑 없을 때—

출력 직류(오프셋)—

2 kHz 신호 진폭—

해볼 것: ① 초핑을 끄고 "저역 필터 후"를 보면 10 kHz 아래가 1/f로 덮여 있고 직류 150 µV가 그대로다. ② 초핑을 켜고 단계를 "증폭기 출력 → 복조 후 → 저역 필터 후"로 넘기면, 신호 막대가 fch 옆에서 2 kHz로 돌아오고 1/f 언덕이 fch로 밀려가 필터에 걸린다. 대역 안 잡음이 약 40%로 준다. ③ fch를 15.6 kHz로 낮추면 1/f 코너보다 낮아 효과가 줄어든다. fch는 코너보다 충분히 높아야 한다. (행동 모델: 1 MS/s, 4096점 × 4회 평균, 이상적 곱셈기, 저역 필터 = 초핑 한 주기 이동 평균, 스위치 전하 주입·잔여 오프셋 없음)

초핑의 대가는 세 가지다. 스위치가 매 전환마다 전하를 주입해 남는 오프셋이 생기고(수 µV), 출력에 $f_{ch}$ 리플이 남아 필터가 필요하며, 증폭기 대역이 $f_{ch}$보다 훨씬 넓어야 한다. 비슷한 목적의 자동 영점(Auto-zero)은 오프셋을 커패시터에 저장해 빼는 방식이라 백색 잡음이 접혀 들어오는 단점이 있다. 정밀 센서 인터페이스는 대개 초핑을 쓴다.

잡음과 전력

열잡음 바닥은 $4kT\gamma/g_m$이고 $g_m$은 전류로 산다. 같은 $g_m/I_D$에서 $g_m \propto I_D$이므로 잡음 전력 $\overline{v_n^2} \propto 1/I_D$이다. 잡음 전압을 절반으로 줄이려면 잡음 전력을 1/4로, 즉 전류를 4배로 써야 한다. 6 dB의 SNR이 전력 4배다. 아날로그 정밀도가 비싼 근본 이유다.

$$\bar v_n \propto \frac{1}{\sqrt{I_D}},\qquad \mathrm{NEF} = \bar v_n\sqrt{\frac{I_{tot}}{2kT\,U_T}}$$

NEF(잡음 효율 계수, Noise efficiency factor)는 같은 총전류의 이상적 바이폴라 트랜지스터 하나($\bar v_n^2 = 2kTU_T/I$)보다 몇 배 시끄러운지를 잰다. 1이 물리적 기준이고, AB-1 OTA는 총전류 121 µA, 14.2 nV/√Hz로 약 10.7(입력단 20 µA만 세면 약 4.3)

아래는 AB-1 OTA를 k개 병렬로 놓은 것과 같다. 모든 W, 전류, 커패시턴스를 k배로 키우면 $g_m/I_D$와 대역은 그대로이고 잡음만 $1/\sqrt{k}$로 준다. 점을 끌어 k를 바꾼다.

SIMULATOR

잡음 절반은 전류 4배

점을 곡선 따라 끈다

엔진 @1 MHz(열잡음)엔진 @1 kHz(1/f)기울기 −1/2 기준선

배율 k—

총전류 / 전력—

잡음 @1 MHz—

잡음 @1 kHz—

NEF—

해볼 것: ① k = 1(218 µW)에서 14.2 nV/√Hz를 보고 k = 4로 끌면 7.1 nV/√Hz, 전력 872 µW가 된다. ② 1/f 곡선도 같은 기울기로 내려간다. 면적도 k배로 늘었기 때문이다. ③ NEF는 k에 상관없이 일정하다. NEF를 낮추려면 크기가 아니라 구조(전류를 입력 쌍에 몰아주기, gm/ID 올리기)를 바꿔야 한다. (엔진 AN.ota2Open + c.noise, W·전류·Cc·CL을 k배, Rz는 1/k배, 1.8 V 전원)

NEF가 일정하다는 것은 크기를 바꾸는 것만으로는 효율이 좋아지지 않는다는 뜻이다. AB-1 OTA의 총전류 중 입력 쌍에 쓰이는 것은 20 µA뿐이고 나머지 100 µA는 2단과 바이어스가 쓴다. 잡음만 놓고 보면 그 전류는 아무것도 하지 않는다. 저잡음 전용 증폭기는 전류 대부분을 입력 쌍에 몰고, 입력 쌍을 약반전에 두고, 부하를 저항이나 긴 L로 바꿔 NEF를 2~3까지 낮춘다.

AB-1의 잡음 예산

이제 센서에서 ADC까지 잡음원을 모두 입력(센서 쪽)으로 환산해 제곱합을 낸다. 센서 신호는 ±10 mV 사인(7.07 mV rms), 대역 10 kHz다. 잡음원은 넷이다. 브리지 저항 5 kΩ의 열잡음, PGA OTA의 입력 환산 잡음(엔진 PSD를 대역에 걸쳐 적분), ADC 샘플링 커패시터의 kT/C, 12비트 양자화 잡음. 뒤의 둘은 ADC 입력에 있으므로 PGA 이득 40으로 나눠 센서 쪽으로 옮긴다.

SIMULATOR

AB-1 SNR 예산 계산기

막대에 호버하면 식

브리지 저항 샘플링 Cs 신호 대역

전체 입력 잡음—

SNR—

ENOB—

가장 큰 항—

해볼 것: ① 기본값(초핑 없음)에서 OTA의 1/f가 전력의 80% 이상을 차지하고 SNR 약 61 dB, ENOB 약 9.8로 목표 10.5에 못 미친다. ② 초핑을 켜면 OTA 몫이 열잡음만 남아 약 67 dB, ENOB 약 10.8이 된다. 이제 양자화와 kT/C가 비슷한 크기로 남는다. ③ Cs를 0.25 pF로 줄이면 kT/C가 커져 다시 목표를 놓친다. (OTA 잡음 = AB-1 OTA 엔진 PSD를 0.1 Hz~대역까지 적분, 초핑은 열잡음 성분만 남긴다고 가정, kT/C·양자화는 표본화 대역 전체가 접혀 들어온 최악값(디지털 필터 이득 없음), 신호 ±10 mV 사인, PGA 이득 40, 12비트 1.2 V)

예산표는 설계의 우선순위를 정해 준다. 초핑 없이는 OTA의 1/f 하나가 전체를 지배한다. 초핑을 넣으면 OTA, kT/C, 양자화, 브리지가 비슷한 크기로 나란히 서서, 이제는 어느 하나를 줄여도 효과가 작다. 균형 잡힌 예산이란 이런 상태다. 1 MS/s로 표본화한 뒤 디지털 필터로 10 kHz만 남기면 kT/C와 양자화 잡음도 대역 밖 부분이 걸러져 더 좋아진다. 이 오버샘플링 이득은 16장과 17장에서 다룬다.

TARGET AB-1타깃 파일 · 11장

입력 환산 14 nV/√Hz @1 MHz, 1 kHz에서는 54 → 10 kHz 센서 대역에는 초핑이 필요하다

엔진 잡음 해석(AN.ota2 개루프, 입력 Vp)으로 AB-1 OTA를 풀면 입력 환산 잡음은 1 MHz에서 14.2 nV/√Hz, 100 kHz에서 15.1, 1 kHz에서 약 54 nV/√Hz다. 열잡음의 약 65%가 입력 쌍 M1·M2, 약 34%가 능동 부하 M3·M4($g_{m3}/g_{m1}$ ≈ 0.53)에서 오고, 1/f 코너는 약 14 kHz로 센서 대역(10 kHz) 바로 위다. 0.1 Hz~10 kHz 적분 잡음은 약 5.8 µV rms로, 브리지 열잡음(0.9 µV)의 6배를 넘는다. 샘플링 커패시터 1 pF의 kT/C는 64 µV rms로 12비트 LSB 293 µV의 약 0.22배, 양자화 잡음 85 µV보다 작다. 이 넷을 더하면 SNR 약 61 dB(ENOB 약 9.8)이고, 초핑으로 OTA의 1/f를 치우면 약 67 dB(ENOB 약 10.8)가 된다.

이 장에서 정한 것PGA 앞단 OTA에 초핑을 쓴다(fch는 1/f 코너 14 kHz보다 충분히 높게, 수십 kHz 이상). 샘플링 커패시터는 1 pF(kT/C 64 µV < 양자화 85 µV). 입력 쌍 gm/ID ≈ 17 유지, 부하는 gm3/gm1을 작게.

아직 남은 문제잡음은 무작위지만 오프셋은 아니다. 똑같이 그린 M1과 M2가 실제로는 다르다면 입력 오프셋은 얼마인가? 초핑이 오프셋도 치우지만, 초핑 없는 다른 블록(ADC 비교기, 밴드갭)은 어떻게 하나?

다음 단계12장 부정합과 레이아웃에서 몬테카를로로 AB-1 OTA의 오프셋 산포를 잰다.

핵심 정리

회로 잡음은 평균 0의 가우시안 무작위 신호다. 크기는 rms(σ), 주파수 분포는 PSD(V²/Hz, nV/√Hz)로 말한다. rms² = PSD의 넓이, 피크-피크 ≈ 6.6σ.
저항 열잡음 $4kTR$: 1 kΩ, 300 K에서 4.07 nV/√Hz. 밀도는 $\sqrt{R}$, rms는 거기에 $\sqrt{B}$를 곱한다.
독립 잡음은 제곱으로 더한다. 가장 큰 항 하나가 전체를 지배하므로 그 항부터 줄인다.
RC의 잡음은 R과 무관한 $kT/C$다. 1 pF → 64 µV rms(12비트 LSB의 약 0.22배). 1차 필터의 잡음 대역폭은 $\tfrac{\pi}{2}f_{-3\mathrm{dB}}$.
MOSFET: 열잡음 $4kT\gamma/g_m$(게이트 환산), 1/f 잡음 $K_f/(C_{ox}WLf)$. $g_m$을 키우면 열잡음이, 면적 WL을 키우면 1/f가 준다. PMOS가 대개 더 조용하다.
OTA 입력 환산 잡음 ≈ $2\cdot 4kT\gamma/g_{m1}\,(1+g_{m3}/g_{m1})$. AB-1은 14 nV/√Hz @1 MHz, 약 54 nV/√Hz @1 kHz, 코너 약 14 kHz.
초핑은 신호를 $f_{ch}$로 올려 증폭하고 되돌려, 오프셋과 1/f 잡음을 대역 밖으로 밀어낸다.
잡음 절반 = 전류 4배. 크기를 키워서는 NEF가 바뀌지 않고, 구조가 바꾼다. AB-1 사슬은 초핑 없이 ENOB 약 9.8, 초핑으로 약 10.8.

확인 퀴즈

1. 300 K에서 10 kΩ 저항의 열잡음을 20 kHz 대역에서 잰다(이상적 직사각형 필터). rms 잡음 전압은 대략?

1 kΩ ≈ 4.07 nV/√Hz이므로 10 kΩ은 √10배인 12.9 nV/√Hz다. rms = 12.9 nV × √20000 ≈ 12.9 × 141 nV ≈ 1.8 µV.

2. 샘플-앤-홀드 스위치의 온 저항을 1 kΩ에서 100 Ω으로 줄였다. 1 pF 홀드 커패시터에 얼어붙는 잡음 rms는?

R이 줄면 PSD 높이 $4kTR$은 10배 줄지만 대역 $1/(2\pi RC)$가 10배 넓어져 넓이는 $kT/C$로 같다. 줄이려면 C를 키워야 한다.

3. 열잡음이 지배하는 증폭기의 입력 환산 잡음을 절반(−6 dB)으로 줄이고 싶다. $g_m/I_D$를 그대로 두면 입력단 전류는 몇 배가 필요한가?

$\overline{v_n^2} \propto 1/g_m \propto 1/I_D$이므로 잡음 전압은 $1/\sqrt{I_D}$에 비례한다. 절반이 되려면 전류가 4배다. 이 장의 "잡음과 전력" 시뮬레이터에서 k = 4가 이것이다.

4. 10 Hz~1 kHz 대역의 정밀 증폭기에서 1/f 잡음이 문제다. 다음 중 가장 효과가 큰 조치는?

1/f 잡음 $K_f/(C_{ox}WLf)$은 면적에 반비례하고 대역 안 저주파에 있으므로 대역을 좁혀도 거의 줄지 않는다. 출력단 잡음은 1단 이득으로 나뉘어 이미 작다. AB180에서 PMOS의 $K_f$는 NMOS의 약 1/3이다. 그래도 부족하면 초핑을 쓴다.

5. 서로 독립인 잡음원 3 nV/√Hz와 4 nV/√Hz가 같은 마디에 함께 있다. 합친 잡음 밀도는?

독립 잡음은 전력이 더해진다. √(3² + 4²) = 5 nV/√Hz. 7은 두 잡음이 완전히 상관일 때만 나온다. 25는 전력(nV²/Hz) 단위의 합이다.