Chapter 13

이종 접합과 밴드 공학

지금까지의 접합은 한 가지 반도체 안에서 도핑만 바꾼 동종 접합이었다. 밴드갭과 전자 친화도는 어디서나 같았고, 우리가 바꿀 수 있는 것은 페르미 준위의 위치뿐이었다. 원자 층 단위로 결정을 쌓는 MBE·MOCVD가 나오면서 이야기가 달라졌다. GaAs 위에 AlGaAs를, InP 위에 InGaAs를, Si 위에 SiGe를 결함 없이 이어 붙이면 밴드 가장자리 자체가 위치에 따라 계단처럼 바뀐다. 전자와 정공에게 서로 다른 장벽을 세워 주고, 수 nm 두께의 우물에 가둬 에너지를 양자화하고, 도너와 전자를 공간적으로 떼어 놓을 수 있다. 크뢰머가 2000년 노벨상 강연에서 말했듯 "계면이 곧 소자"다. 이 장에서는 밴드 오프셋을 정하는 규칙에서 출발해 HBT·HEMT·양자 우물 레이저를 직접 설계할 수 있는 도구를 갖춘다.

앤더슨 전자 친화도 규칙으로 $\Delta E_c$ · $\Delta E_v$ 를 구하고 타입 I·II·III 정렬을 구분하며, 실측 오프셋(GaAs/AlGaAs 약 60:40)과 어긋나는 이유를 안다.
이종 접합의 내부 전위가 두 쪽에 나뉘는 비율과 공핍층 폭을 구하고, 스파이크·노치가 생기는 원리를 포아송 해로 확인한다.
변조 도핑 AlGaAs/GaAs의 삼각 우물, 부밴드, 2차원 상태 밀도로 시트 밀도 $n_s$ 를 계산하고 게이트·스페이서의 효과와 이동도 이점을 설명한다.
유한 사각 우물의 속박 준위를 풀고, 폭에 따른 부밴드 에너지와 계단형 상태 밀도를 해석한다.
격자 부정합 $f$ , 매슈스–블레이크슬리 임계 두께, 변형 Si/SiGe의 오프셋과 이동도 향상을 정량적으로 다룬다.
HBT의 주입 효율, HEMT의 채널, 양자 우물 레이저의 파장을 밴드 공학으로 설계한다.

전자 친화도 규칙과 밴드 오프셋

두 반도체를 하나의 결정으로 잇는 이종 접합(Heterojunction)을 만들려면 먼저 두 결정의 원자 간격이 맞아야 한다. 격자 상수 차이가 크면 계면에 부정합 전위(Misfit dislocation)가 생기고, 그 댕글링 본드가 재결합 중심이 되어 소자를 망친다. 그래서 초기 이종 접합 연구는 격자 상수가 거의 같은 짝(GaAs 5.653 Å와 AlAs 5.661 Å, 차이 0.14%)에 집중했다. 이렇게 격자 정합(Lattice-matched)된 짝을 찾으면 Al 조성 $x$ 를 바꿔 밴드갭을 1.42 eV에서 2.16 eV까지 연속으로 고를 수 있다.

계면에서 밴드갭 차이 $\Delta E_g$ 는 전도대와 가전자대로 나뉜다. 이 두 계단의 높이 $\Delta E_c$ · $\Delta E_v$ 를 밴드 오프셋(Band offset)이라 한다. 오프셋은 도핑과 바이어스에 상관없는 재료 쌍 고유의 값이다. 앤더슨(1962)은 금속–반도체 접합에서 했던 것처럼 두 물질의 진공 준위를 나란히 세우자고 제안했다. 그러면 전도대 오프셋은 전자 친화도의 차이가 된다.

\Delta E_c = \chi_1 - \chi_2, \qquad \Delta E_v = \Delta E_g - \Delta E_c = (E_{g2} - E_{g1}) - (\chi_1 - \chi_2)

1: 밴드갭이 좁은 쪽, 2: 넓은 쪽.

\Delta E_c, \Delta E_v \gt 0

이면 좁은 쪽의

E_c

가 더 낮고

E_v

가 더 높다(넓은 쪽이 좁은 쪽을 감싸는 타입 I). 예: GaAs(

\chi = 4.07

E_g = 1.42

eV)와 Al₀.₃Ga₀.₇As(

\chi \approx 3.74

E_g \approx 1.80

eV)이면

\Delta E_c = 0.33

\Delta E_v = 0.05

eV.

그림 13-1. 앤더슨 규칙. 두 반도체를 떼어 놓고 진공 준위를 맞추면 전도대 계단

\Delta E_c = \chi_1-\chi_2

이 정해지고, 나머지

\Delta E_g-\Delta E_c

가 가전자대 계단이 된다(χ 화살표는 가운데를 줄여 그렸다). 이 그림의 χ 값으로는

\Delta E_c

가

\Delta E_g

의 약 88%지만, 실측은 약 62%다(아래 표).

두 밴드갭 구간 $[E_v, E_c]$ 이 겹치는 방식에 따라 정렬은 세 가지로 나뉜다. 한쪽 구간이 다른 쪽에 완전히 들어가는 타입 I(Straddling)에서는 전자와 정공이 모두 좁은 쪽에 모인다. 레이저·LED가 바라는 정렬이다. 구간이 어긋나 겹치는 타입 II(Staggered)에서는 전자는 한쪽, 정공은 다른 쪽에 모여 공간적으로 갈라진다. 한쪽의 $E_c$ 가 다른 쪽의 $E_v$ 보다도 낮아 갭이 아예 어긋나는 타입 III(Broken gap)에서는 계면을 사이에 두고 가전자대 전자가 그대로 전도대로 넘어간다. InAs/GaSb가 대표적이고, 밴드 간 터널 FET와 적외선 초격자 검출기에 쓰인다.

그림 13-2. 세 가지 밴드 정렬(진공 준위를 맞춰 붙여 놓은 밴드 가장자리). 파란 음영이 전도대, 붉은 음영이 가전자대이고, 그 사이 빈칸이 각 물질의 금지대다. 타입 I은 두 캐리어를 같은 곳에 가두고(InP/InGaAs도 같은 정렬), 타입 II는 갈라 놓으며(변형 Si/SiGe도 같은 정렬), 타입 III은 계면 양쪽에 전자와 정공이 저절로 생긴다.

앤더슨 규칙은 얼마나 맞나

앤더슨 규칙은 단순하고 직관적이지만 정량적으로는 자주 틀린다. 전자 친화도는 표면에서 측정하는 값이라 표면 재구성과 흡착이 만드는 쌍극자에 따라 0.1~0.2 eV씩 달라진다. 실제 계면에서는 두 물질의 화학 결합이 새로운 계면 쌍극자를 만든다. 오프셋 자체가 0.1~0.5 eV 정도이니 이 오차는 결코 작지 않다. 유명한 예가 GaAs/AlGaAs다. 딩글(1974)은 양자 우물 흡수 스펙트럼을 맞춰 $\Delta E_c : \Delta E_v = 85 : 15$ 로 보고했다(앤더슨 규칙과도 비슷하다). 1980년대 중반 C–V 측정과 포물선 우물 실험이 이를 약 62 : 38로 바로잡았고, 지금은 흔히 '60 : 40 규칙'이라 부른다. 오프셋 이론은 이후 테르소프의 전하 중성 준위 모형, 반 더 월레의 모델 고체 이론으로 발전했다. 같은 음이온(As)을 공유하는 짝은 가전자대 오프셋이 작다는 공통 음이온 규칙(Common-anion rule)도 경험적 길잡이로 쓰인다. 실측법으로는 X선 광전자 분광(XPS)의 내각 준위 차이, C–V 프로파일, 양자 우물의 광학 전이, 온도별 I–V가 있다.

접합 (좁은 갭/넓은 갭)	ΔE_g (eV)	ΔE_c (eV)	ΔE_v (eV)	정렬	앤더슨 규칙 / 비고
GaAs / Al₀.₃Ga₀.₇As	0.37	~0.23	~0.14	I	앤더슨 0.33 / 0.04. HEMT·레이저의 기준 짝
GaAs / AlAs	0.74	~0.21 (X 골짜기)	~0.53	I	AlAs는 간접 갭. Γ 기준이면 ΔE_c ~1.0
In₀.₅₃Ga₀.₄₇As / InP	0.60	~0.25	~0.35	I	앤더슨 0.13 / 0.47. InP HBT, 1.55 µm 검출기
In₀.₅₃Ga₀.₄₇As / In₀.₅₂Al₀.₄₈As	0.72	~0.52	~0.20	I	InP 기판 HEMT. 큰 ΔE_c
InP / In₀.₅₂Al₀.₄₈As	~0.12	~0.27	~−0.15	II	전자는 InP, 정공은 InAlAs에 모인다
InAs / GaSb	—	E_c(InAs)가 E_v(GaSb)보다 ~0.15 아래		III	반금속성 계면. 적외선 초격자
변형 Si₀.₇Ge₀.₃ / Si (Si 기판)	~0.25	~0.02	~0.22	I (약함)	정공만 SiGe에 갇힌다. 변형 SiGe
GaN / Al₀.₃Ga₀.₇N	~0.6	~0.4	~0.2	I	분극 전하가 2DEG를 만든다 → 전력 소자

수치는 Vurgaftman·Meyer·Ram-Mohan(2001)의 III–V 매개변수 모음, Yu·McCaldin·McGill(1992) 오프셋 리뷰, Schäffler(1997)의 SiGe 리뷰를 따른 대표값이며 측정법에 따라 ±0.05 eV쯤 흩어진다. 실측 오프셋은 대체로 이행성을 지킨다. A/B와 B/C의 오프셋을 더하면 A/C 오프셋과 0.05 eV 안쪽으로 맞는다. 그래서 각 물질의 가전자대 위치를 공통 눈금에 하나씩 매겨 두면 어떤 짝이든 오프셋을 읽을 수 있다. 아래 시뮬레이터의 '실측' 모드가 이 방식이다.

SIMULATOR

밴드 정렬 탐색기: 앤더슨 규칙 vs 실측

왼쪽 물질 A

오른쪽 물질 B

그리는 정렬

E_cE_v점선: 다른 모드의 B 위치

ΔE_c / ΔE_v (앤더슨)—

ΔE_c / ΔE_v (실측)—

정렬 타입—

ΔE_c : ΔE_v—

격자 부정합—

해볼 것: ① GaAs/Al₀.₃GaAs에서 두 모드를 바꿔 보자. 앤더슨 규칙은 ΔE_c를 88%로, 실측은 62%로 준다. ② InGaAs/InP는 반대로 앤더슨 규칙이 ΔE_c를 절반쯤으로 과소평가한다. ③ InAs/GaSb는 어느 모드든 타입 III이다. ④ InP/InGaAs·GaAs/AlGaAs처럼 격자 부정합이 0.1% 이하인 짝과 Si/GaAs(약 4%)를 비교해 보자. (ΔE는 B − A, 위로 +. '실측'은 GaAs의 E_v를 0으로 둔 가전자대 위치표 — III–V는 Vurgaftman 2001, Si·Ge는 GaAs와의 측정값에서 옮긴 약값. IV족–III–V 짝은 격자 부정합과 극성 계면 때문에 참고용이다.)

이종 접합의 정전기: 스파이크와 노치

이제 두 물질을 붙이고 도핑까지 고려하자. 표기는 크뢰머의 관례를 따라 밴드갭이 넓은 쪽을 대문자로 쓴다. N-AlGaAs/p-GaAs는 넓은 갭 n형과 좁은 갭 p형의 이형 접합(Anisotype)이고, N-AlGaAs/n-GaAs처럼 도핑 형이 같으면 동형 접합(Isotype)이다. 접촉하면 pn 접합과 똑같이 페르미 준위가 하나로 맞을 때까지 전하가 이동한다. 차이는 두 가지다. 진공 준위는 연속이지만 $E_c$ · $E_v$ 는 계면에서 $\Delta E_c$ · $\Delta E_v$ 만큼 뚝 끊기고, 유전율이 달라 전기장도 계면에서 끊긴다.

qV_{bi} = \phi_2 - \phi_1, \qquad \varepsilon_1\mathcal{E}_1 = \varepsilon_2\mathcal{E}_2 \;\Rightarrow\; \frac{V_1}{V_2} = \frac{\varepsilon_2 N_2}{\varepsilon_1 N_1}, \qquad x_1 = \sqrt{\frac{2\varepsilon_1\varepsilon_2 N_2\,(V_{bi}-V)}{qN_1(\varepsilon_1N_1+\varepsilon_2N_2)}}

\phi

: 각 물질의 일함수(진공 준위에서

E_F

까지). 계면 전하가 없으면 전속 밀도

D=\varepsilon\mathcal{E}

가 연속이다.

V_1, V_2

: 각 쪽의 밴드 휨,

V_1+V_2 = V_{bi}

x_2

는 첨자 1과 2를 바꾸면 된다. 공핍 근사는 이형 접합에만 쓸 수 있다. 동형 접합의 한쪽은 공핍되지 않고 축적된다.

밴드 휨에 계단이 더해지면서 동종 접합에 없던 모양이 생긴다. N-p 접합의 $E_c$ 를 왼쪽에서 따라가 보자. N쪽에서 $qV_1$ 만큼 올라가다가 계면에서 $\Delta E_c$ 만큼 뚝 떨어지고, 다시 p쪽에서 $qV_2$ 만큼 올라간다. 계면의 뾰족한 봉우리가 스파이크(Spike), 바로 옆에 패인 골이 노치(Notch)다. 전자와 정공이 보는 장벽이 다르다는 점이 핵심이다. 정공이 p쪽에서 N쪽으로 넘어가려면 $qV_{bi}+\Delta E_v$ 를 넘어야 하지만, 전자의 장벽은 $qV_{bi}-\Delta E_c$ 근처(스파이크가 더 높으면 $qV_1$ )다. 이 비대칭이 HBT의 원리다. 스파이크는 전자 주입을 방해하므로 조성을 20~30 nm에 걸쳐 서서히 바꾸는 조성 경사(Compositional grading)로 없애기도 한다.

그림 13-3. 접촉 후 밴드. (a) 이형 N-p 접합: 계면의

\Delta E_c

계단이 밴드 휨과 겹쳐 스파이크와 노치를 만든다. 정공은

\Delta E_v

만큼 더 높은 장벽을 본다. (b) 동형 N-n 접합: 넓은 갭 쪽은 공핍되고, 좁은 갭 쪽 계면에는 전자가 얇게 쌓인다. 이 노치를 의도적으로 키운 것이 다음 절의 2DEG다.

SIMULATOR

이종 접합 밴드 다이어그램 솔버 (페르미–디랙 포아송)

프리셋

왼쪽 물질 / 형

왼쪽 도핑

오른쪽 물질 / 형

오른쪽 도핑

오프셋

진공 준위 E_vac 표시 계면 ±40 nm 확대

V_bi—

V₁ / V₂ (휨 분배)—

공핍 근사 V₁/V₂—

전자 / 정공 장벽—

계면 축적 n_s / p_s—

해볼 것: ① 'HBT' 프리셋과 'GaAs pn'을 번갈아 눌러 보자. 정공 장벽만 약 ΔE_g만큼 커지고 전자 장벽은 거의 그대로다(HBT의 원리). ② p쪽 도핑을 10¹⁹로 올리면 휨이 대부분 N쪽(V₁)에 걸려 스파이크가 높아진다. 공핍 근사 비 ε₂N₂/(ε₁N₁)과 비교하자. ③ '노치' 프리셋에서 왼쪽 도핑을 올리면 계면 노치에 쌓인 전자 n_s가 10¹¹~10¹² cm⁻²로 늘어난다(아래 로그 그래프의 봉우리). ④ 앤더슨 오프셋으로 바꾸면 같은 GaAs/AlGaAs에서도 스파이크 높이가 0.1 eV 가까이 달라진다. (400점 비균일 격자, 페르미–디랙 통계, 계면 전하 없음, 평형. 300 K, 도펀트 완전 이온화)

변조 도핑과 2차원 전자 가스

반도체에 전자를 넣으려면 도너를 넣어야 하고, 이온화된 도너는 전자를 산란시킨다. 캐리어 수송에서 보았듯 도핑을 올릴수록 이동도가 떨어지는 것은 피할 수 없는 거래처럼 보였다. 1978년 벨 연구소의 딩글·슈퇴르머·고사드·위그먼은 이 거래를 깼다. 도너를 넓은 갭 AlGaAs에만 넣고 바로 옆에 도핑하지 않은 GaAs를 두면, 도너에서 풀려난 전자는 에너지가 더 낮은 GaAs로 넘어가 계면의 노치에 갇힌다. 전자와 그 전자를 내놓은 도너가 공간적으로 떨어지는 것이다. 이것이 변조 도핑(Modulation doping)이다. 도너층과 계면 사이에 도핑하지 않은 AlGaAs 스페이서층(Spacer layer)을 수 nm~수십 nm 넣으면 쿨롱 산란이 더 줄어든다.

계면 노치는 폭이 약 10 nm인 거의 삼각형 모양의 우물이다. 전자의 드브로이 파장(GaAs 300 K에서 약 24 nm)보다 좁으므로 계면에 수직인 운동이 양자화되어 부밴드(Subband) $E_0, E_1, \ldots$ 로 갈라지고, 전자는 계면과 평행한 두 방향으로만 자유롭게 움직인다. 이 전자 층을 2차원 전자 가스(2DEG, Two-dimensional electron gas)라 한다. 각 부밴드의 상태 밀도는 에너지와 무관한 상수다.

E_i \approx \left(\frac{\hbar^2}{2m^*}\right)^{1/3}\left[\frac{3\pi q\mathcal{E}_s}{2}\left(i+\frac{3}{4}\right)\right]^{2/3},\qquad \mathcal{E}_s = \frac{qn_s}{\varepsilon}, \qquad n_s = \frac{m^*kT}{\pi\hbar^2}\sum_i \ln\!\left[1+e^{(E_F-E_i)/kT}\right]

삼각 우물의 에어리 함수 해(WKB 근사).

m^*/\pi\hbar^2

은 2차원 상태 밀도로 GaAs에서

2.8\times10^{13}

cm⁻²eV⁻¹(스핀 포함).

n_s = 10^{12}

cm⁻²이면

\mathcal{E}_s \approx 1.4\times10^5

V/cm,

E_0 \approx 0.11

eV,

E_1 \approx 0.20

eV.

여기에 쇼트키 게이트를 올리면 고전자 이동도 트랜지스터(HEMT, 1980년 후지쓰의 미무라)가 된다. 게이트–채널은 두께 $d = d_d + d_s$ (도핑층 + 스페이서)의 AlGaAs를 유전체로 하는 커패시터이므로, MOS 커패시터의 반전층처럼 $n_s$ 가 게이트 전압에 비례한다.

qn_s \approx \frac{\varepsilon_2}{d+\Delta d}\,(V_G - V_{\text{off}}), \qquad V_{\text{off}} = \phi_B - \frac{\Delta E_c}{q} - \frac{qN_Dd_d^{2}}{2\varepsilon_2} + \frac{E_F - E_c}{q}

\phi_B

: 게이트 쇼트키 장벽(AlGaAs에 약 0.8~1.0 V),

\Delta d

: 2DEG 중심이 계면에서 떨어진 거리와

E_F

의

n_s

의존을 합친 보정(약 5~8 nm). 도핑층이 다 공핍되어야 한다. 게이트 전압을 너무 올리면 AlGaAs의 도너가 중성으로 돌아가 이동도가 낮은 평행 전도 채널이 생긴다. AlGaAs의 도너는 깊은 DX 센터를 만들어 이 한계가 더 낮아진다.

그림 13-4. 변조 도핑 HEMT. (a) 도너는 AlGaAs에만 있고 전자는 도핑하지 않은 GaAs 계면에 모인다. (b) 도핑층의 전도대는 공핍 전하 때문에 포물선으로 휘고, 계면의

\Delta E_c

계단 아래 GaAs 쪽에 삼각 우물이 생긴다. 페르미 준위가

E_0

보다 높으면 전자가 부밴드를 채운다(에너지 축척은 과장했다).

SIMULATOR

2DEG 시트 밀도: 게이트, 스페이서, 도핑층

게이트 전압 V_G 스페이서 d_s 도핑층 두께 d_d 도핑 N_D Al 조성 x

n_s—

V_off—

E₀ / E₁ / E_F (E_c 기준)—

2DEG 두께 ⟨z⟩—

상태—

해볼 것: ① V_G를 올리면 n_s가 직선으로 늘다가 평행 전도 한계 n_s,max에서 멈춘다. 직선의 기울기가 ε₂/(q d)다. ② 스페이서를 0 → 20 nm로 늘리면 n_s,max가 약 10¹² → 4×10¹¹ cm⁻²로 줄어든다(이동도와의 거래는 다음 시뮬레이터). ③ 도핑층을 두껍게 하거나 N_D를 올리면 V_off가 음으로 이동한다(공핍형). ④ Al 조성을 키우면 ΔE_c가 커져 더 많은 전자를 담을 수 있다. 실제 소자는 x > 0.3에서 DX 센터가 늘어 x ≈ 0.2~0.3을 쓴다. (부밴드 2개의 삼각 우물 자기 일관 모형, ΔE_c = 0.62ΔE_g, φ_B = 0.9 V, 도너 준위 E_d = 60 meV, GaAs 버퍼는 E_F가 갭 중간에 고정된 반절연)

이동도는 마티센 규칙대로 여러 산란의 역수 합으로 정해진다. 상온에서는 극성 광학 포논 산란이 지배해 2DEG도 약 8000 cm²/V·s에 그친다. 같은 전자 밀도를 도핑으로 만든 벌크 GaAs(10¹⁷ cm⁻³에서 약 5000)보다 1.6배 정도다. 진짜 차이는 저온에서 드러난다. 포논이 얼어붙으면 벌크는 이온화 불순물 산란에 묶여 수천 cm²/V·s에 머물지만, 변조 도핑 2DEG는 77 K에서 10⁵, 4 K에서 10⁶~10⁷ cm²/V·s를 넘는다. MBE 순도가 높아지며 기록은 3×10⁷을 넘었고(2020년대 4×10⁷ 이상 보고), 이 깨끗한 2DEG에서 분수 양자 홀 효과(츠이·슈퇴르머·고사드, 1982; 1998년 노벨상)가 발견되었다.

ANIMATION

도너를 떼어 놓으면: 벌크 도핑 vs 변조 도핑의 산란

온도 T 스페이서 d_s

μ (벌크), cm²/V·s—

μ (2DEG), cm²/V·s—

비율—

n_s (스페이서에 따라)—

면저항 1/(qn_sμ)—

해볼 것: ① 300 K에서 두 쪽의 산란 빈도(번쩍임)가 비슷하다. 온도를 77 K, 4 K로 내리면 왼쪽(벌크)은 여전히 도너(+) 근처에서 자주 튕기지만 오른쪽 2DEG 전자는 거의 직진한다. ② 저온에서 스페이서를 늘리면 원격 이온 산란이 약 d_s³으로 줄어 이동도가 오르지만, n_s가 줄어 면저항이 다시 나빠지는 지점이 있다. 면저항이 최소가 되는 스페이서를 찾아보자. ③ 300 K에서는 스페이서를 바꿔도 이동도가 거의 그대로다. 상온 HEMT의 장점이 이동도보다 높은 n_s와 속도에 있다는 뜻이다. (교육용 마티센 모형: 극성 광학 포논 ħω_LO = 36 meV, 음향 포논, 원격 이온 μ ∝ d_s³n_s^1.5, 배경 불순물 2×10⁷ cm²/V·s. n_s는 위 시뮬레이터의 게이트 없는 n_s,max)

HEMT는 어디에 쓰이나

GaAs·InP HEMT는 위성 수신기와 전파 망원경의 저잡음 증폭기, 밀리미터파 통신에 쓰인다. InP 기판의 InGaAs/InAlAs HEMT는 큰 ΔE_c(약 0.5 eV)와 가벼운 전자(0.041m₀) 덕분에 f_max 1 THz를 넘긴 보고가 있다. GaN/AlGaN HEMT는 도핑 없이 압전·자발 분극만으로 10¹³ cm⁻²의 2DEG를 만들어 전력 스위치와 기지국 증폭기를 바꾸고 있다. 주파수 한계는 고주파 소자에서, GaN 전력 HEMT는 전력 반도체 소자에서 다룬다.

양자 우물과 부밴드

좁은 갭 물질을 넓은 갭 물질 사이에 수 nm 두께로 끼우면 타입 I 정렬에서 전자와 정공이 모두 갇히는 양자 우물(Quantum well)이 된다. 삼각 우물과 달리 모양이 정확한 사각형이라 슈뢰딩거 방정식을 직접 풀 수 있다. 장벽이 무한히 높다면 우물 안의 파동 함수는 양 끝에서 0이 되는 사인 함수이고 에너지는 $n^2$ 에 비례한다.

E_n^{\infty} = \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2m^*L^2} \quad\Rightarrow\quad \text{GaAs},\ L = 10\ \text{nm}:\ E_1^{\infty} \approx 56\ \text{meV}

실제 장벽은 유한하다(GaAs/Al₀.₃GaAs의 전도대는 $V_0 \approx 0.23$ eV). 파동 함수는 장벽 속으로 $e^{-\kappa|z|}$ 처럼 스며들고, 실효 우물이 넓어진 만큼 에너지가 무한 장벽 값보다 낮아진다. 우물과 장벽의 유효 질량이 다르면 경계에서 $\psi$ 와 함께 $\psi'/m^*$ 이 연속이어야 확률 흐름이 보존된다(벤대니얼–듀크 경계 조건(BenDaniel–Duke boundary condition)).

\text{짝}:\ \frac{k}{m_w}\tan\frac{kL}{2} = \frac{\kappa}{m_b}, \qquad \text{홀}:\ -\frac{k}{m_w}\cot\frac{kL}{2} = \frac{\kappa}{m_b}, \qquad k = \frac{\sqrt{2m_wE}}{\hbar},\ \ \kappa = \frac{\sqrt{2m_b(V_0-E)}}{\hbar}

대칭 우물이라 해는 짝·홀 함수로 나뉜다. 속박 상태는 최소 하나 있고, 개수는 대략

1+\lfloor L\sqrt{2m_wV_0}/\pi\hbar\rfloor

이다. 정공은

\Delta E_v

를 장벽으로, 무거운 정공(hh)·가벼운 정공(lh)이 각자의 질량으로 따로 양자화된다(우물 방향 GaAs

m_{hh} \approx 0.35

m_{lh} \approx 0.09

우물 안의 전자는 평면 방향으로는 자유롭다. 따라서 각 부밴드 $E_n$ 이 2차원 상태 밀도 $m^*/\pi\hbar^2$ 를 하나씩 보태, 전체 상태 밀도는 $E_n$ 마다 한 칸씩 올라가는 계단형 상태 밀도(Staircase density of states)가 된다. 부피당으로 나타내려고 $L$ 로 나누면, 무한 우물의 계단 모서리는 정확히 3차원 $\sqrt{E}$ 곡선 위에 놓인다. 바닥에서 갑자기 큰 상태 밀도가 생기므로 흡수 스펙트럼이 계단 모양이 되고, 레이저는 같은 이득을 더 적은 주입으로 얻는다(문턱 전류 감소). 우물 폭을 바꿔 발광 파장을 고르는 것이 밴드 공학의 가장 대표적인 쓰임이다.

그림 13-5. (a) 유한 우물(GaAs/Al₀.₃Ga₀.₇As,

L = 12

nm로 계산)의 속박 상태. 바닥 상태는 짝 함수, 다음은 홀 함수이며 파동 함수가 장벽의 금지대 속으로 스며든다. 장벽 꼭대기에 가까운 준위일수록 더 깊이 스며든다. (b) 2차원 부밴드가 쌓여 만든 계단형 상태 밀도(실선)와 3차원

\sqrt{E}

(점선). 에너지 축은 (a)와 같은 세로 축이다. 유한 우물의 준위가 무한 우물보다 낮아서 계단 모서리가

\sqrt{E}

곡선보다 오른쪽에 놓인다.

PREDICT

우물 폭을 절반으로 줄이면 바닥 준위는 몇 배?

GaAs/Al₀.₃Ga₀.₇As 우물(전도대 장벽 약 0.23 eV)의 폭을 10 nm에서 5 nm로 줄였다. 전자 바닥 준위 E₁(우물 바닥 기준)은?

계산하면 10 nm에서 약 30 meV, 5 nm에서 약 73 meV로 2.5배다. 무한 장벽이라면 56 → 225 meV로 4배여야 한다. 우물이 좁을수록 E₁이 장벽 꼭대기에 가까워져 κ가 작아지고, 파동 함수가 장벽 속으로 깊이 스며들어 실효 폭이 덜 줄기 때문이다. 아래 로그–로그 그래프에서 유한 우물 곡선은 좁은 쪽에서 기울기 −2를 벗어나 V₀ 아래로 눕는다.

먼저 위에서 답을 골라 보세요.

장벽 높이 V₀ 우물 폭 L

E₁ (유한)—

E₁ (무한 장벽)—

E₁(L/2) ÷ E₁(L)—

침투 깊이 1/κ—

SIMULATOR

유한 양자 우물 솔버: 부밴드, 파동 함수, 계단형 상태 밀도

우물 / 장벽

우물 폭 L 장벽 Al 조성 x

아래 그래프

속박 상태 (e / hh)—

E_1e / E_1hh—

e1–hh1 전이 에너지—

발광 파장—

해볼 것: ① GaAs/AlGaAs에서 L을 30 nm에서 3 nm로 줄이며 준위가 위로 밀려 올라가고 상태 수가 줄어드는 것을 보자. 전이 파장이 약 870 nm에서 780 nm 근처로 짧아진다. ② 상태 밀도 그래프에서 계단 모서리와 3D √E 곡선을 비교하자. 무한 우물이면 모서리가 곡선 위에 정확히 놓이지만, 유한 우물은 준위가 낮아져 계단이 더 왼쪽에서 시작하므로 모서리가 곡선보다 위에 있다. ③ InGaAs/InAlAs(ΔE_c ≈ 0.52 eV, m_e = 0.041)는 같은 폭에서 상태가 훨씬 많고 E_1e가 크다. 가벼운 질량 때문이다. ④ 정공(아래 우물)은 무거워서 준위 간격이 촘촘하다. (벤대니얼–듀크 조건의 1차원 유한 우물, 포물선 밴드, 무거운 정공만, 엑시톤 결합 에너지 약 5~10 meV는 무시)

변형 Si/SiGe 밴드 공학

Si와 Ge는 같은 다이아몬드 구조지만 격자 상수가 5.431 Å와 5.658 Å로 4.18% 차이 난다. Si₁₋ₓGeₓ 합금의 격자 상수는 거의 선형(베가드 법칙)이라 부정합은 $f \approx 0.0418x$ 이다. 얇은 SiGe를 Si 기판 위에 키우면 SiGe가 평면 방향 원자 간격을 Si에 맞추느라 이축 압축 변형(Biaxial compressive strain)을 받고, 대신 성장 방향으로 늘어난다(정방정 변형). 이렇게 결함 없이 기판 격자에 맞춰 자란 층을 의사 정합(Pseudomorphic) 층이라 한다. 층이 두꺼워지면 쌓인 변형 에너지가 전위를 만드는 에너지보다 커져서 부정합 전위가 생기며 층이 풀린다. 그 경계가 임계 두께(Critical thickness) $h_c$ 다.

f = \frac{a_{\text{layer}} - a_{\text{sub}}}{a_{\text{sub}}}, \qquad h_c = \frac{b\,(1-\nu/4)}{4\pi f(1+\nu)}\left[\ln\frac{h_c}{b} + 1\right] \quad (\text{매슈스–블레이크슬리})

b

: 60° 전위의 버거스 벡터 크기(Si 0.384 nm),

\nu

: 푸아송 비(약 0.28). 역학적 평형 기준이라 Si₀.₈Ge₀.₂는

h_c \approx 12

nm. 저온 성장에서는 전위가 생기는 데 시간이 걸려 수 배~수십 배 두꺼운 준안정 층(피플–빈, Si₀.₈Ge₀.₂에서 약 200 nm)이 자라지만 열처리하면 풀릴 수 있다.

그림 13-6. 격자 부정합과 변형(원자 간격 차이는 과장해 그렸다). (a) 격자 상수가 다른 두 결정. (b) 임계 두께보다 얇으면 위층이 기판의 평면 간격을 따라 늘어나거나 줄어들며 결함 없이 자란다. Si 위 SiGe는 평면 방향으로 눌리고 위아래로 늘어난다. (c) 두꺼워지면 부정합 전위가 생겨 층이 본래 격자 상수로 돌아간다. 계면의 전위선은 누설과 재결합을 일으킨다. (d) 거꾸로 완화된 SiGe 위에 얇은 Si를 키우면 Si가 평면 방향으로 늘어난다(이축 인장).

변형은 밴드를 크게 바꾼다. Si 기판 위 압축 변형 Si₁₋ₓGeₓ는 밴드갭이 줄어드는 몫이 거의 다 가전자대로 가서 $\Delta E_v \approx 0.74x$ eV, $\Delta E_c \approx 0$ (약한 타입 I)이 된다. 정공은 SiGe에 갇히고 전자에게는 장벽이 거의 없다. SiGe HBT가 베이스에 SiGe를 쓰는 이유가 여기 있다. 거꾸로 두꺼운 SiGe를 완화시켜 만든 가상 기판(Virtual substrate) 위에 얇은 Si를 키우면 Si가 이축 인장 변형을 받는다. 이때 정렬은 타입 II로, 전자는 Si에( $\Delta E_c \approx 0.6y$ eV), 정공은 SiGe에 모인다.

이동도 향상의 원리는 골짜기 분리(Valley splitting)다. Si 전도대 바닥은 여섯 개의 등가 골짜기(Δ6)다. 이축 인장 변형은 면에 수직인 두 골짜기(Δ2)를 약 0.67y eV만큼 내리고 면 안의 네 골짜기(Δ4)를 올린다. 전자가 Δ2로 옮겨 가면 채널 방향 질량이 가벼운 횡질량 0.19m₀가 되고(평균 0.26m₀ 대비), 골짜기 사이 산란도 줄어 nMOS 이동도가 약 1.8배까지 오른다(웰서·호이트·기번스, 1992~94). 정공은 가전자대의 무거운·가벼운 정공 축퇴가 풀리며 가벼워진다. 산업계는 결국 웨이퍼 전체에 거는 이축 변형 대신 공정으로 채널에 거는 단축 변형을 택했다. 90 nm(2003년)부터 nMOS에는 인장 질화막(CESL), pMOS에는 소스·드레인을 SiGe로 채워(e-SiGe) 채널을 누른다. FinFET·GAA에서도 이 방법이 이어지고, pMOS 채널 자체를 SiGe로 만드는 연구도 진행 중이다(스케일링과 단채널 효과).

SIMULATOR

변형 SiGe: 임계 두께, 밴드 오프셋, 이동도 향상

구조

Ge 조성 변형층 두께 h

부정합 f—

h_c (MB / 피플–빈)—

층 상태—

ΔE_c / ΔE_v—

이동도 배율 (n / p)—

해볼 것: ① Ge 20%에서 h를 10 nm → 300 nm로 늘리며 점이 '안정'(MB 아래) → '준안정'(MB와 피플–빈 사이) → '완화' 영역을 지나는 것을 보자. ② 조성을 두 배로 하면 h_c는 절반보다 더 작아진다(로그 항). SiGe HBT 베이스(Ge 10~25%, 수십 nm)가 준안정 영역에 있는 이유다. ③ '인장' 구조에서 Ge 조성을 올리면 Δ2–Δ4 분리가 kT의 몇 배가 되는 y ≈ 0.2 근처에서 nMOS 배율이 약 1.8로 포화한다. ④ 압축 구조의 ΔE_c는 거의 0이고 ΔE_v만 커진다. (오프셋: People 1986, Rieger–Vogl 1993, Schäffler 1997의 선형 근사. 이동도 배율은 골짜기 점유와 전도도 질량 + 골짜기 간 산란 감소를 합친 교육용 모형, pMOS는 압축 SiGe 채널의 대략적 경향)

밴드 공학의 응용: HBT · HEMT · 레이저

지금까지의 도구로 세 가지 대표 소자를 설명할 수 있다. 공통점은 도핑으로는 할 수 없던 일을 밴드 오프셋이 해 준다는 것이다.

이종 접합 바이폴라 트랜지스터(HBT). 크뢰머(1957)는 이미터를 넓은 갭 물질로 만들면 베이스에서 이미터로 역주입되는 정공의 장벽만 $\Delta E_v$ (조성 경사를 하면 $\Delta E_g$ )만큼 높아진다는 것을 지적했다. 주입 비는 다음과 같다.

\frac{J_p}{J_n} \approx \frac{N_B\,D_p\,W_B}{N_E\,D_n\,L_p}\;e^{-\Delta E_g/kT}

\Delta E_g = 0.37

eV(Al₀.₃GaAs 이미터)이면

e^{-\Delta E_g/kT}\approx 6\times10^{-7}

. 베이스 도핑을 이미터보다 10~100배 진하게 해도 주입 효율이 1에 가깝다. 진한 베이스는 베이스 저항을 줄이고 얇은 베이스의 펀치스루를 막아

f_{\max}

를 끌어올린다. 자세한 이득 해석은 바이폴라 트랜지스터의 HBT 절을 보라. InP HBT는

f_T

0.5 THz 이상, SiGe HBT는

f_{\max}

약 0.5~0.7 THz가 보고되어 있다(2020년대).

HEMT. 앞 절의 2DEG를 채널로 쓰는 FET다. 이온화 불순물이 없는 채널, 높은 $n_s$ , 큰 $\Delta E_c$ 가 만드는 좋은 가둠이 고주파·저잡음 성능을 만든다. 장벽층을 InAlAs·AlGaN으로, 채널을 InGaAs(In 53~80%)·GaN으로 바꾸며 진화했다.

이중 이종 구조와 양자 우물 레이저. 동종 pn 접합 레이저는 주입된 캐리어가 확산 길이(수 µm)만큼 퍼져 문턱 전류가 커서 상온 연속 발진이 불가능했다. 크뢰머와 알표로프(1963)는 좁은 갭 활성층을 넓은 갭 클래딩 사이에 넣자고 제안했다. 전자는 $\Delta E_c$ , 정공은 $\Delta E_v$ 에 막혀 활성층(0.1~0.2 µm)에 함께 갇히고, 넓은 갭 물질은 굴절률이 낮아(GaAs 약 3.6, Al₀.₃GaAs 약 3.4) 빛도 활성층에 모인다. 1970년 상온 연속 발진에 성공했고, 2000년 노벨 물리학상으로 이어졌다. 활성층을 양자 우물로 줄이면 계단형 상태 밀도 덕분에 문턱이 더 낮아지고 파장을 폭으로 고를 수 있다. 압축 변형 InGaAs 우물은 무거운 정공을 가볍게 만들어 문턱을 한 번 더 낮춘다. 980 nm 광섬유 증폭기 펌프 레이저가 그 예다. 발광 원리와 효율은 광전자 소자에서 다룬다.

그림 13-7. (a) HBT: 넓은 갭 이미터는 베이스의 정공이 이미터로 넘어가는 길을

\Delta E_v

만큼 더 막는다. 전자 주입은 그대로다. (b) 이중 이종 구조: 오프셋이 전자와 정공을 같은 활성층에 가두고(캐리어 가둠), 굴절률 계단이 빛을 같은 곳에 모은다(광 가둠).

설계 손잡이	밴드에 일어나는 일	쓰는 소자
넓은 갭 이미터, 조성 경사	정공 장벽만 ΔE_v~ΔE_g 증가, 스파이크 제거	AlGaAs·InP·SiGe HBT
변조 도핑 + 스페이서	계면 노치에 2DEG, 도너와 전자 분리	HEMT, 양자 홀 소자
분극 불연속 (GaN/AlGaN)	도핑 없이 계면 전하 → 10¹³ cm⁻² 2DEG	GaN 전력·RF HEMT
우물 폭 L, 장벽 조성	부밴드 E_n ∝ ~1/L², 계단형 상태 밀도	QW 레이저, 광변조기, QWIP
압축·인장 변형	오프셋 이동, 골짜기·정공 축퇴 해제	변형 Si CMOS, InGaAs 레이저
타입 II·III 정렬	전자·정공 공간 분리, 밴드 간 터널링	적외선 초격자, 터널 FET

CHALLENGE

목표 파장의 양자 우물 레이저 설계하기

목표: —

우물 In 조성 y (InGaAs/GaAs) 장벽 Al 조성 x 우물 폭 L

파장 ±3 nm
전자 가둠 깊이 ≥ 3kT (78 meV)
정공 가둠 깊이 ≥ 2kT (52 meV)
InGaAs 두께 ≤ 2h_c (GaAs로 덮인 우물)

발광 파장—

ΔE_c − E_1e / ΔE_v − E_1hh—

우물 갭 (변형 포함)—

h_c (InGaAs/GaAs)—

길잡이: 850 nm(VCSEL·광 링크)와 808 nm(고체 레이저 펌프)는 GaAs 우물(y = 0)로, 940·980 nm(3D 센싱·EDFA 펌프)는 압축 변형 InGaAs 우물로 만든다. 우물을 좁히면 파장이 짧아지지만 가둠이 얕아진다. In을 늘리면 파장이 길어지지만 h_c가 빠르게 줄어든다. 장벽 Al을 올리면 가둠이 깊어진다. (모형: In_yGa_1−yAs 갭 = 1.42(1−y) + 0.354y − 0.477y(1−y) + 압축 변형 보정 약 4.9×0.0716y eV, InGaAs/GaAs ΔE_c = 0.65ΔE_g, GaAs/AlGaAs 0.62ΔE_g, 무거운 정공 m_hh ≈ 0.35. h_c는 노출된 단일층의 매슈스–블레이크슬리 값이고, 위아래가 GaAs로 덮인 우물은 전위가 두 계면에 함께 생겨야 하므로 그 약 2배까지 허용한다. 실제 소자는 엑시톤·밴드갭 재규격화로 수 nm~10 nm쯤 어긋난다.)

핵심 정리

이종 접합의 밴드갭 차이는 $\Delta E_c$ 와 $\Delta E_v$ 로 나뉜다. 앤더슨 규칙은 $\Delta E_c = \chi_1 - \chi_2$ 이지만 계면 쌍극자 때문에 0.1~0.2 eV 틀릴 수 있다. GaAs/AlGaAs의 실측은 약 62 : 38(앤더슨 약 88 : 12)이다.
정렬은 타입 I(감쌈, 두 캐리어 모두 가둠), II(어긋남, 전자·정공 분리), III(어긋난 갭, InAs/GaSb)로 나뉜다. 격자 정합(GaAs/AlAs 0.14%, InGaAs/InP)이 결함 없는 계면의 전제다.
전속 밀도 연속에서 $V_1/V_2 = \varepsilon_2N_2/\varepsilon_1N_1$ 이다. 밴드 휨에 오프셋 계단이 더해져 스파이크와 노치가 생기고, N-p 접합에서 정공 장벽은 $qV_{bi}+\Delta E_v$ , 전자 장벽은 약 $qV_{bi}-\Delta E_c$ 다.
변조 도핑은 도너와 전자를 공간적으로 갈라 놓는다. 계면 삼각 우물의 부밴드 $E_i \propto \mathcal{E}_s^{2/3}$ , 2차원 상태 밀도 $m^*/\pi\hbar^2$ (GaAs $2.8\times10^{13}$ cm⁻²eV⁻¹), 게이트 제어 $qn_s \approx \varepsilon_2(V_G-V_{\text{off}})/(d+\Delta d)$ 로 설명한다.
2DEG 이동도는 상온에서 극성 광학 포논(약 8000 cm²/V·s)에, 저온에서는 원격 이온 산란(스페이서 $d_s$ 에 민감)에 묶이며 10⁶~10⁷ cm²/V·s에 이른다. 스페이서를 늘리면 $n_s$ 가 줄어드는 거래가 있다.
유한 양자 우물의 준위는 무한 장벽 값 $\hbar^2\pi^2n^2/2m^*L^2$ 보다 낮고, 좁은 우물에서는 $1/L^2$ 보다 느리게 커진다. 상태 밀도는 부밴드마다 한 칸씩 오르는 계단이다.
Si/Ge 부정합은 4.18%이고, 의사 정합 층은 임계 두께 $h_c$ (매슈스–블레이크슬리, Si₀.₈Ge₀.₂ 약 12 nm) 아래에서만 안정하다. 압축 SiGe는 $\Delta E_v \approx 0.74x$ , 인장 Si는 $\Delta E_c \approx 0.6y$ 이며 골짜기 분리로 nMOS 이동도가 약 1.8배 오른다.
HBT(정공 역주입 $\propto e^{-\Delta E_g/kT}$ ), HEMT(2DEG 채널), 이중 이종 구조·양자 우물 레이저(캐리어·광 가둠, 폭으로 파장 선택)가 밴드 공학의 대표 응용이다.

확인 퀴즈

χ₁ = 4.07 eV, E_g1 = 1.42 eV인 물질 1과 χ₂ = 3.74 eV, E_g2 = 1.80 eV인 물질 2가 있다. 앤더슨 규칙에 따른 ΔE_c와 ΔE_v는?

\Delta E_c = \chi_1 - \chi_2 = 0.33

eV,

\Delta E_v = \Delta E_g - \Delta E_c = 0.38 - 0.33 = 0.05

eV. 실측 GaAs/Al₀.₃GaAs는 약 0.23 / 0.14 eV(④)로 앤더슨 규칙과 꽤 다르다.

InAs/GaSb 접합처럼 한 물질의 E_c가 다른 물질의 E_v보다 낮은 정렬은?

두 금지대가 전혀 겹치지 않으면 타입 III이다. 계면을 사이에 두고 GaSb의 가전자대 전자가 InAs의 전도대로 넘어가 양쪽에 전자와 정공이 저절로 생긴다.

N-p 이형 접합(ε₁ = 12, N₁ = 10¹⁷ / ε₂ = 13, N₂ = 10¹⁸ cm⁻³)에서 내부 전위는 어느 쪽에 주로 걸리는가?

V_1/V_2 = \varepsilon_2N_2/(\varepsilon_1N_1) = 13\times10^{18}/(12\times10^{17}) \approx 10.8

. 동종 pn 접합과 마찬가지로 저도핑 쪽이 넓게 공핍되며 휨을 대부분 맡는다.

변조 도핑 AlGaAs/GaAs에서 스페이서층을 두껍게 할 때 일어나는 일로 옳은 것은?

도너와 2DEG의 거리가 멀어져 원격 이온 산란이 줄지만, 도너에서 계면까지의 전위 강하가 커져 옮겨 갈 수 있는 전자 수가 줄어든다. 상온 이동도는 포논이 지배해 거의 변하지 않는다. ΔE_c는 조성으로 정해진다.

GaAs 우물(m* = 0.067m₀)의 무한 장벽 바닥 준위가 L = 10 nm에서 56 meV다. 같은 조건에서 L = 20 nm이면?

E_1^{\infty}\propto 1/L^2

이므로 폭이 2배면 1/4, 14 meV. 실제 유한 장벽(0.23 eV)에서는 장벽 침투 때문에 이보다 조금 낮다(약 10 meV).

완화된 Si₀.₈Ge₀.₂ 가상 기판 위에 키운 얇은 Si층에 대한 설명으로 틀린 것은?

인장 변형 Si/완화 SiGe는 타입 II 정렬이다. 전자는 Si(ΔE_c 약 0.12 eV), 정공은 SiGe 쪽에 모인다. 그래서 nMOS 이동도는 크게 오르고, pMOS는 압축 SiGe 채널이나 단축 압축 변형을 따로 쓴다.